第三章、最小作用量原理
(一）
把物理学和力学联系在一起的相对性原理，守恒原理不同于把物理学从力学中分离出来的不可逆原理。它们都有长久的历史准备。这些原理很久以来或是以某种很特殊的形式。或是完全相反是以很一般的，并且甚至是模糊的形式为人们所知晓。这就是下面要讨论的变分原理。[1]
表征实际发生过程的某个量的最小值的概念最早是在运用于各别现象，即光的反射而被提出来的，海仑·阿列克山德里斯基说过：光的反射定律可以从最短光程条件得出来.光速在反射时也不变,因此最短光程就对应着最短时间。这一要求是普遍适用的。并且由此还可以得到折射定律。1662年费马根据以后称之为费马原理的最短时间原理求出折射定律。如果光速u在点A和B之间的路径上连续变化，费马原理就可以表示为要求速度的倒数沿路径积分，即：
在力学中类似于费马原理的原理到十八世纪才为人所知晓。但是最早提出这个原理差不多和费马同时，1669年莱布尼茨在意大利旅行时写了一篇研究动力学基本问题的论文。这篇论文过了廿年之后才发表[2]。在此论文中引入了作用量（《actio formalis》）这一概念，即质量速度和路径长度的乘积。而路径长度等于速度和时间之积，因此作用量同样确定为质量，速度平方和时间的乘积，即活力乘上时间。在一封信中（但其真实性曾遭到怀疑）莱布尼茨写道，当物体运动时，作用量通常取极大或极小值。[3]
过了若干年到，1744年莫培督提出了把最小作用量作为运动和平衡的普遍规律的主张。当他写到“作用量”时是把一专门术语理解为质量，速度和物体所通过的路径的积。物体将以使其作用量为最小的方式运动；当物体的微小运动是以最小作用量为特征时物体就达到平衡状态。就十八世纪的情况来说莫培督的著作挑起了前所未有的激烈的争论。靠牛顿力学支持的、单一的、因果联系的观念此时已经被纳入反对神学教义的思想斗争的武库之中。而在力学里面，根据目的论的原则，或是至少根据被赋予目的论式原则推出力学规律的观念也表现出来了。莫培督不但赋予最小作用量原理以目的论的形式，而且还有目的论的色彩。他主张，如此合乎目的组建起来的整个自然界可以用证实了“造物主的存在和智慧”这一目的唯一原则来解释。达朗贝尔在《百科全书》中用一系列论文回答了莫培督，而伏尔泰则是用机敏的，辛辣的抨击短文回答了他。许多人都卷入到这一争论之中。追随百科全书派的思想家们嘲笑莫培督的目的的概念。欧拉总的说来是不愿意在科学问题的论文中引入宗教动机，但是这时作为一个反对自由思想的宗教卫士，在这场思想战线的斗争中，确实是以某种修正意见参加到莫培督这一方。但是，在莫培督的著作中还有不久后欧拉发表的最小作用量定律所表现出来的更深刻更完善的研究工作中的真正思想很快就撑破了本来为宗教辩护的目的论的外壳。
由于所受神学教育的原因，本来在一定程度上支持莫培督的欧拉在那时却为消除最小作用量原理的神学色彩而作了许多工作，这也就是欧拉对最小作用原理所进行的研究是同建立变分计算联系在一起的。
在1696年，由约翰·伯努利提出并解决的最速落径问题对于变分计算的形成过程有着特别重要的意义。在点M1和M2之间可能有无数条曲线通过。在这些曲线中有一条曲线具有以下性质：一个质点在其重力作用下从M1到M2沿着这条曲线运动时可以比沿着另外的任何一条曲线都更快地达到终点。通过M1和M2的每一条曲线都对应着连续的和连续可微的函数y=f(x)。质点在重力作用下从M1运动到M2的时间将等于某个积分T。这就需要从一切可能的函数f(x)中选择出那样一种使得积分T取最小值的函数。
