一、引言
在理論物理發展過程中，同樣的物理數學方法與概念可被應用在不同的物理系統中似乎屢見不鮮， 然而近20年來，像凝態物理中的量子霍爾理論與高能物理中號稱最後的唯一統一場論的超弦理論，能如此同步地交互發展，相互影響且共享相當多的數學物理技術與方法，並能相當程度地同時吸引兩個研究領域的科學家的關注，委實並不多見。
依筆者淺見，此或許是因為二者都是二維的量子系統所致(弦論中最重要的出發點即是Polyakov 的二維世界面的量子路徑積分)，雖然霍爾理論是原子尺度(~1Å)的物理現象；而弦論的研究對象則是普朗克尺度(~10-33cm)的世界。然則此二研究領域的宿命卻是截然不同的，霍爾理論的研究已先後在1985與1998年獲得諾貝爾物理獎的肯定，其中1998年且有華裔實驗物理學家崔琦得獎；而回顧弦論發展的三十年歷史，雖也曾風光一時，集天下英才於一身，然其一路跌跌撞撞、廣受爭議，卻也是不爭的事實。
本文撰寫的初衷之一，即是希望能給國內弦論工作者一個簡單的分數量子霍爾理論的介紹，特別是近幾年來為大家所關注的不對易分數量子霍爾態，所謂的Moore & Read (MR)態極可能描述實驗上ν=5/2平台的報導。此霍爾態因違反ν的分母為奇數的Laughlin規則而聞名，它的建構與弦論的發展有極為密切的關係。另一方面也希望能藉此提供國內凝態物理工作者，特別是對低維強相干電子系統研究有興趣者，一個一窺弦論工作者所能提供的研究利器。
二、量子霍爾效應(QHE)
在大一普通物理課本中所提及的古典霍爾效應是在1879年由霍爾[1]所提出，當初的設計是用來決定二維電子系統的導電粒子是帶正電或負電。
考慮在z軸向強磁場B作用下的X-Y平面二維電子系統：電子密度n延x軸方向以電流密度JX流動；羅倫茲力建立了y軸向電場Ey；其比值定義了霍爾導電率：
)(2heEJyxHνσ=， (1)
分數量子霍爾態與弦理論
文/李仁吉
摘要
此文介紹弦論及霍爾理論之交互影響及發展。
■ ■ 物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 805
其中BnneBnhc=≡ν，BeBhc≡n。上式中h為普朗克常數，c為光速，e為電子電荷，n表量子力學處理中(所謂蘭道問題Landau problem)簡併基態的量子態密度。在量子力學中，由於包立不相容原理，每一電子佔有一等量的面積B≡22hceBπ，稱磁長(magnetic length)。
由上述ν被稱為填充分數(filling fraction)，物理上它表示每一簡併基態被填充的電子個數，例如：ν=1表所有第一蘭道能階的所有簡併態均被填滿；ν=2表示第一及第二蘭道能階的所有簡併態均被填滿。在此注意到在蘭道問題中，吾人未考慮電子與電子間的庫倫作用力，而只是解了二維電子在均勻磁場下的量子力學方程式，且假定電子的自旋自由度是被強磁場所凍結而呈現自旋偏極化(spin-polarized)狀態。
(A) 整數量子霍爾效應(IQHE)
在霍爾實驗近一百年後，1980年Von Klitzing [2]發現在低溫強磁場下與ν(或Hσ1B)未呈現如預期的線性關係。他發現在某些特定的ν值：ν=1,2,3,…，不隨磁場增加而改變，相反地卻呈現所謂平台(plateaus)現象。 Hσ
此實驗結果可被應用來精密度量基本常數h及e，在實驗物理中巨觀的物理量()被量子化且可被用來度量微觀的基本常數(如普朗克常數h及電子電荷e)並不多見，Von Klitzing也因此發現而在1985年獲頒諾貝爾物理獎，然而故事並未因此而結束。 Hσ
(B) 分數量子霍爾效應(FQHE)
在Von Klitzing的實驗後兩年，1982年[3]Tsui(崔琦)、Stormer及Gossard在更低溫(~1。K)及更高磁場下(~30 Tesla)觀測到ν=1/3、2/5、3/7等的平台(ν=1/3為最顯著的實驗值，底下討論將以此為主)，此現象被稱為分數量子霍爾效應(FQHE)。
ν=1/3態似乎暗示每一蘭道簡併基態只填了1/3個電子！或者說庫倫力開始顯現效應而破壞了原有的蘭道簡併。一年後，1983年[4]理論物理學家Laughlin提出了著名的量子多體波函數，稱為Laughlin波函數：
)2(,]4exp[)(~),...,,(2221ΣΠ−−Ψ<kkmjijiNzzzzzzkkkzxiy=+式中為第k個電子的座標，為前 述之磁長，而m = 1,3,5,…為奇整數。注意到m = 1即為蘭道波函數之Slater行列式。Laughlin波函數與前述之實驗家Tsui及Stormer共享了1998年諾貝爾物理獎。
