和乐
(holonomy) 是微分几何学的术语。物理学里引用它是先在约束的力学体系,约束条件称为和乐的,如果它
是可积的
,积分后便减少了系统的自由度。如果它是不可积的,即不能得出一个减少自由度的条件,就叫做异和乐
(anholonomy)
。在这里,和乐意味着环路积分为零,异和乐反之
第
24 卷 第4 期物 理 学 进 展Vol. 24 ,No. 4
2004 年12 月PROGRESS IN PHYSICS Dec. ,2004
文章编号
:1000O0542 (2004) 04O0458O11
收稿日期
: 2004O09O29
规范变换和量子相位因子
李华钟
(
中山大学高等学术研究中心,广州510275)
摘 要
: 本文从历史发展的和几何的角度说明规范变换,相位因子和规范场等物理概念
的关系。它是作者一组关于规范场理论记述
[1～6 ] 的后续和补充,特别是从规范的历史发展
和相位因子几何概念初步去理解杨—米尔斯规范理论的渊源。本文只是从初等水平去说明
,
不去触及纤维丛等数学
,以避免需要拓扑学的预备知识。
关键词
:规范变换;相位因子;杨—米尔斯场
中图分类号
:0437 文献标识码:A
0
引言
近年我们写了一组文章
[1～6 ] ,主题是现代规范场理论。从几个角度出发,构成一组
内容不同又相互关联的述评引介。撰写的动机有三
:一是为了杨振宁八十华诞,和杨一米
尔斯规范场的原创论文发表五十周年
(1954 年) ,表示敬意;二是解读杨振宁提出二十世
纪物理学三个主旋律
[1 ,13 ] ,其中之一的“相位因子”,三个主旋律之中:对称性和量子化是
物理学人士都十分理解的。“相位因子”提到二十世纪的主旋律之一的高度
,却不是物理
学界许多学者所料到的。因此作一些解说会有助于国内研究和教学
;三是我们相信二十
一世纪的大学物理学教师和研究者有必要知道现代规范场的一些基本知识
,如同二十世
纪的物理学者都知道相对论和量子理论一样
,作为从事规范场理论某些方面研究者,应该
为此作一些普及的努力。
本文从历史和几何的角度
,阐述规范变换和量子力学不可积的相位因子概念的关系
和发展
,它可以看作文[1 ]的后续和文[2 ]的补充。
1
矢量平行移动
当一矢量沿三维曲面上一根闭合曲线作平行移动一周后
,矢量回到原来起点时的方
向
,与原来方向会不相同。这时矢量转了一定角度,如图(1) 所示。所谓曲面上的“平行移
动”是规定从曲线一点到邻近另一点运动时
,矢量保持没有相对于曲面该点法线的转动。
因此矢量沿一开端曲线平行移动在起点处与末端处矢量在切平面上没有转动。这叫做矢
量方向无局域
(local) 改变。但在闭曲线端点与起点吻合,矢量方向相对于曲面端点法线,
却有了有限大小的转动角
,这叫做整体(global) 改变,所以矢量平行移动是“有整体改变而
无局域改变”
( Global change without local change) 的几何现象。无局域而有整体的改变称
为异和乐
(anholonomy) (参看图(1) ) 。以上对于微分几何学者是熟悉的基本概念,也是拓
扑学几何的基本概念。粗浅言之
:和乐现象表示矢量运动沿着的曲线处于平直的空间,异
和乐现象表示曲线处在曲率不为零的空间。矢量转角的大小正比于曲线所围住曲面的区
域面积支撑的立体角。这种几何概念在物理学里有广泛而多样的应用
[12 ] 。或者说在物
理世界中有许多体现。从经典到量子力学
,从质点力学到光学现象都可以找到这种几何
