Thursday, July 30, 2015

我們只是用數學的定理給我們一個物理的intuition,幫助我們相信其實我們在定義空間的時候並不一定需要考慮一個點所形成的集合的空間,我們可以考慮非交換的空間,只是這樣子。那麼空間到底是什麼,就要看哪一個理論在你所考慮的問題裡面最方便,那它的空間有可能是非交換的,有可能是一般的點的集合,有可能是這個空間,有可能是那個空間。所以並沒有說我們的空間特別一定要是這樣子。

我們只是用數學的定理給我們一個物理的intuition,幫助我們相信其實我們在定義空間的時候並不一定需要考慮一個點所形成的集合的空間,我們可以考慮非交換的空間,只是這樣子。那麼空間到底是什麼,就要看哪一個理論在你所考慮的問題裡面最方便,那它的空間有可能是非交換的,有可能是一般的點的集合,有可能是這個空間,有可能是那個空間。所以並沒有說我們的空間特別一定要是這樣子。


【分享】高阶物理资料文章之二量子引力对话录(全篇) - 深藍論壇

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2005年7月6日 - 事实上, 二十世纪七十年代出现于弦论Raymond 模型中的世界面超 ...... 這個最短距離的線的話,要沿著測地線走的話呢,那它也是會走一個彎曲的路徑。 .... 餘弦函數的疊加,其中的每一個正弦或餘弦函數呢,它對應到的動量或者是 ...

光子的世界線恆為類光測地線,其線長恆為零,即其標準鐘的測時(也叫固有時)恆為零,通俗來講就是光子自身的時間是不流逝的

標準鐘 - 頁數[1] - 世界百科知識

tw.swewe.net/word_show.htm/?34511_1&標準鐘
其定義:若一個鍾世界線上兩點的時間間隔恆等於其兩點的世界線長,則這個鐘為 ... 光子的世界線恆為類光測地線,其線長恆為零,即其標準鐘的測時(也叫固有時)恆 .
 
 

標準鐘 - 頁數[1] - 世界百科知識

tw.swewe.net/word_show.htm/?34511_1&標準鐘
特別的,光子的世界線恆為類光測地線,其線長恆為零,即其標準鐘的測時(也叫固有時)恆為零,通俗來講就是光子自身的時間是不流逝的。 定義補充 1.由於相對論中 ...
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測地線運動方程式就相當於決定電荷在電磁場中運動行為的「羅倫茲力」(Lorentz force)。最後,類比於由麥克斯威爾方程式推出電磁波,在廣義相對論的架構之下發現時變性重力場會輻射出「重力波」(Gravitational wave)也就不足為奇了。

測地線運動方程式就相當於決定電荷在電磁場中運動行為的「羅倫茲力」(Lorentz force)。最後,類比於由麥克斯威爾方程式推出電磁波,在廣義相對論的架構之下發現時變性重力場會輻射出「重力波」(Gravitational wave)也就不足為奇了。

[PDF]弦論簡史
attach3.bdwm.net/.../A_popular_historical_aspect_of_string_theory.TC.p...
個變分原理說,連結時空兩點的粒子軌跡使得總的粒子的固有時成為極大- 粒子的 ... 子如光子在引力場中的測地線也是彎曲的,儘管光的固有時總是為零,測地線的變 ...


