在色噪声理论研究中， 主要的困难是色噪声的非马尔可夫性。以往人们研究色噪声一般
是利用泛函方法“ ，在各种近似条件下对响应函数作截断展开，从而得到关于几率密度的
番种近似类FPE．
l0B口年第4期
第l口卷
西 北 大 学 学 缸
JOURNAL OF NORTHW EST UNIVERSITY
如．4．I986
Vo1． ．
·
物理学·
非线性OU色噪声诱导相变理论
张纪岳 周沧涛
(物理系)
摘 要
本文利用Altares和Ni coli s分析线性OU色噪声的方法， 扶二维FPE 出发，
刺甩W KB击详细分析了非线性OU色噪声在其噪声强度足移小时对非平衡相变行
为的影响， 得到7定态几率密度和噪声诱导定态分支点漂移的最可几表达式。此外
对于具体模型， 讨论了噪声相关时间违于零时的白噪声极限情况， 井将有关结果与
San MiguM和Sancho及AItares和Nicoli s的姑果进行了比较。
关键词 非线性系统l噪声I福克一普朗克方程I几率密度。
O 引言
近年来， 噪声理论在非线性，非平衡及不稳定性现象的研究中已取得了很大的进展
．
特别是外部噪声不必依强于系统本身的尺度，可通过实验调节的手段来研究噪声对
非平衡相变行为的影响。现今的实验和理论表明 -1 在研究激光理论 ” ．光学双稳现
象 ，受照化学反应” ， 电子振荡器 3．液晶 ，‘Josephson结理论 。3．Rayleigh—
Benard不稳定性行为⋯，及生化系统u 中。外噪声起着相当重要的作用。
在色噪声理论研究中， 主要的困难是色噪声的非马尔可夫性。以往人们研究色噪声一般
是利用泛函方法“ ，在各种近似条件下对响应函数作截断展开，从而得到关于几率密度的
番种近似类FPE． 最近Altares和Nicolis 根据双变量马尔可夫FPE研究了线性OU色噪
声在其噪声强度足够小时的定态行为， 他们得珂： 即使是可加色噪声， 也要对定态分支行为
产生影响。实际上物理参量一般是非线性地发生涨落， 平方噪声在液晶理论的研究中相当重
要” ” 。San Migael和Sancho等利用泛函方法导出了平方OU色噪声的近似类FPE，
” “ ’
，
Luczka“” ”’利用特征函数研究了其几率分布及驰豫时间等问题，WodkiewiCZ
“” 形式地获得了其几率密度方程。本文工作是将Aita~es和Nicoiis研究线性OU色噪声的
方法推广讨论平方OU色噪声在其噪声强度足够小时的定态行为， 对于几个具体模型， 讨论
了噪声相关时间趋于零时的白噤声极限行为}并分析了线性噪声与非线性噪声对相变行为的
影响。
本文1989年6月21日收到．
34 两北大学学报(自然科学板)
1 一般理论
考虑宏观变萼 程
．
．
- 。一 ． ． ．； ．． ： + r -～ 一
( 1 )
其中“为控制参量， 且有
=口+ ( ) ( 2 )
为参量口的平均值，}(f)为无规项，且满足( (f)>=0，( ( ) (f ))= (f—f )．
将(2)式代入(1)式中，得瑚随机微分方程：
___
dx
『_
(D：，( )+ ( )+2一ag( )㈤+ ) (3 )
dr
山于在方程(3)lp含有|。( )项， 因而不能直接讨论白 声情 。考虑ou包噪声情况：
( (f) ，))=孚e 卜 -f，{ 。 )
其中D为噪声强度， 1／， 。为噪声相关时间。
满足(4)式的高斯噪声 ( )可由下面两式表述
． ．
(f)； 一r (f)十玎( )， ( 5 )
( ( )> = o， ( (f) (f )> ：D， ( — )． ‘ ( 6 )
l _
于是通过扩大悬空间变量的维数，即将磉声看做新的弯 ，从 可将4}马尔可夫色噪声
特化为二维马尔可考过程。其二维FPE为 ．
学 =_杀( )+ )+2 ∽ + )尸( 一。
+， ( ，f))+÷ 一譬 (7)
1
对于方程(7)，求其一般解是不_可能的，本文我们只考虑小噪声强度下的情况， 可采
用微扰展开方怯求该方程的近似解，利用类w KB方法“ 。 求解。令1
．
．
．
户 ， ， )：Ⅳexp{一_ [w。 ， ) ， D+0(D )])(8)
将( 8)式代入(7)武中，且比较等式两边相同的D次幂， 则可得到如下方程
一 ：