性质的现象。我们要讨论的是量子力学波函数的相位的几何现象。这时移动的矢量就是
波函数的代表
,即态矢,希尔伯特空间的矢量,曲面曲线是希尔伯特空间的几何事物。我
们将看到量子力学波函数的相位同这些几何事物的关系
,从这里引发出十分重要的规范
场理论。
图
1 矢量在球面上的平行移动X
2
Weyl 1919 的“规范变换”[7 ]
在许多物理的应用中
,有意思的一种尝试是H. Weyl 的早期(1918) 称之为“规范变
换”的观念。
Weyl 提出的问题是:既然沿闭路平行移动能导致矢量方向的改变,那末可否
设想矢量长度也会改变
? 为此假设每空间一点的“标度”(Scale) 不同。标度变换的意义
是
:考虑时空中邻近两点xμ和xμ + dxμ。物理量f ( x) 是xμ函数, f ( xμ + dxμ) 为f 在xμ
的邻点
xμ + dxμ之值,
4 期李华钟:规范变换和量子相位因子459
X
此图译自M. V.Berry ,“Bristol Anholonomy Calendar”刊于“Sir Charles Frank , OBE , FRS : An eightieth birthday
tribute
”, Adam Hilges 1989 P. 208
f ( x
μ + dxμ) = f ( xμ) +
9
f
9
xμdxμ (1)
由于假设每一点
xμ上标度不同,即f ( xμ) 还有一由于标度改变引致的改变,因此令S 表
示标度变换
S ( xμ) ,它使
f
′( xμ) = S f (
2)
S ( x
μ + dxμ) = S ( xμ) +
9
S
9
xμdxμ (3)
在曲线起点处
S 取为参考量S 0 = 1 ,在计及标度变换下从xμ 点到xμ + dxμ 点总的变化为
f
′( xμ + dxμ) = f + (
9
μ
+ Sμ) f dxμ (
4)
1 +
Sμdxμ 是标度因子(scale factor) ,表征标度的变化。
Weyl
取时空度规gμv ,时空间隔线元ds 表为
ds
2 = gμv dxμdx v (5)
如在时空取标度变换为度规变换
[10 ]
g
′
μ
v = eλ( x) gμυ (
6)
由此
( ds
2) ′ = eλ( x) ( ds) 2 (7)
=
1 +λ( x) ( ds) 2
可见标度因子为
1
+ Sμdxμ eSμdx
μ
Weyl
把电磁矢量势Aμ 在标度变换下,表为(8) 式。他的标度变换为
g
′
μ
v = eλgμv
A
′
μ
= Aμ -
9
λ
9
xμ
(
8)
Weyl
要求他的理论(当时考虑的是电磁与引力的) 对于这一变换不变,变换式(6) , (8) 本
来是标度
(Scale) 变换,Weyl 1919 把它叫做“规范(gauge) 变换”X 这里的标度因子是实
数
,以上变换中eλ 的λ也是实函数;这与他1929 所定义的和我们现在所常用的规范变换
意义不同。这一理论
,在那时就被许多重要的物理学家,包括Enistein 的反对也被证明为
不能正确描述电磁理论。那时这个观念被放弃了
,但这个观念到了量子力学出现之后,便
很快被正确地表述。这一段的历史在杨振宁的演讲中多次强调
,1919 年以后Weyl 放弃
了他
1919 年的理论,但1929 年他重新又发展了他的规范变换的核心思想,规范变换不变
性导致电荷守恒
,并提出形式正确的,今天我们熟悉的规范变换[7 ,10 ] 。
3
