等离子体中相对论性电子回旋波色散关系~ - 物理学报
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由 吴俊伶 著作 - 2005
忽略不计. ′. 在经典力学中，粒子分布函数是由刘维方程来描述的，刘维方程出发点是动力学系统. 的连续性.只要系统是由正则方程描述，并且所有的正则变是连续的 ...
第42卷第5期
l993年5月
荨 珥 ，杠搅牲 屯 糟
物理学报
ACTA PHYSICA SINICA
V01．I2．No．5
M ay．1993
<，_78
等离子体中相对论性电子
回旋波色散关系
邋
中国科学院合肥等离子体物理研究所．合肥230031
1992年7月31日收到I1992年9月21日收到修改稿
丁L 6 f z
I
推导了一般条件下的相对论性电子回旋渡色散关系．其中采用了相对论性惨正的分布函数．对
奇点作了较好的处理．所得到的公式可直接用于计算一般条件下的相对论性电子回旋波的传播和
吸收阃题．为高温等离子体波的研究提供了一个很方便的理论公式．
PACC： 5240D~5250
随着Tokamak研究的发展。等离子体参数不断提高．一般等离子体温度可达几十个
keV．其电子的速度可与光速相比．因此相对论效应相当重要．目前，等离子体中的相对论
效应研究非常活跃。已延伸到很多方面．如等离子体中驱动电流的相对论效应 ；相对论
性分布函数及等离子体输运过程研究 ；电子回旋共振加热(ECRH)加热等离子体的磁
流体动力学(MHD)稳定性问题 等等，相对论效应已成为当今等离子体物理研究的一个
重要方面．
相对论效应对电子回旋波加热过程的影响也是很明显的．在共振层附近，由于函数的
奇异性。相对论效应带来的微小修正也将导致函数较大的变化．这一点也表现在空间等离
子体中的Maser不稳定问题中．那里相对论效应导致的结果与非相对论性结果完全相
反．实验也证实了相对论结果．在Tokamak等离子体中，粒子的分布函数与Maser中的
损失锥(1ose—cone)不屙，但其温度相对而言是很高的，相对论效应仍然很明显．研究相对
论效应的关键在于对色散关系中奇点的数学处理．一般而言，当 ∥：0时奇点的处理可用
朗道路径方法解决。这与非相对论的情况类似．如Fidone等人“ 和Chn 都研究了这类
情况．他们的结果也都反映了相对论效应的重要性．
对于 ∥≠0的情况，对奇点的处理会很复杂．本文利用复变函数的性质对奇点作了很
好的处理．给出j∥任意值情况下的理论公式．它不仅可以计算吸收过程的相对论效应，而
且也可以计算传播过程的相对性结果。尽管传播过程的相对论效应很弱．
二、相对论性色散关系推导
考虑均匀磁场，并且假定电子为麦氏分布．在电子回旋波频段c-．～ ，离子质量远大
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物 理 学 报 42卷
于电子质量， ．《 ，因而离子的响应可以不考虑．这时系统主要表现为电子回旋波与电
子的相互作用．在色散关系中，离子的贡献与电子相比是很小的，因此关于离子的项都被
忽略不计．
在经典力学中，粒子分布函数是由刘维方程来描述的．刘维方程出发点是动力学系统
的连续性．1只要系统是由正则方程描述，并且所有的正则变量是连续的物理量，则刘维方
程成立．相对论力学中，粒子的动力学方程具有正则方程形式，而且也具有连续性．因此在
相对论力学中，刘维方程仍成立，
堑Ot +。誓由 dt +。 ap 业dt 一C(q⋯，P”， (⋯)
式中q，P为正则变量iC(q，P，f)表示由于不连续过程(如碰撞、粒子产生和淫没等过程)
的贡献．在我们所考虑的具体情况下，授有粒子的产生和淫没．另外，在电子回旋波时闻尺
度上，可作无碰撞近似，即C(q，P，t)一0．在相对论力学中，带电粒子的运动方程为
警 ( + X。) (2)
或 (，’l )一 X B+ eE．
在磁场B= cOttst，E一0时，方程(2)的解的精确式为
= cosl-~．(f—t)+ 们，
，一一 sinl-O．(f—t)+ 们，
一 ， (3)
式中 —f ／T~ eB／m y．(3)式在形式上与经典结果相同．用未扰动轨道积分可求出受
扰动后的分布函数变化量^．从^可求出电流
_，一Σ吼l ．d ．
仅保留电子项，将^的结果代入后得
一，一JI ，
一
墨鬟 {
一iv~J 。
3
f 1
({A iA J (罟 +A ) )IEl， (4)
【垃J
式中 A，= (1一 ) + af
，
A ：= 一 ，
∞ 却l ∞
A ．
在相对论情况下，麦氏分布的形式如下。
)=南(芋 只exp[-- (y一1)]，
(5)
(6)
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5期 吴俊伶：等离子体中相对论性电子回旋波色散关系 777
