所以一个量子系统的基态是简并的，那么系统的物理基态通过些简并态的量子叠加得到，就往往会破除原有的基态简并性，并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。在这种情况下，自发破缺对称性现象也不存在了。
\[\]
而在多体量子系统（热力学极限下）中发生所谓自发对称性破缺，是因为自由度众多，导致叠加产生的各个能级态无穷接近（固体系统里面的准连续），也就近乎于无穷多简并态了，这就回到了连续极限下的情况中。
关于对称破缺的解释
来自: 小五(听了很多遍的歌才是最好听的歌) 2014-06-04 11:28:06
大家好，一般在解释对称破缺的书或文章上会看到一个解释，就是把势能项的场看成是经典的，然后求这些场的一个取值条件，使得经典势能取值最小；场的取值条件具体要求场之间有依赖关系，如果选择一个特殊的场的分布，例如给场的某个分量一个vev，其他分量都是0，那么我们就可以看在这个特殊分布下拉氏量的对称性如何，然后比对一下对称性是不是改变了。
我的问题有两个：
为什么要把场看成经典的？
为什么要给vev？
我的问题有两个：
为什么要把场看成经典的？
为什么要给vev？
- 我想聊聊我自己设想的另一种对称性破缺(或许应当另起名字叫做比如非对称的宇宙或者别的神马，反正不是大家常挂在嘴边的对称性破缺就是了)。
philton (面朝大海，春暖花开) 2014-06-04 16:41:25
我觉得对称的宇宙物理规律实在是太特殊了。因为在数学上和几何上，对称都属于特例，有些还是特例中的特例。
所有可见的宇宙，有可能，不过都是些可观测的结构而已。那么，是否存在不可观测的结构呢？呵呵，大家都那么聪明，自己想吧。
而且，一个结构，不论是否可观测，都存在诸多分类方式，其中一种分类方式就是按照对称／非对称来分类。
至于对称结构和非对称结构之间的转化条件，那可能又是一大类问题，估计够物理学家／物理学爱好者琢磨上一阵子。如果能用场论之类的理论来描述自然很好，如果描述不了，也不必太纠结。
好吧，就这些，也没啥神奇的。
- 1、非平庸的场的真空期望，在普朗克常数趋于零的时候满足经典运动方程，而真空期望本身是经典数，所以我们把这个场的真空期望叫做经典场，它就对应着有效势的极小值。
端阳 (别作践自己) 2014-06-04 18:42:39
对称破缺的根源在于场的真空期望不为零，而对称破缺就是相变的过程。宇宙早期经过多次这样的相变，比如当宇宙温度降低到QCD的特征能标，夸克凝聚作为 $SU(2)\times SU(2)$ 相变的序参数不再为零，这就导致了 $SU(2)\times SU(2)$ 的自发破缺，在这一能标以下，夸克胶子等离子体形成强子束缚态。
2、真空期望不是你随便给它的，是计算所得，比如考虑一个质量项为零的标量场论，即势能项只有phi4项，通过背景场方法，你会得到一个有效势，就是所谓的Coleman-Weinberg势，它的minimum对应着场的真空期望。真空期望为零的场论是没有对称自发破缺的。
cmp (const void*, const void*) 2014-06-04 21:48:33
1、非平庸的场的真空期望，在普朗克常数趋于零的时候满足经典运动方程，而真空期望本身是经典数 1、非平庸的场的真空期望，在普朗克常数趋于零的时候满足经典运动方程，而真空期望本身是经典数，所以我们把这个场的真空期望叫做经典场，它就对应着有效势的极小值。 对称破缺的根源在于场的真空期望不为零，而对称破缺就是相变的过程。宇宙早期经过多次这样的相变，比如当宇宙温度降低到QCD的特征能标，夸克凝聚作为 $SU(2)\times SU(2)$ 相变的序参数不再为零，这就导致了 $SU(2)\times SU(2)$ 的自发破缺，在这一能标以下，夸克胶子等离子体形成强子束缚态。 2、真空期望不是你随便给它的，是计算所得，比如考虑一个质量项为零的标量场论，即势能项只有phi4项，通过背景场方法，你会得到一个有效势，就是所谓的Coleman-Weinberg势，它的minimum对应着场的真空期望。真空期望为零的场论是没有对称自发破缺的。 ... 端阳夸克凝聚是 SU(2) x U(1) 破缺的序参量，这是怎么回事？
小五 (听了很多遍的歌才是最好听的歌) 2014-06-05 11:41:14
1、非平庸的场的真空期望，在普朗克常数趋于零的时候满足经典运动方程，而真空期望本身是经典数 1、非平庸的场的真空期望，在普朗克常数趋于零的时候满足经典运动方程，而真空期望本身是经典数，所以我们把这个场的真空期望叫做经典场，它就对应着有效势的极小值。 对称破缺的根源在于场的真空期望不为零，而对称破缺就是相变的过程。宇宙早期经过多次这样的相变，比如当宇宙温度降低到QCD的特征能标，夸克凝聚作为 $SU(2)\times SU(2)$ 相变的序参数不再为零，这就导致了 $SU(2)\times SU(2)$ 的自发破缺，在这一能标以下，夸克胶子等离子体形成强子束缚态。 2、真空期望不是你随便给它的，是计算所得，比如考虑一个质量项为零的标量场论，即势能项只有phi4项，通过背景场方法，你会得到一个有效势，就是所谓的Coleman-Weinberg势，它的minimum对应着场的真空期望。真空期望为零的场论是没有对称自发破缺的。 ... 端阳好的，我的理解是：
1. 把场看成经典的是不是就是为了看看他在低能标下的表现是怎么样
2. 同时为了考虑低能标下的表现要找到场的vev
是这样吗？