[( )+ ))+2 ]．．—
一
一 2 ( ) ㈩
肇4 张纪岳等 非线性ou色噪声诱导相鸾理论
一
一
= [(，(柚+一a zg( +2 ( ]一 bx
一
一一 苦 ～ 一 If～
一
[， ( )+ ( )+ 2 ( ) +．91( ) 。一，] (10)
方程(9)-~ Hamilton—Jacobi形式， 一般说来该方程求解仍是相当困难的， 且 。～ 般
是非全域可微的‘ ， 在Graham和Schenzle的文章申，尽管他们已研究过无细致平衡条件
成立时多变量FPENJ定态微扰解问题，但该方法只适用于某些相当特殊的模型。为了研究～ 般
问癌，一下面我们象AItare。和Ni coli。脐采用的方法一样围绕宏观“确定性 定态方程做局域
展开来回避非全局可微这一困难。考虑宏观“确定性 系统 ) =，( )+ ( )的定
态点为 ， 定义 毫 一 ， 利用，( )+Ⅱ。g(x)=0这一条件， 可在 附近展开， )
+ ( )及 ( )
f(x)+ 口( =(，，+ ： )X +- 一( + ) xi+”． (1I)
( )= + ． q-⋯， (12)
其中， 1 ， ，：— { 1 ⋯．
由于本文主要对系统的定态特征惑兴趣，面定态几率的最可几值可反映噪声诱导相变的
行为，为了得到噪声诱导定态分支的漂移量，可对“。， ．做泰勒展开，考虑P( ，|，f)
一
1 ，
的归一化问题， 至少应展开到 次壕，．如果我们考虑在 附近的行为，即只考虑 一D ，
D 这一限制， 则直到精确到D的一级近似， “。的第啊次项展开式对定态的最可几值
都无影响a因而可令
÷ 丁1 I_ 1 。+÷ |
+ ba + —— 1
·
6· 次项· (13)
利用Lemarchand和Nicolis所发展的方法 -¨， 则可求出0¨ 备系数为
0 1 一
! ± !旦： ：± ! = (14
．
0)
2Ⅱ g ，
Ⅱ ： 一
( Ⅱ + Ⅱ )
， 一一
f]4．6)
d p 9
西北大学学报(自然科学靛) to$0盘
其中
a 日 一
b-： 一
bI=
2 (／ +d。g 一／-)
(， +a g )al+／- Ⅱl6：
+a g
G l—G l6．
2 a g
b4=
G =孚 [÷(， +一az +／'~as- ]．[÷ 一号a。]
G。：一 一 +!
G。=， +口 g 一 一
一
a g
}(，+一tz~'g )+ a— ]
G．； ! + + 一
+ g
一
2 口 ai．
同样理由， 可设
”1( ， )二mlX + = +二次项．
÷ c m
将( 拍)式代八方程(10)式中， 经一定的代数运算后可得t
i =
m ,t=
[ +(， ](f~as- )一2TM a=(孚¨ z )
(， + 。g，)( 口}一 ) 一2 一ag。l
( = ，)(导
。
(15．0)
(‘l5．b)
(坫．0)
(15 d)
(16)
。
(17．口，
6．+2一ag')一2一ag[譬6。+( + )]
(／ + 口)(， 。a一，)一2， g a ． (17．6)
．
一
第4蚺 酿纪岳等：非线性ou色噪声诱导相变理语 3t
此时我们已得到了关于P( ，X )的近似微扰展开表达式。但由于本文的目的是计算噪
声对宏观定态的影响， 故必须讨论单变量几率密度。
P(X)= I P(X， )畦 ， (18
J — o 。
I
o 。
P( ) =I P(X， )dX ， (19
J 一∞
在(19)式中， 没有考虑 过程的边界，．而是将积分区域延拓到整个实轴， 这种处理在
假设存在有不可达到的边界条件时是台理的， 这是因P( ， )绕它的极值做指数衰减。
为了检查前面所利用的方法是否有效，下面我们计算了P (5)的渐近表达式．
固定5不变，对U ( ， )求关于 的极值，则有
．
口 + 口，
1
～
b z 最+ 6。5 +Dm。=0 ， (20)
即可得
=
P I +P I 。+PB． (21)
为简单起见， 可忽略 ， 5两项的影响， 则显然有。
P I= 一— L ，
口l
P ，— - ，
Ⅱ I
P。： 一 ．． (22 )
0 l
因为 为方程(1)的稳定定态解， 故展开因子一般是正的(因，，+ 9，< 0 )。重
新定义漂移置l，= 一：_，于是亩得到
．
