2010年5月26日星期三
彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)
昨天在書中看到了彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)，覺得很有意思，在此與大家分享。
這個悖論講的是一個擲硬幣的賭局。參加的賭客要先繳1000萬的錢，無論輸贏這1000萬都不會退回給賭客。
遊戲規則是這樣的。先擲一次公平硬幣。若出現反面則賭局結束，賭客一毛錢都拿不到。若出現正面，則賭客的彩金2萬元，並還有再擲一次硬幣的機會。第二次丟擲時若出現反面則賭局結束，賭客只拿到目前所累積的，也就是第一次擲時所贏到的彩金2萬元。若第二次出現正面，則賭客目前的彩金加倍成為4萬元，並還有擲第三次硬幣的機會。如果第三次擲出正面，則彩金又可以加倍，並有擲第四次的機會。以此類推，若賭客可以擲出連續n次的正面，則彩金為2^n萬元，並獲得擲第n+1次硬幣的機會。但任何時候擲出反面則賭局就結束，賭徒可以拿走目前所累積的彩金。
如果是你，要不要參加這樣的賭局?
大部份的人都不願意，認為風險太高。
理性的人可以分析一下這種賭局的期望獲益。第一次就擲出正面的機率是1/2，可以得到2萬元；連續兩次擲出正面的機率是1/4，可以得到4萬元。以此類推，連續n次擲出正面的機率是1/2^n，可以得到2^n萬元。因此這個賭局的彩金期望值為
2 * 1/2 + 4 * 1/4 + 8 * 1/8 + ... = 1 + 1 + 1 +... = infinity
結論是獲益是無窮大，就算入場費要1000萬也值得一賭。
這樣的分析結果與我們的直覺不符。這又再一次證明了人的直覺是靠不住的。
這個悖論講的是一個擲硬幣的賭局。參加的賭客要先繳1000萬的錢，無論輸贏這1000萬都不會退回給賭客。
遊戲規則是這樣的。先擲一次公平硬幣。若出現反面則賭局結束，賭客一毛錢都拿不到。若出現正面，則賭客的彩金2萬元，並還有再擲一次硬幣的機會。第二次丟擲時若出現反面則賭局結束，賭客只拿到目前所累積的，也就是第一次擲時所贏到的彩金2萬元。若第二次出現正面，則賭客目前的彩金加倍成為4萬元，並還有擲第三次硬幣的機會。如果第三次擲出正面，則彩金又可以加倍，並有擲第四次的機會。以此類推，若賭客可以擲出連續n次的正面，則彩金為2^n萬元，並獲得擲第n+1次硬幣的機會。但任何時候擲出反面則賭局就結束，賭徒可以拿走目前所累積的彩金。
如果是你，要不要參加這樣的賭局?
大部份的人都不願意，認為風險太高。
理性的人可以分析一下這種賭局的期望獲益。第一次就擲出正面的機率是1/2，可以得到2萬元；連續兩次擲出正面的機率是1/4，可以得到4萬元。以此類推，連續n次擲出正面的機率是1/2^n，可以得到2^n萬元。因此這個賭局的彩金期望值為
2 * 1/2 + 4 * 1/4 + 8 * 1/8 + ... = 1 + 1 + 1 +... = infinity
結論是獲益是無窮大，就算入場費要1000萬也值得一賭。
這樣的分析結果與我們的直覺不符。這又再一次證明了人的直覺是靠不住的。
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