這個被Laughlin本人聲稱為開啟二十一世紀新的電子學之門的波函數至少具有以下重要特性：
1. 指數函數前的前置因式只與z有關而與z*無關，此與基態波函數之要求有關；前置因式為一多項式則與角動量守恆有關。此等特性埋下了日後弦論中二維保角場論的應用(見後文)。
2. 由電漿對比(plasma analogy)之計算易得ν=1m。數個電子的數值計算顯示(2)式極精確地描述基態波函數。
3. m = 3、5、7之多體波函數為一集體的強相干
■ ■ 物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 806
電子波函數(strongly correlated electrons)，不能如傳統凝態物理中透過微擾之單電子波函數經由Slater行列式建構而得，此顯示強庫倫作用力已悄然起動，不能如IQHE中被忽略。
4. m必須為奇數，此乃為電子的包立不相容原理之必然結果，此預伏了日後ν之分母為偶數之霍耳態在理論及實驗上之探討(見後文)。
Laughlin波函數為一相對穩定之基態波函數，其激發態不同於一般費米液(Fermi liquid)之準電子激發(quasi-particle excitation)，而是一帶分數荷e/m的集合準電洞激發(collected quasi-hole excitation)，在此強調它是一"共舞電子群",而非真正粒子。更有趣的是，此準電洞所遵行的量子多體統計規則既不是費米子亦非玻色子，而是介於兩者之間的任意子(anyon)。Berry phase的計算顯示二等同準電洞座標之交換將使多體準電洞波函數得到 eiπ/m之相位。這個奇異的量子統計規則乃根源於二維空間之特性。事實上在D≧3維空間，N個等同粒子的結構空間之第一同倫群是大家熟知的置換群(permutation group)PN，它的對易表現(abelian representation)有費米子及玻色子。例如在D = 3維空間的量子力學多體波函數。然而在D = 2維空間，N個等同粒子的結構空間之第一同倫群乃為辮群(Braid group)BN，BN為一無限的離散群，其對易表現為一相位eiπθ，0≦θ＜2π，而Laughlin的多體準電洞波函數即是任意子的具體實現。
Laughlin波函數及其bulk激發態給出了量子霍爾液有趣的新物理現象─分數荷及任意子統計，它們都是由參數ν= 1/m定量之，然而實驗上ν= 1/m = 1/3之量子霍爾態乃是由邊態(edge state)之激發加以佐證。事實上前述bulk之準電洞激發須要施予有限能量(gapful)而並非最低能量激發，霍爾液邊界之形變激發或稱邊態激發才是最低能量激發(gapless)。Halperin最早提出IQHE的邊態激發是一維的Chiral費米液，此乃是因整數量子霍爾液的bulk電子為弱相干而(2)式告訴我們分數量子霍爾液的bulk電子為強相干(strongly correlated)，故其邊態應不再是費米液。Wen(文小剛) [5]在九十年代初即推出分數霍爾液的邊態激發乃是一維的Chiral拉亭者(Luttinger)液，其電子的傳遞子(propagator)指數正是Laughlin波函數中的奇整數m，m = 3的情形可透過邊態的量子穿透量得。M = 3值連繫了Laughlin波函數(2)，分數荷e/m，任意子統計eiπ/m及邊態的電子傳遞子指數。至此，ν= 1/3之分數霍爾態之實驗及理論已有初步之輪廓。而分數量子霍爾液之邊態理論及其bulk-edge duality也提供了近年來流行於弦論研究之String duality最佳的例證。
除了(2)式所描述的ν= 1/m分數霍爾態外，實驗上仍有許多不為(2)式所描述的分數態，理論家們在過去十多年來嘗試對(2)式作推廣，較為成功者有Hierarchy construction[6] (Halperin及Haldane)及後來的Composite Fermion[7] (Jain)。他們或多或少描述了ν的分母為奇數的分數霍爾態，然而故事同樣並非因此而結束。
三、不對易分數量子霍爾態及ν= 5/2的迷思
前述之所有量子霍爾態都是遵守ν的分母為奇數的Laughlin-Pauli規則。1987年[8]一群實驗家發現了ν= 5/2平台，從此理論學家開始陷入了十多年來的迷思，直到近幾年似有塵埃落定的跡象。可確定的是描述它的一定不是屬於"泛Laughlin"
■ ■ 物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 807