這是我過去在部落格貼過的文章, 但我想讓新朋友也能看到, 所以把它重貼在這, 看看反應如何. 希望新朋友們喜歡.
相對論的滋味:一個相對論自學者的經驗分享
接觸相對論至今已快三十年了,雖然不是以研究相對論為業,但我熱愛這個理論。其實從一開始,我就被迷惑了。它的基本假設看來自相矛盾,它的推論像極了科幻故事,而介紹這個理論的書卻宣稱這個理論是對的,其假設有實驗根據,而其推論也經得起實驗的檢驗。我花了許多年的青春歲月,克服了許多心理障礙,才完全弄清楚其中的奧妙,理解了何以它是合理而不矛盾的。每當我重新思索這個理論,都還是像剛弄懂它時一樣,覺得妙不可言。雖然量子力學也很神奇,甚至像理察 • 費曼(Richard P. Feynman)這麼聰明的物理學家都說「沒有人懂量子力學」,但依據我個人的體驗,相對論激起的思想火花與情緒漣漪更加明顯與持久。
究竟是什麼原因使得相對論如此的迷人,又如此的令人困惑?又是什麼原因,使得這個原本跟宗教、玄學、幽浮(UFO)八桿子打不著的科學理論,被這些領域的研究者大量引用其中的專門術語,像是「時空」(Space-time)、「磁場」(Magnetic field)、「能量」(Energy)、「以太」(Ether)等,卻因誤解(與不解)而賦予其完全不同的意義(或無意義)?或許是相對論討論了許多一般人自以為瞭解的東西,像「空間」、「時間」、「運動」、「速度」等等,卻以邏輯與數學推理引導出完全出乎我們意料之外的神奇結論!
出於理解程度的差異,不同的人士在引用相對論的結論時總不免穿鑿附會,以自己的理解(或誤解)去詮釋其中的意義;有的有趣而高明,有的失焦而離譜。按照我的個人經驗,除非我們的頭腦對上述幾個名詞的舊概念被徹底拋棄並重建,否則沒辦法真正弄懂相對論。想像你的頭腦是個電腦,那麼這個重建過程就像是重灌作業系統。它也很像是從二維圖形中看出3D立體圖形,你必須改變平常看圖的方式(比如將視線交叉點移到圖形的後方),才有機會看得到。為了跟大家分享我個人頭腦被重灌的經驗,以下介紹我學習相對論的心路歷程,希望能給想親身體驗相對論滋味的人一些參考與啟發。
讀國中一年級時,有一天我的一位王姓同學帶了一本「相對論入門」(原始書名是The universe and Dr. Einstein)到學校,那本書的作者是巴涅特(Lincoln Barnett),由香港的今日世界出版社出版。我特別感興趣的是書背的封面上說「全世界懂得相對論的人只有兩個半」。當時我心裡想﹕這訊息對我而言它太重要了,我不能被挑戰,我一定要瞭解這個理論!在我少不更事的小小腦袋瓜裡,成為「大科學家」與「天才」是人生中最重要的事,因為唯有成為這兩者,才能解開「百慕達三角」、「美國海軍的費城實驗」、「幽浮」、「金字塔」、「亞特蘭提斯古文明」與「尼斯胡水怪」之謎,滿足我無止境的好奇心。
聽起來不怎麼科學是不是?沒有錯,一開始的動機確實如此,但在那個對於求知有無比熱情的年輕歲月裡,我真的沒什麼能力去判斷什麼是科學,什麼是科幻,什麼又是玄學。我只有一個堅持:我想知道所有能知道的,而且要學習科學家獨自發現答案的方法。就是這個堅持,引導我從國中開始自學相對論,而對於學校的功課,我只求應付過去。這麼做雖然有點冒險,但是回報卻是珍貴的:我不以功利的方式看待任何學問,因而得以品嘗學問真實的滋味。
在我跟王同學苦苦哀求後,他答應將書借給我三天,但再三警告我那是他爸爸的寶貝,千萬不能弄髒或摺疊。我小心翼翼的將書帶回家,好像在跟時間賽跑似的,以朝聖的心情努力不懈地讀了三天(大部分是蹲在地上讀的,這樣比較能夠專心),而且真的把它讀完了。從其中我認識了科學家曾經努力尋找,後來又拋棄了的「以太」;將以太判處死刑的「麥可生―莫雷實驗」;用以說明時間相對性的「火車內外的觀察者」;令科學家困惑的「光波―光量子」二重性;用以說明「等效原裡」的「升降機內外的觀察者」;由等效原理得出的「光線在重力場中的彎曲」;1919年的「日蝕實驗」;時間與空間結合而形成的「時空」;我們生存於其中的「彎曲的四維時空」;「有限卻無界的宇宙」;質能公式 與原子彈的關係;以及偉大卻沒有成功,意圖統一重力場與電磁場的「統一場論」。
