heat01 导热问题的单值条件 几何条件：表示导热物体的几何形状与大小（一维、二维或三维）;

前言

本文只是针对小白而写，
可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，
如
想更深学习热传导知识，请转其它文档。

一、概念与常量

1
、温度场：

指某一时刻
τ
下，物体内各点的温度分布状态。

在直角坐标系中：
t
=
f(x,y,
z,
τ
)
；

在柱坐标系中：
t
=
f(r,
θ
,
z,
τ
)
；

在球坐标系中：
t
=
f(r,
θ
,
∅
,
τ
)
。

补充：
根据温度场表达式，
可分析出导热过程是几维、
稳态或非稳态的现象，
温度场是几维的、稳态的或非稳态的。

2
、等温面与等温线：

三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面；

一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等
温线。

3
、温度梯度：

在具有连续温度场的物体内，
过任意一点
P
温度变化率最大的方向位于等温
线的法线方向上。称过点
P
的最大温度变化率为温度梯度
(temperature gradient)
。
用
grad t
表示。

定义为：
grad t
=
𝜕𝑡



𝜕𝑛
𝑛



补充：
温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，
是向量，
其正
向与热流方向恰好相反。对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。

在直角坐标系中：
grad t
=
𝜕𝑡



𝜕𝑥
𝑖

+
𝜕𝑡



𝜕𝑦
𝑗

+
𝜕𝑡



𝜕𝑧
𝑘



3
、导热系数

定义式：
λ
=
q
−𝑔𝑟𝑎𝑑




𝑡
单位
W/(
𝑚
⋅
K)

导热系数在数值上等于单位温度降度
(
即
1
K/m
)
下，在垂直于热流密度的单
位面积上所传导的热流量。导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。

补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。

二、热量传递的三种基本方式

热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射

三、导热微分方程式
（统一形式：
ρ
c
∂
t



∂τ
=
λ∇
2
𝑡
+
q
）

直角坐标系：
ρ
c
∂
t



∂τ
=
𝜕



𝜕𝑥
(
𝜆
𝜕𝑡



𝜕𝑥
)
+
𝜕



𝜕𝑦
(
𝜆
𝜕𝑡



𝜕𝑦
)
+
𝜕



𝜕𝑧
(
𝜆
𝜕𝑡



𝜕𝑧
)
+
q

圆柱坐标系：
ρ
c
∂
t



∂τ
=
1
r
∂
∂



r
(
𝜆𝑟
∂
t
∂



r
)
+
1
𝑟
2
∂



∂ϕ
(
𝜆
∂
t



∂ϕ
)
+
∂
∂



z
(
𝜆
∂
t
∂



z
)
+
𝑞

球坐标系：
ρ
c
∂
t



∂τ
=
1
𝑟
2
∂
∂



r
(
𝜆𝑟
2
∂
t
∂



r
)
+
1
𝑟
2
𝑠𝑖𝑛𝜃
∂



∂θ
(
𝜆𝑠𝑖𝑛𝜃
∂
t



∂θ
)
+
1
𝑟
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝜃
∂



∂ϕ
(
𝜆
∂
t



∂ϕ
)
+
𝑞





其中，称
α
=
𝜆



𝜌𝑐
为热扩散系数，单位
m
2
/s
，
ρ
为物质密度，
c
为物体比热容，
λ
为物体导热系数，
q
为热源的发热率密度，
h
为物体与外界的对流交换系数。

补充：

1
处研究的对象为各向同性的、连续的、有内热源、物性参数已知的导热物
体。

2
稳态温度场，即
∂
t



∂τ
=
0
则有：
∇
2
t
+
q



𝜆
=
0
，此式称为泊松方程。

3
无内热源的稳态温度场，则有：
∇
2
t
=
0
，此式称为拉普拉斯方程。

四、单值条件

导热问题的单值条件通常包括以下四项：

1
几何条件：表示导热物体的几何形状与大小（一维、二维或三维）

2
物理条件：说明导热系统的物理特性（有无内热源）

3
初始条件：给出
τ
=
0
时温度场内各点温度。

数学表达式为
t
=
f(x,y,
z,
0)

