Tuesday, August 28, 2012

擴散是一個很緩慢的過程，而擴散係數 D 表示擴散的速度。在 8.4 節已經介紹過高斯密度函數的標準差

http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_eng/node185.html

 

Diffusion 擴散


假如我們將糖放入一個裝滿水的玻璃杯，而不攪拌這杯水。這個糖將會慢慢的溶解，而糖分子將會在水中做隨機的運動。假設我們等一段時間後，這個糖水的濃度將成為一個定值。這個糖分子的隨機運動我們稱為擴散(Diffusion)，且於許多生命的流程裡扮演了一個非常重要的角色，比如說，於單細胞生物中的氣體的交換，和許多非常曉的多細胞生物中擴散扮演非常重要的角色。擴散是一種非常慢的過程，意思是若細胞需要藉助於擴散的作用來交換氣體，它們必須要靠近表層。這相對的拘限了生物體的體積和形狀，除非它們已進化不需藉擴散而有其它的交換氣體的功能。

一元擴散方程式的推導 (Derivation of the One-dimensional Diffusion Equation) 我們想要了解何種微小的描述來產生擴散方程式，我們先假設分子沿著 x 軸移動，此時我們將在時間 t 內所移動的記做 c(x, t) 。我們便可以知道分子的數量在時間 t 內在 [x1, x2) 為

N[x1, x2)(t) = $\displaystyle \int^{x2}_{x1}$c(x, t)dx


因為分子到處移動，所以分子量隨著時間變化而變化，我們將分子的淨變化量的差別以在左端點上的分子數與右端點上的分子數的差來衡量。這淨變化量我們稱為通量 flux ，且記為 J(x, t) 我們解得


\begin{displaymath}\begin{aligned} J(x,t)=\Delta t =& \text{ 於時間區間長度為 $\... ... & \text{左端點至右端點，通過 $x$ 的淨分子數}\\ \end{aligned}\end{displaymath}


即，假如我們考慮分子的變化量於時間區間 [t, t + $ \Delta$) 內且於長度為 [x0, x0 + $ \Delta$x) 的範圍內，則


\fbox{\begin{minipage}{13.2cm} \begin{displaymath}\begin{aligned} N_{[x_{0},x_{... ...0}+\triangle x,t)\triangle t \\ \end{aligned}\end{displaymath}\end{minipage} }
兩邊除以 $ \Delta$t，且令 $ \Delta$t$ \to$ 0， 我們發現
\fbox{\begin{minipage}{13.2cm} \begin{displaymath}\begin{aligned} \lim_{\Delta t... ...=J(x_0, t)-J(x_0+\Delta x, t)\\ \end{aligned}\end{displaymath}\end{minipage} }
等式的左邊等於

$\displaystyle {\frac{d}{dt}}$N[x0, x0 + $\scriptstyle \triangle$t)(t)


利用（10.22），我們可以將（10.23）寫成


$\displaystyle {\frac{d}{dt}}$$\displaystyle \int^{x_{0}+\triangle t}_{x_{0}}$c(x, t)dx


當 c(x, t) 若足夠平滑，則我們可以交換微分與積分的算子，我們發現


$\displaystyle {\frac{d}{dt}}$$\displaystyle \int^{x_{0}+\triangle t}_{x_{0}}$c(x, t)dx = $\displaystyle \int_{x_0}^{x_0+\Delta x}$$\displaystyle {\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}}$dx


注意在此 d 被置換為 $ \partial$當我們將微分放置於積分算子內時，因為先積分時該函數僅為 t 的函數，但被積分的函數原本為兩個變量的函數，x 與 t，所以們必須以偏微分的符號來表示。總結這些，我們得到方程式


$\displaystyle \int_{x_0}^{x_0+\Delta x}$$\displaystyle {\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}}$dx = J(x0, t) - J(x0 + $\displaystyle \Delta$x, t)