量子力学的复数相位
量子力学的建立是在
1925 - 26 年间,1927 年Fock 指出在量子电动力学中代替经典
460
物理学进展24 卷
X
“规范”译自英文Gauge 一词,本来是工程用的工具,在普通物理学实验中有叫做“线规”的工具,是用以简便测
量柱体金属的直径大小编号。美国布朗
(Brown) 大学校园有一巨大校园塑物,叫做Gauge ,就是一个“线规”的巨大模
型。“规范”的德文来源和历史请参看
[ 7 ]中的第318 页,“磁单极,纤维丛和规范场”文中的一个注,也参看[ 7 ]第361
页。
动量
P 的是广义动量[7 ,11 ]
P
→Pμ -
e
c
A
μ (9)
P
μ = - ih
9
9
xμ (10)
London
再进一步指出Weyl 理论中把Sμ 与Aμ 认同的做法应改为[11 ]
S
μ
→- i
e
¶
c
A
μ (
11)
因此标度因子
(1 + Sμdxμ) 应改为
1
- i
e
¶
c
A
μdxμ
即是
exp
- i
e
¶
c
A
μdxμ
量子力学必须出现复数
( i) 的重要性,曾经一再被强调指出[7 ,8 ]其中有重要物理意义之一
是复数相位。
Weyl 1929 认识到他先前标度变换应改变为复数的相位变换eiΛ ,“规范变
换”不是上面的
(8) 式,而应该是波函数的变换,Λ为实函数。
φ
→φ′ = φexp ieΛ/ ¶ c
A
μ
→ A′
μ
+
9
Λ
9
xμ
(
12)
回到上面第
2 节讨论的矢量平行移动问题,把它应用到现在的情形,即波函数态矢φ沿
Hilbert
空间的曲线自A 到B 点的一条路径c 作平行移动,标度因子eλ 改成了相位因子
<
BA
<
BA
=
exp - i
e
¶
c ∫B
A
A
μ
d xμ (13)
量子力学中带电质点与电磁场相互作用的理论是规范变换
X (12) 不变的这一发现是
V. Fock 1926
完成的[7 ] 。我们知道电磁作用是规范不变的,即在变换(12) 下不变。运动
方程
(Maxwell 方程) 形式不变,电磁现象不多不少地最适当的描绘是环路相位因子[9 ]
<
= exp - i
e
¶
c ∮Aμd xμ (14)
这是在量子力学波函数的相位和几何概念联系起来的最早的尝试
,平行移动矢量的转角
就体现为波函数的纯复数相位。在下文第
4 、5 节我们将着重讲到这一个依赖路径的相位
因子
(path dependent phase factor) 又称为不可积的相位因子(nonOi ntegrable phase factor) 。
复数相位出现在量子力学波函数
,在早期量子力学发展中是极为重要的,它的几何意
义从
Weyl 到Dirac ,直到1984 年BerryOSimon 经历60 年的发展,逐步地弄明白它的物理,
但看来至今仍然有待深入的研究探索。本文就是回顾“规范”和相位的历史和它的几何的
和物理的联系。从矢量平行移动的几何概念到量子力学波函数相位的几何性质
,经过75
4 期李华钟:规范变换和量子相位因子461
X
有文献认为量子规范变换要比经典规范变换复杂一点,量子力学中的物理态的规范变换也就需要计及约束条
件
,因为要纳入Dirac 有约束条件下的量子表述。参看C. Rovelli Phys. Rev. Lett . 80 ( 1998) 4613 ,“What is a gauge
transformation in quantum mechanics ?