式中 足一[1+萼 +攘( ～．
R<I，在低能时R≈1．将(6)式代入(5)式中得
=一 (争)3， 等 竿 ”R，
A2— 0，
s一一 (予 苎
从(4)和(5 )式就能得到等离子体的电导率 将(4)式与，=d· 比较，即得
对于给定的单色渡，其介电张量e与a的关系如下：
￡： ，+ 旦
m n
； ，+ 皇J
． =，一c．A~To一矗1 ) v~丽dr#dr~R 。，
式中 c 一訾 等=鲁去c争 ，
一
詈
一i n
J．
f詈 而 ‘， ， ‘， )
为求出上面的积分式，将上式过渡到动量空间中．动量与速度的关系为
一m ，
p 一m ．
其雅可比行列式f
印
3p
面
Or#
劬∥
0o#
： ，
(7)
(5 )
(6 )
(7 )
t：f f_m ～．
知道了速度与动量空间之间的雅可比变换，下一步就是先将积分式中的Bessel函数展开
成级数
J (z)一(号) (1一 {_工荨+ 1 +⋯，
J一 ( )= L(一 )，
(z)一些 一L+ (z)
．
对￡的第一个元素 。
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778 物 理 学 报 42卷
一1 旱) 咀j．ze-竽c
用j )的递推公式和展开式，当n=1时，
(号)。 1 Jz_(寺) J{
(1一专 +面专 )(保留到 )t
将 = _Lvx／t~代入上式得 一1的积分项
c 』 蛊 扣c 一÷簪+ 一 ”
= e』 [{ 一 一- !]e一 一”． cs)
从上式看出，展开后的积分式都可写成关于嘞口i的多项式，s=0，1，2，⋯， 一0，l，2，3，
⋯． 上式中，除了吻 项外，回旋频率力 与相对论因子7有关，因此 也是 ∥j_和 的
函数，为方便设0o=0~／7，力 是静质量回旋频率，因而与 ∥， 无关．
除了系数外，上式每一项都能写成 ， 的一般形式，即
』 c ⋯一矗1I．
令上式为G(s， ， ) f一0，1，2’'I，， 一0，±l，土2，⋯变换成P∥，P 空间的积分，则G(s，
t， )写成
G 崛 c一 c k~C 叫 e一‰ )·-c。
将(户∥，P )变换成(户∥， )空间的积分．其步骤是利用公式
户三= m c ( 一1)一户》，
P／／= 声∥， (10)
其雅可比式1．，
oo)．这里
P dp L d户∥一m c Ydrdp∥， ’
l—m ，户∥的积分限为(一n，n)，而r的积分限 (1，
a=巩c q ．
将(10)式代入(9)式中，最后整理成如下形式
G )= ( ( r (
2丌 』* 』 ∥ c
× 二 y [硝c ( 。一1) 必
c 一 ， p H
为方便引入符号 ，其定义如下：
口竺口 ； (2 )⋯¨ G(s， ， )
(11)
(12)
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5期 吴俊伶：等离子体中相对论性电子回旋波色散关系 779
式中 ·注意，对ECRH 而言， 《1(小拉奠尔半径近似条件)．．利用 ，介电张量
元写成下列简单形式：
一1～ [ 1+ z(一 + ) ]+O(r／t)，
一i[ + 矿(一 + ) ]+ o(矿)，
一 [ +矿(一 + ) ∥]+ 。(矿)，
：1一[ ¨ 矿( 一边 +华M]+ )，
： 一j[ ( 一 学) i ∥+矿(一寻
+ 一 ) ∥]+ 0(矿)，
一1一[ + 矿( + 一 ～ 2 。) ]+0(矿)，
” 一e 's一 ' 一一 ． (13)
E仍然是一个反对称张量．
三、对G(s， ，f)的奇点计算
上节得到了相对论性情况下电子回旋波介电张量的一般表达式．它们归结为对
— i 的计算，即对G(s， ，￡)的计算(见(12)式)．G(s，一，￡)为一个二重积分，且内重积分
为一个含参量7，而且奇点又与7有关的积分，所 (11)式不便于计算．由于(11)式的形
式很难用朗道路径的方法，因此本节将讨论这一问题．
引入变换
： 丝
．
m C
G(s， ， )写成如下形式：
G(s,n,t)⋯nst d d
其中 = √ ， 。一 (y～ ￡)，￡一 皿 ／∞，一∥一 ∥c／∞ ，
const 一去( )。( c／ ) 。(m ／了') 。1 ／,A—m ／丁
如果令
日一 a ⋯，
： 一r～。 二 !±三 ! 垒± ! 二d ．
一r L ‘
上面被积式中，分子为一个多项式，展开后具有以下形式：一( z— )r矗+ ( 。+b +
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⋯+ c ”一)．因此，(14)式可以写成两项，一项是包含奇点的项，另一项是无奇点的普
通项．即
H — H n+ H ，
式中H 为含奇点的积分，
』 (15)
而另一项形式较复杂，但是只要作简单而枯燥的运算即得(利用公式：(n+ 6)|一