u(1，， )=[ 0l+(÷ - 1 6I) ]Y。
+{ 6 +({。 -+-{
+ (0IPIP$+Dm，+。。P{+DmlP1)毒
+(。IPlPt+。，P： }6 +．—}6tP +} +}6。P-)
四次项。 (23)
再考虑I rI—D I。及5一D ，=这一事实， 就有
) Z／Zexp卜旨[争+D( -+ + } )5
其中Ⅳ 及Ⅳ 均为归一化常数。
+O(D )、1 J (24)
西北大学学报(自然科学版)
将各系数代^ (24)式 前的系数中，我们发现有P +m：+ 鱼墨=0，这一事实
‘ “ I
在第三节的具体模型中更加容易验证。又从方程(5)和(6)可知有
) (加r) p卜音 )· ‘(25)
于是前面所计算的渐近表达式(2d)式与(25)式是一致的， 这样就说明了我们所刹H』
的方法是有效的。
．
同上过程， 得到了 过程的定态几率密度P( )为
P( ) Ⅳ(玎[1) ／ [÷。s+(÷6 _}6·P ) ] 『，2
⋯{一 [c÷ 。zP +÷
+ (D ，J m=+D卅1) + (a zp + Ⅱa， P
+{ ÷ ．+÷ 。)x。
+0(D ]}， (26’
其审 P =一—旦L ， ．P 一 ．
Ⅱ3 ‘0 s
于是很容易得蛩『其鲁可几漂移表 式 ：
～
：一 ! ：] ) “
。l+2az．P +dl 。 (27)
这里所得到的定态几率及最可几漂移表达式不仅对任意相关时间— 成立，而且适用于
』
线性噪声和平方噪声两种情况， 只要将Altares和Ni eolis【。 所得到的0‘，6，代^ (26)式
及(27)则可验证， 但在他们所得的表达式中，只是考虑了线性噪声的情况， 而且他们巳将
各参量代入到了最后结果中， 这样从他们的表达式中， 就无法再讨论其他情况， 显然这里所
给出的结果比他们所给出的要更普遍。另外我们还可由此讨论在，+。。时的白噪声极限行为，
但将各参量代入(27)式时， 计算量相当麻烦， 此步将在对具体模型的分析中讨论。
2 几个模型的讨论
在本节中， 我们首先试图从San Miguel~lSaneho【“ 讨论过的两个简单模型来得出在
一
般耶论巾雄 舀出的结论， 最后分析了Altare~和Ni col；s 已经讨论过丁的一个模型，
并将所得到的有美结果进行了比较。
第 期 张纪岳等：非线性0U色噪声诱导相变理论
2．1 可加非线性噪声
考虑下列方程
f)一： 触× t
n
其中 为涨落参量， Ⅱ：： + (f)．
由(27)武可得最可几值为
一
} 一嚣为 ^／2)T +(3^ 2口 f。
2 f
·
[{之 一 ；
取f+ o。的白嗓声极限情况， 有
{ +等
、1 ]
一J j
一
13D
一—
’
(28)
(29)
(30 )
2．2 倍增非线性噪声
在第二个例子中， 我们考虑如下演化方程：
=-alX+fl， (31)
考虑Ⅱ为涨落参量， 可得其最可几值为
： 一一
2 Df
口 (f+ 口0)
(÷ 一1)『2+) 一3 I)f一
2 f
(T5 —1)f +(3一a4—4_2)卜4一a4
2
．
r ± f 二墨 ]’
( 2 +f ) ( 十2 f ) ，J
在f+ 。。的白噪声极限下，有
(32)
*⋯： 一～ _^ (一 一_2+÷2 )·． (∞．3 。
对于可加非线性的噪声模 ， 从(30)式我们看到其最可几值的漂移量一般来说并不为
零。由此可得到相当有益的结论： 在，+。。的自噪声极限情况下， 即使是可加非线性噪声，
]
＼-L
十
l卣北大学学报(自然科学板) l6B。年
也要引起定态分支点发生移动。这与线性噪声是显著不同的。
如果考虑D，f。均很小且z／f。为有限值的自噪声极限情况，San Miguel~q]Sancho~
非线性噪声近似地做线性处理， 从他们所得到的一维近似FPE可以得到
< 等 昔 · (34)
* = 一
一
一
c 2一a +÷ ，． ㈤，
显然(30)。(33)式与(34)， (35)式之间有一点小的差别， 这主要是考虑问题的
出发点不同以及处理的是两种不同的白噪声极限情况所引起的．
2．5 双穗援型
在Altares和Nicolis的文章中 ， 他们考虑了如下双稳模型
= ,
tx一 。+ f(}) ． (36)
