高等量子场论要点
来自: non_trivial2013-01-08 00:21:23
by 饶俊杰
过去的垃圾经常会变成现在的财宝，反之亦然。——A. Polyakov
一、森林的艺术
生成泛函：虽然物理学家喜欢把路径积分的泛函测度写成一个简单的D-phi，但别小看了这个，场的量子世界展现的是一片汹涌的海洋，相比之下，经典场就像一座凝结的冰山。量子有效作用量，FP鬼场，手征反常，等等，全是从这个不起眼的泛函测度里冒出来的。
连通Feynman图：存在一个优美的证明，将所有有意义的量子场过程表达为e^W，这个W就是全部的连通Feynman图。这里有意义指的是无真空图（0条外线）、无蝌蚪图（1条外线）。从此人们不用考虑不连通的图，简化了许多计算。
对称性因子：如果你不想做铺天盖地的泛函求导，就用另一种技巧吧，路径积分里的各种对称性已经自动消除了双重指数展开里的那些讨厌的阶乘因子，但这其中包含的重叠对称性并没有被考虑，我们就是要找出这种重叠对称性，然后1除以这个数目就是该Feynman图的对称性因子。
量子有效作用量：通过对连通Feynman图的Legendre变换我们可以得到一个新的作用量，这个作用量的树图层次就能给出完全振幅，也就是考虑了所有的圈图。其实这只是一个好看的框架，重正化的计算还是免不得了的。但它给出的骨架展开，使这项工作的步骤明确了很多。
交叉对称性：入射粒子和出射粒子没有本质区别，把动量、角动量、电荷等物理量反一反就行了，这节省了很多计算量。
连线游戏：给定一个Lagrange量，怎么生成给定外线数和微扰耦合阶数的全部Feynman图。其实这只是简单的连线游戏，意义不太大，但为重正化提供了很多快捷的结论。另外一个鲜为人知的结果是，微扰耦合展开和量子展开是同时进行的，具体来说，微扰耦合阶数和圈数存在一个固定的数量关系。耦合越多，量子涨落越大。
二、不存在的经典场
旋量表示：这是Lorentz对称性加上量子力学的角动量理论催生的对象，它使用一个反对称的度规，这个度规又和Grassmann数产生联系，Grassmann数给出了Berezin积分，后者是Fermi场路径积分的基础，也是FP鬼场的始祖。
扭量：无质量粒子的动量是类光的，对这个动量的开方给出扭量，扭量一般来说就是类光矢量点乘Pauli矩阵后的开方，这个开方其实是指线性分解。扭量方法在现代量子场论计算中占有极为关键的地位。
超对称：止步定理证明了Poincare对称性不可能和场的内部对称性产生任何非平凡的混合，但超对称可以做到一点，如果你把一个Bose场变成Fermi场，再变回来，这相当于把这个场在时空移动了一点。超对称让人诟病的地方是现在一个超伙伴粒子都没发现，其实这并不重要。超对称就其与旋量的关系而言，就已经是量子场论中必备的工具。比如说，超对称规范理论的单圈图比标量场的单圈图还简单，而且超对称程度越高，圈图就越简单，又比如，超对称Ward恒等式可以让你直接改造胶子振幅使其成为夸克胶子振幅。
FP鬼场：这是规范场量子化的结果，作用是固定规范。鬼场很怪，看上去像个标量场，却彼此反对易。在弦论里，看上去像个旋量场的超对称鬼场，却彼此对易。
三、多即是少，少即是多
Yang-Mills理论：规范对称性家喻户晓，但真正利用规范对称性做有效计算的时代，其实才刚刚开始，现在先不剧透。几万项Feynman图瞬间简化成一项，难道我学过如来神掌也要告诉你么。
BRST对称性：规范对称性就像一个圆，削掉圆的四边，得到一个正方形，剩下的对称性就是BRST，也就是固定了规范。上同调论方法已经成为最现代的量子化技术，比如超弦的BRST对称性，当你做完所有的共形场论计算后会发现，简直是天人合一的神作。
Ward-Takahashi恒等式与Slavnov–Taylor恒等式：这些恒等式是用来简化重正化因子的，前者是QED的，后者经过BRST的改装升级成为QCD的，非常有用。
背景场规范：这也是用来简化重正化因子的，在量子有效作用量中也有用武之地。
Gervais–Neveu规范：这就是用来实际地计算振幅的了，只是一个简化程序，意义不算深刻。不过在矩阵场的双线表示、拓扑展开和大N极限的计算中，这是最少项的。
标准模型：它的群论结构看似凌乱，其实异常优美，看看它的手征反常相消就明白了，要知道像QCD那样既不对称性破缺又不是手征的理论是比较平凡的。
大统一模型：SU(N)群破缺最便宜的方法是破缺成两个最接近的群，这个已经被证明了。SU(5)自然就是给出SU(3)和SU(2)，SU(5)的手征反常相消更为简单，只可惜给出的三个耦合常数在大统一能标处并不汇聚，除非有超对称的帮助。当然还有其他更大的群，最大的可能是超弦中的E8了。
