Wednesday, August 1, 2012

2-point 相關函數為一般方程意義下的Green 函數

淺

Green
函數, 可驗證2-point 相關函數

談場量子化與低維拓樸

鄭
日新

隨著量
子力學的發展, 量子化後的物理

系
統恆為精密的實驗所支持, 而描述量子系

統
的“新”數學在某種意義下也推廣了舊有的

數
學。本文嘗試介紹若干低維拓樸理論與某

些場
量子化理論的關聯, 而“新”的精細拓樸

不
變量常可理解為有關場算子的n-“point”

相
關(correlation) 函數。我們將提到因為這

個
看法而導致研究方法改變的一個例子: 即

Donaldson
四維微分結構不變量的研究因

Seiberg-Witten
場論的看法主方程由瞬息

子
(instanton) 方程轉到較易處理的某種

單
極(monopole) 方程(現在叫Seiberg-

Witten
方程), 另外也提一個量子場論思想

對原
拓樸問題思考方式影響的例子: 即某種

精細
的三維觸結構拓樸不變量的定義。

1.
從量子化談起

對
一個物理系統的描述, 須要知道什麼

是
它的態(state), 什麼是可觀測的物理量

(observable)
。一般描述量子物理系統中的

態
是用所謂Hilbert space的數學語言, 而物

理
量則為作用其上的算子。當我們對某物理

態
|- > 去測量某物理量O 時, 我們量到

的是
O 的某個固有值(eigenvalue) n, 這

裡
O|-n >= n|-n >, 而量到 n 的機率

是
|h-n|O|-i|2。我們現在看一個點粒子的量

子力學
, 其Hamiltonian H (代表能量) 為

H
= −(~2/2m)∇2 + V (x).

這
裡∇2 為Laplacian 算子, V (x) 為

位
能函數。(~ 表Planck 常數, m 表粒

子
質量) 令x(0) 表位置算子, 即其固有

值
表粒子位置, 在通常用波函數- 表達態

時
, (x(0)-)(y) = y-(y) (一維時, 以

下同
)。令時間t 時的位置算子x(t) =

exp(
iHt)x(0) exp(−iHt)。調整H (加一

常數
) 使其最小固有值為0, 對應的固有向量

|
0 > 稱為此系統的基態(ground state)。取

t
1 > t2 > · · · > tn, h0|x(t1) · · · x(tn)|0i

或
簡單表為hx(t1) · · · x(tn)i 是極重要的物

理
量, 所謂的n-point 相關函數。在量子場

論
中此等量(見後述) 有直接的物理意義, 它

們
包含了所有的物理預測。它們也叫Green

函
數, 可驗證2-point 相關函數在某些情況

確為
一般方程意義下的Green 函數。此n-

point 相關
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力学中的微分方程 相对于初始位形的平衡方程,相对于最终位形的平衡方程

微分方程与变分法
已有 334 次阅读2012-5-15 21:34|个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记
对力学中的微分方程，有两种极端观点：1）教科书中的经典论证，相对于初始位形的平衡方程，因而，力学量的计算和求解是在初始位形的坐标上表达的。不加深刻思考的话，可能根本就不知道还有另外的说法。（欧拉坐标系）
2）相对于最终位形的平衡方程，因而，力学量的计算和求解是在最终位形的坐标上表达的。显然，这一开始就陷入困境：最终位形是未知的，因而，一个物质点在最终位形的坐标也是未知的。（拉格朗勒坐标系）
这样，一个只言片语就把这个尖锐问题克服了：对微小变形，欧拉坐标系描绘和拉格朗勒坐标系描述间的差别可以忽略不计。
这种理所当然在最终位形（所得到的解）与初始位形的确差别很大时，也就荡然无存。
可以这样辩论：在任何一个微小的增量变形下，二者的差别可以忽略不计。因而，引入中间位形（介于最终位形和初始位形中间）就可以了。这真是和稀泥的好办法，谁都不得罪。
不断的引入中间位形，在理论上就能解答复杂的大变形了。
太好了，有限元法及时的充当了这个角色。
沿着和稀泥的思路，在最终位形和初始位形间的中间位形连续操作得到是一个积分过程，好，定名它为：路径积分。
这样，对拉格朗勒量作路径积分就得到了所谓的作用量。它的最小化就给出了解。
由此，有限元法的理论基础也就坚定了。
大量的专著“证明了”：最小作用量原理得到的微分方程与以广泛接受的微分方程是等价的，或同样的。
当然，高水平的专著不会犯这类错误。
一般说来，用最小作用量原理得到的微分方程是与路径参数有关的，在思想上就是对2）（相对于最终位形的平衡方程）的具体落实。
现在，在经历几十年的努力后，人们发现：我们需要这样一个数学理论，它既满足1）（相对于初始位形的平衡方程）又满足2）（相对于最终位形的平衡方程）。而且是在一个方程里同时满足。
无知者和大多数的权威者一样的对此不屑一顾。
但是，在上世纪90年代，用这个观点处理麦克斯韦方程组取得了理论操作上的成功。尽管工程上的成功还没有明确的报导过，但是，大门就此打开。
到了2000年，专门的期刊出现了。到2010年，已小有气候。
但是，五花八门的，各说各话。
这个东周列国时代几时才是个头？没人知道。
但是，这是正确的方向。至少参与者是这样认识的。
我考察过传统的期刊，偶尔能看到这类性质的论文。
无论如何的去贬低这类性质的论文，也无论如何的去改善传统的微分方程与变分法，一个不以人的意志为转移的事实是：这条路就在那，以它自身的发展规律在成长。
少数一流的大学已经把这条路的成果编入教科书，显然，一流的学生也将出现在那类学校。
我看到某期刊的投稿须知上有一句话：参考文献必须是本刊文章或XXX期刊集团的文章。
笑笑而已。天高任鸟飞。