另外我在统计学到，序参量理论在微观意义上是平均场理论，可以由更一般的重整化群理论代替来考虑相变问题，看起来师兄你是宇宙学的？我好奇问问你们处理类似问题的时候是用序参量理论还是重整化群理论？
端阳 (别作践自己) 2014-06-05 13:17:50
好的，我的理解是： 1. 把场看成经典的是不是就是为了看看他在低能标下的表现是怎么样 2. 同时 好的，我的理解是： 1. 把场看成经典的是不是就是为了看看他在低能标下的表现是怎么样 2. 同时为了考虑低能标下的表现要找到场的vev 是这样吗？ 另外我在统计学到，序参量理论在微观意义上是平均场理论，可以由更一般的重整化群理论代替来考虑相变问题，看起来师兄你是宇宙学的？我好奇问问你们处理类似问题的时候是用序参量理论还是重整化群理论？ ... 小五1、场的真空期望就是经典场
2、判断规范相变，就看真空期望是不是不为零，真空期望在这里作为序参量。
我跟你说的宇宙相变是宇宙学的基本课程，就跟你在统计里学到的平均场和重正化群是处理相变的基本工具一样。
端阳 (别作践自己) 2014-06-05 18:30:14
嗯，我明白真空期望是经典数。我现在想问问该如何知道一个场的真空期望是不是0？ 另外如果宇 嗯，我明白真空期望是经典数。我现在想问问该如何知道一个场的真空期望是不是0？ 另外如果宇宙相变的工具跟统计是有联系的，那宇宙相变有没有关联长度的概念？ ... 小五求真空期望的关键在于求有效势，求出有效势，它的极值对应的点就包含真空期望。如果你能亲手推导一下质量项为零时候的标量场的自发破缺，这或许能更好的帮助你明白真空期望不为零与对称破缺的关系。
与其说“宇宙相变的工具跟统计是有联系的”，倒不如说相变蕴含着对称破缺。如果你好奇有效温度场论里是否有定义“关联长度”，那么最好自己去发现。
- 刚看到文在stackexchange的一个讨论帖，咱家楼上给你说的“质量项为零的phi4场论的自发破缺”，事实上是一个"经典"不破，而量子修正引出破缺的情况，也就是说，是一个quantum picture of SSB。
端阳 (别作践自己) 2014-06-06 20:14:51
咱家赞同文说local情况不破的观点，文的讨论让我想到BCS的例子，请搜文献“Is electromagnetic gauge invariance spontaneously violated in superconductors? ”。
不过咱家的解释跟他老人家不同，对于咱家而言，存在非物理自由度等同于定域规范不变性（从约束哈密顿力学的角度），因此，要破话这个对称性就要将非物理的自由度变为物理的自由度，然而事实上我们并没有进行这样的操作，只不过进行一个自由度的重构，Everett 上次用结构来替换对称，在“重构”的角度就显得很恰当。比如local的U(1)黑格斯模型，两个规范场的自由度和两个标量场的自由度破缺之后只不过是进行了一个重构，其中一个标量场的自由转化为了规范场的纵向自由度，物理的自由度并没有增加。
- http://physics.stack
端阳 (别作践自己) 2014-06-07 14:39:50
exchange.com/questio ns/29311/what-is-spo ntaneous-symmetry-br eaking-in-quantum-sy stems
这是好久以前的讨论帖，Everett 也有参加，他现在可能会有新的认识。Everett 是物理组少数几个能让你看到不同思考方式，而且会真心纠正你错误的人。
对于文的原帖，咱家并不确定他“QUANTUM”的具体所指，可能是为了强调作为经典特征的拉氏量（或哈密顿量）具有的对称与作为量子特征的“态”所具有对称性的不同。咱家说的那个Coleman-Weinberg势，在经典的范畴下是看不出破缺的，必须要进行量子力学的修正，就像Zee用铅笔做的那个比喻。
另不但对于自发破缺，其实global和local的精分其实很广泛，比如你开的另一个反常的贴，SM下，local的反常是不被允许的，所以才要进行消除，而global的反常不但不是坏事，而且是有益的，比如baryon number的破缺，比如解决 U(1) 问题。
小五 (听了很多遍的歌才是最好听的歌) 2014-06-07 14:48:52
http://physics.stackexchange.com/questions/29311/what-is-spontaneous-symmetry-breaking-in- http://physics.stackexchange.com/questions/29311/what-is-spontaneous-symmetry-breaking-in-quantum-systems 这是好久以前的讨论帖，Everett 也有参加，他现在可能会有新的认识。Everett 是物理组少数几个能让你看到不同思考方式，而且会真心纠正你错误的人。 对于文的原帖，咱家并不确定他“QUANTUM”的具体所指，可能是为了强调作为经典特征的拉氏量（或哈密顿量）具有的对称与作为量子特征的“态”所具有对称性的不同。咱家说的那个Coleman-Weinberg势，在经典的范畴下是看不出破缺的，必须要进行量子力学的修正，就像Zee用铅笔做的那个比喻。 另不但对于自发破缺，其实global和local的精分其实很广泛，比如你开的另一个反常的贴，SM下，local的反常是不被允许的，所以才要进行消除，而global的反常不但不是坏事，而且是有益的，比如baryon number的破缺，比如解决 U(1) 问题。 ... 端阳唉这不就是我问的问题吗XD