四、与无限大的战斗
维数正则化：这是现代的重正化计算程序，其实维度并没有变，只是为了方便在Gamma函数的极点处捕获一个留数而已。需要Feynman重参数化公式和很多Gamma、Beta函数。
自能与顶点函数：根据量子有效作用量给出的骨架展开，我们只需计算单粒子不可约的Feynman图部分就行，最后把这些肌肉放回骨架中，当然，是扣掉无限大的，就得到了完全振幅。这种方法正在逐渐被现代方法淘汰。
BPHZ重正化：Zimmermann的森林公式使得系统重正化成为可能，因为交缠无限大被证明是纯无限大的一部分，没有物理效应，于是我们只需要考虑嵌套无限大和分离无限大。虽然系统重正化是非常恐怖的工作，但有了对这个森林的整体认识还是让人们的绝望少了那么可以忽略的一点。
可重正性：根据一些简单的连线游戏和量纲分析，我们知道了耦合常数量纲为质量的负数次方的理论是有问题的，比如线性化引力，这些理论称为低能有效理论，不是终极理论。这些相互作用可能存在一个隐藏的内线，代表了高能量处的新粒子。
对称性破缺：Goldstone机制与Higgs机制也是家喻户晓了，要点是对称性破缺并不影响重正化程序，放心大胆地去把那些精美的大规范群剪得七零八落吧。
手征反常：一种经典对称性在量子情形下被破坏称为反常。手征反常是最臭名昭著的一种，因为标准模型是一个手征理论，当然反常还有很多种，比如弦论里的共形反常。对于三个光子的单圈过程，Furry定理说这必须为零，但手征反常破坏了这一结论。于是我们把条件放宽，用顶点的群论因子构造反常相消，成功地绕开这一麻烦。手征流的不守恒也是类似的问题，Fujikawa方法说手征变换下作用量虽然不变，但泛函测度变了，所以手征流必须产生一个非零散度来抵消这个变化。
Yang-Mills理论的Beta函数：这个Beta函数指的是跑动耦合常数的变化关系，考虑进标量场和旋量场的耦合，并设定全部群论表示均为自伴表示，我们发现，N=4超对称YM理论原来是共形不变的。
引力：这一直是一个麻烦的东西，不过最近人们发现引力相当于双份规范场，和弦论里两个闭弦砌成一个开弦很是相像，而且超引力的不可重正性好像又有了新说法，以前的计算不完全正确。
过去的垃圾经常会变成现在的财宝，反之亦然。——A. Polyakov
一、森林的艺术
生成泛函：虽然物理学家喜欢把路径积分的泛函测度写成一个简单的D-phi，但别小看了这个，场的量子世界展现的是一片汹涌的海洋，相比之下，经典场就像一座凝结的冰山。量子有效作用量，FP鬼场，手征反常，等等，全是从这个不起眼的泛函测度里冒出来的。
连通Feynman图：存在一个优美的证明，将所有有意义的量子场过程表达为e^W，这个W就是全部的连通Feynman图。这里有意义指的是无真空图（0条外线）、无蝌蚪图（1条外线）。从此人们不用考虑不连通的图，简化了许多计算。
对称性因子：如果你不想做铺天盖地的泛函求导，就用另一种技巧吧，路径积分里的各种对称性已经自动消除了双重指数展开里的那些讨厌的阶乘因子，但这其中包含的重叠对称性并没有被考虑，我们就是要找出这种重叠对称性，然后1除以这个数目就是该Feynman图的对称性因子。
量子有效作用量：通过对连通Feynman图的Legendre变换我们可以得到一个新的作用量，这个作用量的树图层次就能给出完全振幅，也就是考虑了所有的圈图。其实这只是一个好看的框架，重正化的计算还是免不得了的。但它给出的骨架展开，使这项工作的步骤明确了很多。
交叉对称性：入射粒子和出射粒子没有本质区别，把动量、角动量、电荷等物理量反一反就行了，这节省了很多计算量。
连线游戏：给定一个Lagrange量，怎么生成给定外线数和微扰耦合阶数的全部Feynman图。其实这只是简单的连线游戏，意义不太大，但为重正化提供了很多快捷的结论。另外一个鲜为人知的结果是，微扰耦合展开和量子展开是同时进行的，具体来说，微扰耦合阶数和圈数存在一个固定的数量关系。耦合越多，量子涨落越大。
二、不存在的经典场
旋量表示：这是Lorentz对称性加上量子力学的角动量理论催生的对象，它使用一个反对称的度规，这个度规又和Grassmann数产生联系，Grassmann数给出了Berezin积分，后者是Fermi场路径积分的基础，也是FP鬼场的始祖。
扭量：无质量粒子的动量是类光的，对这个动量的开方给出扭量，扭量一般来说就是类光矢量点乘Pauli矩阵后的开方，这个开方其实是指线性分解。扭量方法在现代量子场论计算中占有极为关键的地位。
