Wednesday, December 17, 2014

福射性(或称半径性)的r的特性,分宏观性和微观性两种。1/r的宏观特性,大家都知道,但1/r的微观特性,就很难知道了。我13楼已说过,著名怪才Dirac为了解决1/r的微观特性,才不得已引入怪异δ(r)函数


[DOC]第九章拉普拉斯变换
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第九章拉普拉斯变换. 9.1 基本要求与内容提要. 9.1.1 基本要求 ... 留数法:设除有限个孤立奇点外是解析的,且,则. 有. 部分分式分解法:在许多实际问题中,像函数 ...
  • [DOC]数学物理方法

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    Oct 29, 2014 - 拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的反演普遍反演公式卷积定理 ... 常点邻域的级数解法正则奇点邻域的级数解法贝赛耳方程.
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    值得指出:為獲得(1.22)式的解,在使用拉普拉斯逆變換時,被積複變函數只有唯一的奇點 0S ,並計算在這點的留數。奇點的值恰好表示考慮投資時滯時的最終產品增長率; ...
  • 关于梅先生的质量圆环中心有奇点解1/r的问题,最近我的学生 ...

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    Dec 27, 2013 - 23 posts - ‎4 authors
    他认为,B0/r这一项明显也是拉普拉斯方程▽▽φ=0 的解。 ... 这个问题不是每个人都能回答的,需要对某些问题(奇点)有所考虑才能回答。简单地 ...

  • 关于梅先生的质量圆环中心有奇点解1/r的问题,最近我的学生在电磁学中也遇到类似问题

    我的讲义讲的是一个介质球(本身无电荷)内外的电场分布,按照级数展开法(φ=C+B1/r^2+B2/r^3+...)求拉普拉斯方程▽▽φ=0 的解。一个学生来邮件问:“在Chapter4里,第22张PPT里”为什么没有B0/r这一项。他认为,B0/r这一项明显也是拉普拉斯方程▽▽φ=0 的解。

      我详细回复如下:  
     
    关于“在Chapter4里,第22张PPT里”为什么没有B0/r这一项,这个问题问得很好。这个问题不是每个人都能回答的,需要对某些问题(奇点)有所考虑才能回答。简单地说,B0/r不是拉普拉斯方程▽▽φ=0的解,而是泊松方程▽▽φ=δ(r)的解。泊松方程▽▽φ=δ(r)的源是Dirac δ(r)函数,它表示球心处有一个点电荷或者点质量(体积无穷小)。在r不等于0时,B0/r确实是拉普拉斯方程▽▽φ=0的解,但在r=0那一点,B0/r不再是拉普拉斯方程▽▽φ=0的解。其实,B0/r是单极子解,其源就是一个点电荷(或者点质量(对于万有引力)). 如果在r=0放置一个点电荷,那么B0/r解就需要放进去。但是现在是介质球(本身无电荷),所以方程是拉普拉斯方程▽▽φ=0 ,不是泊松方程▽▽φ=δ(r)。

    由于没有明白以上这一点,很多本科生(包括我自己曾经)会产生像你这样的疑惑,并且有可能疑惑一段时间而不得其解。但有这个疑惑是很好的,比没有这个疑惑要强得多。
     
    同样由于这个原因(不知道“B0/r是单极子解,其源就是一个点电荷(或者点质量(对于万有引力))”),多年来某些民间人士(研究人员)就在网上详细发表多篇文章批判爱因斯坦广义相对论。爱因斯坦广义相对论是关于万有引力与时空的理论,其方程在一定条件下也包含有类似麦克斯韦方程的结构形式(如在弱场下,几乎相似。尤其有趣的是,利用爱因斯坦方程在求对称稳态情形时,其中一个分量方程就与平直时空中的拉普拉斯方程项▽▽φ一模一样)。某民间人士(研究人员)发现,对于一个有质量的圆环,其圆环圆心r=0那一点,爱因斯坦广义相对论方程有B0/r解,因此他认为圆环圆
    心是奇点,他认为这是荒唐的,由此说明爱因斯坦方程是错误的、自我矛盾的。
     
    我一看到他的文章,当即指出,B0/r是圆心有“点质量”情形的解,而圆环圆心是空的,不存在点质量,因此B0/r需要排除,也即B0/r根本不是他这种情形的解(在电磁学和牛顿引力理论中,B0/r是有源的泊松方程▽▽φ=δ(r)的解,不是无源的拉普拉斯方程▽▽φ=0 的解)。我继续指出他的这种“问题”也可以在电磁学中讲解,不是爱因斯坦广义相对论的单独“问题”。当然,跟这类民间人士(研究人员)讲,是讲不清楚的。争论多次,也无法让他相信。
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     [2楼]  作者:541218  发表时间: 2013/12/27 18:37 

    对于半径为无限大的球壳,尽管该球壳的质量面密度并不等于零,即该球壳的总质量为无穷大,但无论其Ri是否趋于零,其所有解项都严格等于零,这就不是只需要将 Ri→0 那一项排除掉,必须将所有解项统统排除掉 似乎可得到爱因斯坦引力方程没有解的结论?即爱因斯坦引力方程不适用于球壳的内部 ?
    其实不然 并不是爱因斯坦引力方程不适用于球壳内部 而是因该将无穷多个引力方程的坐标原点分别建立在球面上每一个点处。爱因斯坦引力方程永远只适用于每一个 质点 对于球壳就属于一种质点系,对于质点系就应该对应地建立 无穷多个 球型坐标系 这些球型坐标系的原点总是被固结在相应的质点上
     [3楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2013/12/30 10:33 

    梅教授有一句在理学史上也是最闪光的话,即‘理学中奇点是由无限大引起的;哪里出现无限大哪里就有毛病’。我曾为梅教授这句话多次喝过采。
    梅教授这句话与伟大的逻辑主义数学家弗雷格的‘逻辑在哪里出了毛病呢?很多人百思不得其解.这一问题直接威胁到数学的基础………更重要的是,对什么是1这样一个貌似简单的问题,尚未有一个完满的答案……否则,我们最终将弄不清楚负数、分数或复数.’真是旗鼓相当!
    可惜的是,弗雷格当年因忙于研究数理逻辑,因而没找到彻底解决这毛病的法宝,而梅教授虽然比弗雷格进了一步,但也因忙于反相,也没找到彻底解决这毛病的法宝,只是不认可这毛病,即用治标的办法----消除细圆环奇点的方法。
    现在你沈建其教授用Dirac的 δ(r)函数方法来否定梅教授消除细圆环奇点的方法,就是不懂个中的大道理的表现(当然,你是教育工作者,职责是照本宣科,否则就不称职),因为,Dirac的 δ(r)函数方法也是对这毛病的治标办法。
    有什么道理说Dirac的 δ(r)函数方法也是对这毛病的治标办法呢?三大道理:
    一、δ(r)函数方法只适用于微观物理,不适用于宏观物理,原因是……
    二、待续