好多东西，我看看在说
小五 (听了很多遍的歌才是最好听的歌) 2014-06-07 15:08:42
http://physics.stackexchange.com/questions/29311/what-is-spontaneous-symmetry-breaking-in- http://physics.stackexchange.com/questions/29311/what-is-spontaneous-symmetry-breaking-in-quantum-systems 这是好久以前的讨论帖，Everett 也有参加，他现在可能会有新的认识。Everett 是物理组少数几个能让你看到不同思考方式，而且会真心纠正你错误的人。 对于文的原帖，咱家并不确定他“QUANTUM”的具体所指，可能是为了强调作为经典特征的拉氏量（或哈密顿量）具有的对称与作为量子特征的“态”所具有对称性的不同。咱家说的那个Coleman-Weinberg势，在经典的范畴下是看不出破缺的，必须要进行量子力学的修正，就像Zee用铅笔做的那个比喻。 另不但对于自发破缺，其实global和local的精分其实很广泛，比如你开的另一个反常的贴，SM下，local的反常是不被允许的，所以才要进行消除，而global的反常不但不是坏事，而且是有益的，比如baryon number的破缺，比如解决 U(1) 问题。 ... 端阳好我看完了
谁能把E大拉进来XD
原来这是文教授问的问题，真高大
E大给的解释是把必须把量子级别的SSB跟纠缠还有退相干联系起来，然后给了两个RG理论说可能跟这些事情有关系
我想问这问题到现在有进展吗？那两个理论想解决什么问题？
陰陽魚 (骰鼉鰥鯗) 2014-06-13 08:03:48
1、场的真空期望就是经典场 2、判断规范相变，就看真空期望是不是不为零，真空期望在这里作为序 1、场的真空期望就是经典场 2、判断规范相变，就看真空期望是不是不为零，真空期望在这里作为序参量。 我跟你说的宇宙相变是宇宙学的基本课程，就跟你在统计里学到的平均场和重正化群是处理相变的基本工具一样。 ... 端阳真空期望是經典場 只是一個工作假定吧 這個沒必要做物理解釋吧
只是我們這樣假設 得到了一種機制 預測了一種粒子 然後和實驗完全吻合了而已吧
如果我們不使用這個工作假定 完全有充足的理由認為SSB是量子級別的 只是我們這個隨手的經典假設 在大範圍都很成功而已吧 他背後很可能什麼物理也沒有...就如同我們只考慮經典場 能很好的得到樹圖階一樣...
端阳 (别作践自己) 2014-06-13 17:47:10
真空期望是經典場 只是一個工作假定吧 這個沒必要做物理解釋吧 只是我們這樣假設 得到了一 真空期望是經典場 只是一個工作假定吧 這個沒必要做物理解釋吧 只是我們這樣假設 得到了一種機制 預測了一種粒子 然後和實驗完全吻合了而已吧 如果我們不使用這個工作假定 完全有充足的理由認為SSB是量子級別的 只是我們這個隨手的經典假設 在大範圍都很成功而已吧 他背後很可能什麼物理也沒有...就如同我們只考慮經典場 能很好的得到樹圖階一樣... ... 陰陽魚小鱼鱼，你觉悟吧。楼主可能不是做高能的，所以 Everett 回答比较恰达，感觉他们的入手图景不一样。所以对于我们，问题的关键不是经典还是量子，而是 Everett 颠儿哪了？
- 我看端阳等各位都解释得齐全了，我比较懒，只能拙技地把自己以前写的Anderson-Higgs机制的note放这了,当作是连续对称性破缺的例子:
Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-06-13 20:28:20
最早Higgs机制是在凝聚态物理中出现，早期并不想高能物理那样，凝聚态理论中的Higgs机制仍不是相对论形式。
我们不妨先从凝聚态物理的量子多体理论的角度来讨论Higgs机制。一个复标量场(Higgs场)具有两个自由度:振幅场$\chi$以及相位场$\theta$，即分离变量形式为$\phi=\chi\;exp (i\frac{\theta}{\sqrt{2}\;\langle\phi\rangle})$ ;我们可以首先对Higgs机制采用二次量子化的量子多体理论的语言来进行描述。对复标量场进行平移，我们可以来研究一下这种真空自发破缺的动力学行为(自发性的原因是因为并非哈密顿量造成真空的对称性破缺，也即非动力学因素，而是真空基态的简并使得它被破坏)。由于$\chi$场在哈密顿量中具有$\chi^4$自作用能，引起真空凝聚的时零点能是非零的，并使得真空发生相变(能谱由原来的抛物面变为“墨西哥帽”形状)而处于$\chi$场的Bose相干凝聚态，计算场激发的平方谱可发现正比于$\phi$场质量项平方，由于是复的场，因此还出现一支零质量Goldstone谱(在计入规范场耦合后会消失)。现在考虑单模复标量场与$U(1)$电磁场耦合，利用超流体理论中的处理方法“Bogoliubov变换”，变到新的“准粒子”真空态来讨论。在新的真空本底上，中性$\chi$场的元激发(经过变换后哈密顿量对角化，它对应于Green函数的极点)具有实质量。而原来横向极化的两个零质量光子变成了带有效质量的重光子，同时这个重光子还具有一个纵向极化自由度。从而原来无质量三个场:$\theta$场以及两个极化方向的电磁场分量，在经过真空相变合并为同一种重光子的三个极化自由度。从相互作用看，这个过程既依赖于$\chi$场的自相互作用引起的真空相变，也依赖于$\chi$场与$\theta$场以及电磁场之间的相互作用耦合。