為了求得擴散方程式，我們將（10.24）兩邊除以 $ \Delta$x，且取極限 $ \Delta$x$ \to$ 0。於（10.24）的左式我們發現


$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}^{}$$\displaystyle {\frac{1}{\Delta x}}$ = $\displaystyle \int_{x_0}^{x_0}$ + $\displaystyle \Delta$x$\displaystyle {\frac{\partial c(x,t)}{\partial t}}$dx = $\displaystyle {\frac{\partial c(x_0,t)}{\partial t}}$


於（10.24）的右式我們發現


$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}^{}$$\displaystyle {\frac{J(x_0, t)-J(x_0+\Delta x, t)}{\Delta x}}$ = - $\displaystyle {\frac{\partial J(x_0,t)}{\partial x}}$


一個現像法則，稱為 Fick's law ，相對於濃度改變的通量。它會成立，當分子於溶液中隨機的游動。 Fick's law 敘述如下


J = - D$\displaystyle {\frac{\partial c}{\partial x}}$


其中 D 為正的常數，稱為擴散常數。它的意義為通量與濃度的變化率呈現比例的關係，於（10.26）前的負號表示分子的運動是從高濃度的區域往低濃度的區域，這和我們的觀察相符：回到糖溶解於水的例子，我們可以預料到糖分子會從濃度高的地方往濃度低的地方運動，直到最後糖分子均勻為止。

合併 (10.25) 和 (10.26) ，我們得到擴散方程式 (diffusion equation) ，即


$\displaystyle {\frac{\partial c}{\partial t}}$ = D$\displaystyle {\frac{\partial^2c}{\partial x^2}}$


這種擴散的方法在生物學上是很普遍的情形，不只是用在描述分子的運動，反而被廣泛的應用：像是因為基因的隨機選取造成的基因型改變的頻率；外來人類對於未開發地區的破壞； ,等等其他更多的東西。 (10.27) 式是擴散方程式中最簡單的樣子，在物理中 (10.27) 被稱作熱傳導方程式 (heat equation) 。是形容熱在固體棒上的傳導：其中 c(x, t) 代表 x 位置在時間 t 的溫度。

(10.27) 式是偏微分方程式 (一個包含偏導數的方程式) 的一個例子。偏微分方程的理論相當的複雜，在此超出本課程的範圍，我們只討論這個方程式的特點。
解擴散方程式
大部分的偏微分方程式都沒辦法找到實際解，通常只能用數值方法去解，即使是用數值方法也是不容易的。但很幸運的， (10.27) 式很容易找到他的解，我們假定他的解是


c(x, t) = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}}$exp$\displaystyle \left[\vphantom{-\frac{X^2}{4Dt} }\right.$ - $\displaystyle {\frac{X^2}{4Dt}}$$\displaystyle \left.\vphantom{-\frac{X^2}{4Dt} }\right]$


就像常微分方程式一樣，大家可以用上式的導數來檢驗， (10.27) 式的左邊我們需要 c(x, t) 對 t 的一次偏導數，如下


\fbox{\begin{minipage}{13.2cm} \begin{align*} \frac{\partial c (x,t) }{\partia... ...^2}{4Dt} \right]\left\{\frac{x^2}{2Dt}-1 \right\} \end{align*}\end{minipage} }
(10.27) 式的右邊我們要用到 c(x, t) 對 x 的二次偏導數，得


$\displaystyle {\frac{\partial c (x,t) }{\partial x}}$ = $\displaystyle {\frac{\partial }{\partial x}}$$\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}}$exp$\displaystyle \left[\vphantom{-\frac{x^2}{4Dt} }\right.$ - $\displaystyle {\frac{x^2}{4Dt}}$$\displaystyle \left.\vphantom{-\frac{x^2}{4Dt} }\right]$
= $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}}$exp$\displaystyle \left[\vphantom{-\frac{x^2}{4Dt} }\right.$ - $\displaystyle {\frac{x^2}{4Dt}}$$\displaystyle \left.\vphantom{-\frac{x^2}{4Dt} }\right]$$\displaystyle \left(\vphantom{-\frac{2x}{4Dt} }\right.$ - $\displaystyle {\frac{2x}{4Dt}}$$\displaystyle \left.\vphantom{-\frac{2x}{4Dt} }\right)$



