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這些搜尋字詞已反白標明： 泛 函 积分 低能 有效 理论
水木→理论物理→[合集] 问一个关于量子力学的基组的问题
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在求解量子力学问题的时候，我们经常用到基组，其中的数学很朦胧。比如我们经常模糊地提到基组展开的收敛问题，可是在泛函理论里面，有很多收敛，强收敛，弱收敛，依照测度收敛，点点收敛，几乎点点收敛，一致收敛，几乎一致收敛，强收敛，弱收敛，弱星收敛等。物理过程，到底是怎样严格map到一个数学模型里面的呢。
在不少量子力学的书里面，关于基组的数学部分，只是很笼统地提了提希尔伯特空间，以及完备。有内容丰富一点的相关的书或者文献推荐么？比如态究竟对应哪种hilbert空间，在非相对论量子力学里面，动能算符的积分有限，因此要求函数的导数也是有限的，但这时如果存在一些很奇异，比如r^{-2}的势场呢，态又应该属于怎样的空间，还有如何推广到多体波函数呢，QED呢？还有态的长度无意义，这在数学中又是怎样描述的？
- : Quantum Field Theory for
Mathematicians (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)
[Hardcover]Robin Ticciati (Author) 海淀图书城科大书店有卖
【 在 rsting (萧小飞) 的大作中提到: 】
: 在求解量子力学问题的时候，我们经常用到基组，其中的数学很朦胧。比如我们经常模糊地提到基组展开的收敛问题，可是在泛函理论里面，有很多收敛，强收敛，弱收敛，依照测度收敛，点点收敛，几乎点点收敛，一致收敛，几乎一致收敛，强收敛，弱收敛，弱星收敛等。物理过程
: 在不少量子力学的书里面，关于基组的数学部分，只是很笼统地提了提希尔伯特空间，以及完备。有内容丰富一点的相关的书或者文献推荐么？比如态究竟对应哪种hilbert空间，在非相对论量子力学里面，动能算符的积分有限，因此要求函数的导数也是有限的，但这时如果存在一些 - : 好的，谢谢推荐：）
【 在 SayMyName (爱生命，爱花儿，爱无奈) 的大作中提到: 】
: Quantum Field Theory for Mathematicians (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) [Hardcover]
: Robin Ticciati (Author) - :
NRQM的数学基础是严格的，可以参看梁灿彬的《微分几何入门与广义相对论》第二版上册的附录。QFT的严格数学基础没人知道，很可能需要引入新概念、新方法。路径积分的严格定义都没有，但是不妨碍物理学家计算散射截面。公理化QFT有一定进展，但离彻底解决还远得很，公理化QFT的标准参考书是《PCT,
Spin and Statistics, and All That》。
【 在 rsting (萧小飞) 的大作中提到: 】
: 在求解量子力学问题的时候，我们经常用到基组，其中的数学很朦胧。比如我们经常模糊地提到基组展开的收敛问题，可是在泛函理论里面，有很多收敛，强收敛，弱收敛，依照测度收敛，点点收敛，几乎点点收敛，一致收敛，几乎一致收敛，强收敛，弱收敛，弱星收敛等。物理过程
: 在不少量子力学的书里面，关于基组的数学部分，只是很笼统地提了提希尔伯特空间，以及完备。有内容丰富一点的相关的书或者文献推荐么？比如态究竟对应哪种hilbert空间，在非相对论量子力学里面，动能算符的积分有限，因此要求函数的导数也是有限的，但这时如果存在一些 - :
好的，谢谢推荐。微分几何和广义相对论我以前学过，可是不知道怎么会和NRQM有关系。我一直以为泛函理论才是NRQM的数学中最重要的部分。
【 在 PathIntegral (路径积分) 的大作中提到: 】