在解决最速落径问题的时候，伯努利同时还指明了解决类似问题的一般方法，其中有一个就是所谓等同问题。这个问题要求找到某一种封闭曲线，一方面曲线长度保持不变，另一方面还要使由此曲线所限制的面积取极大或极小传值。对这种情况，伯努利提出了一个原理。照这个原理来说，倘若曲线提供了极大值或极小值，那么曲线的每一个无限小的部分也同样具有这一特性。这个原理没有普遍义，在许多情况之下曲线并不具有上述质。可是由于注意到伯努利提出的原理在被证实为正确时的那些条件，这就使欧拉在阐述最小作用量原理上迈出了十分重要的一步。莫培督研究了物体所通过的所有的路径，欧拉由于注意到路径元同样可以给出作用量的极大值或极小值，他研究了这样的路径之后就在其方程中以路径元ds代替有限路径了。1697年，约翰·伯努利又推出一个求最小值的问题，即导出任意曲面上的给定两点间的最短程线问题。在解决此问题时，伯努利得到了用于确定测地线的一些主要的结果，他还建议欧拉去研究这一问题。在十八世纪二十年代末到三十年代，欧拉多次致力于变分计算领域内的工作。1744年发表了欧拉的名著《求具有极大值或极小值或是在更广泛的意义上来说，解决等周问题的方法》[4]欧拉把一篇不长的论文安置在附录工之中，这篇论《用极大值和极小值的方法确定在没有阻力的介质中抛体运动的问题》，他在此论文中指出，当物体在向心力的作用下，从点A以速度v运动到点B时它将描绘出某个轨迹，该轨迹对应于积分
的极大值或极小值。
的极大值或极小值。
欧拉注意到由他所简单阐述的原理只是在适用于活力定律的情况下才能应用。相反，莫培督认为作用量的最小数量原理比活力定律更广泛。但是在欧拉的论文中，最小作用原理获得了比莫培督原理为普遍的特微，莫培督只是研究了有限的并且是间断的速度变化。与此相反，欧拉根据最小作用量原理可以得到轨迹的微分方程，这样一来最小作用量原理就可以用于连续运动的情况了。总之，在欧拉的工作之后，莫培督的研究只有历史上的意义，这样说并不过分。欧拉解决了一系列关于抛体运动的问题，并且使问题的条件进一步复杂，从研究均匀的重力场开始，接是高度函数的场；还有两个相互垂直的力对物体的作用等等。欧拉总的结论是在介质无阻力时最小作用原理具有普遍意义。这个原理不仅关系到单个物体，而且也关系到若干物体构成的体系。
欧拉的这种观念在比他年轻的同代人拉格朗日那里得到了充分的发展。在把力学变成了纯粹的数学分析的学科之后，拉格朗日还把使人惊叹的数学上优雅完美的特点赋于力学。这时应该说一说这个概念的内容和意义，所谓完美就是解的普遍性。然而优雅完美的准则对数学科学而言决非最重要的，无怪乎波尔茨曼曾经说过“裁缝和鞋匠也要保持优雅完美”。就在力学中，当力学为超出力学本身范围的规律创造出一种形式化的工具的时候，在这种时期，力学的完善优美的准则曾起到特别重要的历史作用。此时由于数学上的完美性、普遍性，因而无须动用力学和几何学的概念就可以把已经建立起来的数学分析的关系推广到一些新观象的范围里去。
还在1760——1761年的两篇研究最小作用量原理的论文中，拉格朗日就把欧拉的结果作了推广。无论欧拉对于把最小作用原理推广到多个质点之可能的见解如何，在他的著作中，这个原理还是针对一个质点来进行的。拉格朗日把这一原理推广到具有质量mi的n个质点的任意系统。这些质点彼此之间以任意方式处于和距离的任意次幂成正比的有心力的作用之下。在这种情况下，系统的运动由取和式的极大或极小值条件所决定。 即:
拉格朗日引入的所谓等能变分的概念很重要，也很富于成效。问题的实质是拉格朗日从活力守衡原理出发导出了最小作用量原理。他比较了连接点Ａ，Ｂ的满足能量守衡要求（E=const.）的轨迹，并得到以下结论；对应于量
取极小值的轨迹，将是那些轨迹中的真实轨迹。在一般情况下，当总能量E=T+U相同时，质点将以不同的时间间隔通过A，B之间的空间路径。在空间中不同地点的势能一般来说是不同的，因而在总动能量Ｅ不变时动能应当发生变化，也就是说质点速度要发生变化。不同的速度也就意味着质点从Ａ移动到Ｂ所需要的时间间隔不同。倘若在质点上没有力的作用，则问题就变成确定质点在恒定的速度下用最短的时间所走过的空间路径。显然，这个路径将是直线。在拉格朗日所赋予的那种形式下的最小作用量原理可以认为是力学的根本原理。它不仅以要求某种积分不变的条件限制质点或质点系的运动，而且还以单值的形式指出了在已知初始条件时系统和质点实际上要如何运动。