類的波函數。謎底揭曉，它極可能是所謂的Moore & Read(MR)態[9]，Moore是著名的耶魯弦論專家而Read則是同校的霍爾理論高手，而MR態的建構則可想而知當然是跟弦論的研究發展息息相關。
早在1983年[10]Halperin就有建構"偶分母態"(底下以此簡稱ν的分母為偶數之分數霍爾態)之想法，他的想法是引進電子的自旋自由度來建構基態波函數，因為正負自旋電子所造成能量上的Zeeman splitting相較於系統之其他能級可被忽略。為了更進一步降低正負自旋電子所造成能量上的差異，他選擇了相同個數之正自旋及負自旋電子，且令其耦合成spin-singlet態以確保其波函數為最低能量之基態波函數。Halperin態的ν= 4/m，m為偶數。如同底下我們將談的偶分母態，在應用Halperin態描述ν= 5/2時，我們假定ν= 2+1/2，即最低蘭道能級為正負自旋電子所填滿，而ν= 5/2態可由ν=1/2之第一蘭道能級所描述。與Laughlin態一樣，Halperin態的bulk激發為任意子，即對易之辮群表現。緊接著1987年的實驗，Haldane及Rezayi(HR) [11]亦提出了一個spin-singlet，ν= 1/m，m為偶數之霍爾態。
1991年Moore及Read[9]借用弦論/保角場論中之2D conformal blocks(保角場論之相干函數或弦論之散射振幅)將Laughlin波函數(2)式及其多體準電洞波函數寫成2D conformal blocks，此為理論上之一大進步，而其背後的思想則為弦論大師Witten剛發展的Chern-Simons拓樸場論(見後文)。更重要的是，他們逆勢操作，由2D conformal blocks去建構新的量子霍爾態，由Kac-Moody U(1)×critical Ising(臨界易型模型)保角場論所建構之MR Pfaffian態為一p-wave耦合，spin-polarized態
1212342211(,,...,)~[]()(){()exp[]},(3)4PfNkmijijkzzzAzzzzzzz<Ψ⋅⋅⋅⋅−−−−ΣΠ
式中A為座標反對稱作用子，m1=ν，m為偶數。更有趣的是他們發現Pfaffian態的bulk多體激發波函數為辮群的不對易表現(non-abelian representation of braid group)。為有別於任意子，他們稱此激發子為nonabelion。從弦論的角度看，2D conformal blocks構成辮群的不對易表現在八十年代末已為弦論研究者所熟知，而專家如Moore者當然不例外。繼Moore及Read之工作後，九十年代起逐漸有不對易分數霍耳態及相關之保角場論(CFT)之研究，因屬跨領域性質且涵蓋相當多之摩登場論，就筆者所知在凝態理論之研究並不是很普遍，然而因有ν= 5/2實驗之誘因，此領域之研究不曾中斷。例如由CFT中之Kac-Moody代數的current decendents來研究不對易分數霍爾態之邊態理論即是一重要進展，結果顯示不對易分數霍爾態之邊態能譜，電子及準電洞之傳遞子指數與對易分數霍爾態有著結構性的差異，此暗示了二維量子霍爾液豐富的拓樸結構。
然則不對易量子霍爾態的研究似仍處在初期階段，例如一般之多體激發波函數仍不易寫出，而Berry phase之計算又不易推廣至不對易態，因此nonabelion統計只能藉由計算多體激發之簡併個數來驗證。1999年[12]Read及Rezayi(RR)推廣Pfaffian態建構了更一般之不對易，spin-polarized態，其中部分為Wen早期所考慮過。1999年[13]Ardonne及Schoutens(AS)由Kac-Moody CFT
■ ■ 物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 808
推廣了Halperin的對易，spin-singlet態，建構了一系列之不對易，spin-singlet態。RR及AS態在理論結構上各有所長，一為凍結電子自旋自由度，一為激發電子自旋自由度。
1998年[14]Morf的數值模擬得到的結論是MR態最接近描述ν= 5/2，而2001年[15]一群實驗家的實驗似乎又把spin-unpolarized(如spin-singlet)態排除在ν= 5/2之外，而較支持MR態。然而故事是否就這樣結束？讓我們大家拭目以待。
四、弦論/保角場論之應用
弦論/保角場論(ST/CFT)在分數量子霍爾系統之應用在前文已多處提及，本節將進一步分段說明。同為二維之量子系統似乎註定兩者之間的緊密關係，而二研究領域之近乎同步發展則或許是它們始料未及的宿命吧！