从规范理论的角度来看，$\phi$场真空凝聚是导致$U(1)$规范不变性的破坏，因此产生恢复对称性的零能Goldstone模。在加入$U(1)$规范场耦合后，通过规范变换后讲拉格朗日量重新规范化后，Goldstone谱消失，取而代之的有效理论中规范Boson变成具有有效质量的激发。这就是所谓规范Boson吃掉Goldstone粒子后产生了质量。开头说过Higgs机制其实来源于凝聚态物理。最早是Anderson在描述超导体时引入，其中电子对形成的Cooper对就相当于$\phi$复标量场的地位，其中相位场就是超导相干相位。其真空凝聚破坏$U(1)$对称性，形成电子系统BEC凝聚，这样一来，Goldstone模产生，意味着超导基态随相位变化是零能隙的，作用动量算后符产生相位梯度形成整体动量，因此产生超流性质的超导电流;它与电磁场耦合使得产生有效质量，由于光子带了有效质量了之后，拉格朗日量中就会多出$m^{*} A_{\mu}A_{\mu}$的项，导出的Maxwell方程形式就会发生变化，Coulomb作用在导体中是Yukawa型的，磁场也指数衰减，从中就可得出穿透深度。于此同时，Goldstone模消失，超导电流在穿透区域也消失。这些也就是唯象理论London方程给出的内容，此即Minssner效应。此外，此理论还告诉人们穿透深度与超导能隙有关。
在弱电统一模型中，真空手征对称性破缺也会产生真空相变，场的Yukawa型耦合赋予新真空下粒子质量。这也是通常高能物理里面所指的Higgs机制($SU(2)$规范场的Higgs机制)，电弱统一的GSW机制中规范对称性破缺方式是$SU(2)\times U(1)$破缺为$U(1)$，（手征对称性破缺）会产生三个Goldstone模，费米子场$\psi$通过Higgs机制中Yukawa型耦合$-\lambda\bar{\psi}\psi\phi$(在标准模型中，可以证明这种耦合类型是费米子与标量场唯一可重整化耦合方式),由于Higgs场$\phi$具有非零真空期望值，因此这一耦合对真空态展开后就得到fermion质量项$-m\bar{\psi}\psi$,这样一来使得其中三种粒子获得质量，即$W^{\pm}、Z$ ;剩下一个维持零质量的即光子。 在标准模型中， 所有基本粒子的质量都来源于电弱统一理论中的规范对称性自发破缺。
这里面，系统的对称性自发破缺实际上是个很微妙的事情。一个物理系统的真空态是由 拉格朗日量所确定的，或者准确地说是由于其中含有的有效势 $V_{eff}$决定（如前面的$\phi^4$有效势）； 然而系统却不具有拉格朗日量所具有的对称性呢。其中的原因在于许多物理系统都具有简并的真空态，如果把所有这些简并的真空态视为一个集合，它的确与 拉格朗日量具有同样的对称性。 但物理上真实情况是真空态只是该集合中的一个态，这个态往往不具有整个集合所具有的对称性，这就造成了对称性的自发破缺。如果一个量子系统的基态是简并的，那么系统的物理基态难道不应该是这些简并态的某种量子叠加吗？ 这种量子叠加态如在量子力学中所见到那样，往往会破除原有的基态简并性（我们通常做简并微扰就是这样），并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。在这种情况下，对称性自发破缺岂不是不存在了？对于有限体系来说确实如此(除非有什么机制，比如对称性禁止简并基态间的相互耦合)。但在量子场论中通常假定体系的空间体积趋于无穷（凝聚态物理里面的量子多体系统也满足这一点），这时不同真空态之间的相互耦合趋于零，严格的对称性自发破缺只发生在这种情形下。
*Nambu-Goldstone定理
规范对称性破缺产生保护无能隙Goldstone激发，然后通过相应规范场耦合的加入，那么应该是都可以的。这就是所谓Nambu-Goldstone定理的内容，其适用于描述任意连续对称性破缺恢复模式。连续对称性的群代数结构是Lee群，破坏掉的对称性即是少掉了一些Lee代数生成元，减少的生成元个数对应着Goldstone粒子数目。规范场就是破坏了的生成元所构成的Lee导数，对应的场分量就可以“吃掉”那多出来的Goldstone粒子。
Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-06-14 14:24:34
好我看完了 谁能把E大拉进来XD 原来这是文教授问的问题，真高大 E大给的解释是把必须把量 好我看完了 谁能把E大拉进来XD 原来这是文教授问的问题，真高大 E大给的解释是把必须把量子级别的SSB跟纠缠还有退相干联系起来，然后给了两个RG理论说可能跟这些事情有关系 我想问这问题到现在有进展吗？那两个理论想解决什么问题？ ... 小五祁晓凉和文小刚在讨论时候引入了长程关联来表征对称破缺(约化密度矩阵算关联函数，实际上也就是类似非对角长程序)，有关联的话意味着系统的态空间分布情况不是“均匀”的，因而对称性破缺。文小刚后来说了他计算少体系统时候零温时没有量子相变，只有到大N极限下的多体系统才出现自发对称性破缺(SSB)，其实E大观点就是这个: 量子涨落会导致少体叠加态退相干，这是非线性动力学行为，超出了目前的框架(Schrödinger方程是线性的); 我个人看文小刚他提观点意思是线性的理论描述量子多体系统却可以出现这种非线性的SSB行为; 我觉得这多亏是多体系统关联让涨落放大了，这才是强关联系统需要面对的问题。这种相变临界点都是很多事情在里头。
Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-09-04 19:22:38