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[1]zhijunl06 2012-6-8 09:50
您所说的这个成果具体发表在什么文献中，能否提供一下文献的链接？
博主回复(2012-6-9 11:51)：找几本哈拂大学理论物理高年级教科书(或研究生教科书)就可
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作用量坐标系 ,標量不變量,它是一個數,其值只取決於物理而與表述物理的坐標系完全無關

作用量坐标系 的結果 (無引號)：
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紐結作用量场论 的結果 (無引號)：
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    www.lunwenw.net › 理学论文 › 天文学论文頁庫存檔 - 轉為繁體網頁
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lnkd Trefis -Jags Report

Evercore Partners Reiterates Buy on Linkedin (LNKD)

‎
Jags Report - 30 minutes ago
Evercore Partners reissued their buy rating on shares of Linkedin (NASDAQ: LNKD) in a report released on Wednesday. A number of other ...
Evercore Partners Maintains an 'Equal Weight' on LinkedIn (LNKD ...‎ StreetInsider.com (subscription)
all 2 news articles »

http://www.trefis.com/stock/lnkd/articles/135284/linkedins-earnings-will-reflect-continued-growth-but-risings-costs-are-a-concern/2012-08-01

LinkedIn’s Earnings Will Reflect Continued Growth But Risings Costs Are A Concern

August 1st, 2012 by Trefis Team
-54.00%
Downside
95.64
Market
43.99
Trefis
LNKD
LinkedIn
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LinkedIn (NYSE:LNKD) will report its Q2 2012 earnings on August 2. It had a great year in 2011 with 60% growth in subscriber numbers and 139% growth in corporate clients, and the company followed it up with better growth in the first quarter of 2012.
We expect the growth to continue, going forward, albeit at a slower rate as it strengthens its position in social media where it is up against Facebook (NASDAQ:FB) and Google (NASDAQ:GOOG) as well as in the job search space where it competes with Monster (NYSE:MWW). Going forward, we expect to see steady growth in its user numbers, corporate clients as well as subscription, advertising and services revenues.
See our complete analysis for LinkedIn
International expansion and mobile to drive growth
We expect to see LinkedIn’s user numbers to continue to increase in the coming years. Since all of LinkedIn’s businesses are linked to its user base in one way or another, any increase in its user base will drive page views, higher subscription revenue and also attract more corporate customers wanting to access the growing user base.
LinkedIn saw its registered user base expand to 160 million by the end of Q1. We expect it to increase to around 500 million by the end of the forecast period driven by LinkedIn’s focus on users in international markets and increasing smartphone penetration to drive user growth as well as engagement on its platform. Mobile advertising will account for a much greater portion of its overall ads and marketing revenue, going forward. It saw the number of unique mobile visitors grow nearly 275% last quarter. Mobile visitors now account for nearly 22% of its total unique visitor member base.
LinkedIn recently launched an iPad app and Windows Phone app and is present on all the major smartphone platforms. It also unveiled a redesign to boost platform engagement and may also benefit from direct integration into the next version of Office which will be launched in 2013.
Operating expenses need to be tempered down
LinkedIn saw its operating expenses nearly double in the last quarter primarily due to aggressive business development and expansion plans. The marketing expenses grew 125% and may be a significant drag on the earnings, going forward, if LinkedIn fails to rein them in. We expect LinkedIn to bring down these costs (as a percentage of gross profits) as its revenues increase faster than expenses. However, if it’s unable to do so, there could be a significant downside to its value. We will keep an eye on these numbers during the earnings call.
We currently have a $44 Trefis price estimate for LinkedIn, which stands nearly 60% below its market price. Here’s why we think LinkedIn is highly overvalued.
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