     [4楼]  作者:xj肖军  发表时间: 2013/12/30 18:37 

    沈老师:如果不是r=0,而是r→0,又如何解释呢?
     [5楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/01/01 12:06 

    紧接3楼:
    二、
    原因就是逻辑主义数学家弗雷格所指出的,是人们对什么是1这样一个貌似简单的问题认识错了,而且,我还在下证实,错大了:
    说来骇人听闻,这对1的认识,小学生们却是对的,从初中开始,随着进而学到有理数、无理数、…,对1的认识就越来越错了;所以,越是数学大师就越错!
    小学生们都知道,整数如1、2、6、7…等在尺子上都用‘线段'来表示的,而‘线段'有两个端点,始点和终点,始点都是0,终点分别是(1)、(2)、(6)、(7)…等;即都知道有‘几’与‘第几’之分。

    所以‘1’有1与(1)之分;1是‘线段',而(1)是1的终点的编号。于是0也有其编号(0)。这就是说,从(1)到(0)是有间隔的,而这间隔与其大小无关,事实上,星球的半径用1来表示,电子的半径也用1来表示。
    但是数学、物理大师们却认为从(1)到(0)是没有间隔的,其间还充满谁也说不清的各种数;这就是数学悖论泛滥灾难的根源。
    聪明的Dirac为了避开从(1)到(0)没有间隔的问题,才不得已引入怪异δ(r)函数,但这是治标办法,且等于饮鸩止渴,……
    三、待续
     [6楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/01/03 17:25 

    紧接5楼:
    三、
    于是整数n表示‘有限大’,其编号(n)表示‘有限多’;同理,0表示‘无大’, 其编号(0)表示‘无多’,∞表示‘无限大’,(∞)表示‘无限多’。于是1÷(∞)=0 。
    电子微观球体,其静电场的势φ=g/r分布和星球引力势Φ=GM/r分布完全一样,都与1/r有关(r应称为辐射距离。),即场势离球面越远越弱,直至r(n)弱成0。所以,1/r表示为下图

    r(0)│———r(1)│———r(2)│—————————————r(n)│r(∞)————→
    这图的r(0)点,在微观球体的球心O处,r(1)点是球面与场空间的交界点,r(1)到r(n)段,是球面外的场空间,r(n)点之外是无场空间(要特别注意,r(n)和r(∞)虽标在同一点,但有内外之分。)。
    但由于现行所谓“实数”教育,没有了其编号,上图就被破坏成

    r0│———r1│———r2│—————————————rn│————————→r∞
    且r0和rn间充满着本就无编号的各种小数(各种小数都无编号的原因,下楼再说);这就产生了很多悖论,而奇点仅为其悖论之一。
    于是,使用所谓“实数”,对于宏观的星球引力势,就产生了梅教授所指出的“广相”中的奇点;对于微观的静电场的势,因整数1和各种小数都无编号,就使微观球体的界面上点不能表示为r(1)而滑向球心0,就只能r→0又r≠0;怪异δ(r)函数就是解决这种无奈。
    而用有编号的整数,则求解泊松方程可直接逆运算,很浅简(如何浅简,下楼再说),不用难懂的含怪异δ(r)函数的格林公式,而且后患极其严重(如何严重,下楼再说)。
     [7楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/01/04 16:58 

    上面3、5、6仅三楼,无可辩驳的证实了现行数学基础“实数”有很大缺陷,才衍生了奇点(悖论之一);要消除奇点,就只有使用有编号(n)的整数n,使泊松方程可直接逆运算而求解才能成功。

    至于引入怪异δ(r)函数的后患如何极其严重、使用有编号(n)的整数n能使泊松方程如何直接逆运算浅简求解,消除奇点,有兴趣评判的网友请看最新修缮的拙著《绝对论和“实数”新概念》(已在《科技纵横》刊出)。
    我的邮箱:ldy247484@126.com
     [8楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/01/05 11:42 

    (5楼末)说‘引入怪异δ(r)函数,等于饮鸩止渴’有最具标志性的依据,就是其接下来对运动电粒子的达朗贝势方程无法求解而不得不错误求解(事实末是,在现行电动力学书中,都供认不讳,是由推测来求解的。):

    把达朗贝势方程无理的写成所谓“齐次波动方程”而套用机械波动力方程求解方法;这就使波速c与电粒子惯性物速v在同一方程中有悖,且有相应的无理的所谓“推迟势”。
    而“狭相”牵强的附和了“推迟势”;但事实是“狭相”的“时慢尺缩”与“推迟”是不相容的。
    所以现行电动力学因悖谬太多令人不能读懂,这是公认的。

    事实是达朗贝势方程是电粒子以惯性物速v运动的泊松方程,只要使用被爱氏埋灭的V=γv,引入惯性因子γ,由于j=Vρo,可直接逆运算求解,这才是势方程求解,解得的是表达电粒子以惯性物速v运动的‘表惯势’,就有理从而浅简好懂。
     [9楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/01/06 09:10 

    接8楼:
    绝妙的是,当我首次用直接逆运算求解达朗贝势方程的E和B,最后结果,竟与“推迟势”运算的结果一一而合(注意,任意运动电粒子的距离、方向r和速度v都是不同的)!但在现行电动力学书中,并无完全展示极其繁复的“推迟势”运算的每一步,而只告知“运算结果”。

    有兴趣指错的网友请看最新修缮的拙著《绝对论和“实数”新概念》(已在《科技纵横》刊出)。
    我的邮箱:ldy247484@126.com
     [10楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/01/07 09:48 

    复制9楼。

    妙就秒在,用直接逆运算求解达朗贝势方程的‘表惯势’、E、B,因很浅简,从而可全部展示;而极其繁复的“推迟势”求解运算可只告知“运算结果”!

