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“共形几何代数”的国际反响
李洪波 研究员主创（第一作者）的共形几何代数，现已成为国际几何代数研究的主流，获得高度评价。现将 google 网搜索到的有关材料整理如下。 一. 网站的爆炸性新闻 2003 年计算机图形学年会（ SIGGRAPH ）于 2003 年 7 月下旬在美国洛杉矶举行。这是计算机图形学领域的全球盛会，约有二万五千人到会。多家媒体对此会进行了报道，其中一家网站 (http://www.tomshardware.com) 公布了一条“爆炸性新闻”（ BREAKING NEWS ）。 这条新闻报道，在本届年会的基调演讲（ Keynote Address ），即唯一的全体大会报告中，宣布了一件令与会者极为惊喜的研究成果： 天文学数据、计算机图形学和新兴的“共形几何代数”领域，正在为研究人员提供宇宙形态的清晰图片。 这个大会报告题为： 宇宙模型 -- 宇宙的形态 。报告人萊森毕（ A. Lasenby ）教授，是英国剑桥大学著名的卡文迪什 (Cavendish ）实验室的副主任。他宣称，期望通过本报告，与大家共享最近两项激动人心的进展，一项是宇宙学的新进展，另一项是有关几何表述的新进展，其可用于计算机图形学和机器人。 关于宇宙学的新进展，报告中讲道： (1) 可能现已接近理解宇宙的几何； (2) 现已相当肯定它的年龄及其命运（ fate ）。 关于几何表述的新进展，报告中讲述的要点是： (1)提供了一种统一的语言，其以简明的方式统一表述所有的初等几何，包括欧氏几何、双曲（非欧）几何、球几何、投影几何、仿射几何等。 (2)无间隙地连接到许多其它的数学、物理和工程的领域，包括计算机图形学。 (3)这个新技术称为“共形几何代数” (CGA) 。 关于两项新进展之间的联系，报告作了如下的解释： 上述的几何表述，可用于任意的维数，自然可用于四维时空，而我们正在研究这一类空间的几何，即所谓的德西特（ de Sitter ）空间，它是一种常曲率的时空，在宇宙学中是非常重要的。 报告中极力推崇的 “共形几何代数” , 其主创者 , 是中国科学院数学与系统科学研究院的 李洪波 研究员。 说明： SIGGRAPH 是 Special Interest Group on GRAPHics 的字头拼写，由美国计算机械协会 ACM 主办，每年一次，近几年与会人数都有几万人。 二 . 共形几何代数 1997 年 , 李洪波 在海斯特内斯教授 (D. Hestenes) 和洛克伍德教授 (A. Rockwood) 领导的 NSF 基金项目 Modeling Workstation 中做博士后工作 , 建立了共形几何代数 (Conformal Geometric Algebra, 简记 CGA) 。 经过近一年的考察 , 海斯特内斯对李洪波的研究工作非常满意 , 对共形几何代数的创建极为重视 , 注意到这项数学创造具有广阔的应用前景。 海斯特内斯 是几何代数的创始人 ( 可查询 http://www.wordiq.com/definition), 是 Clifford 代数领域最有威望的学者 , 2002 年获得美国物理教育 Oersted 大奖 。 共形几何代数是基于高级几何不变量的代数表示和计算系统，是 Clifford 代数的一个新的分支 , 主要内容包括表示和计算两部分 : (1)十九世纪几何的统合代数表示。 CGA 为初等几何提供了统一和简洁的齐性代数框架。所谓初等几何 , 即不具有微积分运算的几何 , 包括欧氏几何、双曲（非欧）几何、球面几何、球几何、线几何、投影几何、仿射几何等。在 CGA 提供的简洁计算公式中 , 各种维数的平面和球的几何度量与其几何构造对偶 , 几何上的交和扩张对应于 Cayley 代数交和并 , 距离和夹角对应于表示的内积 , 而所有的几何关系都包含于 Clifford 乘法。各种几何变换可以用旋量和转量显式表示。 由于 CGA 与坐标的选取无关，处理几何问题的过程和结果具有内蕴性的 , 因而可以直接进行几何解释。由于 CGA 对初等几何的表示是统一的，因而一个代数公式可以在各种几何中解释成不同的几何定理。 (2) 拥有高效符号几何计算方法的不变量代数。 几何学的研究主题是几何不变量。不变量系统在几何代数化中具有明显的优点 , 但原有的系统代数计算效率低下 , 一般还不如直接使用坐标方便。 CGA 是高级协变量系统和高级不变量系统的结合 , 其不变量子系统称为零括号代数 (Null Bracket Algebra, 简记 NBA) 。 