由於時間太短,基礎知識又有限,我無法好好思考並全面瞭解書中的內容,然而我認識到這些神秘又令人驚奇的現象幾乎都與光有關,因此關鍵似乎是要了解光的古怪脾氣。我也發現這些聲稱可以用數學方法描述的「質量造成時空彎曲」之類的事物比起我從前嘗試過,卻從沒成功過的「以超能力彎曲湯匙」有趣而深奧多了,而且還是被人尊敬的學問!我的注意力因此漸漸轉向了理論物理,並時常夢想做個理論物理學家,像愛因斯坦那樣,解開宇宙之謎。我對自己發誓:一定要弄懂相對論。
一場大規模、長時間的學習活動就此展開。在讀過「相對論入門」之後的十年裡,我努力學習每一樣與相對論或愛因斯坦有關的事物。尤其是在讀高中的那段期間,學校圖書館中的每一本相對論相關書籍我都沒有錯過。我也在大學時代讀愛因斯坦的原始論文的中譯版,發現十分清楚明瞭。在這一連串的學習過程中,對我影響最大的,是愛因斯坦與英費爾德(Leopold Infeld)合著的《物理學的進化》(The evolution of physics)―它是我的物理啟蒙書(而不僅僅是相對論啟蒙書)。我對相對論的「非數學式」理解,幾乎全是由這本書來的。在國二上學期我買到這本書,每天晚上睡覺前讀一節(很幸運的,我沒有補習,晚上9:30就可以睡覺),然後把書放到枕頭下,想像在睡夢中知識會流入我的腦中(還是這麼不科學!)。
事情進行得很順利,當書上談到要拋棄「以太」與「絕對座標系」的時候,我毫不遲疑地同意了。然後,作者將讀者一步步引導至狹義相對論的兩大假設:第一個是「在所有慣性座標系中,真空中的光速都是相同的,與光源的運動無關」,第二個是「在所有的慣性座標系中,物理定律的形式都是相同的」。對於這兩個假設,我覺得可接受,畢竟作者已經交代過它們的實驗與邏輯基礎了,難道還會有錯嗎?一直讀到「運動的直尺會縮短」我都還覺得OK。然而,當我進一步讀到「運動的時鐘會變慢」時,終於因受不了而失眠了。我問自己:時鐘變慢是什麼意思?刻度是變大還是變小?是我覺得別人的時鐘慢了,還是別人覺得我的時鐘慢了?還是我們都覺得對方的時鐘慢了?時鐘跟時間是一回事嗎?我感覺得到嗎?愛因斯坦為什麼這麼大膽,能在不管時鐘的動力是電子式或發條式的情況下就能判斷它會因運動而變慢?等一等,你比我慢,我就應該比你快,怎麼會我也比你慢呢?
那天晚上時鐘在我的頭腦裡不停地作怪,整個腦袋像是要爆炸了,充滿了所有可能的問號,卻沒有任何一個問題的答案能夠安安靜靜地確定下來,好像每一件事都自相矛盾。可惡的是,牆上掛鐘的滴答聲是如此的清晰而規律,好像在嘲笑我的駑鈍。就在我覺得自己快要發瘋的時候,靈光一閃,關鍵找到了!我終於發現時鐘變慢指的是一個運動中的「單一時鐘的時間刻度讀數差」(後來我學到它的專業術語叫做「固有時」或「原時」,Proper time)比先後經過的兩個「不同地點的時鐘的時間刻度讀數差」(專業術語:「座標時」,Coordinate time)來得少。我滿意地看了看時鐘,大約清晨五點半。雖然很累,但我很得意。在起床上學前,我覺得自己又向天才之路邁進了一步。
這一次難忘的經驗就是我自學相對論的過程中所遭遇過的最大困難。在這之後雖也有許多困難,像為了理解「四維時空」與「曲率張量」必須學習許多數學等等,但大都屬於「量」的方面,並未在「質」上超越這一次的經驗。如果我沒誤解的話,這一次的經驗在很多方面類似於禪宗裡的「頓悟」。我有一個很深刻的體會:我並不是因為知道的不夠多而不懂,而是因為知道太多而不懂。當我終於把我自以為懂得的時間及空間概念全拋棄之後,一切都變得清晰而簡單。