    有兴趣指错的网友请看最新修缮的拙著《绝对论和“实数”新概念》(已在《科技纵横》刊出)的电子件。
    我的邮箱:ldy247484@126.com
     [11楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/01/10 01:29 

     [12楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/01/10 17:51 

    再接6楼:
    由1÷(∞)=0 可知,0是微观的‘无’,∞是宏观的‘无’。
    所以,2楼541218 先生的“对于半径为无限大的球壳,……”,就有悖,病句!
     [13楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/01/12 12:15 

    接12楼又批4楼xj肖军 :

    ∥如果不是r=0,而是r→0,又如何解释呢?∥,?
    从r(0)到r(1)间充满各种小数,所以微观球体的球面上点不能表示为r(1)而只能滑向球心r(0)即r=0;Dirac为了不让r=0,才不得已使用怪异δ(r)函数,使之r≠0,是无奈之举!
     [14楼]  作者:福州梅晓春  发表时间: 2014/01/18 09:59 

    看了沈其建教授的这个帖子,觉得实在可笑,天下难得有如此顽冥不化之人。本来只是私下电子邮件讨论的东西,但沈教授似乎有将私下讨论信件公开的癖好。既然他愿意公开,为以正视听,本人还是决定予以回复。
    沈教授至今仍然没有弄清两件事,一是微分方程的解是由边界条件决定的。二是平直空间中的物理量与弯曲空间的物理量不一样。

    对于球对称引力场内部解,中心点是否有奇点,是由边界条件决定的。对于平直空间的情况,确实没有奇点。但对于弯曲空间,情况就不一样。弯曲空间中球的体积与平直空间是不一样的,这个边界条件使球内部解的某个常数不等于零,就会r=0的点上曲率出现无穷大。这是一个纯粹的数学问题,积分常数不是你沈其建认为等于零就可以等于零的。至于环对称问题,情况也一样。以为环中心没有质量就没有奇点,你这是牛顿引力理论的看法,不是爱因斯坦弯曲时空引力理论,懂了吗?如果不认可我的解,你找出一个没有奇点的解来给我看。

    还有就是,沈教授居然能根据微分方程的形式来判断空间是平直还是弯曲。认为微分方程是拉普拉斯方程,就一定是平直空间。这可真是大笑话了!我告诉你,空间是否平直是靠度规的形式来判断,不是靠微分方程的形式!弯曲空间的一个度规是完全可以满足拉普拉斯方程的。爱因斯坦引力场方程描述的是度规的微分方程,不是牛顿引力势和你说的电磁势。搞广义相对论,连这么一点基本概念都没有弄清楚,真是不可思议。

    当然,这种错误出现在沈其建教授的身上是一点也不足为奇的。从他给我的邮件中看出,因为他甚至连什么是泊松方程也没有弄懂。在他看来,泊松方程右边的任意函数(电荷分布)可以包含被拉普拉斯算符作用的未知函数本身。我对他讲了无数遍理,如果这样就不是泊松方程了。但他却一直不懂,还弄出一个自创的半解来自圆其说。只是在我告诉他,他将积分常数弄错了后,他才明白他的半解根本不存在。想不到几年后,他还敢将这种陈芝麻烂事抖出来,嗮到网上,真是孺子不可教也!
     [15楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/03/21 19:55 

    接13楼笑批沈其建、梅晓春俩教授 :
    你俩都被广世巨骗爱氏诈骗了!
    首先要会区别,在大质量为M的引力场中,有
    (W圆)ˇ2=M/r ①

    Φ =M/r ②
    这两式的右边都是M/r!!

    爱氏就是混用①和 ②,再借用形式相同的点电荷电势表达式
    φ =ρ0/r ③
    再似是而非的扯上拉普拉斯算符▽和达朗贝尔算符□,再搞成“四维”,最后经漫长的“试误”过程,搞成"爱氏引力场方程"
    G(μυ )=R(μυ )-1/2g(μυ )R=8πG/ccccT(μυ )。
    显然你俩都不会区别①和②,所以不会识破"爱氏引力场方程"是假式子。
     [16楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/03/22 08:43 

    接15楼:
    与沈其建、梅晓春一样,肖军也把①当作 ②了;几乎所有研究伪论“相对论”的人都如此!
    都是爱氏疯狂做假惹的祸!
     [17楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/03/23 10:32 

    接16楼:
    爱氏这般疯狂做假,就像白骨精吃掉村姑一家人后再装成村姑一家人继续去骗害别人一样!
    讲三打白骨精故事须从村姑讲起,讲爱氏疯狂做假也须从洛仑茲的五条原真式子讲起。

    惨遭爱氏埋灭、篡改的洛仑茲五条原真式子是:

    待续
     [18楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/03/24 20:39 

     接17楼:
       洛仑兹这五条原真式子(用一个独立性‘地面参考系’O-XYZ表达的)是:
      1、洛氏‘伽变原式’
       r’=△r-V△t
      (注意,伽氏‘伽变原式’为r’=r-Vt,还有缺陷,洛仑兹天才的用了‘固符’△,使△r和△t都成为不变量,才完全正确了。)
      2、‘求惯性因子γ式’
       ( c△t)ˇ2—(v△t)ˇ2=(kc△t)ˇ2
       (洛仑兹利用勾股公式建立此式,其K是他特意放置的数学性调节因子,以使‘Kc△t ’成为另一可变直角边。)
      3、‘惯性 因子γ式’
      γ= 1/√(1— vv/cc)
      (求得 K=1/γ =√(1— vv/cc) ; 知γ是v的产物,与K的变化规律相反,应称为‘惯性 因子’)
      4、‘惯性速度变换式’
       V=γv
      5、‘洛变原式’
       r’ =γ(△r-v△t)
      (把V=γv代入洛氏‘伽变原式’即可得到)
      这五条原真式子都由一个‘求惯性因子γ式’图具体显示出来(因本人电脑技术差,无法把此图贴上),它们有承接关系和每条自身的机理及其变化状态的显示,让人一目了然,浅简之极,绝妙之极!
     [19楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/03/25 05:00 

    接18楼:
    洛仑兹发现,物粒的惯性(即被动性)速度应是以主动性光速c为极限的v ,而不是‘伽变原式’中的无极限c的V ;于是△r、c、△t三个都是不变量,且 △r=c△t,从而他利用‘勾股定理的不变斜边长是可变直角边长的极限与主动性光速c是被动性物速v的极限等效’这原理建立了‘求惯性因子γ式’。
     [20楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/06/04 15:39 

