粗几何 设(X,d)是一个度量空间。对于拓扑学家来说，这里度量d的意义体现在它产生的开集。但是，这种从度量到拓扑的过渡，损失了大量的信息

1 粗几何

设(X ,d)是一个度量空间。对于拓扑学家来说，这里度量d 的意义体现在它产生的开集。但是，这种从

度量到拓扑的过渡，损失了大量的信息。事实上，由度量诱导的拓扑只反映了度量空间的“小尺度”结构。

例如，度量d' (x, y)  mind(x, y),1与d 定义了同样的拓扑，但d'显然失掉了d 的尺度大于1的几何信息。

粗几何的观念与拓扑的观念则刚好相反，它是从“大尺度”的角度研究度量空间的几何，使得“从遥远处

看起来一样”的两个空间，比如实数直线 和整数格点 ，在确切含义下是等价的

gaokaomm

这两天想了想，进步很大。
尤其谢谢vichare，搞清这个问题对我确实很重要，我不是数学专业的。
因为学图形学，所以想在几何上学得深一点。于是学数学专业的空间解
析几何，找了好多书，最后借到了苏步青的老古董空间解析几何，后来
在一家旧书店买到了这本老书。确实是非常好的一本书，很薄，但内容
实际很丰富，是真正的专家写的，和现在的砖家不是一个档次的。比较了
N多近年砖家出的空间解析几何，佩服苏老先生得紧。第一章讲向量代数
绝不引进坐标而推导出向量代数的性质，第二章讲直线与平面，推导公式
也不先引进坐标，用向量推导出公式定理然后把坐标代入，直接得到结论，
只要记忆向量形式就可以了。后面曲线和曲面也尽量用向量先处理，再代
入坐标。他的再传弟子黄宣国也写了本空间解析几何，也很薄，在曲面部分
推导了苏步青书中曲面部分省去推导的公式，书也不错，但太早引入坐标，
一些向量公式引入坐标来证明，但两个专家比较，我还是赞赏苏步青的处
理方法，一开始就引入坐标导致推导烦琐，却忽视了基本思想形成过程
的脉络。由于佩服的紧，就继续学他写的微分几何，发现要用常微分方程
组的理论，于是去找来复旦的常微分书，发现要用JORDAN标准型，想来想
去就学深点的高等代数吧，微分几何书里最后有个拓扑学的附录，学代数
拓扑又需要群论的基础，实际上现代微分几何和我的图形学关系已经不大
了，图形学主要在三维空间内讨论问题，加上齐次坐标算四维吧。但读了
微分几何的书却了解到现代微分几何的一些问题，于是想想全学了吧。于
是了解到数学专业的老三大（分析，高等代数，解析几何）和新三大
（实变泛函，抽象代数，拓扑）分别以分析，代数和几何来分类。纯自己
看书，请教砖家也没脸，这里都要被人说了
“lxxxxxxxxx
为什么要在书中告诫你不要产生这种错误理解？作者不可能蛋疼去想你们
可能会把定义误解成什么鸟样吧。。。。”。
还不是砖家就要学砖家来教训人家，让他做砖家还了得？反正我砖家从外
国或中国抄来的东西肯定是正确的，还需要解释吗？你不懂是你悟性超级
低，我不需要跟你解释。
张筑生在他的微分拓扑新讲(不好意思，书买了，但现在还不是读的时候）
里面说了：有些砖家“把容易看出”这句话作为证明方法。张筑生提倡：
“即要精确细致，又不要陷于迂腐，关键在于重视叙述的启发性”好的书
好的专家真的应该启发别人的。
不过也有好专家的，除了前面说到的空间解析几何和微分几何的书，我学
实变和泛函找到一本好书，就是经济科学出版社90年代出的一本实变和泛函书
实变函数论与泛函分析 严绍宗，童裕孙编著实际上两个人都是非常有名的，
实变函数论与泛函分析 夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌这本书有名吧？一开
始就讲抽象集合上测度，对我自己看书真太难了，悟性真的不够，经济科学
出版社出的那本很不错，不过我一直没跨过胸中的那个疑问，这也严重影响
了我的思维从有几何形象可以想象的空间向一般抽象集合上的空间转化。
现在学拓扑学要从度量空间再度抽象，去掉距离，直接以开集来定义拓扑空
间，这个思维反映了现代数学一步步的抽象过程，但我对度量空间的
基础---开集尚保留了疑虑，所以排除这个疑虑对我非常重要。
真的很谢谢vichare。
现在我也可以总结一下了。
数学分析->泛函分析->拓扑的抽象过程
研究对象：欧氏空间的点集(区间等等)->抽象集合->还是抽象集合
最重要性质：欧氏空间的映射连续性->度量空间的映射连续性->拓扑空间的映射连续性
映射连续性的刻画:欧氏空间距离->度量空间的距离->去掉距离,直接用开集来刻画
欧氏空间是度量空间,度量空间是拓扑空间，反过来不一定成立。