这里 为涨落参量的平均值，且涨落参量为线性参量。他 l得到(令^； )
： 一—
4 d
一
4 ‘ +a ，+，
● — — = = — —— — — — —— —= = —— —— — —— — = = — —一一
(4口 +f) (2 +，) (a +，)
(37)
及
= a 一 (38)
4
如果将涨落参量看为非线性的，最简单的情况是平方参量情况， 于是可有随机微分方程
軎一= + 2 )+艄}) (3g)
( +1) +(6_2—20 )f+8
2 口0／-
一
(_2—1)，s+(2a 一lo )，～ !=塑 1
4 a。(2a +，)
．
! ±! = !
， ( 4 l+，) ( +f)
考虑，+o。时的自噪声极限， 有
。 一。(旱一寺)
(40)
(41 )
第4期 张纪岳等：非线性0U色噪声诱导相变理论
从(38)， (41)式中， 我们很容易得到： 对于线性噪声， 噪声诱导定态分支点漂移的
最可几量随着涨落参量平均值的增加而增加I而对于非线性噪声， 其最可几漂移量将随着涨
落参量平均值的增加而减少， 显然非线性噪声与线性噪声对非平衡相变行为的影响是有很大
区别的。这还可从定态几率密度分布来讨论 在图
中， 曲线0是由非线性噪声影响下的定态几率密
度， 而曲线6是由线性噪声影响下的定态几率密度；
显然曲线6的最可几定态蜂的位置比曲线。要大， 但
曲线6的峰高不如曲线∞ 此外线性噪声并不影响不
稳态的定态几率密度， 但非线性噪声使得不稳定态
的定态几率密度不再为零值，这可能是非线性噪声
影响了非平衡相变的机制。
×
一
一
山
3 结语
对于非线性噪声，如果考虑精确到o(D ) Y= 。 性D
噪
= 0
声．0
，
5=
(
阶近似， 非线性噪声只对类FPE的漂移算符有贡 性噪声。
献。此时San Miguel和Sancho将非线性噪声做线性处理是有效的I但如果考虑更高级近
似， 这种处理却失效。本文我们尝试利用W KB法讨论了非线性噪声情况， 这里不仅没有做
线性近似处理， 而且所得到的结论对任一阶相关时间均适用， 同时对线性OU噪声也是有效
的。
本文曾与宁存政同志进行过许多有益的讨论， 谨此表示感谢。
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Theory of the Nonlinear Ornstein-Uhlenbeck
Colored Noise Induced Transitions
Zhang ，iyue， Zhou Cangtao
(Department of Physics)
Abstract
1989年
The influence of the non1 inear 0U weak colored noise on the nonequi1 i
briam
transitions is investigated by making u*e of the method that A ltares
and Nieolis are used for aria1ysing 1inear 0U solutions to the bivarite
Fokker—P1anck—Equ8tion(FPE)． W e obtain the expression of the stationary
probability density a-d of the shift of the most probable value induced by
colored noise． As for some models COncerned， the white noise limit is a1 so
discussed． Finally， we com pare our resu1ts with those obtained by San
M iguel and Saneho or A1tares and Nieolis．
Key word Nonlinear system)Noise~ Fokke r—Pia~ck equation)Probability
density．
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