     再接16楼:
     要区分①和 ②,须浏览一下拙论 《绝对论和“实数”新概念》。

    (索要,请用我的lyd247484@126.com)
     [21楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/07/08 05:40 

    要区分①和 ②,须浏览一下拙论 《绝对论和“实数”新概念》。

    (索要,请用我的lyd247484@126.com)
     [22楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/08/02 10:42 

    再回头接15楼:
    提醒大家要特别注意:
    福射性(或称半径性)的r的特性,分宏观性和微观性两种。1/r的宏观特性,大家都知道,但1/r的微观特性,就很难知道了。我13楼已说过,著名怪才Dirac为了解决1/r的微观特性,才不得已引入怪异δ(r)函数,但这样后,使人唯觉怪异、不懂;而用我发现的“实数”新概念,则小学生也轻松可懂。
     [23楼]  作者:陆道渊247484  发表时间: 2014/09/05 17:15 

    辐射性(或称半径性)的r的特性,分宏观性和微观性两种。1/r的宏观特性,大家都知道,但1/r的微观特性,就很难知道了。我13楼已说过,著名怪才Dirac为了解决1/r的微观特性,才不得已引入怪异δ(r)函数,但这样后,使人唯觉怪异、不懂;而用我发现的“实数”新概念,则小学生也轻松可懂。

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    Dec 27, 2013 - 23 posts - ‎4 authors
    他认为,B0/r这一项明显也是拉普拉斯方程▽▽φ=0 的解。 ... 这个问题不是每个人都能回答的,需要对某些问题(奇点)有所考虑才能回答。简单地 ...
  • 点(及直线,平面)是不能作为先验量而引入或定义的。而是必须作为群量的内在运算法则的结果(或者说是某种内在性质),这样的内在运算法则(性质)才是几何理论的核心。

    望山跑死马:科学上的哲学差距到底有多大? 精选
    已有 2662 次阅读 2014-12-12 11:22 |个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记
     
          站在一个山上(如经典科学)看另一个山(如现代科学),一般的感觉是离那个山头不远。而且,山越是高,这种离的不远的感觉越强烈。
          然而,古话说的好:望山跑死马!也就是,要走到另一个山头,远着那!
          经典科学与现代科学的距离到底有多大?上面的古话是合适的答案。下面就具体论述之。
          我国古典哲学中有两个核心概念:先天,后天。在古典哲学,尤其是易理中,先天是指给定基础属性,一般的运动是在指给定基础属性条件下的后续运动,而后天是指经由运动而得到某种作为结果的基础属性。先天和后天的圆满就是对运动的理想把握。这也可以用阴阳转换概念来表达。
          现代科学的基本哲学理念是与这个概念有等价性的。
          在物理学中,后天的一个例子就是量子力学中的迪拉克矢量。这个矢量是用预先给定的几个定义及算法来导出表达量子运动的基本矢量。而其正确性是以在此矢量概念下导出的量子动量概念所得到的结果与实验的一致性来判决的。
          如果采用先判决其预先给定的几个定义及算法的真理性(物理学上)的话,那么可以说它纯粹是一种毫不相干的约定而已,几乎令人无法接受。人们接受它的唯一原因也还是在一系列操作后其导出的结果是正确的。
          由于这种先公理化,然后用其结果来表明公理化是正确的这种后天判决方式是科学界非常反对的,也就出现了与迪拉克矢量描述等价的直观图形描述,也就是费因曼图。它接近于先天判决方式,人们很高兴。但是,用了没有多久,还得走迪拉克路线。这就是现代科学的基本理论路线:以后天判决方式作为建立科学理论的基本哲学路线。这也就是现代科学理论的基本纲领。
          这条路线显著的区别于经典科学的以先天判决方式(基本概念及基本定理的绝对真理性,以此为前提而展开的公理化系统)。
          我国学术界是一边倒的接受和坚持先天判决方式为科学的基本判决标准;基本上是不接受后天判决方式的科学理论,更不用说去发展后天判决的公理化体系了,也就是基本不接受现代科学的基本哲学理念。这就是我国科学界与现代科学的距离。我们基本上能看到现代科学那个山,但是我们没有找到(或是没有去找,或是没有去走)上现代科学山头的道路。
          现代科学的后天描述方式是先承认物质的运动态是基本的研究对象,而运动态间的关系是基本的物质运动规律(如量子理论)。但是,我们无法事先判断运动态的基本细节,从而无法用经典物理的方法由基本运动来构造当前的被研究的物质运动态。
          用现代数学的语言来说就是:不是用点、线、面作为基本要素来建立一个几何理论(先天哲理),而是用抽象的公理化,以演绎的方式给出点、线、面作为一种推论(后天哲理)。
          现代数学上的几何场理论的要点是:点(及直线,平面)是不能作为先验量而引入或定义的。而是必须作为群量的内在运算法则的结果(或者说是某种内在性质),这样的内在运算法则(性质)才是几何理论的核心。
          这个观点完全的等价于现代物理的量子力学基本哲学观点:物质是以运动的方式存在着的。而经典物理的基于先天性的点线面概念下的运动表达就变成了特例。从哲学上看,一旦获得了这个运动概念的一般化理论描述,那么物理学的应用边界或者是研究边界也就成为一切运动中的物质。而表征物质运动基本面的量就是:表达全局运动存在特性的全局量(如量子力学);表达局部运动特性差异的局部量(如经典力学);而目前的统一场论的研究重心就是:能够在二者间连续过渡的更有包容性的理论形式。由此可以看出为何二者的发展是如此的密切。
          由于这个特点,先天性的公理化是必然的出路,而这类公理化的前几个定义及随后的几个公理恰恰是无法直观理解的(无法评价其现实性的真理性,或是无法用经验知识加以判断的),其学术上的科学价值只能是在公理化完全展开后的一系列推论可以被拿来与经验理论或是其它低级次的理论加以比较而加以评判。这样,对其真理性的判决只能再后天进行。这与经典理论的在先天阶段(前提、假设、基本定理等)进行判决就有了根本性的差别。
          我们习惯于先天性判决方式的理论,而很不乐意接受后天性判决方式的理论。然而,在科学本质上,所谓的实验判决准则在哲学意义上是后天判决准则。在这样的意义上看,现代科学理论的基本哲学观点恰恰是把实验判决准则作为第一性的,而其自身的理论形式也就必须是预先包容各类可能性的一种公理化系统,从而是非常抽象的形式。
          因而,无法在理论起点及其中期阶段判断该理论是否科学,而只能用其后期推论与实验的比较来判断其理论上的正确性。这样,在完全把握该理论之前,我们无法(也不应该)做出先验性的判断,而在后天判决该理论无效时,我们所能作的也就是改善其公理化的某个环节,尤其是前几个定义和公理。这样,现代科学的公理化体系的数量(也就是各类平行的公理化体系)就会在数量上显著的增长。其中很多是等价的。当这条路线的研究深入到一定层次时,某几个公理化体系就会被看成是普遍有效的。而后期的进展将依然是以改善或补充完善这几个公理化体系为基本运作方式的。
          由此,也就不难看出:由于中国学者普遍的是先天判决的哲学理念,与这类后天判决的哲学理论是天敌似的,从而,在现代科学中几乎看不到中国学者在公理化方面的研究工作,也很难见到以后天判决为原则的对现有公理化体系的深入学习或应用性的研究。这就是我国科学界与现代科学最为基本的差距。