http://physics.stackexchange.com/questions/29311/what-is-spontaneous-symmetry-breaking-in- http://physics.stackexchange.com/questions/29311/what-is-spontaneous-symmetry-breaking-in-quantum-systems 这是好久以前的讨论帖，Everett 也有参加，他现在可能会有新的认识。Everett 是物理组少数几个能让你看到不同思考方式，而且会真心纠正你错误的人。 对于文的原帖，咱家并不确定他“QUANTUM”的具体所指，可能是为了强调作为经典特征的拉氏量（或哈密顿量）具有的对称与作为量子特征的“态”所具有对称性的不同。咱家说的那个Coleman-Weinberg势，在经典的范畴下是看不出破缺的，必须要进行量子力学的修正，就像Zee用铅笔做的那个比喻。 另不但对于自发破缺，其实global和local的精分其实很广泛，比如你开的另一个反常的贴，SM下，local的反常是不被允许的，所以才要进行消除，而global的反常不但不是坏事，而且是有益的，比如baryon number的破缺，比如解决 U(1) 问题。 ... 端阳记得端阳曾豆邮我说SSB这方面的事情，我答应过给整理一些资料和看法的，结果给忘了...最近翻贴子才想起来...不得不道歉致意
以下是一些内容以及参考文献：
作为自发对称性破缺的一般发生于非线性的连续系统中，一旦系统的基态不存在动力学方程所拥有的对称性那么就说这种对称性自发破缺了。
一个一维经典模型，哈密顿量是
\[
H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x)
\]
当势能是 $V(x)=-\mu x^2+\lambda x^4$ ，可见其带有整体的空间反演对称性 $\mathcal{P}$：$V(-x)=V(x)$；而平衡态时基态是分离的二重简并态，并不带有这种对称性
\begin{align}
\dot{x}&=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}\\
\dot{p}&=-\frac{\partial H}{\partial x}=2\mu x-4\lambda x^3
\end{align}
它们的相轨迹关于$E=0$轴对称。
当势能是振子势时候，很明显并没有自发对称破缺现象，这时候动力学方程是线性的。
许多物理系统都具有简并的基态，如果把所有这些简并的基态视为一个集合，它的确与动力学方程具有同样的对称性。但物理上真实情况是基态只是该集合中的一个态，这个态往往不具有整个集合所具有的对称性，这就造成了对称性的自发破缺。
那么在量子系统中，重要的是量子力学的动力学方程总是线性的（Schrödinger方程是二阶线性偏微分方程），我们可以看到它也并不会发生SSB。同样考虑一维模型：
哈密顿算符
\[
\hat{H}=\frac{p^2}{2m}+V(x)=\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)
\]
依旧设计一个双重势阱 $V=\frac{\hbar^2}{2m}(16a^2 x^2-12a x^2)$
将算符分解为
\[
\hat{\eta}\psi=\Big(-\frac{d^2}{dx^2}+16a^2x^6-12ax^2\Big)\psi=\Big(-i\frac{d}{dx}+i4ax^3\Big)\Big(-i\frac{d}{dx}-i4ax^3\Big)\psi
\]
得到产生消灭算符
\[
\hat{\eta}=\hat{a}^\dagger\hat{a}\;\;\;,\;\;\;\hat{a}=-i\frac{d}{dx}-i4ax^3
\]
基态波函数为 $\phi(x)=e^{-a x^4}\;\;(a>0)$，可验证 $\hat{a}\psi(x)=0$，$\hat{H}\phi=0$ ；并且它明显有良好性质
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}|\phi(x)|^2 dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2a x^4} dx<+\infty
\]
$\phi(x)$并没有节点，具有峰值，是对称的。
任何的满足$\mathcal{P}$对称性的势的一维量子力学系统
\[
\mathcal{P}V(x)=V(-x)=V(x)
\]
基态波函数要么是奇函数要么是偶函数
\[
\psi_+(-x)=\psi_+(x)
\;\;\;\text{or}\;\;\;
\psi_-(-x)=-\psi_-(x)
\]
概率密度$|\psi(x)|^2$总是对称的，因此这种情况下没有SSB
倘若势能是
\[
\left\{
\begin{aligned}
\infty\;\;\;\;&\text{if}\;x\leq -a\\
0\;\;\;\;&\text{if}\;-b>x> -a\\
\infty\;\;\;\;&\text{if}\;b\geq x\geq -b\\
0\;\;\;\;&\text{if}\;a>x>b\\
\infty\;\;\;\;&\text{if}\;x\geq a\\
\end{aligned}
\right.
