diffgeom01 Gauss在曲面上定义了一个所谓的曲率概念

现代微分几何的萌芽
我的切身体会是，几何学家是好人。
——
Jesse
Dgoulas(1936yr.
Fields)
历史的讲，黎曼几何是三维空间中曲线和曲面微分几何的自然演进。给定三
维空间中的一张曲面
S
，我们有一个很自然地方式来给定其上切矢量的长度。只
需把任意一点
p
处的向量内积
<v,w>
简单等同于三维空间中的标准内积，
从而曲
面上的（诱导）度量，长度概念也就有了。接下来，曲线长度的计算归结于速度
矢量长度对参数的积分。事实上，有了度量概念，我们不但可以计算曲线长度，
与此同时，曲线夹角、局部区域的面积计算等也都是水到渠成的事。总之，通常
几何上的一切与测度概念都可以在曲面上展开。
进一步，
长度的概念还导致了一
批特殊的曲线，即所谓的测地线，具有特殊的涵义：任给测地线上的两点
p
、
q
（严格的说，两点间不存在共轭点对儿），则
p
、
q
间的测地线距离小于等于任
意连接这两点的曲线距离。想起初中平面几何课堂上一再重复的
“
两点间直线段
最短
”
，我们有理由猜想测地线可以扮演
“
曲面上的直线
”
的角色。确实，测地线
在一定意义上，
被看作弯曲空间里的直线，
这也是它们受到广泛重视的原因之一。
注意到，解析的讲，曲面上的度量概念，等价于在每一点定义一个正定的二
次型（二次型系数都是曲线上的可微函数），亦称为曲面的第一标准形式。自高
斯以来，第一标准形式的几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。
微分几何学发展史上极其浓墨重彩的一笔，或者说现代微分几何学的开山之
作，是
Gauss
在
1827
年所发表的《关于曲面的一般研究》（一个英译版本可见
Gauss
，
K.F.,
General
Investigation
of
Curved
Surfaces,
Raven
Press,
New
York,
1965
）在这项工作中，
Gauss
在曲面上定义了一个所谓的曲率概念，来度量任意
曲面在一点
p
附近，偏离切平面的程度。用现代的观点来看（事后诸葛亮地看）
Gauss
的核心想法是在曲面每一点处定义一个单位法向量，
从而给出了从曲面到
三维空间中单位球面的一个可微映射（如今这就称为高斯映射）。如果曲面
S
是可定向的，高斯映射是整体
Well-Defined
。在高斯时期，定向的概念还没有得
到很好的关注。事实上，直到
1865
年，
Mobius
才在他提交的论文中给出了第一
个不可定向的例子，
即著名的
Mobius
带。
现在定向是微分拓扑里的首要问题了，
顺便提一下，
按菲尔兹奖获得者
Thom
的观点，
人们至今还没有完全挖掘出定向
概念的真正内涵。
言归正传。高斯时期并没有整体的定向概念，所以他的
“
高斯映射
”
只是局部
的定义在曲面片上
（同样的原因，如今本科阶段的微分几何也只是讨论曲面片的
微分几何）。不过，不管是整体的还是局部的，高斯建立了从任意曲面（片）到
单位球面的高斯写像，
这是一个可微映射，
从而我们可以谈及其微分
（众所周知，
微积分的一半任务就是对可微映射取微分，直觉地讲，
微分就是可微映射的局部
一阶线性逼近，
这是数学里惯用的把戏，
因为线性映射是我们最得心应手的工具）
，
从而诱导出从曲面切平面到单位球切平面的一个线性变换。
Gauss
把他的曲率定
义成这个切映射的行列式，
行列式越大弯曲程度越厉害，
行列式为零正好对应着
曲面上的平坦点域，
这和我们的直觉是一样的。
同样的论文里，
Gauss
还指出了，
他的曲率正好与早些年间（
1760
年）
Euler
在曲面上任意点处所定义的两个主曲