    gr01 如果空间不是渐进平坦的,质量得含义也是有模糊性的; 无(唯一性的)方法排除引力辐射;无(唯一性的)方法定义几何动力学目标的距离;有无限的自由度;无自然的球对称,出现球颈;出现内在的奇点;当前的几何子的行为与运动理论不一致;几何子有能量泄漏;运动方程中的质量不是常数;动量不能由简单的体积分得到

    如果空间不是渐进平坦的,质量得含义也是有模糊性的



    运动的几何动力学理论
    已有 1243 次阅读 2013-7-10 11:05 |个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记|关键词:动力学
     
          广义相对论和量子力学迟早会融合在一个理论体系下的,这是学界的一般信念。
          1960前后,认为广义相对论给出了物理学的主体理论而其深刻性和丰富性是有待发掘的。
          但是,Riemann Clifford)所持有的观点:“1)空间的微小区间在事实上也是象在一个平均性平面的山包上,也就是说,普通的几何定律在那里不成立(现在的流行观点是,弯曲的曲面,如果无限小的划分下去,微元面等价于平面)。2)微空间要么是弯曲的要么是已变形的,这个特性会象波一样在空间中传播。3)空间的曲率变化就是实际发生的现象:物质运动,要么是直接可观测的,要么是可推知的(可观测到的表象,有唯象性)。4)在物理世界中,除了这种局部空间的曲率变化,而且是满足连续性规律的变化,没有发生任何事情,
          几何动力学理论就是基于这样的一个信念。
          在广义相对论建立初的激动后,随后消沉了很长的时间。但是,由场方程导出能量-质量集合体为客观目标的运动方程的努力使这个信念再次焕发活力。
          方案1)把质量看成是流体,引入流体的应力-能量张量Tab作为重力场源,则有爱因斯坦场方程:Rab—(1/2)gabR=(8πG/c4)Tab 。批评意见很多。
          方案2)把质量看成是奇点。这是目前很流行的,也是传统性的。批评性意见为:许可那种奇点?拉普拉斯1/R类的(场源有非唯一性)是不行的。
          方案3)局部球对称施瓦西型度规。这是传统大地重力场的球谐函数展开形式。
          事实上,在基本论题上也有问题:如何定义能量-质量集合体。质量能直接加在一起?按施瓦西解,这是不可以的,需要加上修正项。
          如果空间不是渐进平坦的,质量得含义也是有模糊性的。其几何模糊性为:RacbdL2. 其中L为质量得长度尺度。
          运动客体的概念不清谈何物质运动?
          这样,几何动力学理论就引入了质量得纯几何概念:几何子(geons)。它是最小的微元:含有能量-物质。
          再就是:位形概念、初值数据、和初值方程等。
     
          对施瓦西解和虫孔解的研究的结果给出了如下认识:
          无(唯一性的)方法排除引力辐射;无(唯一性的)方法定义几何动力学目标的距离;有无限的自由度;无自然的球对称,出现球颈;出现内在的奇点;当前的几何子的行为与运动理论不一致;几何子有能量泄漏;运动方程中的质量不是常数;动量不能由简单的体积分得到;等等。
          所有这类困难制约了几何动力学的发展。也就是限制了广义相对论的进一步深入研究。如何在几何上定义存在?这被看成是关键问题。
          也因为这个原因,这个领域的理论研究还是在持续不断的进行中。
          理性力学介入这个领域是非常自然的,因为连续介质就是一个微观上弯曲的空间,而宏观上是平坦的空间(或是微分平坦的)。
     

    Stoke定理 dF,微分形式, 會產生正確的面積公式, 不同維度的面積要配上不同階的微分形式, 產生方式應該不要產生出dxdx這類項,同變數無法積分二次

    http://blog.xuite.net/jordenjaw/twblog/133973187

    窮人的微分幾何7 Stoke定理與微分形式




     
    學過微積分的人都知道微積分基本定理,它說:一個函數的微分的積分,等於這個函數(加上一個常數)。寫成方程式就是F=SdF(這裡S是積分符號)。基本上這個公式好像沒講什麼,它只是說一個函數等於它自已細切的和。用圖形比較好說明,如果F是面積的話,那我們可以把它細切成dFF就是dF加在一起,這就是所謂的積分,這裡dF顯然就是f乘上dx,而fFdx的改變量,也就是F的微分。真正來講,積分的值應該等於F(b)-F(a)。我們可以把F(x)想成是從某一固定點開始算到x的面積,則在線段ab上的積分,就是F(b)-F(a)
    這個想法其實可以推廣到高維空間去,我在旁邊畫了一個二維的情況。對一個定義在xy平面上的函數F,我們也可以細切成dF,從而有F(a)-F(b)=SdF的公式。只是現在的ab被二維圖形的邊界取代。要得到這個推廣公式,只要作到二件事,一個就是找出dF的定義,另一個是找出F在邊界上的取值方法。

    我們要找的dF,就是所謂的微分形式。從前面我們可以看出它應該有幾個特性:
    1 它應該是某種微分,才會產生正確的面積公式。
    2 它有維度,不同維度的面積要配上不同階的微分形式。
    3 它的產生方式應該不要產生出dxdx這類項,同變數無法積分二次。
     
