qft01 线性薛定谔方程 粒子个数N> 10 时 半导体电子数量级在103 到1026 之间

多粒子量子系统是由多个粒子通过相互作用形成的微观系统，它广泛存在

于半导体物理、等离子物理、凝聚态物理和分子动力学等领域， 对它的科学研

http://www.math.nus.edu.sg/~bao/thesis/Zhang-Yong.pdf

究有重要的理论意义和应用价值。本文所研究的薛定谔

-泊松方程组是对多粒子

非相对论量子系统的一种单粒子波函数近似。

N 粒子非相对论量子系统的波函

数

(x1; x2; : : : ; xN; t) 满足如下线性薛定谔方程：

i

~

@

@

t = HN :=

26666664

􀀀

~

2

2

m

X

N

j

=1

xj +

X

N

j

=1

V

ext(xj) +

X

1

j<k N

1

j

xj 􀀀 xkj

37777775

; (1-1)

( ; t = 0) = 0(x1; x2; : : : ; xN); (1-2)

其中

HN 为哈密顿量， 为复值函数， 0 为初始波函数，~ 为普朗克常量，m 为

粒子质量，

Vext 为外场，xj 2 R3 为第j 个粒子所处的位置。

一般来讲，线性方程

(1-1) 没有解析解，并且当粒子个数N 10 时，方程(1-

1)

的直接数值模拟已因现有计算能力限制而无法实现。对粒子数远多于此的实

际问题，如半导体

(其电子数量级在103 到1026 之间) ， 通常的做法是，利用不

同的波函数近似来简化方程，通过求解简化的方程

(组) 来逼近原问题。若波函

数满足

Hartree 近似[1]，即 (x1; ; xN) 可写成N 个规范单粒子波函数 k 的直

积

(x1; ; xN) =

Q

N

k

=1 k(xk) ，利用变分方法可推导得到定态的薛定谔-泊松方程

组

[2]。但Hartree 近似仅适于全同玻色子系统，因其不满足泡利不相容原理，所以

不适于全同费米子系统。针对全同费米子系统，

Fock[3]和Slater[4]提出了Hartree-

Fock

近似，此近似将波函数写成N 个规范正交单粒子波函数 j 的Slater 行列式，

即

一般来讲，线性方程

(1-1) 没有解析解，并且当粒子个数N 10 时，方程(1-

1)

的直接数值模拟已因现有计算能力限制而无法实现。对粒子数远多于此的实

际问题，如半导体

(其电子数量级在103 到1026 之间) ， 通常的做法是，利用不

同的波函数近似来简化方程，通过求解简化的方程

(组) 来逼近原问题。若波函

数满足

Hartree 近似[1]，即 (x1; ; xN) 可写成N 个规范单粒子波函数 k 的直

积

(x1; ; xN) =

Q

N

k

=1 k(xk) ，利用变分方法可推导得到定态的薛定谔-泊松方程

组[2]。