有了這一次的經驗之後,我在接受廣義相對論的概念時便很能心領神會,好像打通了任督二脈。我後來學到了廣義相對論的兩個基本假設是「廣義協變原理」與「等效原理」。其中「廣義協變原理」說「物理定律在任意座標系中都具有相同的形式」。我理解到這是一個將座標系的選擇「民主化」的嘗試,它的「民主化」程度遠遠超過了狹義相對論中的「物理定律在所有慣性座標系中都具有相同的形式」。同時,它也是要徹底拋棄「絕對空間」概念必不可少的選擇,在我看來是再自然不過了。而「等效原理」則說在一個夠小的時間與空間範圍內,存在「局部慣性系」,它是一個「自由落體」座標系,在其中的人感覺不到任何重力(重力被「抵銷」了!)。既然如此,它應該跟慣性座標系一樣,物理定律在其中必須符合狹義相對論。我從其中理解到自然重力(因質量產生)與人工重力(因加速產生)的不可區分性。這一點與電磁學很像:電荷產生的電場與電磁感應產生的電場都是電場,在影響電荷的運動方面沒有差別。
在很多年後我才弄懂廣義相對論的另一推論「質量造成時空的彎曲」,主要是在同時看了方勵之教授所寫的科普小書《從牛頓定律到愛因斯坦相對論》與狄拉克(P.A.M. Dirac)教授所寫的《廣義相對論》之後才懂的。其實在《物理學的進化》裡就已經提到了「巨大的旋轉圓盤」的假想實驗,而這已足夠說明一般狀況下重力場會造成時空的彎曲,但轉盤畢竟不是一般的空間,而旋轉產生的重力場也與質量產生的重力場很不像。我在狄拉克的書中瞭解到,在無曲率(Zero curvature)的空間中,「度規張量」(Metric tensor)一定可以取為常數;反之,若度規張量一定可以取為常數,亦即整個空間可使用同一組直角座標標定位置,則空間無曲率。將以上的「空間」改為「時空」,那麼無曲率的空間就是「閩可夫斯基空間」(Minkowski space),而「直角座標」就是「慣性座標系」。其實在閩可夫斯基空間中也可以使用曲線座標與節奏不均勻的時鐘標定物體的空間與時間座標,甚至可以選擇具有人工重力場的加速座標系,但這只是自找麻煩,這麼做是故意的,不是必要的,而人工重力場也可以經由座標轉換完全消除掉。在有質量存在的空間中就不同了。以地球為例,重力場指向地心,因此不是均勻的。不同的局部慣性系之間有無法消除掉的相對加速度(亦即潮汐力,Tidal force),因此無法單單用一個巨大的慣性座標系涵蓋整個物質空間。這就說明了空間是彎曲的。也就是說,非均勻重力場意味著空間是彎曲的。
瞭解了時空為何彎曲,以及「重力」的概念如何被幾何所取代後,質點的時空軌跡為何是測地線(Geodesics)就很明顯了,因為這只不過是一個「廣義的慣性定律」而已!更進一步,將牛頓的萬有引力定律比喻為庫倫定律(Coulomb’s law),那麼廣義相對論的重力場方程式就相當於描述電磁場如何於時空中變化的麥克斯威爾方程式(Maxwell‘s equations),而測地線運動方程式就相當於決定電荷在電磁場中運動行為的「羅倫茲力」(Lorentz force)。最後,類比於由麥克斯威爾方程式推出電磁波,在廣義相對論的架構之下發現時變性重力場會輻射出「重力波」(Gravitational wave)也就不足為奇了。
回顧年輕的成長歲月,我有幸能研究並瞭解像相對論這麼精巧而高明的理論,並從其中體會了許多讓我回味無窮的物理、心理與哲學的的道理,對我的人生觀產生了巨大的影響。有興趣學習相對論的朋友,你真的滿足於課本上那些冷冰冰的公式推導嗎?是否願意試試全方位的學習方式,遨遊宇宙,穿越時空,和愛因斯坦一起探索「上帝如何建造宇宙」。我相信這一定比出國旅遊更能帶給你難忘的滋味!