A. Chen-Simons拓樸場論及Kac-Moody保角場論
規範場論豐富的幾何及拓樸結構乃公認是二十世紀物理與數學的一大盛事，特別是它的創始先驅，當代物理大師楊振寧先生及數學巨擘陳省身教授，俱是華裔大科學家。其中量化係數K的不對易Chen-Simons場論曾被高能物理學家用來研究規範場質量的可能性。Wilczek[16]早期即有用對易Chen-Simons項來描述任意子的想法，到了八十年代末凝態理論家已知引用對易Chen-Simons場論來有效描述長波長極限的一次量化Laughlin波函數。在同一時期高能物理的弦論專家們正因尋找弦論的真空基態而忙著研究分類二維的CFT。一個重要的突破是1989年[17]Witten用不對易Chen-Simons場論導得Wess-Zumino-Witten[18]保角場論。從分數霍爾理論的觀點，此重要關係間接促成了日後分數量子霍爾態波函數與Kac-Moody保角場論的緊密關係。果不其然，1991年[9]Moore及Read將Laughlin波函數寫成2D conformal blocks並將之推廣至不對易Pfaffian MR波函數且引進nonabelion的概念。而事實上早在1988年[19]弦論專家Moore及Seiberg在一系列分數保角場論(RCFT)的研究中即有2D conformal blocks構成辮群的不可對易表現之結果。此段不對易分數霍爾態與弦論的交互影響與發展，實在是理論物理進展的一大勝利。另外Wen提出bulk CFT及edge CFT的概念將Laughlin的邊態理論推廣至不對易分數霍爾態的邊態理論，都是成功應用CFT至不對易FQHE的典範，同時也提供了弦論研究中之string duality最佳的例證。
B. D-brane及不可交換性
弦論中的座標不可交換性(non-commutative coordinates)最早出現在1986年[20]Witten的弦場論，近幾年則因D-brane的引進[21]而研究發現若激發所謂NS-NS的B背景場則自洽的量化將給出不可交換的D-brane座標[22]。而重疊的D-brane在Seiberg-Witten的極限下為一不可交換規範場論(non-commutative Yang-Mills theory)。2000年起不可交換場論的研究在弦論領域裡曾風行一時，這看在霍爾理論的眼裡當然是不甘寂寞而急欲加入，事實上在弦論中D-brane的不可交換座標亦隱藏在霍耳理論的二維電子系統平面上。當然一段二維平面不像D-brane一樣是動態的(dynamical)，然而若我們讓帶電的電子在極強的磁場下作平面運動或是取電子的質量為零的極限，則自洽的量化同樣會給出[x,y]≠0的不可交換平面座標！有了此一基本認知，2001年[23]Susskind提出level n的對易，不可
■ ■ 物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 809
交換 Chen-Simons場論精確等價於ν= 1/n的一次量化Laughlin波函數。在此強調八十年代末的描述是長波長近似下的可交換 Chen-Simons場論。 量子霍爾理論再次成功地證明了自己與弦論的孿生關係。
C. W代數的應用
九十年代初弦論的研究曾試圖將CFT的核心Virasoro代數推廣至各種W代數而有W-引力，W-弦論的出現。另外二維的量子引力或者說是二維的弦論模型的時空對稱被發現是ω∞代數[24]。而幾乎就在同時間W代數也被Sakita[25]等人引進霍爾理論。事實上前述之IQHE中之蘭道問題的每一簡併基態均佔有相同的面積2π，此為包立不相容原理之結果。所以量子霍爾液之邊態形變為一保面積之形變。而二維保面積之量子代數即為一W代數。因此IQHE很自然地提供了W代數的表現，這個結果亦可被推廣至部分的FQHE。 2
有趣的是前段(B)中所談之不可交換霍爾平面實為W代數的另一種表現，而當然流行於2000年以後從D-brane衍生出的不可交換場論依筆者淺見早在九十年代初即為Sakita等人所考慮，只是當時未被正名且大量引用罷了。而霍爾理論中的W代數亦可被證明等同於不可交換場論中之U(∞)對稱，而被用來製造新的形變非交換場論孤粒子。
以上只就筆者個人所知的弦論及霍爾理論之交互影響及發展略述一二，相信未來定會有更有趣的研究新發現，寄望有興趣的同仁不只是拭目以待，而能親身參與其研究行列。
參考資料：
[1] E.H. Hall, Am. J. Math 2, 287 (1879).
