归一的波函数表示在全空间找到粒子的概率为一，不能归一表示发生了粒子的产生与湮没，这时要用相对论性的量子力学或者场论的语言来刻画！！
即使在初量范围内也存在不能规一的波函数，如平面波和delta函数，狄拉克对这种波函数如下理解：
It may be that the infinite length of the ket vectors corresponding to these eigenstates is connected with their unrealizability, and that all realizable states correspond to ket vectors that can be normalized and that form a Hilbert space.
对于这种波函数只有相对概率的意义，个人认为如果对量子力学的数学基础不做深究的话（数学上的严格性来自泛函分析的广义函数理论），狄拉克的说法是可以接受并很“物理”的~
事实上DIRCA所说的相对概率的意义在很多层面上意义是完全不同的，并且在几个方面引入数学手段来使研究时没有给出详细的讨论，所以请再详细的说一下：
1 因为相对概率没有给出数学表达，怎么讨论它的相对概率意义
2 此外也想请教下这里的相对概率具体是什么
Originally posted by x1night at 2009-6-10 11:56:
事实上DIRCA所说的相对概率的意义在很多层面上意义是完全不同的，并且在几个方面引入数学手段来使研究时没有给出详细的讨论，所以请再详细的说一下：
1 因为相对概率没有给出数学表达，怎么讨论它的相对概率意 ...
1.“事实上DIRCA所说的相对概率的意义在很多层面上意义是完全不同的”，在哪些意义上不同了？
2.相对概率就是波函数模方的比值，怎么没有数学定义了？
3.在波函数可以归一化的情况下重要的还是相对概率吧，归一化不过在前面乘了一个常数因子。
首先是相对概率的数值有些是没有的，像dirac的delta函数是少数几种可以特殊归一的例子
另外在我们引入动量空间的时候的收敛准则是切萨罗收敛，已经不是普通的叠加表达式
最后是某些特殊的函数，实际上如果直接取平方模的话，是无穷小，这一点一直不知道算不算波函数……
对于二楼的回答，事实上我说的并不涉及到几率流守恒的问题，抱歉
Originally posted by x1night at 2009-6-10 14:18:
首先是相对概率的数值有些是没有的，像dirac的delta函数是少数几种可以特殊归一的例子
另外在我们引入动量空间的时候的收敛准则是切萨罗收敛，已经不是普通的叠加表达式
最后是某些特殊的函数，实际上如果直接取 ...
“首先是相对概率的数值有些是没有的，像dirac的delta函数是少数几种可以特殊归一的例子”
如果视为级数，对于连续谱相对概率可以转化为比值极限形式，什么叫没有？举个例子吧~
“另外在我们引入动量空间的时候的收敛准则是切萨罗收敛，已经不是普通的叠加表达式”
什么叫普通叠加表达式？感觉你说的就是箱归一化，此时将动量视为分立的才会出现发散级数求和问题。而对于连续谱用得更多的是积分，积分也是叠加的一种。
这里所说的叠加是指在将动量空间的本征态用坐标空间表示时，不再能采用一般的黎曼收敛准则，也就是不能讨论上下界，而只能改为切萨罗求和准则来判断收敛，这个时候与我们已开始说的态叠加的表达不符，而所说的动量分立并不需要涉及
另外你说要一个这样的例子，就例如超对称中的等谱势构造的时候，相互转化时归一化系数需要为无穷大，这就表明它的模非常小，这是一个例子，而另一种是对于无穷大的模的波函数，这个时候相对概率怎么体现概率的作用？
Originally posted by x1night at 2009-6-10 15:04:
这里所说的叠加是指在将动量空间的本征态用坐标空间表示时，不再能采用一般的黎曼收敛准则，也就是不能讨论上下界，而只能改为切萨罗求和准则来判断收敛，这个时候与我们已开始说的态叠加的表达不符，而所说的动量 ...
1.切萨罗求和准则是对级数说的，动量空间不是分立的，如果一定要这么做，就需要将动量分立化。否则，在动量连续谱中以积分的形式收敛于delta函数。另外，定义一下你说的"已开始说的态叠加的表达"，傅里叶积分也是叠加。
2.如果在两不同点模方都是无穷大，相对概率即为在模方趋于无穷时比值的极限，表式在两点出现的相对可能性大小；如果在某点为无穷而在其他点不是，比如delta函数，那就说明相对于其他点粒子更定域于该点。
Originally posted by x1night at 2009-6-10 11:56:
事实上DIRCA所说的相对概率的意义在很多层面上意义是完全不同的，并且在几个方面引入数学手段来使研究时没有给出详细的讨论，所以请再详细的说一下：
1 因为相对概率没有给出数学表达，怎么讨论它的相对概率意 ...