    數學家找到了可以滿足以上特性的dF產生方法:
    1 如果F是一個普通函數,則dF=dF/dx dx + dF/dy dy + .  這裡的dF/dxFx的偏微分
    2 如果F=Wdx,W可能是函數,也可能是一個微分形式,則dF= dW ^ dx。這裡定出一個微分形式的外積^,它有反對稱的特點 dx^dy= -dy^dx
     
    至於在邊界的取值方法,從圖上可以看出一個大概,就是面的邊是線,線的邊是點,然後我們要把它加上一些正負號。至於如何取在線段上的值,就是所謂的Stoke定理,它說F在邊界的取值方法,就是F在邊界作積分。公式如下

     
    其中dM指的是M的邊界。我們可以說Stoke定理是微積分基本定理在高階的推廣,也可以說微積分基本定理是Stoke在一維的特例。這個定理,很巧妙的連接了拓擈上面的邊界運算與分析上的微分運算。它告訴我們一些流形的拓擈特性,和流形上的微分形式會有所關聯,從而打開了微分形式在拓擈學上應用的大門。
     
    一個有趣的結果,就是任何微分形式作二次d運算後會變成0ddF=0。代入Stoke定理,我們得到任何空間作二次邊界運算後也會變成0。就是俗稱的「邊界的邊界是零」。

    地圖與地圖之間的變換函數能夠被微分,則稱為可微分流形:帶很多張地圖,有的以台灣為中心區域,有的以北極為中心區域,每個地圖可適用於地球的某一部份,各地圖間則有一些地帶可以互相對照連接

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    窮人的微分幾何6 流形與纖維叢


     
    流形(manifold)跟歐氏空間的關係可以用地球跟世界地圖的關係來比喻。我們知道一張世界地圖無法完全的描繪出地球的面貌,明顯的因為平面跟球面本身在拓擈上就有先天的差別。通常的世界地圖把北極畫成了一條線而不是一個點。對要飛航過北極的飛機而言,解決這個問題的最簡單的方法,就是帶很多張地圖,有的以台灣為中心區域,有的以北極為中心區域,每個地圖可適用於地球的某一部份,各地圖間則有一些地帶可以互相對照連接。這種用一組歐氏空間來描述的某個彎曲空間,就被稱為流形。通常我們希望地圖與地圖之間的變換函數能夠被微分,則稱為可微分流形。
    纖維叢(fiber bundle)則是流形與乘積空間的推廣。所謂空間的乘法,實數線X乘上實數線Y就是二維實數(XY)平面,而實數平面再乘上實數線Z,就變成了三維xyz空間。如果將流形上的每一點都乘上某個空間(這個空間就被叫作纖維),則這個乘積的結果就成了一個纖維叢。
    一如二維平面上我們可以對每一個x定出一個y形成一個函數,在纖維叢裡也可對流形上每一個定出纖維上的一個值,這樣定出來的結構稱為此纖維叢之截面(section)
    微分幾何裡有二個纖維叢比較常被提及,一個是把流形任何一點上的所有切向量組成切向量空間,把這個切向量空間當成這點的纖維,形成所謂的切叢。切向量空間裡可以選用各種座標,各座標可以用座標變換運算互換,所有這些座標變換的運算本身也形成一個空間,通常是一個李氏群。以座標變換群為纖維所形成的纖維叢被稱為主叢(principal bundle)
    1 如果在主叢上定出一個section,則這個section將流形上各點間的不同座標變換相關連起來。如果我們規定這二點上被section所連接的不同座標是平行的,則主叢的section事實上就是connection的定義。
    2 把整個主叢當成一個流形,再取這個section的切向量,這個切向量是這個主叢切向量空間裡的一個子空間,被稱為水平切空間H。選定了H,就是選定connection
    3 對主叢的切向量T,我們可以唯一把它分解成T=H+V -> VV是一個李群的微分,也就是說,我們有一個微分形式,它會作用在T上,而得到李代數g的值。定義了這個g-值微分形式,也就等於定義了connection
    可以証明,以上三個方法,都可以當成connection的定義,它們之間是互等的。利用這種方法,我們可以脫離了原來的平行直覺,而定義出在廣義空間裡的connection




    窮人的微分幾何8 Gauss-Bonnet定理




    曲率跟拓擈的關係,從一維的曲線就開始了。對一個封閉曲線,從一點開始出發,它的切向量會繞著曲線轉360度的倍數再回到原點。。切向量的旋轉角度可以用曲線的曲率來計算,曲線的曲率k=密切圓的半徑r的倒數,延著曲線前進一小段,切向量旋轉dt角,曲線長度則為ds=rdt。所以如果沿著曲線積分
    Skds=S 1/r rdt=Sdt=t
    正好是切向量的旋轉角度。所以我們得到
     
    S 曲率 ds = 2 pi * 繞圈數
     
    式子中,左邊是曲率,右邊是拓擈特性。
    我們要問二維曲面也有類似的情況嗎?從上個式子的推測,就是把曲率張量對面積作積分。曲率張量的由來是
     
    Ddei=Wijej
     
    從上式可以推出
     
    S Wijej dA = S ddei dA =S dei ds=S wijej ds
     
    其中從第二式到第三式,用了Stoke定理的方法,把面積積分變成在它的邊界曲線上積分。
    所以曲率張量在面積上的積分,等於wij在邊界上的積分。但是wij是量測eiej方向的變化量,也就是旋轉角度的積分,最後我們得到
     
    S 曲率 dA = S 旋轉角 ds =切向量沿著曲線平移一圈後,回來與原向量的交角
     
    如果曲面是裝在三維空間裡的,我們可以取ei是法向量,則wij量測的是法向量旋轉後所包含的立體角。這個式子的意涵不如一維空間那麼的直覺,我個人想到的一個說明如上圖所示,假設有一個球,它上面法向量所張的立體角為4pi,則不管我們怎麼亂壓這個球,擠壓會產生正曲率,但也同時產生負曲率(如圖上的綠箭頭),它們互相對消,所以最後那些法向量所張的立體角總和仍會保持4pi,除非我們把球壓出一個洞來。從下圖可以看出,一個洞的產生,等於二個負曲率的半圓相消,所以應該會減少4pi的立體角。這就是所謂的Gauss-Bonnet定理:
     