: NRQM的数学基础是严格的，可以参看梁灿彬的《微分几何入门与广义相对论》第二版上
: 册的附录。 - :
你说的没错，是没关系，那书附录讲这个纯粹是梁灿彬夹带的私货。。这方面参考资料很多，有些QM书也讲，什么谱定理之类的。
【 在 rsting (萧小飞) 的大作中提到: 】
: 好的，谢谢推荐。
: 微分几何和广义相对论我以前学过，可是不知道怎么会和NRQM有关系。我一直以为泛函理论才是NRQM的数学中最重要的部分。 - : 好的，看看再说：）
【 在 PathIntegral (路径积分) 的大作中提到: 】
: 你说的没错，是没关系，那书附录讲这个纯粹是梁灿彬夹带的私货。。
: 这方面参考资料很多，有些QM书也讲，什么谱定理之类的。 - :
这个书很差。。。我推荐Folland的QFT，这是数学家写的给数学家看的QFT，从数学家和物理学家的区别讲起，一直讲到自由量子场都是数学上严格的，到了相互作用场，再也没法保持数学严格性，才不得不跟魔鬼做了个交易。。。
【 在 SayMyName (爱生命，爱花儿，爱无奈) 的大作中提到: 】
: Quantum Field Theory for Mathematicians (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) [Hardcover]
: Robin Ticciati (Author) - : 你这书会把任何物理学家害死……
【 在 fft (止树) 的大作中提到: 】
: 这个书很差。。。
: 我推荐Folland的QFT，这是数学家写的给数学家看的QFT，从数学家和物理学家的区别 - : 这个基本上看完了就没法做物理了
【 在 fft (止树) 的大作中提到: 】
: 这个书很差。。。
: 我推荐Folland的QFT，这是数学家写的给数学家看的QFT，从数学家和物理学家的区别 - : 你拾人牙慧就算了，至少应该引用我的文献！
【 在 SayMyName (爱生命，爱花儿，爱无奈) 的大作中提到: 】
: 这个基本上看完了就没法做物理了 - : 没那么严重，因为能严格化的东西实在是不多，也就到Wightman
axioms为止。后面该路径积分路径积分、该重正化重正化，QED的几个典型例子都算到了一圈。
【 在 SayMyName (爱生命，爱花儿，爱无奈) 的大作中提到: 】
: 这个基本上看完了就没法做物理了 - :
另外一个问题是，既然可以严格化了，说明不仅物理上而且数学上都没有新东西可言（好吧至少物理上绝对没有新东西可言），那么物理学家还有什么必要知道她吗？
【 在 fft (止树) 的大作中提到: 】
: 没那么严重，因为能严格化的东西实在是不多，也就到Wightman axioms为止。
: 后面该路径积分路径积分、该重正化重正化，QED的几个典型例子都算到了一圈。 - : 严格化的目的当然是为了解决问题，莫非你觉得QFT里所有问题都解决了？
【 在 Krank (麻省也刮龙卷风) 的大作中提到: 】
: 另外一个问题是，既然可以严格化了，说明不仅物理上而且数学上都没有
: 新东西可言（好吧至少物理上绝对没有新东西可言），那么物理学家还有 - :
啥时候轮到严格化的数学，或者说对数学工具进行严格化来解决物理问题了？
【 在 fft (止树) 的大作中提到: 】
: 严格化的目的当然是为了解决问题，莫非你觉得QFT里所有问题都解决了？ - :
话说你所谓的严格化明显和数学家的严格化不是一个东西。。。。。非相对论量子力学严格化算是很成功了，你们那堆凝聚态什么的是不是可以说“没有新东西”了？
【 在 Krank (麻省也刮龙卷风) 的大作中提到: 】
: 另外一个问题是，既然可以严格化了，说明不仅物理上而且数学上都没有
: 新东西可言（好吧至少物理上绝对没有新东西可言），那么物理学家还有 - :
比如QFT中渐近级数的收敛性问题。渐近级数你懂吧？就是只截前几项很精确，截得项数越多误差越大，一项不截必然发散的一种东西。这种级数的误差项一般长成O(n!