能量守恒原理所指出的只是什么样的运动是可能的。在物体运动的每一种情况下能量守恒原理都能得到一个方程，然而一个方程是不能单值地决定实际的运动。为此有多少表证运动的独立坐标就需要有多少方程，比如确定自由质点的运动就需要三个方程。最小作用量原理却提供了必要数量的方程。在提出极大或极小值问题之后就为每个独坐标提供了其所特有的方程。最小作用量原理以其积分的特征而区别于另外一些变分原理。它所研究的不是表征各个点运动的这样一些所谓运动的微分属性，如在某点的速度等，而是研究表征在一个有限区间隔上的沿着某个路经积分来量度的运动的属性。由此可见在变分问题的公式中所以不包含点的坐标。从数量中来说，上述间隔和点的坐标无关，并且是坐标变换不变量。因此最小作用量原理所表征的是与坐标系的选择无关的运动。
莫培督和欧拉的量小作用量原理的特征就是这样一种情况，可是他们并没有明确地认识到初始条件在单值地确定质点或系统运动时所起的作用，在拉格朗日所提出的量小作用原理的公式中，初始条件的意义是十分明显的。
拉格朗日认为最小作用量原理，纯粹是从动力学方程得到推论，同时反对把它当成是宇宙间的普遍原理的观念。这一情况是同他对先验论的思想体系的敌对的态度联系在一起的。拉格朗日对待力学，特别是对最小作用量原理所持的态度就同他对待微分计算（原理）一样。马克思在说到拉格朗日时这样写道：“…至于说到纯粹分析，拉格朗日事实上摆脱了牛顿的流数，莱布尼茨的各阶无限小量，消失量的极限理论，作为微分量系数的符号的 0/0=dy/dx 等等中的所有那些在他看来是形而上学的先验的东西。”[5]
拉格朗日彻底抛弃了对最小作用量原理的形而上学的认识，并把它解释为纯力学的原理。而且因为在拉格朗日那里，力学是变分问题的一个特殊阶段，这样，原理就好象完全被形式化了。对原理加以形式化是扩展其物理内涵的条件。拉格朗日的分析力学的概念和方法，首先是广义坐标法，其总的历史作用也正体现在这里面。上述拉格朗日的基本方法和最小作用量（分析力字的基本概念）已然获得了如此广泛的形式，但还欠一步，有了这一步最小作用量原理就从力学的原理变为物理的原理，而广义坐标的方法同样也就是从力学的方法变为物理的方法。[6]
这最后一步是由哈米顿和另一些十九世纪的学者所实现的。我们不准备谈哈米顿科学活动的传记，然而有一个情况必须提起注意。这就是光学的问题已成为导致哈米顿发现力学变分原理之新形式的出发点。在莫培督的著作中，对光学的研究在使力学向着概括范围更大的方向发展所起的作用是十分明显的，而这种发展日后要影响到不能归结力学的物理过程。在拉格朗日的著作中，并没有力学与物理学（在这种情况下是光学）之依存关系的“个体发生学”的证据。可是在哈米顿的著作中，在这位学者自己的创造性工作的道路上我们就会遇到光学与力学的联系。哈米顿研究工作的第一阶段就是致力于光学，并提出园锥折射的予测，这种予言被实验证实是正确的，并且和海王星及门捷列夫预期的新元素的发现一起成为科学预见的经典的范例。在他的著作中，在几何光学方面哈米顿力求找出可以完全表征系统的某个函数。就此问题哈米顿曾这样写道：“在其他关系上这一函数在原作者看来好像是极其高度概括结果的表达式…，这个著名的结果一般被称为最小作用规律，有时叫最小时间原理，它里面包含着迄今为止所揭露的确定光线传播路径状况与形式的全部法则以及由正常或反常折射，反射所造成的传播路径的方向的改变。如果光线沿着它自己实际的路线进行而不是沿着其他任何一条路线进行，或者至少是从方法上来说具有被叫做变分等于０的路线进行时，那么，在一种理论中是作用作量来表示的某个量，而在另一种理论中则是光从一点传播到任一点所耗费的时间，二者都是将取最小值”。[7]这样，哈米顿在此就已然指明力学中的最小作用原理和光学中光传播的最小时间原理的密切关系。从费马原理出发哈米顿研究了充分地表征光学系统的函数：
这里A（x0，y0，z0）和B（xk，yk，zk）是边界点的函数。为了要从