    S 曲率 dA = 4pi*(1-洞數)

     
    同樣的,我們要問Gauss-Bonnet定理可不可以再往高維空間推廣?往高維推廣的一個主要障礙是因為曲率微分形式是2維的,在高維曲面上就不能直接對曲率積分,而是要積它的多項式。數學家從規範不變的理論下找到了這些多項式,它可以由對Det(tI+iW/2pi)展開後,求各階t的係數而得。這各階的曲率形式的多項式被稱為其纖維叢的特徵類。我所知的特徵類推導都是從代數拓擈方面而來,所以沒法在這裡用三言二語說明白,所以先暫時打住。
    窮人的微分幾何7 Stoke定理與微分形式




     
    學過微積分的人都知道微積分基本定理,它說:一個函數的微分的積分,等於這個函數(加上一個常數)。寫成方程式就是F=SdF(這裡S是積分符號)。基本上這個公式好像沒講什麼,它只是說一個函數等於它自已細切的和。用圖形比較好說明,如果F是面積的話,那我們可以把它細切成dFF就是dF加在一起,這就是所謂的積分,這裡dF顯然就是f乘上dx,而fFdx的改變量,也就是F的微分。真正來講,積分的值應該等於F(b)-F(a)。我們可以把F(x)想成是從某一固定點開始算到x的面積,則在線段ab上的積分,就是F(b)-F(a)
    這個想法其實可以推廣到高維空間去,我在旁邊畫了一個二維的情況。對一個定義在xy平面上的函數F,我們也可以細切成dF,從而有F(a)-F(b)=SdF的公式。只是現在的ab被二維圖形的邊界取代。要得到這個推廣公式,只要作到二件事,一個就是找出dF的定義,另一個是找出F在邊界上的取值方法。

    我們要找的dF,就是所謂的微分形式。從前面我們可以看出它應該有幾個特性:
    1 它應該是某種微分,才會產生正確的面積公式。
    2 它有維度,不同維度的面積要配上不同階的微分形式。
    3 它的產生方式應該不要產生出dxdx這類項,同變數無法積分二次。
     
    數學家找到了可以滿足以上特性的dF產生方法:
    1 如果F是一個普通函數,則dF=dF/dx dx + dF/dy dy + .  這裡的dF/dxFx的偏微分
    2 如果F=Wdx,W可能是函數,也可能是一個微分形式,則dF= dW ^ dx。這裡定出一個微分形式的外積^,它有反對稱的特點 dx^dy= -dy^dx
     
    至於在邊界的取值方法,從圖上可以看出一個大概,就是面的邊是線,線的邊是點,然後我們要把它加上一些正負號。至於如何取在線段上的值,就是所謂的Stoke定理,它說F在邊界的取值方法,就是F在邊界作積分。公式如下

     
    其中dM指的是M的邊界。我們可以說Stoke定理是微積分基本定理在高階的推廣,也可以說微積分基本定理是Stoke在一維的特例。這個定理,很巧妙的連接了拓擈上面的邊界運算與分析上的微分運算。它告訴我們一些流形的拓擈特性,和流形上的微分形式會有所關聯,從而打開了微分形式在拓擈學上應用的大門。
     
    一個有趣的結果,就是任何微分形式作二次d運算後會變成0ddF=0。代入Stoke定理,我們得到任何空間作二次邊界運算後也會變成0。就是俗稱的「邊界的邊界是零」。

    Riemannian曲率張量 經線是會相交於南北極的, 經線的切向量是互相平行的,則這些平行線是會相交的

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    200708052020窮人的微分幾何1 什麼是平行



    平行似乎是一個很簡單的直覺,任何人都可以很容易的畫出二條平行線。國中所教的幾何學是所謂的歐氏幾何。在歐氏幾何的幾個公設裡有一個是平行線公設,它說:
    在直線外的任何一點上,必唯一存在一條平行線,它不會與原直線相交。
    中古世紀的數學家,有很多人覺得這不應該是一個公設,而應該是一個定理,可以從其他的公設推出來,可是他們花了極多的力氣,還是無法提出証明,最後不得不承認它是一個必需存在的公設。
    如果沒了這個公設,就會出現非歐幾何,在非歐幾何裡,經過線外一點,可以有很多條平行線,也可以沒半條。這聽起來很奇怪,但事實上是很正常的。一個明顯的例子,就是地球與世界地圖的關係。
    在世界地圖上有經緯線,這些經緯線在地圖上是互相平行的。但在地球儀上面看,經線是會相交於南北極的。如果我們承認經線的切向量是互相平行的,則這些平行線是會相交的!更奇怪的是緯線,緯線在地圖上看起來是平行線,但所有的緯線,除了赤道之外,都不是大圓。在地球表面上,二點間最短的線段,會是一個以地心為中心點的圓弧,這個圓弧所在的圓,被稱為大圓。由於大圓是由二個間最短的距離所定義出來,它在某種意義上相當於平面幾何裡的直線。所以我們通常認為大圓上的切向量,是互相平行的。猶如直線上的切向量都互相平行一樣。事實上,找一條通過台灣的大圓畫在世界地圖上,首先我們會發現這個大圓會跟赤道相交。再來我們會發現,在世界地圖上,這個大圓的切向量,跟亦道的切向量不平行!
    現在你會發現平行不再是個簡單的直覺了。從上面這個例子,我們可以發現,在世界地圖上平行的線,並不是真的平行線,而真的平行線,在世界地圖上,反而會指向看起來不平行的方向。這現像發生在所有非平面地形的地圖上,假設我們在地圖的一點上有一個向量,我們要問正另一點上,與這個向量平行的方向會是那個方向?答案是任何方向都有可能。要看原來的地形跟地圖製作的方法而定。
    如果我們在地圖上每一點都給一組座標向量(e1,e2,..en),我們自然會問從一點移動到旁邊很接近的一點時,原來點上e1平行的向量會轉動多少?它可以寫成

    de1=w1jej

    de1e1作平移的轉變量,ej是座標向量,wijei的平移轉動在ej軸上的投影量。由於平移發生在無窮接近的二點,wij是一個無窮小量,事實上,它是一個微分形式,一般稱為聯絡(connection)。以後會說明,從wij我們就可以決定這地形的曲率。我們可以把wij分解成座標無窮小量dx的線性組合

    wij=Gijk dxk

    Gijk就是所謂的克里斯多符號。以上公式內的ijk都是座標指標,而且使用愛氏求和習慣。




    窮人的微分幾何2 曲率張量


    對聯絡的定義式,再作一次微分

    D(dei)=d(wijej)=d(wij)ej+wij(dej)
    =d(wij)ej+wij(wjkek)
    =(dwij+winwnj)ej
    =Wijej