x^n)这种样子，对于具体问题，要根据x的大小选择最恰当的n使得误差项最小。比如QED里，动量越大需要的项数就越多，反之在QCD里动量越大需要的项数则越少，因为渐近自由。现在问题来了：因为没有路径积分的严格理论，所以没有人知道QED、QCD的渐近级数的误差项长什么样，所以也就没办法知道取多少项截断最合适。虽然现在QED的计算结果跟实验符合得很好，但这只是运气罢了，幸亏我们的宇宙的精细结构常数不太大，或者也可以说，幸亏没人能把QED算到500圈，否则的话，你会发现圈数越多误差越大。至于QCD，运气就不太好了，连个质子质量都算不出来。数学中有一种发散级数理论可以帮助物理学家解决这个问题，只要能够证明那些渐近级数具有某种可和性，比如Borel可和什么的。那么QED的渐近级数是不是Borel可和的呢？没有人知道。现在能够确定的是，一些二维场论的渐近级数的确是Borel可和的，证明方法就是利用这些二维场论的严格构造，即基于Wightman公理的一些算子代数构造。如果能对QED做出类似的构造，那么也许也就可以证明QED的渐近级数的Borel可和性，进而估计误差、确定截断项数。这大概可以算是用数学上严格的量子场理论解决物理问题的一个例子吧。
【 在 Krank (麻省也刮龙卷风) 的大作中提到: 】
: 啥时候轮到严格化的数学，或者说对数学工具进行严格化来解决物理问题了？ - : QFT的渐进级数到底是微扰展开的技术问题，还是场论自身的原因？
有没有非微扰方法可以避免这个问题呢？
【 在 fft (止树) 的大作中提到: 】
: 比如QFT中渐近级数的收敛性问题。
: 渐近级数你懂吧？就是只截前几项很精确，截得项数越多误差越大，一项不截必然发散 - : 可以跟Laplace驻相法比较：我们要研究一个振荡积分的渐近行为，把它在相位的驻点附近展开，然后取有限项截断，最后也是最主要的一步是利用展开余项和一些积分不等式估计误差项。在场论中，展开成级数这步没问题，但是误差项没法估计，因为那个路径积分本身就不存在。。。展开成渐近级数主要还是为了算具体的值，如果能够严格定义路径积分，然后发展一些路径积分的数值算法，大概就可以绕过这个问题吧。格子场论的目的似乎就在于此。
【 在 mmp (mmp) 的大作中提到: 】
: QFT的渐进级数到底是微扰展开的技术问题，还是场论自身的原因？ 有没有非微扰方法可以避免这个问题呢？ - :
我的理解：QED是不可能通过Borel求和来严格化的，因为级数的收敛半径为0。二维可以做那是因为二维CFT本来就是可严格解的。
【 在 fft (止树) 的大作中提到: 】
: 比如QFT中渐近级数的收敛性问题。
: 渐近级数你懂吧？就是只截前几项很精确，截得项数越多误差越大，一项不截必然发散 - :
微扰论的问题。比如e^(-x^2-ax^4)在实轴上的积分，这个积分是收敛的，但你如果以a为小参数Taylor展开，得到的级数收敛半径为0。非微扰方法（格点场论）就没有这个问题。
【 在 mmp (mmp) 的大作中提到: 】
: QFT的渐进级数到底是微扰展开的技术问题，还是场论自身的原因？ 有没有非微扰方法可以避免这个问题呢？ - :
收敛半径为零仅意味着这是一个渐近级数。Borel可和性依赖于对展开系数阶的估计。比如f(z)=\\sum_{n=0}^\\infty (-1)^n n!
z^n收敛半径为零，但是Borel可和。
【 在 PathIntegral (路径积分) 的大作中提到: 】
: 我的理解：QED是不可能通过Borel求和来严格化的，因为级数的收敛半径为0。二维可以做那是因为二维CFT本来就是可严格解的。 - : 格点场论有没有郎道极点呢？
【 在 PathIntegral (路径积分) 的大作中提到: 】
: 微扰论的问题。比如e^(-x^2-ax^4)在实轴上的积分，这个积分是收敛的，但你如果以a
: 为小参数Taylor展开，得到的级数收敛半径为0。 - : 不知道，应该是没有。Landau
pole物理上反正是无关的，因为能级太高了。
【 在 ruster (建议刑法设立卢瑟罪和猥琐罪) 的大作中提到: 】
: 格点场论有没有郎道极点呢？ - :
对QED这个没啥意义，反正你很早就会被其他场的干扰搞乱了，根本用不着计算太高阶次
【 在 PathIntegral (路径积分) 的大作中提到: 】
: 我的理解：QED是不可能通过Borel求和来严格化的，因为级数的收敛半径为0。二维可以做那是因为二维CFT本来就是可严格解的。 - : 就是低能有效理论