Σ 口 ‘。)
日Hn。=： Σ Σ Σ = 啦 ，+z．c
× a2 一 0 一 ～ ，
式中[ ]表示取￡ 的整数位．再利用恒等式Σ(一1) c秘 (一1) 和予c =
c_二 ，上式还可 写成更简洁的形式
H 。一骞 每 ~+21-zi+l 1．
利用复变函数理论
lng(z)一P In I譬( )I—i~O[- g( )]， (16)
式中“P”为主值符号，口(z)定义如下：
if01 z≤≥二0o}
．
利用(16)式，(15)式H 可以积出
H =一( 一 5) [1nI a -xoI—i (} 专)]· (17)
由已定义的量 = v， = 和如一 (y一} )代入后知
} 毒一[正数]×( 一1)( — )( — )·
这里[正数]表示一个大于零的数；7 和7z分别为二次式 》( 一1)一(7-L)。的两个数．
根据二次式实根的存在定理和二次式正负特性，得到下列两种情况：
1．当 <1时，
疗( )=J疗[￡一、／1一” ] 当 < < ’ (18a)
“1- 【0 当y< 】或 > 2．
2．当 >1时，
c 一 誊 ㈣
E面两式中，已认定 < ，目 和 由下式给出：
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5期 吴惶传，等离子体中相对伦性电子回旋渡色散关系 781
一 ，认 < 。． (19)
将H。，H．代入式G0， ，￡)一c。IIstrr—z(H。+H )e一 ( d7中．I~t(14)，(15)，(17)，
JI
(18a)和(18b)式得到
G 一 —一c鲁 。 c字 fa，， e一 ，
； 竞
~- o 誊
#-o
c～ 一
+ [ 一1一 (y一毛) ]I[ ( 一毛) n
~， 一土(y一乇)
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．!! !．．．．．．．．．．一
~， + ] - (7一毛)
∥
， (20a)
G 一 ( T 一⋯．
co
)，
当n∥<1时，
g；[r。y一。[一》( 一1)一( 一毛)z]I( 一毛)一e一竿tr一 ’d (毛一√1一n》)I
J 71
当n >1时，
g三I y一。[一 ( _二1)一(y一乇)。]I(y一乇)le一十 d7， (20b)
， 2
G0，n，I)一Gc(s，n，f)+ iG1 ，n，I)． (20c)
至此，已得到了G(s， ，f)的计算公式，它们纯粹是一些积分和求和的基本运算，在计算机
一j
上容易实现．由于积分中都带有e-：6- ，而m ／T一般都在几十或几百的敦量级，因
而可作近似．
对一 一0的情况，可以写出较好的近似公式
f0 O一奇敦或}< 1)I
G 。， ，f)一j一 √导 — L (写 ) 毛( 一m 一1‘丁 。-1l)J 赶 }=士le 一 -1 (21b )
l }- D
【 当s一偶敦，}≥ 1， ．
G ，n，￡)兰G。(，，n，f)+ iG(，， ，f)，毛一 ，R即(7)式．
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(21a)式由(20a)式直接作近似而求得，其条件为TKKm c。．对(20b)式作一些积分变换，然
后再利用TKKm c。条件而求得 一。极限下的值即(21b)式．利(21)式可以很方便地讨论
∥一。时的问题．
值得注意的是(21b)式与其它作者所得公式一致．如Chu 在^∥一。的假设下求得4
个函数；G(0，1，1)，G(0，2，2)，G(2，1，1)和G(2，2，2)．这4个函数与本文(21b)式一致．
四、电子回旋波色散关系计算
等离子体色散关系的一般形式为
detD 一0，
r 一 ￡ +n ∥]
D一 一 》一 1．
+ n n∥ 一 J
此处已设定未扰磁场方向为。方向，等离子体不均匀方向为X方向 ∥平行 轴， 平行
轴，如图1所示．
^
7 、
h
囝1
利用(13)，(20)和(1 2)式可以得到一个关
于n 的多项式
尸( 1)一o．
求解此式，即可得到回旋波的传播特性和吸收
曲线．
图zYv不同温度下得到的一组曲线．图2中
纵坐标轴是波矢的虚部，反映吸收的强弱．虚线
是相应的非相对论性结果．图zee从低到高依次
为T一0．5，2，10keV．在图2中，温度升高时，吸
收都是增强的． o”模和“x”模都是如此．这也说
明温度上升时，共振粒子是增多的．但是相比之
下相对论效应使得吸收对温度的响应要慢．特别是在高温下差别更大．另外，图2中也显示
在温度较高时，相对论性吸收区域是向高频(或高场)方向移动．
实际上，上述差异都是相对论物理基本规律的体现．狭义相对论最基本的假设是物质
不能以超光速运动．因此共振粒子必定都是小于光速的，由共振条件 一nn—hz ∥一0，
共振粒子的速度 ∥一( —an)／^ < c，即 > 1一 ∥．只有满足此条件时才会有共振