超对称：止步定理证明了Poincare对称性不可能和场的内部对称性产生任何非平凡的混合，但超对称可以做到一点，如果你把一个Bose场变成Fermi场，再变回来，这相当于把这个场在时空移动了一点。超对称让人诟病的地方是现在一个超伙伴粒子都没发现，其实这并不重要。超对称就其与旋量的关系而言，就已经是量子场论中必备的工具。比如说，超对称规范理论的单圈图比标量场的单圈图还简单，而且超对称程度越高，圈图就越简单，又比如，超对称Ward恒等式可以让你直接改造胶子振幅使其成为夸克胶子振幅。
FP鬼场：这是规范场量子化的结果，作用是固定规范。鬼场很怪，看上去像个标量场，却彼此反对易。在弦论里，看上去像个旋量场的超对称鬼场，却彼此对易。
三、多即是少，少即是多
Yang-Mills理论：规范对称性家喻户晓，但真正利用规范对称性做有效计算的时代，其实才刚刚开始，现在先不剧透。几万项Feynman图瞬间简化成一项，难道我学过如来神掌也要告诉你么。
BRST对称性：规范对称性就像一个圆，削掉圆的四边，得到一个正方形，剩下的对称性就是BRST，也就是固定了规范。上同调论方法已经成为最现代的量子化技术，比如超弦的BRST对称性，当你做完所有的共形场论计算后会发现，简直是天人合一的神作。
Ward-Takahashi恒等式与Slavnov–Taylor恒等式：这些恒等式是用来简化重正化因子的，前者是QED的，后者经过BRST的改装升级成为QCD的，非常有用。
背景场规范：这也是用来简化重正化因子的，在量子有效作用量中也有用武之地。
Gervais–Neveu规范：这就是用来实际地计算振幅的了，只是一个简化程序，意义不算深刻。不过在矩阵场的双线表示、拓扑展开和大N极限的计算中，这是最少项的。
标准模型：它的群论结构看似凌乱，其实异常优美，看看它的手征反常相消就明白了，要知道像QCD那样既不对称性破缺又不是手征的理论是比较平凡的。
大统一模型：SU(N)群破缺最便宜的方法是破缺成两个最接近的群，这个已经被证明了。SU(5)自然就是给出SU(3)和SU(2)，SU(5)的手征反常相消更为简单，只可惜给出的三个耦合常数在大统一能标处并不汇聚，除非有超对称的帮助。当然还有其他更大的群，最大的可能是超弦中的E8了。
四、与无限大的战斗
维数正则化：这是现代的重正化计算程序，其实维度并没有变，只是为了方便在Gamma函数的极点处捕获一个留数而已。需要Feynman重参数化公式和很多Gamma、Beta函数。
自能与顶点函数：根据量子有效作用量给出的骨架展开，我们只需计算单粒子不可约的Feynman图部分就行，最后把这些肌肉放回骨架中，当然，是扣掉无限大的，就得到了完全振幅。这种方法正在逐渐被现代方法淘汰。
BPHZ重正化：Zimmermann的森林公式使得系统重正化成为可能，因为交缠无限大被证明是纯无限大的一部分，没有物理效应，于是我们只需要考虑嵌套无限大和分离无限大。虽然系统重正化是非常恐怖的工作，但有了对这个森林的整体认识还是让人们的绝望少了那么可以忽略的一点。
可重正性：根据一些简单的连线游戏和量纲分析，我们知道了耦合常数量纲为质量的负数次方的理论是有问题的，比如线性化引力，这些理论称为低能有效理论，不是终极理论。这些相互作用可能存在一个隐藏的内线，代表了高能量处的新粒子。
对称性破缺：Goldstone机制与Higgs机制也是家喻户晓了，要点是对称性破缺并不影响重正化程序，放心大胆地去把那些精美的大规范群剪得七零八落吧。
手征反常：一种经典对称性在量子情形下被破坏称为反常。手征反常是最臭名昭著的一种，因为标准模型是一个手征理论，当然反常还有很多种，比如弦论里的共形反常。对于三个光子的单圈过程，Furry定理说这必须为零，但手征反常破坏了这一结论。于是我们把条件放宽，用顶点的群论因子构造反常相消，成功地绕开这一麻烦。手征流的不守恒也是类似的问题，Fujikawa方法说手征变换下作用量虽然不变，但泛函测度变了，所以手征流必须产生一个非零散度来抵消这个变化。
Yang-Mills理论的Beta函数：这个Beta函数指的是跑动耦合常数的变化关系，考虑进标量场和旋量场的耦合，并设定全部群论表示均为自伴表示，我们发现，N=4超对称YM理论原来是共形不变的。
引力：这一直是一个麻烦的东西，不过最近人们发现引力相当于双份规范场，和弦论里两个闭弦砌成一个开弦很是相像，而且超引力的不可重正性好像又有了新说法，以前的计算不完全正确。
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