我赞同你的说法，当波函数不是束缚态的时候，所谓的相对概率没有啥意义。
当波函数不是束缚态的时候，相对概率就真的没有物理意义了吗？比如，在粒子的定态散射理论中空间各点的概率密度和平均概率流密度都不随时间而变，也正是如此，（当入射粒子源源不断射来时）实验上在远离散射中心的点的各个方向上才会探测到不同的粒子分布（微分散射截面是极角的函数）。这说明，对于散射态（非束缚态），相对概率还是有意义的。
现在很多人总是喜欢用数学来解释物理，不得不说这是一种本末倒置，是“党指挥枪，而不是枪指挥党”。
可以这么说，如果把物理顶级杂志PRL上的公式推导拿给搞数学的人看，大多数都会被decline。因为不能给出严格的数学证明。我看过的一篇理论文章，上面对某个哈密顿进行了4次正则变换，每一步推导和近似都是很有物理思想的，写的非常精彩，让人拍案叫绝。但是，很显然，这些东西在数学上是完全行不通的。
试图用数学去严格证明自然界是愚蠢的，正是大自然的种种例外和意外，才给了我们不断的惊喜。
早期许多物理与数学对同一问题推导时的冲突现在看来可以认为是源于函数概念的定义问题，这些冲突促使了函数概念的扩张，许多从分析的角度看来不可行的运算在广义函数理论来中都是严格的，我想现在的纯数学家也不会轻易否定物理学家的推导了~
对，这里说的就是傅立叶变换中的切萨罗求和性对于动量空间的应用，mozhui，你说的对于级数来说的问题，其实傅立叶积分就是一个级数，不具有什么分离动量空间的要求，而我的问题就在于这里的切萨罗求和性作为归一时就不具有一般几率的意义
另外希望能详细说下，如果一个处处模为无穷小的波函数，还是不是 波函数，谢谢
Originally posted by x1night at 2009-6-10 21:50:
对，这里说的就是傅立叶变换中的切萨罗求和性对于动量空间的应用，mozhui，你说的对于级数来说的问题，其实傅立叶积分就是一个级数，不具有什么分离动量空间的要求，而我的问题就在于这里的切萨罗求和性作为归一时 ...
1.对于连续谱可以归一化为delta函数，一般的初量书都在形式上给出了这一关系，而这在广义函数理论中是严格的。
2."如果一个处处模为无穷小的波函数，还是不是 波函数，谢谢"
请给我一个例子和导出其的物理，随便构造的数学上可以存在的病态函数可能导致任何物理定律出现应用上的不足，但我们并不会因此否认物理定律的普适性。
首先你对于连续谱的问题只适用于同一个表象，而如果要将动量空间的一个波函数用薛定谔表象表示时就不是简单的delta函数了，而是一个傅立叶变换，这点希望你了解，我所谈论的是不在相同表象下的态叠加问题
另一个是在由一个波函数导出的等谱势情况下的波函数，如果我们假设可以归一，则归一系数会出现零分之一的奇点，这是不是意味着这个波函数不存在。
我个人感觉这不足以确定这个波函数不存在，但具体不知道该如何研究这个问题
Originally posted by x1night at 2009-6-11 11:33:
首先你对于连续谱的问题只适用于同一个表象，而如果要将动量空间的一个波函数用薛定谔表象表示时就不是简单的delta函数了，而是一个傅立叶变换，这点希望你了解，我所谈论的是不在相同表象下的态叠加问题
另一 ...
1.你所说的"薛定谔表象"指的是坐标表象吧？坐标表象到动量表象的变换是傅里叶变换没问题。态的叠加本身不涉及表象，但是你要把它数学表述出来自然要选取同一表象，"不在相同表象下的态叠加问题"是什么意思？
2.”另一个是在由一个波函数导出的等谱势情况下的波函数”
这个“波函数”相应的势函数并不是物理系统本身的势函数（伴侣势），要求其具有物理的波函数的归一性有什么意义？对于超对称量子力学不怎么了解，希望有做这方面工作的虫友来说说~
Originally posted by yzcluster at 2009-6-10 18:02:
当波函数不是束缚态的时候，相对概率就真的没有物理意义了吗？比如，在粒子的定态散射理论中空间各点的概率密度和平均概率流密度都不随时间而变，也正是如此，（当入射粒子源源不断射来时）实验上在远离散射中心的 ...
“相对概率”的说法给我的感觉不太有说服力，至少和束缚态的量子理论相比，差远了。
后者可以用几个假设（物质波假设、统计解释等等）直接推导出薛定谔方程、不确定原理。
前者似乎除了给人一些牵强的解释以外，似乎没啥用。
当然也可能是因为我没学过随机过程（建立在广义函数基础上的）吧，说不定按照随机过程的理论，这是解释得通的。
Originally posted by yzcluster at 2009-6-10 18:29:
可以这么说，如果把物理顶级杂志PRL上的公式推导拿给搞数学的人看，大多数都会被decline。因为不能给出严格的数学证明。我看过的一篇理论文章，上面对某个哈密顿进行了4次正则变换，每一步推导和近似都是很有物理 ...
倒不是说要求物理和数学一样严格。这是不可能的。
物理和数学应该不是完全割裂的。杨振宁曾经给出一个著名的数学和物理的关系曲线图。
意思就是：有时候数学走在前，有时候物理走在前。两者是有很密切的联系的。
像广义相对论，就是数学走在前面的例子。当然量子力学是反过来的。
当物理发展走在前面时，自然不能要求它的理论是严格的。
但是，量子力学已经不是很新的物理理论了。从上世纪20年代开始就已经产生。
这80左右的时间，数学物理早就有了很大的发展，还用形式逻辑来解释80年前的物理理论似乎有点过时了。
is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it. (See the examples below.) It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below.
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