4
边界条件：表示导热系统在边界的特征

第一类边界条件（狄利克雷边界条件）：说明物体边界的温度分布：

𝑡

𝑆
=
𝑓
(
𝑥
,
𝑦
,
𝑧
,
𝜏
)

第二类边界条件（纽曼边界条件）：说明物体边界的热流量：

−λ
𝜕𝑡



𝜕𝑛

𝑆
=
q(x,y,
z,
τ
)

绝热边界条件

𝜕𝑡



𝜕𝑛

𝑆
=
0

第三类边界条件
（纽曼边界条件）
：
说明物体边界到热量与对流换热的能量
平衡关系：

−λ
𝜕𝑡



𝜕𝑛

𝑆
=
𝑕
(
𝑡

𝑆
−
𝑡
𝑓
)

其中
𝑡

𝑆
为边界处的温度，
𝜕𝑡



𝜕𝑛

𝑆
为边界的热流量，
𝑡
𝑓
为环境温度。

五、

解题步骤：

1
根据具体实际问题列出导热微分方程式

2
确定初始条件以及边界条件。每一维导热至少有两个边界条件，从而得到
导热现象的完整数学描述。

3
分析求解，得出导热物体的温度场

近年来，
求解热传导方程的数值方法一直是人们研究的重点。
目前非稳态导
热问题的描述方程为多维非线性的偏微分方程，
这些方程只在几何形状与边界条
件都较简单的情况下才能求得理论界。在求解问题上，本人给出三点补充：

1
用笔跟纸具体求出微分方程的解。
但个人认为此种方法较适合数学及相关
专业的同学，有耐心就慢慢算吧。

2
通过差分法或者有限元法求出温度场的温度，
但是每一点每一时刻的温度
值都是在求得上一点上一时刻值得基础上解得的，
因此及时求出方程的解也是不
连续的。关于此种方法，网上的资料有很多，本文不予介绍。





3
利用
Matlab
的
PDE
工具箱可以绘制出温度场某一时刻的温度的二维、
三维
图，但是也不能求出方程表达式。

六、

例题

边长
1.
0 m
，
0.7m
和
0.5m
的长方形钢锭，
置于炉温
𝑡
1
=
1200
𝑜
C
的加热炉内，
计算
5 h
后钢锭的温度。已知钢锭的
λ
=
 40.5 W/(
𝑚
2
∙
𝑜
C)
，

α
=
0.722
×
10
−
5
m
2
𝑠

，钢锭初始温度
𝑡
0
=
25
𝑜
𝐶
，钢锭与外界的对流换热系数
h
=
 348W/(
𝑚
2
∙
𝑜
C)
。

解：列出导热偏微分方程

由于没有内热源，故
q
=
0

ρ
c
∂
t



∂τ
=
𝜕



𝜕𝑥
(
𝜆
𝜕𝑡



𝜕𝑥
)
+
𝜕



𝜕𝑦
(
𝜆
𝜕𝑡



𝜕𝑦
)
+
𝜕



𝜕𝑧
(
𝜆
𝜕𝑡



𝜕𝑧
)


初始条件

t
=
f(x,y,
z,
0)
=
𝑡
0
=
25
𝑜
𝐶

边界条件为纽曼边界条件

前后表面的边界条件：

−𝜆
𝜕𝑡



𝜕𝑥
=
h(f(±
0.7



2
,
y,
z,
𝜏
)
−
𝑡
1
)

左右表面的边界条件：

−𝜆
𝜕𝑡



𝜕𝑦
=
h(f(x,±
1.0



2
,
z,
𝜏
)
−
𝑡
1
)

上下表面的边界条件：

−𝜆
𝜕𝑡



𝜕𝑧
=
h(f(
𝑥
,
y,
±
0.5



2
,
𝜏
)
−
𝑡
1
)