\]
这样解得两个势阱中的波函数
\[
\psi_{L,n}(x)=\left\{
\begin{aligned}
\sqrt{\frac{2}{a-b}}\sin\frac{\pi n(x+a)}{a-b}\;\;\;\;&\text{if}\;x\in(-a,-b)\\
0\;\;\;\;&\text{elsewhere}\\
\end{aligned}
\right.
\]
\[
\psi_{R,n}(x)=\left\{
\begin{aligned}
\sqrt{\frac{2}{a-b}}\sin\frac{\pi n(x-a)}{a-b}\;\;\;\;&\text{if}\;x\in(b,a)\\
0\;\;\;\;&\text{elsewhere}\\
\end{aligned}
\right.
\]
实际上真正的基态解是它们之间线性叠加解除简并得到
\[
\psi_{+,n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{L,n}+\psi_{R,n})
\;\;\;,\;\;\;
\psi_{-,n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{L,n}-\psi_{R,n})
\]
那么位置的平均值还是 $\langle\psi_{\pm,n}|x|\psi_{\pm,n}\rangle=0$，因此$\mathcal{P}$对称性也没有破缺
所以一个量子系统的基态是简并的，那么系统的物理基态通过些简并态的量子叠加得到，就往往会破除原有的基态简并性，并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。在这种情况下，自发破缺对称性现象也不存在了。
\[\]
而在多体量子系统（热力学极限下）中发生所谓自发对称性破缺，是因为自由度众多，导致叠加产生的各个能级态无穷接近（固体系统里面的准连续），也就近乎于无穷多简并态了，这就回到了连续极限下的情况中。
\[\]
而问题在于在这个极限过渡中出现的模糊界限一样，可以发现很大的有限自由度量子多体也发现能出现SSB，这感觉就不科学了（违反了所谓 Earman's Principle）。
在讨论一定格点$N$的横场Ising模型 $H=-\sum{S_i^z S_j^z}-B\sum{S_i^x}$ 时，哈密顿量是具有$\mathbf{Z}_2$对称性的 $S_z\rightarrow -S_z$（$SU(2)$被磁场$B$打破了因而对称群约化了），在有限少体（$N=2,3...$）情况下，可以解得严格基态就是叠加态 $|\Psi_\pm\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle\pm|\downarrow\rangle)$ 也完全拥有哈密顿量的对称性。这个时候我们知道系统的RG流有两个稳定不动点，其中一个就是$B=0$，这就是长程磁有序相，这时候系统就是经典Ising模型，有两种简并基态，系统发射自发对称性破缺。在有限多体情况下$B\to 0\wedge B>0$ 时候，$|\uparrow\rangle$和$|\downarrow\rangle$ 能级变得愈发接近，最终变成近简并基态；不过这样子也并不应该发生对称性破缺因为任何一种基态序算符$M=\sum_i S^z_i$都不能与哈密顿量对易。量子相变发生于零温，量子涨落成为主要的驱动因素，这就是量子涨落代替了热力学极限的效果，发生了模糊的自发对称性破缺。这实际上确实很像量子测量方面的事情，就犹如量子叠加态退相干到独立的两个简并态中（至于说到测量，这有多种理论在里头，不过唯一肯定的是，退相干或者波函数坍缩是非线性不可逆过程）。只不过相当于整个多体系统自身形成了测量环境，其之间的长程序从系统的两点关联函数角度可以反映（这也是祁晓亮的观点，通过纠缠熵反映）。这就是所谓SSB是emergent的意义。当然这还是需要系统有一定的线度（较大的N），不然两三个自由度也能发生这样的事情是不可能的，多体系统近简并态之间的能隙文小刚给出$\Delta \sim e^{-L^d/\xi^d}$，这意味着系统线度愈大近简并能级就越接近，维度愈高涨落效果越弱。如何描述有限量子系统的SSB，目前有些工作已经做到，譬如建立量子涨落意义下的修正得到的有效场理论（用了个叫Hatree-Fock投影方法）。等价于对有限格点系统背景地引入大粒子源耦合之类的使得退相干了，使得离基态非常近的极低能激发与基态干涉叠加之后将系统对称性部分“封存”了而有效emerge出破缺现象。
References
[1] arxiv 1305.4473 (2013)
[2] Phys Rev C.89.014334 T. Papenbrock and H. A. Weidenmüller (2014)
[3] C. Yannouleas and U. Landman, Rep. Prog. Phys. 70, 2067 (2007)
[4] T. Koma and H. Tasaki, J. Stat. Phys. 76, 745 (1994)
端阳 (别作践自己) 2014-09-04 21:47:16