[2] k. von klitzing, G. Dorda, and H. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).
[3] D.C. Tsui, H.L. Stormer and A.C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).
[4] R. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50,1395 (1983).
[5] X.G. Wen, Phys. Rev. Lett. 64, 2206 (1990); Phys. Rev. B 41, 12838 (1990).
[6] F.D.M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 51, 605 (1983). B.I. Halperin, Phys. Rev. Lett. 52, 1583 (1994).
[7] J.K. Jain, Phys. Rev. Lett. 63, 199 (1989).
[8] R.L. Willett, J.P. Eisenstein, H.L. Stormer, D.C. Tsui, A.C. Gossard and J.H. English, Phys. Rev. Lett. 59, 1779 (1987).
[9] G. Moore and N. Read, Nucl. Phys. B 360, 362 (1991).
[10] B.I. Halperin, Helv. Phys. Acta, 56, 75 (1983).
[11] F.D.M. Haldane and E.H. Rezayi, Phys. Rev. Lett. 60, 956 (1988); 60, 1886 (1988).
[12] N. Read and E. Rezayi , Phys. Rev. B 59, 8084 (1999).
[13] E. Ardonne and K. Schoutens, Phys. Rev. Lett. 82, 5096 (1999).
[14] R. Morf, Phys. Rev. Lett. 80, 1505 (1998).
[15] W. Pan, H.L. Stormor, D.C. Tsui, L.N. Pfeiffer, K.W. Baldwin, and K.W. West, Solid State Comm. 119, 641 (2001).
[16] F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 48, 114 (1982); 49, 957 (1982).
[17] E. Witten, Comm. Math. Phys.121, 351 (1989).
[18] E. Witten, Comm. Math. Phys. 92, 455 (1984).
[19]G. Moore and N. Seiberg, Phys. Lett. B 212,
■ ■ 物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 810
451 (1988); Nucl. Phys. B 313, 16 (1989). Comm. Math. Phys.123, 77 (1989) ; Phys. Lett. B 220, 422 (1989).
[20] E. Witten, Nucl. Phys. B 268, 253 (1986).
[21] J. Polchinski, Phys. Rev. Lett. 75, 4724 (1995).
[22] A. Connes, M.R. Douglas and A. Schwarz, JHEP 9802, 003 (1998). M.R. .Douglas and C. Hull, JHEP 02, 008 (1998). C.S. Chu and P.M. Ho, Nucl. Phys. B 550, 151 (1999). V. Schomerus, JHEP 9906, 030 (1999).
[23] L. Susskind, hep-th/0101029
[24] I.R. Klebanor and A.M. Polyakov, Mod. Phys. Lett. A6, 3273 (1991). E. Witten, Nucl. Phys. B 373, 187 (1992).
[25] B. Sakita, Phys. Lett B 315, 124 (1993). R. Ray and B. Sakita, Ann. Phys. 230, 131 (1994).
作者簡介
李仁吉，國立交通大學電物系教授，專長為量子場論，弦理論和數學物理。
Email: jcclee@cc.nctu.edu.tw
■ ■ 物理雙月刊（廿五卷六期）2003 年 12 月 811
No comments:
Post a Comment