    其中Wij=dwij+wikwkj
    就是為曲率微分形式,它的幾何意思也可從它的定義式

    Ddei=Wijej

    看出來。是ei的二次微分在ej分向的投影量。
    Wij是一個二次微分形式,把它用dxdy分解出來可得

    Wij=Rijkldxkdxl
    Rijkl就是一般的Riemannian曲率張量。因為它有四個指標,所以通常不太容易了解它的幾何意義。下面是我能想到的幾種說明:

    1 Rijklei平移差的k分量在l方向的微分後,在j方向產生的投影量。
    2 Rijkleikl作平移微分後的j方向分量。
    3 RijklWijdxkdxl的展開係數。

    由於微分形式的反對稱,所以


    Rijlk = - Rijlkl
    Riemann幾何而言,d(ei. ej) =0可導出 dei.ej=-dej.ei,或是wij = - wji,因此

    Rijlk = - Rjilk

     張量之指標間可以收縮,如矩陣之求trace,但ijlk之間為反對稱,其收縮為0。故對Riemanian張量而言,我們只能收縮ijlk二組間之指標,對ik求收縮,得

    Rjl=Rijli

    Ricci張量。愛因斯坦廣義相對論中之無物質之場方程式即為 Rjl=0


    窮人的微分幾何3 扭量、協變微分、李括號



     
    這張圖是我的得意之作,它把微分幾何的這三個量用圖表示出來。

    微分幾何探討的都是變曲的空間,而我們要用平面來表示它,唯一的方法,就是把區域縮成無窮小,這時曲面的作用就看不太出來。所以在這張圖裡面,所有的量都是無窮小的,我們可以假設它們都被乘上一個無窮小的參數dt

    協變微分DxY是將向量場YX方向作微分,但微分的動作不是Y(x+dx)-Y(x) /dx,而是Y(x+dx)-Y(平移) /dx,如圖上的紫色小箭頭所示。同理有DyX

    李括號 [X,Y] = XY-YX ,用分量表示就是 x dy/dx y dx/dy,就是先X向前一步,再Y向前一步,與先Y向前一步,再X向前一步之差,如圖中所示,X向量場與Y向量場在無窮小區間內,所形成的四邊形的缺口,就是[X,Y]

    扭量(Torsion)的定義為
    T(X,Y)=DxY-DyX-[X,Y]
    依照這個定義,我們可以發現它就是圖上的綠色小箭頭。它還有一個更簡單的幾何意思,把X,Y二個向量沿著對方互相作一個小平移,應該會形成一個平行四邊形,如果這個平行四邊形有缺口,這缺口的量就是扭量。

    在扭量的定義中,若令X=ei, Y=ej,則因[ei,ej]=0T(i,j)=(Gijk-Gikj)dxk,故扭量為0之情況下,則Gijk之後二指標為對稱。這也是扭量為0的充分必要條件。



    窮人的微分幾何4 度規張量跟黎曼幾何


     
    在前面我們討論平行的時候,都沒有談到向量的交角跟大小與平行的關係,因為與平面幾何的相法不同,事實上在廣義的幾何裡,平行跟交角這二個概念是互不相關的。向量的大小與交角,就是所謂的內積,可以由定義一個度規張量而得:
     
    gij=ei.ej
     
    對上式作d運算,可得
     
    D(gij)=dei.ej+ei.dej=wij+wji
     
    注意其實ei.ei=gii,但giigjj的作用是改變ij指標的上下位置,所以這裡的wij跟前面的wij指標位置略有不同,ij二個指標都是下指標。
    wij分解成Gijkdxk,再把dxk移到左邊當微分算子的分母,可得
     
     Dgij/dxk=Gijk+Gjik
     
    所謂的黎曼幾何,就是假設平行聯絡與gij可以相容,而且空間扭量為0
    假設空間是torsion free(扭量為0), 再把上式對gik, gjk重寫一次,就可以發現
     
    Gijk=(dgij/dxk+dgik/dxj-dgjk/dxi)/2
     
    克里斯多符號可以由gij的微分唯一決定!
    空間度規gij決定GijkGijk決定曲率張量Rijkl。這是黎曼幾何的特點。
    窮人的微分幾何5 座標變換與規範理論



    假設我們已經在曲面上的每一點定出一組座標ei,及它的聯絡 dei=wijej
    座標軸的選定是很隨意的事情,我們可以選任何方向當我們的座標軸,假設我們現在換到另一組座標上面去Ei=Tijej,我們要問原來的聯絡會變成什麼樣子。
     
    dE=d(Te)=dTe+Tde=(dT+Tw)e=(dT+Tw)/ T E=WE
     
    或是 W= Tw/T+ dT/T
     
    這是座標變換下的聯絡變換方式,事實上,如果每一點的座標向量並不是空間的切向量,而是一組(規範空間中)滿足某種特定座標轉換群的向量,則上式就是所謂的規範轉換。此聯絡所定出的曲率張量則滿足一般的張量轉換公式:
     
    F=dW+W^W=T(dw+w^w)/ T
     
    對規範場而言,例如電磁場,w這個聯絡就是電磁學中之向量位能A,而電磁學中的規範轉換
     
    A=A+df
     
    就是聯絡變換化簡後的樣子
     
    A= TA/T+ dT/T=A T/T + dT/T =A+df
     
    而其曲率張量F,就是電磁學中之電場E與磁場B
    從量子力學的眼光來看,規範變換來自於波函數相角的選定。我們可以想像在每一個空間點上,有一個圓形的相角空間,而波函數在這個空間中選定了一個方向做相角的零點。不同點上零點的位置會不同,其由來可能因為座標的選定,也可能因為規範空間的彎曲,選定各零點間的相對位置也就是設定了一組聯絡。當粒子受到電磁場而在空間中轉向,可以想成是在規範空間中經過一個彎曲的地形而導至的轉向。利用這種方式,我們可以把所有的作用力場(強、弱、電磁、重力),都當成是規範空間裡的曲率來處理。