Hyperbolic function 参数t不是圆角而是双曲角,它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点(\cosh t\!, \sinh t\!)的直线之间的面积的两倍。

参数t不是圆而是双曲角,它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点(\cosh t\!, \sinh t\!)的直线之间的面积的两倍。

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B0

回复:讨论::由虚角三角函数说起,关于闵氏复时空的旋转变换

这不是钻牛角尖,所有的关系要用数学来说话。若数学的结果与物理意义有冲突,那肯定是不行的。
例如我说教材的那个画法不对,至少在物理意义上是不对的!it轴要顺时针转(对应于洛仑兹正变换),而不能逆时针转!因为逆时针转就表明带撇的参考系沿着x的负方向运动了!与正变换的约定不一致!!!这应该是起码的常识!

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  • 31楼
  • 2011-02-13 16:33
    看这个图:

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    • 32楼
    • 2011-02-13 17:04
      虚角三角函数完全符合闵氏度规的定义:
      这个式子就是二维复空间度规的等价表示cos²(iφ)+sin²(iφ)=1
      若cos( iφ)>∣sin( iφ)∣则为类空间隔
      cos( iφ)<∣sin( iφ)∣,则为类时间隔
      (注:cosiφ是大于等于1的实数)

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      • 33楼
      • 2011-02-13 17:16
        采用虚参数三角函数能够准确诠释洛仑兹变换,还有一个令人十分兴奋的结果:
        这就是,若旋转角iφ的φ趋于无穷的的话,x轴与it轴都将趋于光的世界线!!!
        也就是,若φ趋于无穷大,tan(iφ)趋于i,即:∣tan( iφ)∣趋于1,即光速c!

        这也说明复空间的旋转变换的校准线是双曲线,光就是双曲线的渐近线!!!
        这正是洛仑兹旋转变换的本意!!得到这个结果你不感到荡气回肠吗?

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        • 34楼
        • 2011-02-13 17:25
          32楼一个函数中的负号没写改过:

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          • 35楼
          • 2011-02-13 17:39
            从数学上说:
            虚参数三角函数和实参数双曲函数有着对应关系,即虚参数三角函数可以和双曲线对应起来;
            而虚参数双曲函数和实角三角函数有着对应关系,即虚参数双曲函数可以和园对应起来。

            若是洛仑兹变换可以写成虚参数双曲函数,那洛仑兹变换就可以是园旋转不变的,可惜不能!
            但是恰恰洛仑兹变换可以写成虚参数三角函数,所以,洛仑兹变换是双曲旋转不变的,无论是写成实形式还是复形式!

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            • 36楼
            • 2011-02-13 17:54
              前面有朋友说,复时空下的旋转角的几何意义不明显。这句话显然是结论下得早了点。
              其实闵氏复时空下旋转变换的旋转虚角度,其几何意义是十分明显和确定的。除了前面给出的具体例子,这个虚角度可以由正交的三角形的变长(由间隔来度量,要区分类时与类空)来定义,而且,这个虚角实际也是一种“弧度”,即用单位双曲线的线长s来度量。这与欧氏几何下的单位园的弧长与角度的对应关系完全一样。
              下面就给出这个证明。
              我们用了一个单位双曲线来考察这个问题,当然对于一般结果也是对的。这个结果还有一个意义,就是可以对匀加速粒子的世界线积分,即求得它的原时。这个原时是类时间隔的线长,所以积出的结果应该是一个虚数。

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              • 37楼
              • 2011-02-13 19:11
                这个结果也说明,闵氏复时空能够严格地诠释洛仑兹变换的物理意义,而且比实时空要严密的多。

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                • 38楼
                • 2011-02-13 19:14
                  35楼给出it轴的旋转时,将虚角改成负的虚角,显然这是恒等变换。没有什么不同。
                  当然你也可以写成正的虚角的形式,例如一般教材给出的那样,例如这样写:
                  x'1=x1cos(iφ)+x4sin(iφ)
                  x4=it,c=1

                  即便是写成这种形式,可以具体代入数值,采用描点画图法,画出it'轴,结果是一样的!有兴趣的朋友不妨试试。
                  但是it'轴的旋转写成负虚数的形式更能体现其几何意义,这个对照前面给出的图,我想朋友们会自己得出结论。




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                  • 39楼
                  • 2011-02-13 19:24
                    顺便在这个帖子下对坂上中微子先生在理论物理吧的以下观点提出不同意见:
                    坂上中微子认为:

                    但是时间和空间的属性毕竟是完全不同的,怎么办呢?闵可夫斯基很聪明,他在ct前乘上了一个虚数单位i,变成了复四维时空,以此来表明,时间和空间仍然是不同的!然后,大家在这个基础上又引入了一系列四维量,魔术似乎就变得成功了。
                    但是这为什么只是个魔术呢?因为这种处理方法并没有体现时间的本质。试想,如果我不让ct与i相乘,而改用空间坐标x,y,z与i相乘,变成(ix,iy,iz,ct),这套坐标不是一样能描述四维运动吗?显然能,而且功能与闵氏复四维时空完全相同,但这里却变成了时间可逆,空间反倒变得不可逆了,这干脆就不符合观测事实,显然是荒谬的,所以复四维时空的荒谬之处就显现出来了。

                    通过上面我们讨论复时空的旋转变换,可以看出坂上中微子先生的以上议论是毫无道理的。复四维也好,实四维也好,没有什么不同!复四维只是一种数学技巧,而且复四维时空的表达能够更严格地讨论四维间隔这个概念,与时间是不是可逆没有任何关系!!!