NBA 具有高效的展开、消元、化简和分解算法 , 从而可以用来进行极其复杂的符号几何计算。 NBA 可以将实际的几何不变量表示成基本不变量的有理单项式形式 , 因而是初等几何的最实用的不变量系统 , 在几何数据处理和几何建模方面表现出巨大的优势。 1999 年夏季 , 李洪波 , 海斯特内斯和洛克伍德分别在国际会议做邀请报告 , 将这项研究成果公布于众。 1. 李洪波在 The Fifth International Conference on Clifford Algebras and Their Applications (Ixtapa, Mexico, June 27-July 4, 1999) 做邀请报告。 2. 海斯特内斯在 Applied Clifford Algebra in Cybernetics, Robotics, Image Processing and Engineering (ACACSE'99, Ixtapa, Mexico June 27-July 4, 1999) 做邀请报告。 3. 洛克伍德在 Curves and Surfaces: The Fourth International Conference Organized by the Association d'Approximation Francaise , (Saint-Malo, Grenoble, France, July 1-7, 1999) 做邀请报告。 相关学术论文正式发表在论文专著 [GC] 中 , 2001 年由 Springer 出版 。 书中排在最前面的 , 是李洪波 , 海斯特内斯 和洛克伍德联合署名的四篇论文 : 1. [He1] New Algebraic Tools for Classical Geometry, 2. [Li 1] Generalized Homogeneous Coordinates for Computational Geometry, 3. [Li 2] Spherical Conformal Geometry with Geometric Algebra, 4. [Li 3] A Universal Model for Conformal Geometries of Euclidean, Spherical and Double-Hyperbolic Spaces. 其中 , 第一篇论文 [He1] 讲述 Clifford 代数基本知识， 海斯特内斯 为第一作者。 第二篇论文 [Li 1] 叙述共形几何代数的主要内容，李洪波自然是第一作者。这篇论文作为共形几何代数的原始文章，被频繁引用。 第三篇 [Li 2] 、第四篇 [Li 3] 论文是共形几何代数的进一步展开，是第二篇论文的延续，李洪波仍然是第一作者。 这四篇论文明确了李洪波的主创作用。 三 . 高度重视 海斯特内斯 教授和洛克伍德教授是 Clifford 代数和计算机图形学领域的著名学者 , 他们的参与和大力宣讲 , 使共形几何代数的影响迅速扩展，引起相关学术领域学者的重视。 在 SIGGRAPH 2000 上 , 洛克伍德组织了关于几何代数的课程 , 重点是 CGA 及其应用。课程名为 : 几何代数 — 新基础 , 新见解。 在此课程中 , 洛克伍德等指出 : 对于计算机图形学、几何建模和交互技术中使用的数学而言 , 几何代数 (CGA) 是一种新的基本语言，由于它对几何的描述是内蕴和无维数间隙的，因而对于处理几何问题极为有用。它提供了新的见解和革新的算法，在计算机图形学有着广泛的应用，如运动学和动力学 , 单纯形计算 ( 多边形和有限元 ), 流体的流动 , 碰撞检测 , 分级的界限球和框 , 球面的四元数样条 , 弹性形变 , 曲线和曲面 , 向量场等。 在 SIGGRAPH 2001 上 , 洛克伍德等再次组织了关于几何代数的课程 , 重点依然是 CGA 及其应用。 在 2003 游戏开发者大会 (GDC, San Jose, USA, March 22-26, 2003) 上 , 道斯特 (L. Dorst) 等做了几何代数在游戏开发中的应用的专题讲座 (tutorial), 以 CGA 为核心 。 在 2004 年欧洲图形学大会 (EG, Grenoble, France, Aug. 30 - Sept. 3, 2004) 上 , 将有道斯特等关于 CGA 在计算机图形学中的应用的专题讲座 。 