δV=0
这一要求确定函数Ｖ，哈米顿把V当成边界点的函数，并且求得指出光线的方向的余弦和边界坐标关系的方程。这些关系类似于力学中的拉格朗日方程，而且函数就相当于作用量积分。
以后哈米顿又提出：几何光学可以运用与光传播的波动图景或微粒图景无关的同一数学分析的概念。在决定光的几何特性上光的微粒说和波动说在很大范围内都导致同一结果。光线可以认为是垂直于某个波阵面的直线，也可以认为是光粒子的轨迹。然而观点改变并不会使数学工具发生变化。这一情况也显示出在力学过程和光学过程之间的深刻的类似的基础。这一深刻的相似已然为哈米顿所提出，并且在日后建立新的物理理论中起着重要的作用。
在卅年代哈米顿把变分原理系统地运用于动力学问题。第一编著作写于1833年，哈米顿把它称之为《用我的特微函数研究的三体问题》。此后又发表了一系列其他著作。在这些著作中他所阐明的变分原理总的说来不同于最小作用量原理。按照哈米顿原理，这里不是用动量沿路径的积分而是用另一个量的最小（或最大）值表征质点的真实路径，这个量就是拉格朗日函数对时间的积分。若t0时刻质点在第一个位置，t1在第二位置，现比较在给定的时间内质点所通过的联接这两个点（质点的位置）且适合于约束的那些不同的路径，拉格朗日函数的积分
对于真正的路径来说将取极小值或极大值。这样，此处情况就和最小作用原理不同，已然撤销了在实行比较的各个路径上要有个恒定的能量数值的要求。出现在积分号下面的是另外一个函数，量W不只可以取极小值，而且可取极大值，就如同
那样，对真正的路径来说有最小值。
对保守系而言，拉格朗日函数将等于动能与势能之差，即 L=T－U 此时哈米顿原理和最小作用原理一致。从积分的等能变分过渡到新的，要求拉格朗日函数对时间积分的变分取０的变分原理，这件事对实际运动来说具有头等重要的历史意义。要是能量在某个时间隔内发生变更，那么不只可以排除点 A和 B 的坐标而且也无须再假定质点组全体从空间的一个点转移到另一个点，换句话说，变分原理不仅仅属于力学过程。
力学基本原理的这样一种重要的推广对于目的论的主张来说自然是有利的，不过这并不是哈米顿本人在此问题上的过错。和拉格朗日一样，哈米顿力求赋予力学变分原理以尽可能严谨的形式化的数学形式。他反对那种目的论的“自然界的经济”原理。他这样写道：“这样一来尽管最小作用原理已然加入到最高级的物理理论行列。然而它对于宇宙发展论的必要性及宇宙中经济原则等主张现时总是遭到排斥的。”[8]
与此同时哈米顿认为最小作用量原理极为广阔，不只与动力学，光学相关，而且也涉及到全部物理学。在一封信中，他谈到囊括所有物理基本问题并且从最小作用原理推出其解答的单一的理论，这种理论体系当然是未来的事了。哈米顿写到“目前要是动手研究这一最广泛的把最重要的物理现象都归并在一起的课题或许是轻率的，不过要是指出这种动力学原理仅仅是我们已然在光学中运用过的那种观念的另一种形式或许还是恰当的”。[9]
实际上从最小作用量原理严格地推出物理规律的可能性要求把它从先验论的物理解释尤其是形而上学的解释中解脱出来。哈米顿指出“我对动力学的研究现在处于完全不同的方向，这一方向使我要对积分质点系微分方程之严谨的的，普遍的表述体系进行研究”。[10]
对最小作用量原理所做的进一步形式化的工作是雅考毕在十九世纪卅年代所完成的。他又把新的形式赋予这一原理。对一个只有质量m的质点而言 哈米顿原理在新的形式上变得很简单。雅考毕把质点的两倍动能 T 乘上时间 dt。两倍动能可以认为是质点质量与其速度平方之积。
这里ds是质点轨迹的长度。把2t乘上dt之后得到。
在最小作用原理的表示式中积分号下面的并不是作用量，即能量乘以时间。我们可以把最小作用量原理表示为
把积分表示为新的形式，则
在这种条件下，不是对时间而是对路径求积分。如果力是保守的，且动能T等于总能与势能之差，则上式就是可用另一形式替代