记得端阳曾豆邮我说SSB这方面的事情，我答应过给整理一些资料和看法的，结果给忘了...最近翻贴子 记得端阳曾豆邮我说SSB这方面的事情，我答应过给整理一些资料和看法的，结果给忘了...最近翻贴子才想起来...不得不道歉致意 以下是一些内容以及参考文献： 作为自发对称性破缺的一般发生于非线性的连续系统中，一旦系统的基态不存在动力学方程所拥有的对称性那么就说这种对称性自发破缺了。 一个一维经典模型，哈密顿量是 \[ H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x) \] 当势能是 $V(x)=-\mu x^2+\lambda x^4$ ，可见其带有整体的空间反演对称性 $\mathcal{P}$：$V(-x)=V(x)$；而平衡态时基态是分离的二重简并态，并不带有这种对称性 \begin{align} \dot{x}&=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}\\ \dot{p}&=-\frac{\partial H}{\partial x}=2\mu x-4\lambda x^3 \end{align} 它们的相轨迹关于$E=0$轴对称。 当势能是振子势时候，很明显并没有自发对称破缺现象，这时候动力学方程是线性的。 许多物理系统都具有简并的基态，如果把所有这些简并的基态视为一个集合，它的确与动力学方程具有同样的对称性。但物理上真实情况是基态只是该集合中的一个态，这个态往往不具有整个集合所具有的对称性，这就造成了对称性的自发破缺。 那么在量子系统中，重要的是量子力学的动力学方程总是线性的（Schrödinger方程是二阶线性偏微分方程），我们可以看到它也并不会发生SSB。同样考虑一维模型： 哈密顿算符 \[ \hat{H}=\frac{p^2}{2m}+V(x)=\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x) \] 依旧设计一个双重势阱 $V=\frac{\hbar^2}{2m}(16a^2 x^2-12a x^2)$ 将算符分解为 \[ \hat{\eta}\psi=\Big(-\frac{d^2}{dx^2}+16a^2x^6-12ax^2\Big)\psi=\Big(-i\frac{d}{dx}+i4ax^3\Big)\Big(-i\frac{d}{dx}-i4ax^3\Big)\psi \] 得到产生消灭算符 \[ \hat{\eta}=\hat{a}^\dagger\hat{a}\;\;\;,\;\;\;\hat{a}=-i\frac{d}{dx}-i4ax^3 \] 基态波函数为 $\phi(x)=e^{-a x^4}\;\;(a>0)$，可验证 $\hat{a}\psi(x)=0$，$\hat{H}\phi=0$ ；并且它明显有良好性质 \[ \int_{-\infty}^{+\infty}|\phi(x)|^2 dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2a x^4} dx<+\infty \] $\phi(x)$并没有节点，具有峰值，是对称的。 任何的满足$\mathcal{P}$对称性的势的一维量子力学系统 \[ \mathcal{P}V(x)=V(-x)=V(x) \] 基态波函数要么是奇函数要么是偶函数 \[ \psi_+(-x)=\psi_+(x) \;\;\;\text{or}\;\;\; \psi_-(-x)=-\psi_-(x) \] 概率密度$|\psi(x)|^2$总是对称的，因此这种情况下没有SSB 倘若势能是 \[ \left\{ \begin{aligned} \infty\;\;\;\;&\text{if}\;x\leq -a\\ 0\;\;\;\;&\text{if}\;-b>x> -a\\ \infty\;\;\;\;&\text{if}\;b\geq x\geq -b\\ 0\;\;\;\;&\text{if}\;a>x>b\\ \infty\;\;\;\;&\text{if}\;x\geq a\\ \end{aligned} \right. \] 这样解得两个势阱中的波函数 \[ \psi_{L,n}(x)=\left\{ \begin{aligned} \sqrt{\frac{2}{a-b}}\sin\frac{\pi n(x+a)}{a-b}\;\;\;\;&\text{if}\;x\in(-a,-b)\\ 0\;\;\;\;&\text{elsewhere}\\ \end{aligned} \right. \] \[ \psi_{R,n}(x)=\left\{ \begin{aligned} \sqrt{\frac{2}{a-b}}\sin\frac{\pi n(x-a)}{a-b}\;\;\;\;&\text{if}\;x\in(b,a)\\ 0\;\;\;\;&\text{elsewhere}\\ \end{aligned} \right. \] 实际上真正的基态解是它们之间线性叠加解除简并得到 \[ \psi_{+,n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{L,n}+\psi_{R,n}) \;\;\;,\;\;\; \psi_{-,n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{L,n}-\psi_{R,n}) \] 那么位置的平均值还是 $\langle\psi_{\pm,n}|x|\psi_{\pm,n}\rangle=0$，因此$\mathcal{P}$对称性也没有破缺 所以一个量子系统的基态是简并的，那么系统的物理基态通过些简并态的量子叠加得到，就往往会破除原有的基态简并性，并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。