讀書筆記-物理、數學、電子、小說

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窮人的微分幾何6 流形與纖維叢

分類：讀書心得

2007/08/25 11:10

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流形(manifold)跟歐氏空間的關係可以用地球跟世界地圖的關係來比喻。我們知道一張世界地圖無法完全的描繪出地球的面貌，明顯的因為平面跟球面本身在拓擈上就有先天的差別。通常的世界地圖把北極畫成了一條線而不是一個點。對要飛航過北極的飛機而言，解決這個問題的最簡單的方法，就是帶很多張地圖，有的以台灣為中心區域，有的以北極為中心區域，每個地圖可適用於地球的某一部份，各地圖間則有一些地帶可以互相對照連接。這種用一組歐氏空間來描述的某個彎曲空間，就被稱為流形。通常我們希望地圖與地圖之間的變換函數能夠被微分，則稱為可微分流形。
纖維叢(fiber bundle)則是流形與乘積空間的推廣。所謂空間的乘法，實數線X乘上實數線Y就是二維實數(X，Y)平面，而實數平面再乘上實數線Z，就變成了三維xyz空間。如果將流形上的每一點都乘上某個空間(這個空間就被叫作纖維)，則這個乘積的結果就成了一個纖維叢。
一如二維平面上我們可以對每一個x定出一個y形成一個函數，在纖維叢裡也可對流形上每一個定出纖維上的一個值，這樣定出來的結構稱為此纖維叢之截面(section)。
微分幾何裡有二個纖維叢比較常被提及，一個是把流形任何一點上的所有切向量組成切向量空間，把這個切向量空間當成這點的纖維，形成所謂的切叢。切向量空間裡可以選用各種座標，各座標可以用座標變換運算互換，所有這些座標變換的運算本身也形成一個空間，通常是一個李氏群。以座標變換群為纖維所形成的纖維叢被稱為主叢(principal bundle)。
1 如果在主叢上定出一個section，則這個section將流形上各點間的不同座標變換相關連起來。如果我們規定這二點上被section所連接的不同座標是平行的，則主叢的section事實上就是connection的定義。
2 把整個主叢當成一個流形，再取這個section的切向量，這個切向量是這個主叢切向量空間裡的一個子空間，被稱為水平切空間H。選定了H，就是選定connection。
3 對主叢的切向量T，我們可以唯一把它分解成T=H+V -> V，V是一個李群的微分，也就是說，我們有一個微分形式，它會作用在T上，而得到李代數g的值。定義了這個g-值微分形式，也就等於定義了connection。
可以証明，以上三個方法，都可以當成connection的定義，它們之間是互等的。利用這種方法，我們可以脫離了原來的平行直覺，而定義出在廣義空間裡的connection。

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回應(3)

於2007/08/29 21:08 回應

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回見師：現在有不少物理系理論物理專業研究生的微分幾何課程會講到指標定理，有的甚至還會講到非交換幾何。只是聽的人不多，聽得懂得人更少，我看到聽到修此題目的很多人的自信心受到重創，我也懷疑教授是否真的懂到了較深的程度。有個教授甚至私下說過：you have to be gifted with some very, very peculiar hardware in your brain to have a full understanding of the AS index theorem! 可見對絕大多數人而言，這個東東確實是個非常可怕的monster。感覺見微師可能把它降服。

見微知幾於2007/09/06 22:28回覆

現在的學生實在是很幸福，在我讀大學的時候，微分幾何只能到數學系去學，可是數學系的老師又不懂物理，所以常常要聽一大堆很抽像的數學理論之後，才會找到一些跟物理相關的東西。
不過我可以想像的到，像AS定理這種在數學系要學過數門高等課程，經年累月後才能推出來的定理，在物理系則是在一年的課程裡要強塞給學生，學生通常都會消化不良吧。
忘了以前在那聽過的一句話：之所以能學會一門學問，不是因為你最後搞懂它，而是因為你習慣它了。我蠻贊同這句話的，不懂的東西就一直算一直算，有一天就會覺得自已懂了。其實是習慣了而已。

於2007/08/28 11:20 回應

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見微師寫的微分幾何給人一針見血的感覺，三言兩語就能提供一種很獨特的視角，順著你的視線一看，哇，比我們教授的長篇大論講的清楚多了。憑師之功力，一定可以把指標定理的迷霧驅散，解救長期受其威嚇的眾多學子。
加油！

見微知幾於2007/08/29 15:27回覆

窮人的微分幾何系列寫到這裡，自覺已經力盡。我本來想寫到特徵類的介紹，可是發現其中跟拓擈相關的概念很難三言二語講清，功力不足是也。畢竟不是以這個為專業，寫這些文章只是讓自已在寒暑假不會玩瘋了而已。
我倒是很想知道現在有學校在開指標定理的課了嗎？在我唸書的那個時代，指標定理只會是數學系裡某個讀書會的標題而已。

sufi於2007/08/26 17:01 回應

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鼓掌！老師你寫得真是好！好懂又嚴謹。
能不能拜託老師寫寫指標定理呢？還沒有見過既容易懂又沒有失去精華內容的通俗文章。

見微知幾於2007/08/27 16:29回覆

Atiyah-Singer指標定理牽連太廣，大概要同時對分析跟拓撲的直覺都建立的很好，才有辦法給出一個通俗易懂的說明。我自認還沒摸的那麼熟，沒辦法給你什麼幫助。不過這是一個蠻好玩的目標，我會想法慢慢向那邊前進。
會學到指標定理已經不算窮人了，應該是理論物理或數學方面的專業人士吧。比起來，我其實是業餘打混的，有機會請多指教。