在此式中雅考毕提出了一个质点的最小作用原理。也可以把它推广到质点系。这里重要的不是对时间而是对路程取积分。对一个质点而言相应于最小作用量的路径是三维空间中一条确定的曲线。对于质点系而言我们可以把实际的运动认为是多维空间中的轨迹。
我们取一质点，该质点在某一曲面上作惯性运动。这一质点正处于离心力和反作用力相互平衡的作用下。这一对力没有切向分量，因而质点速度的绝对值保持不变，也就是以不变的速度沿测地线运动。这样问题就归结为寻求测地线。于是变分原理在相当大程度上实现形式化的数学关系，也就是几何形式。正如我们以后所见到的那样，这种形式是极为有效的。下面将简要地谈一下对变分原理继续进行形式化的历史意义。
形式化在历史上的双重的进步意义，首先拉格朗日所说的一切都影响到哈米顿和雅考毕。当力学从属于物理规律，而且在力学中不只为其自身，同样也为适用于其他领域准备了工具的时候，那种显示已然失去力学解释的动力学规律的表象就成为这种准备工作的重要方面之一。广义坐标法和最小作用量原理就从按力学自身意义上来说是力学的，然而却是广义的运动规律，变成为物理学的方法和原理。以前说过，把力学规律作出这种推广的前题从一方面说是数学，因为数学总是较为全面地回答它所提出的问题；从另一方面说则是在十七至十八世纪对力学所进行的哲学上的总结。在哈米顿的著作中，作为力学原理的最小作用量原理的更为精美的形式得以进一步发展的时候，这就意味着它已然成为一种潜在物理原理。数学发展中所蕴含的力量和在力学需求的刺激下出现的数学中的“自由竞赛”已然把科学推向前进，使科学得到的已然不是力学而是物理学的解释了。哈米顿，雅考毕致力于最小作用量原理的著作的历史性的进步意义就在于此。
问题的第二方面是对力学概念所进行的哲学上的总结。除去因历史局限性出现的形而上学的绝对化的趋向之外，实际上把原始的模式的推广和变更这两方面综合在一起的工作已然在发展着的科学史出现了。当然，直到阶级斗争的实际变化情况，（特别是在工人运动中反击伪社会主义思想上的冒牌货的时候）使得对自然科学作出辩证的综合概括已成为马克思主义的首要任务的时候，直到在“反社林论”中对此问题作出解答之前，这种综合概括一直是在自发地进行着。然而这种自发的形式在十八和十九世纪先进的自然科学家世界观中反形而上学的动机对于科学发展却具有重大的意义。就是那个企图充当“自然体系”作者的拉格朗日，那个被包斯考维奇[11]声言要处以火刑的伪君子拉格朗日，那个欧拉在致“德意志公爵夫人的信”中讥笑是在作神学练习的拉格朗日却自觉地占据了十八世纪思想战线上反形而上学的阵地，自觉地力求消除最小作用量原理上的形而上学的色彩。哈米顿和雅考毕是自发进行这一工作。在当时对“适合于一定目的地起作用的自然界”的讨论重复过多次，然而已经可以看出这是落后于时代了。在十九世纪对最小作用量原理所进行的这样或那样的形式化的工作表明它已然从由莫培督开始的形而上学的传统中解放出来了。
雅考毕准确地指出了最小作用量原理的意义。这个意义首先在于把这一原理和拉格朗日的微分方程联系在一起“……其一是拉格朗日用于提出运动微分方程的形式，其二是给出了这样一种函数，当这些方程得到满足时，此函数取极小值”[12]同时雅考毕还提出在对此原理作出合理解释的情况下，也就是在确已查明它同运动微分方程的联系之后也就不再为最小作用量原理的“形而上学的原因”保留什么地位了。
继哈米顿的雅考毕之后，奥斯特洛格拉斯基[13]为最小作用量原理的发展作出了新的，重要的贡献。1848年在圣彼得堡科学院报告文集中他根椐比哈米顿更为普遍的条件提出了最小作用量原理。哈米顿当时假定受最小作用量原理所支配的系统不是自由系统，它被这一条件所限制，即其动能为广义速度的二齐次函数，并由此提出稳定约束的假定。在1848年奥斯洛格拉斯基不用这一条件而研究了最小作用量原理。