”
年的漫长探索
,然后是无意之中的发现,量子绝热过程的研究达到的量子几何异和乐
(anholonomy)
X 。
Weyl
的规范变换,后来引入复数相位之外,还有一点重要的是eλ 中的λ不是常数是
函数
λ( x ) 。这就引入复数相位因子eiλ( x) 相应一维的U (1) 群的元素。这样电磁相互作
用便成为对
U (1) 定域规范不变。关于这一点在文[1 ]已经论述过。还应该提到杨振宁曾
说过“规范场”这个命名并不合适
,要重新命名的论文应该叫做“相位场”XX。
4
量子异和乐(Quantum Anholonomy)
我们已经看到在电磁与物质作用的量子力学理论中
,如何引入了波函数的复相位因
子。现在我们再从几何观点看复相位因子
,在量子力学,量子态的“平行移动”,即量子态
随时间的演化
(evolution) 。实际上是由系统的Schrocdinger 方程支配。驱动演化的作用
是哈密顿算子
H. 为了使平行移动过程中量子态,虽然变化但不发生跃迁,对于平行移
动
,在依赖时间的Schrodinger 方程中哈密顿算子H 的时间变化要加入绝热条件。即将
H
随时间的变化用一组参数λ(1) (λ1 ,λ2 , ⋯λi ⋯) 的缓变来控制,所以平行移动一周的循
回哈密顿
(Cyclic Hamiltonian) 表为
H = H
λ( t) ,
0 ≤ t ≤ T
λ
(
0) = λ( T)
(
15)
此时就可以应用量子绝热定理
,每一个瞬时哈密顿,把时间作为参数固定(而不是作为连
续自变量
) 的本征态| <
n
〉的矢空间作为量子态波函数| φn〉的矢空间的子空间,从
Schrodinger
方程得到量子平行移动的法则,
〈
<
n
( t) |
Û<
n
( t)
〉= 0 (16)
平行移动一周导致态矢的相位有一改变。
|
φn ( T)
〉= exp -
i
¶
∫
T
0
d
t En λ t
T
exp
[ iγn ( c) ] | φn (0) 〉(17)
γ
( c)
就是1984 年M.Berry 发现的量子几何相位, 这个相位的几何性质十分显然[12 ] 。
量子力学波函数的相位因子有一部分与系统能量有关
, 一般称为动力相位
(dynamical phase)
因子,1984 年才发现巡回过程还有一部分只与参数空间(λ一空间) 中
的路径
c 的几何有关,与系统的动力学细节无关称为几何相位(geomet ric phase) 因子属于
不可积的相位
(nonOintegrable phase) 因子。这个相位因子的研究,始于H. Weyl 经过V.
Fock , F. London
到P. Dirac ,然后是杨振宁(C. N. Yang) ,M. Berry 到现在,看来还在深入
探索中。
462
物理学进展24 卷
X
XX
参看[ 7 ]第361 页末
和乐
(holonomy) 是微分几何学的术语。物理学里引用它是先在约束的力学体系,约束条件称为和乐的,如果它
是可积的
,积分后便减少了系统的自由度。如果它是不可积的,即不能得出一个减少自由度的条件,就叫做异和乐
(anholonomy)
。在这里,和乐意味着环路积分为零,异和乐反之。
5
不可积相位因子,Dirac 理念
对于量子力学波函数的相位
,Dirac 作过细致深入的分析。他清楚论证,引入依赖路
径的不可积的相位因子的可能和合理
,并且可以导引出新的物理。(参看[ 12 ]第四章,第
十一章§
11. 7) 。大家都知道,不是相位本身的值,而是相位差才有可观测的意义。Dirac
设想
,有时两点间的相位差也是不确定的。只有相邻两点(坐标x a 和xμ + dxμ , dxμ 是一
阶微分
) 间的相位差才是确定的。有限距离AB 两点之间相位差依赖不同路径而可以不
同
,相邻两点的相位差则是确定的。当然有一些情况是A ,B 间相位差不依赖路径,这是
不少经典光学的例子。
Dirac 说明还可以有另一种情况是两点之间相位差是依赖路径的,
后者的相位因子称为不可积相位因子
(nonOi ntegrable phase factor) (参看[ 12 ] §4. 4 (4. 4.