【 在 ruster (建议刑法设立卢瑟罪和猥琐罪) 的大作中提到: 】
: 对QED这个没啥意义，反正你很早就会被其他场的干扰搞乱了，根本用不着计算太高阶次 - :
这么多高手，我搭车问几个QED的简单问题。
QED对氢原子的兰姆唯一是如何计算的？我能想到的两种方法如下：
a.把电子场与氢核的库仑势的相互作用放在0阶哈密顿里面（Furry picture）
b.把电子场与氢核的库仑势的相互作用，以及电子场和电磁场的相互作用，都放在相互作用哈密顿量
如果是a的话，计算出s matrix后，用Gell-mann-low理论，就能计算定态的能量修正，我有一个问题：如果推广到双原子分子，0阶哈密顿量取库仑势和Hartree-Fock势，得到的结果是一致的么？
如果是b的话，我也有一个问题。算出S matrix后，怎么算能量修正呢？是不是有类似Gell-mann-low理论的公式呢？
- : 记得我老师以前推荐过一本书Quantum Mechanics in
Hilbert Space by Eduard Prugovecki，貌似不错，不过没怎么看过。
【 在 rsting (萧小飞) 的大作中提到: 】
: 在求解量子力学问题的时候，我们经常用到基组，其中的数学很朦胧。比如我们经常模糊地提到基组展开的收敛问题，可是在泛函理论里面，有很多收敛，强收敛，弱收敛，依照测度收敛，点点收敛，几乎点点收敛，一致收敛，几乎一致收敛，强收敛，弱收敛，弱星收敛等。物理过程，到底是怎样严格map到一个数学模型里面的呢。
: 在不少量子力学的书里面，关于基组的数学部分，只是很笼统地提了提希尔伯特空间，以及完备。有内容丰富一点的相关的书或者文献推荐么？比如态究竟对应哪种hilbert空间，在非相对论量子力学里面，动能算符的积分有限，因此要求函数的导数也是有限的，但这时如果存在一些很奇异，比如r^{-2}的势场呢，态又应该属于怎样的空间，还有如何推广到多体波函数呢，QED呢？还有态的长度无意义，这在数学中又是怎样描述的？ - : 这书写的和普通场论书似乎没啥大的不同，不知到为啥要加上for
Mathematicians。
【 在 SayMyName (爱生命，爱花儿，爱无奈) 的大作中提到: 】
: Quantum Field Theory for Mathematicians (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) [Hardcover]
: Robin Ticciati (Author) - : 某些路径积分还是可以严格定义地，尤其是那些个TQFT。
【 在 PathIntegral (路径积分) 的大作中提到: 】
: NRQM的数学基础是严格的，可以参看梁灿彬的《微分几何入门与广义相对论》第二版上
: 册的附录。 - : 很难这么讲。因为有时候物理学家也不知道他们要怎么定义路径积分，比如量子引力的路径积分。假设你把这个定义为所有metrics
solutions的积分，那么在某中特殊case下，这个可以比较严格的写出来，但是你这么定义对吗？数学上的严格计算可以告诉我们通过最初的物理假设到底能得出什么结论，这样可以帮助判定最初的假设对还是不对。还是有一定的意义的。对于普通场论课本里面的那些个场论，我就不好说了。
【 在 Krank (麻省也刮龙卷风) 的大作中提到: 】
: 另外一个问题是，既然可以严格化了，说明不仅物理上而且数学上都没有
: 新东西可言（好吧至少物理上绝对没有新东西可言），那么物理学家还有 - :
如果你说的是目前的神经病QED计算的话，我还没弄懂，如果你说的只是和实验比较那种计算的话，根本没有这么复杂。这事的核心是兰姆移动是个低能行为（接近零能处），所以你可以用等效非相对论势函数来研究。然后你看到势函数的动量空间展开就是光子传播子1\/q^2。现在你把这个逻辑反倒一下，就是如果你能写出低能近似的重整化传播子PI(q),那么把这玩意变换回坐标空间就是非相对论有效势函数V\'(x)。于是你可以用V\'(x)减去标准的1\/r势，差是个小量（实际上仅仅是个delta函数），用微扰法扔在原来的氢原子波函数上，就得到兰姆移动。
【 在 rsting (萧小飞) 的大作中提到: 】
: 这么多高手，我搭车问几个QED的简单问题。
: QED对氢原子的兰姆唯一是如何计算的？我能想到的两种方法如下：
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