在这种情况下，自发破缺对称性现象也不存在了。 \[\] 而在多体量子系统（热力学极限下）中发生所谓自发对称性破缺，是因为自由度众多，导致叠加产生的各个能级态无穷接近（固体系统里面的准连续），也就近乎于无穷多简并态了，这就回到了连续极限下的情况中。 \[\] 而问题在于在这个极限过渡中出现的模糊界限一样，可以发现很大的有限自由度量子多体也发现能出现SSB，这感觉就不科学了（违反了所谓 Earman's Principle）。 在讨论一定格点$N$的横场Ising模型 $H=-\sum{S_i^z S_j^z}-B\sum{S_i^x}$ 时，哈密顿量是具有$\mathbf{Z}_2$对称性的 $S_z\rightarrow -S_z$（$SU(2)$被磁场$B$打破了因而对称群约化了），在有限少体（$N=2,3...$）情况下，可以解得严格基态就是叠加态 $|\Psi_\pm\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle\pm|\downarrow\rangle)$ 也完全拥有哈密顿量的对称性。这个时候我们知道系统的RG流有两个稳定不动点，其中一个就是$B=0$，这就是长程磁有序相，这时候系统就是经典Ising模型，有两种简并基态，系统发射自发对称性破缺。在有限多体情况下$B\to 0\wedge B>0$ 时候，$|\uparrow\rangle$和$|\downarrow\rangle$ 能级变得愈发接近，最终变成近简并基态；不过这样子也并不应该发生对称性破缺因为任何一种基态序算符$M=\sum_i S^z_i$都不能与哈密顿量对易。量子相变发生于零温，量子涨落成为主要的驱动因素，这就是量子涨落代替了热力学极限的效果，发生了模糊的自发对称性破缺。这实际上确实很像量子测量方面的事情，就犹如量子叠加态退相干到独立的两个简并态中（至于说到测量，这有多种理论在里头，不过唯一肯定的是，退相干或者波函数坍缩是非线性不可逆过程）。只不过相当于整个多体系统自身形成了测量环境，其之间的长程序从系统的两点关联函数角度可以反映（这也是祁晓亮的观点，通过纠缠熵反映）。这就是所谓SSB是emergent的意义。当然这还是需要系统有一定的线度（较大的N），不然两三个自由度也能发生这样的事情是不可能的，多体系统近简并态之间的能隙文小刚给出$\Delta \sim e^{-L^d/\xi^d}$，这意味着系统线度愈大近简并能级就越接近，维度愈高涨落效果越弱。如何描述有限量子系统的SSB，目前有些工作已经做到，譬如建立量子涨落意义下的修正得到的有效场理论（用了个叫Hatree-Fock投影方法）。等价于对有限格点系统背景地引入大粒子源耦合之类的使得退相干了，使得离基态非常近的极低能激发与基态干涉叠加之后将系统对称性部分“封存”了而有效emerge出破缺现象。 References [1] arxiv 1305.4473 (2013) [2] Phys Rev C.89.014334 T. Papenbrock and H. A. Weidenmüller (2014) [3] C. Yannouleas and U. Landman, Rep. Prog. Phys. 70, 2067 (2007) [4] T. Koma and H. Tasaki, J. Stat. Phys. 76, 745 (1994) ... Phantom_Ghost无论如何都谢谢你吧，我误解你最后说的那个“少体系统时候零温时没有量子相变，只有到大N极限下的多体系统才出现自发对称性破缺”，我以为你说的规范对称性。因为我们的观点是，规范对称性不是对称性，因此就没有对称自发破缺的问题，那么基态要如何体现出这一点呢。你构造的双重势阱体系不是规范体系。
Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-09-04 22:05:47
无论如何都谢谢你吧，我误解你最后说的那个“少体系统时候零温时没有量子相变，只有到大N极限下 无论如何都谢谢你吧，我误解你最后说的那个“少体系统时候零温时没有量子相变，只有到大N极限下的多体系统才出现自发对称性破缺”，我以为你说的规范对称性。因为我们的观点是，规范对称性不是对称性，因此就没有对称自发破缺的问题，那么基态要如何体现出这一点呢。你构造的双重势阱体系不是规范体系。 ... 端阳确实，文小刚书中就提及说规范“对称性”这个词并不是指所谓内禀对称性，而是一种相位自由度冗余；E大和你也在另一个贴里面提及...不过$U(1)$对称是货真价实的对称，在那篇PRC里面有提及这个例子. 我比较感兴趣是少体过渡到多体的时候发生的事情.
Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2014-09-05 10:36:24
好我看完了 谁能把E大拉进来XD 原来这是文教授问的问题，真高大 E大给的解释是把必须把量 好我看完了 谁能把E大拉进来XD 原来这是文教授问的问题，真高大 E大给的解释是把必须把量子级别的SSB跟纠缠还有退相干联系起来，然后给了两个RG理论说可能跟这些事情有关系 我想问这问题到现在有进展吗？那两个理论想解决什么问题？ ... 小五在stackexchange的那个讨论里，我最喜欢祁晓亮的回答（就是文老师最后接受的那个答案）。我觉得他的说法比我高明不少。当然这个问题也是个开放问题，每个人都可以有自己的想法。
- 文老师今年7月的paper把这个idea具现了：1406.5090v1
Phantom_Ghost (Glaube am Chaos) 2014-11-21 12:21:27