因此


\fbox{\begin{minipage}{13.2cm} \begin{align*} \frac{\partial^2 c (x,t) }{\part... ...^2}{4Dt} \right]\left\{\frac{x^2}{2Dt}-1 \right\} \end{align*}\end{minipage} }
把上面兩件事放在一起比較，得知 (10.28) 可以滿足 (10.27) 。 (10.28) 就是高斯密度函數 (Gaussian denstiy) ，我們已經在 8.4 節算過了。圖 10.4 1表示 c(x, t) 在時間 t = 1, 2, 4 的情形，很清楚的，隨時間越久 c(x, t) 的密度是越均勻。
擴散是一個很緩慢的過程，而擴散係數 D 表示擴散的速度。在 8.4 節已經介紹過高斯密度函數的標準差 $ \sigma$ ，其中 68% 的面積是介於平均數的標準差之間。我們用常態分的的密度函數算 (10.28) ，


f (x) = $\displaystyle {\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}}$e- (x - $\scriptstyle \mu$)2/2$\scriptstyle \sigma^{2}$ 當 - $\displaystyle \infty$ < x < $\displaystyle \infty$


其中 $ \sigma$ = $ \sqrt{2Dt}$ 代入。D 越大擴散的速度越快，然而在時間 t 的範圍內，分子只能擴散到 $ \sqrt{t}$ 次方的範圍。
在此舉一個來自 Yeargers,Shonkwiler, Herod (1996) 的例子，看看擴散到底有多慢。在溫度 20oC 下血液中的氧氣的擴散常數是 10-5 cm2/sec ，即每一個氧分子需要 500 秒才能通過 1 公厘的距離。Ribonuclease (一種分解核糖核酸的酵素) 在 20oC 的水中擴散常數是 1.1×10-6cm2/sec ，也就是 Ribonuclease 需要 4672 秒 (約 1 小時 18 分) 通過 1 公厘的距離。這些例子說明了為什麼有機體常需要用其他有效的方法來傳輸分子。

擴散方程式 (10.27) 可以被一般化成更高維度，也就是，由 (10.25) 變成


$\displaystyle {\frac{\partial c}{\partial t}}$ = - $\displaystyle \nabla$J


而 (10.26) 變成



J = - D$\displaystyle \nabla$c


合併 (10.29) 跟 (10.30) 得



$\displaystyle {\frac{\partial c}{\partial t}}$ = D$\displaystyle \nabla$ . ($\displaystyle \nabla$c)


其中 $ \nabla$ . ($ \nabla$c) 是一個內積，也就是如果 x = (x1, x2, x3) $ \in$ R , t $ \in$ R ，則



$\displaystyle {\frac{\partial c}{\partial t}}$ = D$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\partial^2c}{\partial^2_1} + \frac{\partial^2c}{\partial^2_2} + \frac{\partial^2c}{\partial^2_3} }\right.$$\displaystyle {\frac{\partial^2c}{\partial^2_1}}$ + $\displaystyle {\frac{\partial^2c}{\partial^2_2}}$ + $\displaystyle {\frac{\partial^2c}{\partial^2_3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\partial^2c}{\partial^2_1} + \frac{\partial^2c}{\partial^2_2} + \frac{\partial^2c}{\partial^2_3} }\right)$


用一個簡短的表示，定義：



$\displaystyle \triangle$ = $\displaystyle {\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}}$ + $\displaystyle {\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}}$ + $\displaystyle {\frac{\partial^2}{\partial x_3^2}}$


其中 $ \triangle$ 被稱作Laplace operator。因此可以改寫成



$\displaystyle {\frac{\partial c}{\partial t}}$ = D$\displaystyle \triangle$c


更一般化的表示，如果 x = (x1, x2, ... , xn) $ \in$ mathbfRn ，那麼



$\displaystyle \triangle$ = $\displaystyle {\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}}$ + $\displaystyle {\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}}$


( $ \triangle$c 的發音為"Laplacian of c")
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