2
率的乘积相吻合，不同的是这个量后来被称为
Gauss
曲率，而不是
Gauss-Euler
曲率。
还是提一下
Euler
的主曲率概念吧（尽管其已黯然失神于高斯伟大贡献的光
环之下）
。
早些年间，
Euler
用垂直于曲面的平面去截曲面，
得到平面切痕曲线，
自然可以定义其曲率，称方向曲率，旋转垂直平面的方向，得到一族方向曲率，
所谓的欧拉主曲率，就是这一组曲率中最大的和最小的那两个。在欧拉时代，人
们并不清楚一个关于主曲率的函数就可以完全地刻画曲面的弯曲程度，
高斯的研
究表明，两个主曲率的乘积就够了。
人们常说，曲率是现代黎曼几何的核心概念，这是指黎曼曲率张量。但要说
明白曲率为何重要却不是件容易的事情，
一个原因在于这不是仅凭直观的生活经
验或直觉就能领略到的，
必须借助一些严谨的数学演绎，
总之必要的抽象是需要
的，
这也是至今
“
弯曲的时空
”“
时空扭曲
”“
内蕴弯曲
”
等概念一直让人费解的原因。
很多科普书声称他用很生活化的语言，
画几个图解释清了什么叫高维空间的曲率，
其实他所写的东西往往与声称要解释的东西完全两码事。
从分析的角度看，
曲率
张量刻画了矢量二阶协变导数的不可交换性，
这确实与欧式空间的情况不同，因
为我们明白通常的二阶偏导数可交换。而要从几何角度（真正地）理解曲率，要
引入
Jacobi
场（广义相对论里叫测地偏离方程）概念，这应是另一篇博文的主
题。
继续关注伟大的
Gauss
。高斯于
1827
年的文章中，有两个重要的创举：第
一，高斯曲率仅仅依赖于曲面的度量，或者曲面的第一基本形式（称为高斯绝妙
定理）；第二，测地线所围成的三角形
(
测地三角形
)
内角和不一定等于
180
°
，
但它仅依赖于三角形区域的曲率积分。前者是内蕴几何学的开端，
后者则与几何
学上的
“
千年悬案
”
第五公设问题密切相关。
种种迹象表明，
Gauss
很清楚自己研究成果的深远意义。事实上，高斯时
期的一个世纪难题是：判断欧几里得几何第五公设（初中几何第一课学过：过直
线外一点有且只有一条直线与之平行）是否独立于另外几条公设。早些时候，第
五公设等价于三角形内角和是
180
°
，这是勒让德的工作（又一个生不逢时，不
幸埋没于高斯光环下的伟大数学家。他与高斯的另一件
“
悲惨遭遇
”
是勒让德分布，
被后人叫成高斯分布）。高斯的第二个发现表明，至少在二维情况下，可以构想
一个几何体系，
其性质完全依赖于其上的第一标准形式
（而完全不依赖于外围空
间）。在这种几何里，测地三角形（代替通常的平面三角形）的内角和依赖于曲
率。事实上，
Gauss
确实验证了，它与
180
°
的差量正好等于三角形区域上的曲
率积分。这种几何体系不满足第五公设，但满足所有其它公设。然而，高斯当时
并不具备足够的数学工具来发展他的几何构想（事实上，
他缺少一个完备流形的
概念，而这要等到二十世纪才由
H.Weyl
来给出）。另外，他也不愿意公开讨论
这个备受争议的话题
(
我们知道高斯的谨小慎微是出了名的
)
。事实上，非欧几何
学的诞生最后被正确的归功于俄国的
Lobatchevski(1829)
和
Bolyai(1831)
，可想
而知，
这两位的理论都经历了相当长的争议期，
后者甚至为此精神失常。
注意到，
他们的非欧几何学都不是从时髦的微积分入手的，
如今它们只是数学博物馆里的
精品。现代非欧几何的教材往往用微分几何的方式展开。




3
这里有必要说一下，提到
Gauss
，很难不让人产生一种天才情愫。各种描写
高斯的史料里都渲染了一种个人英雄主义传奇色彩。
一般来说，
一个数学家一生
中能产生三五个真正奇妙的想法就很满意了，而高斯一生中的灵感，
可以说是雨
后春笋般源源不断，真是让人没办法。读
Gauss
，伤不起啊伤不起
…
回到正题。高斯的微分几何思想后来在
1854
年，被
Riemann
重新拾起
（
Riemann
，
B.,
On
the
hypotheses
which
lies
at
the
foundation
geometry
一个
英文版本可见
Spivak
的书）。尽管黎曼当年并没有一个恰当的微分流形概念，
他不加证明的用直觉性的语言描述了我们今天所说的
n
维流形概念。
循着高斯的
心路历程，他在微分流形的每一点赋予一个正定二次型（如今称为
Riemann
度
量），借助
Gauss
的内蕴曲率给出相应的
Riemann
截面曲率概念。进一步，黎
曼陈述了一系列曲率与度量的关系。
在接下来的几十年里，
这些都被一一证明了。
黎曼当年的就职演讲，
使人相信，
他的工作受当年几何学中的另一个问题的启发，
即我们生存于其中的物理空间与几何学的关系。
事实上，
当时非欧几何学的诞生，
已经使人们怀疑三维空间欧式几何的先验性。
例如，
当时
Lobacheviski
就曾设想
宇宙空间应由他的双曲几何来描述，后因与天文观测不符而作罢。
黎曼在当年的
就职演讲里，
已经提到这样的想法：物理空间到底应该由哪种几何来描述当由物
理观测来判定；
物质的存在可能使空间发生内蕴弯曲。
注意到当时黎曼并没有四
维时空（准确的说，叫
Minkovski
空间）的概念，因而，毫无疑问，广义相对论
的创立要等到
20
世纪初期。当
Einstein
为他的引力理论缺少合适的数学而抓狂
不已时，一位数学家好友（大学考试前时常借给他作业本）向他介绍了意大利学
派
Ricci
，
Levi
Civita
等他人正在研究的张量分析和黎曼几何。
就是
Einstein
也表示难以相信，
半个世纪以前，即有人在数学上为广义相对
论的萌芽奠定了基础。
毫无疑问，仅仅这篇就职演说，就可以让黎曼名垂青史，然而，在他短短的
40
年生命里，还有那么多令人惊叹的创见。值得一提的是，伟大如黎曼，其一
生却未获得过任何奖项，仅有的几次报奖也因过于简短，证据不足而退回。真是
冤哉枉也！
如今，当我们津津乐道以其名字命名的
Riemann
积分，
Riemann
假设，
Riemann
引理等概念时，
是否想到过黎曼穷困潦倒，
如流星般匆匆闪过历史苍穹
的一生！也许，有这么多美妙的理论与之作伴，
Riemann
在天堂里的生活也不寂
寞了。
谨以此篇，献给那些为追求真理，不慕容利默默奋斗的数学英雄们