在十九世纪后半期由于索富斯. 李[14]和其他数学家的工作（对这些人正象对奥斯特洛格拉斯基一样，那些动力学问题乃是更普遍的，在本质上是微分方程论及计算这些数学问题的个别情况）经过仔细研究的哈米顿雅考毕力学的合乎逻辑的数学工具被建立起来。其中最重要的是把变分原理和一特殊的变换理论即被称为切触变换的理论联系起来。这种变换从几何上可以解释为某种曲面的改变，以后具体到物理上可以解释为等作用量曲面的变更。从另一方面来说变分原理又可以解释为质点的运动规律，这样，物体沿确定的轨迹运动和某种曲面的传播，这两种物理形象就由此而接近起来了。这种接近一出现，波动过程理论和离散物体运动理论二者 统一起来的问题也就提到科学之中了。这两种理论在非古典物理中即在本世纪廿年代的波动力学中得到统一。这里对古典物理学所进行的数学概括在为非古典理论所做的准备工作上的作用显得十分鲜明。
从哈米顿原理的纯力学解释过渡到为非古典概念作出准备的更为普遍的认识在很大程度上是以自发的形式进行的。作为思想家的赫姆霍茨力图把物理过程归结到它们的力学基础上来，并且也只是在纯力学的意义上去理解最小作用量原理。1886年他把这一原理系统地运用于力学，热力学和电动力学等问题。他引入了促进概括这一原理的物理解释的动势的概念。所谓动势，是这样一个量，将它对时间求积分就可以得到作用量。而且不用对该量作任何力学解释，就可以出现于物理学的各个不同领域之中。在赫姆霍茨的著作中，并没有把动势解释为导出量，即动能和势能之差，而解释成作为出发点的量，因为动势有可能不同于T－U这一力学概念，所以上述情况对过渡到最小作用量原理的非力学的认识来说是重要的一步。在力学以外，也就是动能和势能的差异失去直接的意义的场合，在给出能量时动势可能取得单值形式。由于动势概念是独立的，因之就可以把最小作用原理认为是物理上可逆过程的普遍原理，这样一来，也用不着把它归结为力学的规律了。换言之，也就是不必把最小作用量原理作为力学原理加以解释。
由于在电动力学中无需任何一种力学模型就可以阐述其内容和引用哈米顿原理，所以普朗克这样写道： 最小作用量原理所经过的历程和能量守恒原理相同；“能量守恒原理起初同样认为是力学原理，只是由于作为机械论宇宙观的证据而赋予它普遍的意义。目前机械论宇宙观受到强烈的动摇，然而无论什么人都没有开始怀疑能量守恒原理的普遍性。如果现在把最小作用原理看成是纯力学原理，那么可能会不自觉地陷入片面性之中”。[15]从赫姆霍茨开始，他就运用哈米顿原理把最小作用量原理推广到电动力学和热力学的概念形式之中，此外从数学上对原理进行分析研究是上述推广的不十分明显的形式。在变分原理的历史中我们还会遇到高斯的名字。高斯可以说比其他任何一个人都更多地反映出十九世纪科学在数学，力学和物理学上的思维特征。这一特征就是断绝了同上个世纪的单线的，唯理主义的关系并为廿世纪非古典物理做出了准备。这些在其主要著作中都曾涉及到，不过更多地反映于其扎记的片断。这些扎记都是记载在书信，日记上或是在读过的书的空白处仓促写出。这些似乎是属于传记的情况却反映出十九世纪前期许多思想家的人生观，世界观的某些普遍的特点。如为辨证思维提供诸如 “浮士德” “哲学百科全书”等不朽范例的强有力的思潮，以及在数学和自然科学中那种 “非直线”思维的不甚明显然而至少颇富成效地蔓延，总之，这一思潮的总体，归根结底全是十八世纪末席卷整个欧洲，并且以雅各宾党人专政达到顶点的，工业的，社会的，政治的，革命的结果。在法国以外革命的影响是间接的也是不鲜明的。“法兰西革命的德国理论”，即黑格尔的哲学方法，可以说是和国际政治结论相配合的。恩格斯这样写道 “……这个结论的特殊形式当然是下列情况造成的，黑格尔是一个德国人，而且和他同时代人歌德一样，拖着一根庸人的辫子，歌德和黑格尔在各自领域中都是奥林巴斯山上的宙斯，但是两人都没有完全脱离德国的庸人气味”[16]在这两个人的名字后面似乎要添上高斯的名字。他一方面有如数学上的宙斯那样英勇无畏地开拓，另一方面由于在“城邦分子的叫嚣”[17]面前感到害怕使哥廷根大学教授不得不对更为激进的数学，力学设想明智通达地保持缄默，这两者在高斯的传记中极富于特色地交织在一起。