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                    • 40楼
                    • 2011-02-13 19:31
                      两种数学上完全等价的描述,哪有什么谁更严格的问题。

                      回复
                      • 41楼
                      • 2011-02-13 21:18
                        两种数学上完全等价的描述,哪有什么谁更严格的问题。
                        ++++++++++++++++++++++++++++++++
                        嗯,至少能承认是等价的描述,那就是说,实数形式与复数形式的数学表达是等效的。即,意味着既然实时空是双曲旋转不变的,那复时空就也是双曲旋转不变的。也就是说,顶楼给出的书上给出的图示是错的。是不是呢?

                        更严格是指的复时空可以完全放心的对线,直线和曲线进行积分,类时的积出个虚数,类空积出个实数。
                        在实时空,会出现线积分为虚数,不是很不严格吗?

                        回复
                        • 42楼
                        • 2011-02-13 22:05
                          欧氏空间双曲角的几何意义是这张图上的意义。
                          而闵氏复时空的几何意义似乎是专门为洛仑兹变换而产生的!真是让人激动的结果。呵呵。
                          大家可以对比一下两种几何意义。

                          回复
                          • 43楼
                          • 2011-02-13 22:15
                            这是wiki上给出的欧氏几何下双曲函数的几何意义的图示。

                            回复
                            • 44楼
                            • 2011-02-13 22:17
                              双曲函数在洛仑兹变换下找到了娘家,数学有时非常神奇!呵呵。

                              回复
                              • 45楼
                              • 2011-02-13 22:20
                                读过此书,觉得这样导出洛伦茨变换很帅。。。但是先入为主的先假定运动就是时空的旋转来推导对初学者总会觉得不明所以吧。。。(初学者在此。。

                                回复
                                • 46楼
                                • 2011-02-13 23:02
                                  压坟

                                  回复
                                  • 48楼
                                  • 2014-05-11 21:45

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                                    • 49楼
                                    • 2014-05-12 19:16
                                      虽然是坟,但确实忍不住说几句。所谓虚参数三角函数在这里根本就没有任何必要。如果你的数学足够好,你应该会知道Lorentz群和正交几何。Lorentz变换不过是一般正交几何里面的一个特殊的小问题而已,有双曲函数的表示方法也完全不奇怪。总合起来,还是数学学得太少。

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                                      • 50楼
                                      • 2014-05-13 00:06
                                        • huangxianmin谢谢你的教导 我数学确实不好。关于用虚角三角函数,在刘辽的《狭义相对论》一书中也有专门的介绍。见此书第二版 科学出版社 2008年7月 第70页至72页。
                                          2014-5-14 01:37回复
                                        • 我也说一句 
                                        这是一个坟贴,被顶起来了。11年我贴出这个帖子时,赞成者不多,批评者不少。3年多过去了,再看到这个帖子,还是有颇多的感触。
                                        本吧有很多屋里专业的学生和先进者,对于主流教科书中的批评,往往不大能得到鼓励与支持。有朋友往往会凭着本能对批评者的意见给予反驳。但是,这些朋友也许并没有认真的读一读批评者的意见。
                                        洛伦兹变换是一种非欧几何下的“特殊”的旋转变换,可以用双曲函数来描述,也可以用虚角三角函数来表述。
                                        这个并不是我的发明,在权威的著作中,就有用双曲函数或虚角三角函数来讨论洛伦兹变换的。例如刘辽的《狭义相对论》第二版。
                                        下面的图就是刘辽《狭义相对论》第二版中的相关页面:


                                        刘辽教授这一节的解析论述是不错的,但是此页图13.1(b)复闵氏空间的旋转变换却是没有道理的!或者说是完全错误的!
                                        这一错误,也反映在本贴提到的赵展岳的《相对论导引》一书中。
                                        本人作为爱好者,或者说是“民科”在我的一本无知无畏的作品《闵氏几何与狭义相对论》中,对这个问题做了详细的讨论,并对权威意见提出了批评。
                                        我的这种批评当然欢迎得到反批评,好在我没有什么负担,一个爱好者而已。

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                                        • 51楼
                                        • 2014-05-14 22:36
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                                          • 2014-05-15 00:29
                                            之所以引入复数形式,我认为根本原因还是闵氏度规,时间项是负号,这样在类时区域内的世界线线长d²s<0 → ds用i表示那就十分自然了