道斯特强调 , 在计算机图形学发展的早期 , 人们认识到投影几何非常适用于表示点和变换 , 现在人们认识到这个局面就要发生变化了。将要使用的另一个数学系统是几何代数 , 尤其是五维 CGA, 它统一了图形学中使用的各种数学系统 , 能够以简便和富有几何直观的方式应用于图形学。讲座中他将讲述如何借助 CGA 描绘动画和运动 , 这种描绘如何具有极大的优越性（ quite advantageously ）。 在 2003 年德国模式识别学会年会（ 25th DAGM Pattern Recognition Symposium , Magdeburg, Germany, Sept. 10-12, 2003 ）上，索莫（ G. Sommer ）等组织了关于 CGA 在计算机视觉中的应用的专题讲座。该讲座谈论三个题目 , 分别是应用几何代数作为高维信号的嵌入空间以进行基于相位的图像分析 , 应用 CGA 设计超球面神经元学习几何变换 , 和应用 CGA 进行姿态估计。这三项工作分别于 2000, 2002, 2003 年获德国模式识别学会奖。 此外 , 李洪波 , 海斯特内斯 和洛克伍德多次应邀在国际会议做大会邀请报告。例如 , 李洪波和 海斯特内斯在 The Second International Workshop on Algebraic Frames of the Perception-Action Cycle , Kiel, Germany, Sept. 10-11, 2000 作邀请报告 ; 海斯特内斯 和洛克伍德在 IMA Conference on Applications of Geometric Algebra , Cambridge, UK, Sept. 5-6, 2002 作邀请报告 。 四 . 广泛应用 美国、英国、德国、意大利、加拿大、日本、瑞典、墨西哥、新西兰、荷兰、西班牙、罗马尼亚等国的学者纷纷建立研究小组，将共形几何代数作为新兴的强力工具应用于计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、动画等高技术领域，以及数学、理论物理、宇宙学、教育学等基础研究领域。 1.在计算机图形学和动画中的应用 : 英国剑桥大学几何代数研究组 , 以萊森毕为领导 , 应用 CGA 于 计算机图形学、几何设计和曲面演化。 荷兰阿姆斯特丹大学智能自动系统研究组 , 以道斯特为领导 , 热衷于发展基于几何代数 , 尤其是 CGA 的计算机图形学新算法。他们与加拿大滑铁卢大学计算机系和罗马尼亚布加勒斯特技术大学计算机系合作 , 应用 CGA 于碰撞检测 , Voronoi 图表 , 光线追踪 , 网格曲面 , 点云运动等 , 在 IEEE Trans. Computer Graphics and Applications 和 Computers & Graphics 等 杂志上发表多篇文章 , 介绍、 探索和应用 CGA, 发展基于几何代数和 CGA 的图形学软件。 英国 , 加拿大和德国的一些学者和工程师应用 CGA 开发了新的触觉技术和动画技术。 2. 在计算机视觉和机器人中的应用 : 德国基尔大学认知系统实验室 , 以索莫 ( 德国模式识别学会副主席 ) 为领导 , 应用 CGA 于神经元设计和姿态估计 , 在 International J. Computer Vision 和 ECCV 等杂志和会议上发表多篇文章。他们应用 CGA 于姿态估计的工作获得 2002 年德国模式识别学会奖 (DAGM-Preis); 他们 CGA 于神经元设计的工作获得 2003 年德国模式识别学会奖。由于该实验室成员 Rosenhahn 在应用 CGA 于姿态估计方面的出色工作 , 2003 年他获得一项大奖 ―Siegfried Werth 奖。 墨西哥国家高等技术研究所几何计算机视觉实验室 , 以白若科若查诺 ( E. Bayro-Corrochano) 为领导 , 应用 CGA 于照相机定位和神经元设计。 新西兰奥克兰大学计算机视觉研究组 , 以克赖特 (R. Klette, IEEE. Trans. PAMI 副主编 ) 为领导 , 应 用 CGA 于目标自定位问题 。 英国剑桥大学工程系信号处理研究组 , 以 萊森毕夫人 (J. Lasenby) 为领导 , 应用 CGA 于 机器人运动学和反运动学 。 意大利米兰技术大学德阿夸 (A. Dell'Acqua) , 应用 CGA 于基于多幅图像的线状景物重建 。 