3a ,b) (4. 4. 5. 8)
式) 。
把电子波函数记为
φ
( x ) = φ( x) eiβ( x)
<
( x) 为通常的单值函数,β( x ) 通常是有不完全确定的部分。连两点间的相位差也不确
定
,它无物理意义,同我们可观测的物理效应无关,可以协定取为零,或者用一个不影响可
观测物理量的变换
,变为零。另一部分相位是本身不确定但两点间相位差是确定,而且有
可以观测的物理干涉效应
,现象是众所周知的。还有一种是两点之间的相位差依赖于连
接两点不同路径而不同
,也是不确定,但相邻两点的相位差则是确定的,这就是说β( x )
的空间导数是确切定义的
,令
k
μ =
9
β( x)
9
xμ
(
19)
k
μ
是完全确切定义的。但kμ 不满足可积条件,即
9
kv
9
xμ
-
9
kμ
9
x v
≠
0 (20)
由
Stokes 定理
∮
C
k
μ( x )
d xμ ≠0 (21)
∮
9β( x )
9
xμ
d
xμ ≠0 (22)
如令
k
v ( x) =
e
¶
c
A
v ( x ) (
23)
则
β( x) = -
e
¶
c∫x
p
∞
A v ( x) d x v (24)
P
为从∞处到x 点的路径
这时相位因子
expiβ( x) 变为
exp -
i
e
¶
c∫x
p
∞
Aμ( x ) dxμ (25)
4 期李华钟:规范变换和量子相位因子463
是依赖路径的相位因子。依赖路径
,即是最简单的点线几何主导相位因子,或者也称不可
积的相位因子。所谓“不可积”的命名从
(20～22) 式已经清楚。从本文第2～5 节看到量
子力学不可积相位因子
,两条不同的思路而达到一致,其一是WeylOFock ,其二是Dirac ,
从不可积相位因子可以推导
Maxwell 方程。这在我们另一篇关于量子力学相位因子的文
章已经讲清楚了
[1 ] 。现在最有兴趣的是不可积相位因子在量子物理系统内对称多维空
间的推广。由杨—米尔斯开拓的同位旋内对称空间的非亚贝尔规范变换和规范场。
6
模型演示:相位与几何
现在让我们用一个玩具模型
(toy model) 来演示波函数的相位与态矢空间的几何关
系
,模型的量子力学哈密顿为H[12 ]
H = -
1
2
9
9
φ
2
+
α f φ -
珔φ
2
+ f φ -
珔φ
2
+π (26)
这一模型可以直观地粗略表示为一个质量为
m = 1 的粒子在一个转动着的圆环上周边的
图
2 在转动园环周边槽
上转动粒子的运动
图
3 波函数态矢空间几何和不可积相
位因子
槽中运动
(图(2) ) , φ( t) 为粒子质点位置的极角坐标,珔φ( t) 是环
上某一参考点的角位置。
f (φ) 是一个周期为π的任意实函数,
它的具体形式对我们要讨论的问题并不重要。当圆环缓慢转动
时
,珔φ( t) 是随时间缓慢改变的参数,粒子的波函数为φ(t) 。
H
有下列对称: (i) 对于变换φ φ+π不变,珔φ任意固定值;
(ii)
对变换φ φ+ 2π不变
对于瞬时的哈密顿
,即一定值珔φ下的H , 可以讨论H 的瞬
时本征态。当参数
珔φ( t) 运转一周即φ( t0) φ( T) =φ( t0) , H
( t
0) = H( T) ,哈密顿回到原值。现在问Ψ(φ) 的相位在t0 到
T
时作何变化? 即φ=φ0 到φ=φ0 + 2π, Ψ(φ) 的相位有怎样
的变化
? 简单计算证明[12 ] ,当φ φ+ 2π,
Ψ
(φ,珔φ)
→eiπφ(φ,珔φ) (27)
如果把
Ψ 作为希尔伯特空间的矢量,珔φ作为参数空
间变量矢
,那末在起始时刻珔φ= 0 到周期末珔φ= 2π,
矢量
珔φ在参数空间转了一周,矢量Ψ - Ψ ,即态
矢方向转了
π。起始时刻态矢方向朝上,则在周期
之末
,矢量方向朝下。将态矢φ表示为一簇方向平
行的矢量场
,则在珔φ 作0 →2π的缓变后φ矢方向
要倒转。这一簇态矢必须在空间下有一个结
,最简
单的设想是一
Moebius 带,如图4 将长条纸带扭转
180
°后,将对顶点A 点与D 点、B 点与C 点粘结形
成。这就造成
Moebius 带:
在
Moebius 带上点p 取一法线n ,将此法线沿
曲面转一圈再回到
p 点时,此法线反向,带上与AB
464
物
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