粒子．这里 一 为回旋频率与波动频率之比． 为整数．这说明在低场边，回旋频
率小时没有共振粒子，因而当温度升高时，吸收区域不会向低场区扩展．从本文公式中得
到的更精确的相对论性条件为(见(2ob)式)
> ．
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5期 吴俊伶：等离子体中相对论性电子回旋波色散关系 783
(a)x模 (b)o模
图2
⋯为非相对论性I—— 为相对论性} no(1 。，口。) # )一To(1一 。／4。) #⋯0 2 m
= cos75 ；uiM ．qee≈ 0．6#R = 0 98M [I'Io一9．o X lO 一。；Bo= 5TjTo一0．5·Z·10 keV
另外，在相对论情况下，运动粒子的质量为速度的函数，因而回旋频率也与粒子的速
度有关．在一给定的空间点，粒子的速度有一个分布，质量修正使部分粒子偏离共振，因而
相对论性吸收比非相对论性弱．相反，在共振粒子少的弱吸收区，相对论性吸收比非相对
论性强．这是因为考虑质量修正后，满足共振条件的粒子数目增多．
五、结 语
从本文可以看出，在keV数量级以上，相对论性效应就非常重要
(a)x 模
基900
图3 对应图2中的键矢实部
50 o 50
x(mm)
(b)O 模
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本文中的处理用到了Bessel函数的展开式，在高温参数下，小拉莫尔半径是否成立，
即能否有(h ) 《1呢?图3是在图2同样参数下对应每个解的实部h ．
从图3中可知，在所计算的参数范围内，无论是O模还是X模，其值 < 2000 m～，
由此可以估算(h P睡) 值
A=^』 一h 。
一 ‘
厂__ ． 一、
：7．54× 矿 [ ] kev， ’
在本文计算中， < 10 keV，^i< 2000m一，B。= 5T．代 得 一 一
A ≤ 0．1
或 (^l ) ≤ 0．01．
因此在最坏的估算下，仍满足小拉莫尔半径近似的要求．
对于To= 0．5 keV， (h )。≤ 4．5× 10。‘I
对于 一2 keV， (h ) ≤ 1．8× 10～．
以上都是取h = 2000，B一5 T，
Ez] Relltivistie El~eClS in pl~ma．Pr0ceediwl‘ the workshop on Plmsm~B c Reneareh，P．I-l_‘
Ez] Rellti~ltie Elleet~in pl~ma．Proceed s the啪|kB|帅0B plmsnm L ie Reu~reh，P．1-l_
E33 Relatlvistic F_~fectJ in P]0~nm．ProceedlnllB the wo ~ hop on Plmsn~ c Relse~rch,p’B-I．
[4] I．Fido~e．Q Gransta，G_Rimoni，R．L．Meyer-PhysicsFl~kis，21(1978)-64 15．
[5] K．R．chu-Nvd~ar^‘ _，25(1985)，“．
1lm RELATIVI! C ELECTR0N CYCI rrR0N W AVE
D ERS_0N RELA．I10N PLASM A
WU JUN-LING
』mm ofP~sma撤嘶，Acad~ a 81n~ca,蹦23003l
(Received 31如 19921revi~ed姒nu dpl received 21 Septemhe r l902)
AIk~FRACT
刀 re]ativi~t／c e]ectron cy~]otron ∞ dispersion relation has been derived ~nalytically
with th e e!ectron distribution function also a re!ativi~tie one． 坨sjrIglIlarity which is inevitsb!
e in these problem has been calculated~m lytically thout imlx~ing any conditior~ So
theformula obt~inc d here c8n be directly appliedtothegener~J sit．donofwa propagation
and absorption．It provided a convenient formnia for the study of lIigh temperatu．re pl851r~
electron cy~]otron wa ．
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