美国亚利桑那大学航空和机械工程系法斯 ( E. Fasse), 和工程师米勒 (S. Miller), 应用 CGA 研究具有弹性耦合的刚体力学和齿轮理论 。 3. 在物理、数学和数学教育中的应用 : 英国剑桥大学 Cavendish 实验室天体物理研究组 , 以 萊森毕为领导 , 应用 CGA 技术研究宇宙演化和宇宙常数 , 2003年发表了一本专著 。 荷兰尤瑞特 (Utrecht) 大学物理天文学院维特 (F. Witte) 应用 CGA 研究时空 。 墨西哥拉丁美洲普卜拉大学数学系索布柴克 (G. Sobczyk), 西班牙巴塞罗那大学物理系泊索 (J. Pozo), 和美国佛罗里达州立大学计算机系艾伦巴赫 (G. Erlebacher), 研究 CGA 上的矩阵代数和微分方程。 日本福井大学机械工程系西测 (E. Hitzer) 和莱德利 (L. Redaelli) 应用 CGA 于数学教育 , 制作了各种精美的 Java 程序 , 开发了第一个纯粹基于 CGA 的三维交互 Java 几何绘图软件 KamiWaAi 。 瑞典皇家技术研究所知识管理研究组应用 CGA 于几何建模和数学教育。 五 . 高度评价 [La1] 将 CGA 应用于曲面演化 , 指出 CGA 以一种有效和美妙的方式推广了几何操作的范围 , 它提供的直接综合的几何算法本质上很简单 , 但是能够得到出乎意料的十分复杂的结果。 [Do1] 指出， CGA 提供的几何操作戏剧性地拓展了投影几何构造 , 利用它为复杂的几何操作编写的计算机程序，将是鲁棒、精美和高度浓缩的（ robust, elegant and highly compact ）。这对于图形学工业将有大量潜在的应用。 [Do2] 指出 , CGA 提供了数据流的自然目标 , 将形成鲁棒算法的基础 , 为计算机工业提供丰富的新技术。同时 , CGA 统一了欧氏、球面和双曲几何，一种几何中证明的定理立即在其它几何中有对应的定理 , 是 19 世纪几何的完整化。 [Do3] 应用拼接圆在控制点之间建立了光滑样条 , 指出这一新的技术可以利用 CGA 简单地统一处理 : 不仅所有变换可以简单地定义 , 而且所编写的计算机程序具有极少的特殊情形。 道斯特认为 , CGA 是迄今为止从几何代数中产生的最强大的新技术 , 目前依然朝气蓬勃地在发展 , 每个月都有新的工具从中被发现。 CGA 是几何代数中唯一能够完全不依赖于坐标进行计算的。 [Dt] 指出 , 最近引入的精巧的 CGA 技术极大地 (considerably) 拓广了欧氏几何建模中普通的齐次坐标方法。这种代数语言的固有数据结构和可容许操作在结构上澄清了几何的代数表示 , 可帮助避免许多常见的由传统向量概念引起的混乱和编程错误。 [Mn] 指出 , 最近表明 , CGA 是很强大和具有简化能力的 (very powerful and simplifying), 看来对许多计算机图形学应用都是合适的。他们目前正在将其向实用方向发展。 [Fo] 比较了 CGA 和其他几种线性代数和几何代数工具在光线追踪中的表现 , 指出 , 在 [Li 1] 中新发现的几何代数 CGA 为三维欧氏几何计算提供了迄今为止最为紧凑的表达式 , 在科学精确性的竞赛方面是显然的冠军 , 推荐在实验、原型标准、离线工具开发等应用中作为处理几何问题的最佳武器。 [Za] 应用 CGA 研究多边形网格曲面模型 , 强调 CGA 方法具有精确性和一般性 (elegance and generality) 。 索莫在 [GC] 的序言中强调指出 , CGA 对于全景照相系统非常重要。 [Bo1] 应用 CGA 于自由形状物体的姿态估计 , 认为 CGA 提供了物体的紧凑表示 , 采用几何方法的插值对轮廓逼近 , 极大地 (immensely) 节省了计算时间。 [Bo2] 指出 , CGA 是处理姿态估计问题的最强大的代数工具 , 它是最近由 [Li 1] 提出的。 [Bo3] 指出 , 在由 [Li 1] 提出的 CGA 中 , 欧氏、投影和共形几何相互兼容 , 优势互补 , 其符号表示与坐标无关 , 可以同时处理运动学和投影几何 , 从而能够有效处理姿态估计问题。 [So] 是一篇综述 , 指出由于 CGA 的一些吸引人的性质 , 最近几年它已成为机器人视觉中各种问题的一个重要嵌入框架。姿态估计是机器人视觉中的一个基本问题 , 尽管过去已经有大量的解决方案 , 只有 CGA 提供了一个适合于该问题的框架。 [DA] 应用 CGA 于基于多幅图像的照相机运动和景物结构重建 , 指出这一框架在几何建模和发展稳定鲁棒算法方面都是有效的 (effective) 。 [JL1] 应用 CGA 于运动建模和跟踪 , 强调 CGA 提供了一个非常精彩的方式处理关联几何 , 并推广到包括了圆和球。相信用它处理更为复杂的反运动学问题 , 将有巨大的 (enormous) 潜力。 [JL2] 应用 CGA 于机器人学 , 指出 CGA 为统一处理平移和旋转提供了一个优美的 (beautiful) 方案 , 使我们能够简化许多复杂过程。一个特别漂亮 (particularly beautiful) 的例子是运动插值。 CGA 在结构领域 ( 例如梁弯曲 ) 中有相当惊人的应用。一个令人惊异的事实是 , 一旦我们在欧氏空间的 CGA 中建立了工具库 , 只要经过微小的改动 , 我们就能够在其他非欧空间中进行同样的操作。 [La2] 应用 CGA 技术研究 de Sitter 几何和宇宙常数 , 指出这一技术导致可以用几何的方式得到宇宙常数 , 结果与 WMAP 数据吻合的极其好 (extremely well) 。 [Hi] 介绍基于 Java 和 CGA 的三维交互绘图软件 KamiWaAi, 指出由于它是世界上第一个纯粹基于 CGA 的交互 Java 软件 , 因此处在应用数学和计算机科学的激动人心的新发展的前沿。 六 . 化腐朽为神奇 吴文俊先生倡导的数学机械化，强调数学的构造性和算法化研究。实现数学机械化 , 将引发一些新的数学观念的建立，促使一些沉寂着的旧有概念的复苏，以至于创立全新的数学理论。共形几何代数的成功建立，是数学机械化思想先进性的又一范例。 早在 160 年前，大数学家高斯的学生瓦赫特 (Wachter) 提出了几何模型，使欧氏几何可在双曲空间的边界等距实现。经过近 60 年，索福斯 · 李 (S. Lie) 提出了相应的代数模型，给出欧氏几何在双曲空间的边界等距实现的显式表达式。 这些美妙的数学概念，由于缺少有效的计算方法，不具备解决科学问题和技术问题的能力，长时间沉寂着。共形几何代数的出现，根本上扭转了这种局面 , 如网站新闻报道称：会议上，图形学遭遇大爆炸（ Big bang meets graphics at confab ）。 海斯特内斯 在 1994 年的文章中 [He2] 仍然认为，利用当时最先进的几何代数即超旋量来解决新兴的高技术问题 , 如复杂的刚体运动链建模问题，似乎是极为遥远的（ seems utterly remote ）。然而 , 仅在四年之后，李洪波创建了共形几何代数，它在短短的三、四年内在一些科学分支（如理论物理，宇宙学，计算机科学等）和许多新兴高技术领域获得广泛的应用，成功地解决重大科学问题和高新技术问题。难怪 海斯特内斯 称赞：共形几何代数的出现，是几何代数领域的“重大突破”（ a breakthrough ），将在许多应用科学领域发挥作用。 海斯特内斯认为：在几何代数及其应用领域 , 李（洪波）无疑是国际上领头的年轻数学家之一 (surely one of the leading young mathematicians in the world) 。他的工作不仅丰富多产 , 而且充满了深刻的洞察力和绝妙的论断 , 将持续发挥一流数学家的作用 (continue functioning as a first-rate mathematician) 。 人类社会正在步入信息时代。伴随着计算机的飞速发展，新兴的科学技术大量涌现。科学技术创新依赖于基础研究的创新。 髙新技术的发展，迫切需要数学科学提供强大有力的工具，以解决极待克服的技术难题，换言之，大量科学技术问题的难以突破，都是卡在数学上，卡在缺少数学的理论和方法，尤其是缺少髙效的算法。 数学是研究现实世界中的“数”与“形”的科学。初等几何构形是现实世界中最为基本、最为常见的“形”。而几何是由代数控制的。共形几何代数巧妙地为抽象的几何概念建立了简明、髙效的算法。 抽象的数学概念，经创建高效的算法使之变为具体可算的，从而打开广阔的应用天地，是数学研究的质的进步。 共形几何代数的建立刚刚度过三、四年的时光 , 已经展现的它的应用泛围之广令人惊讶。 它的应用前景仍有广阔的空间，科研人员正在进一步探索它在不同的领域的应用。例如，现代观测技术的发展，大量数据的采集已很快捷。然而，面对海量的（数以亿计）、离散的科学数据，科研人员十分为难，用什么办法加以处理，从而提取有意义的科学图像或特征呢？现在，共形几何代数有可能提供有效的数学方法，解决数据流的特征提取和图像重构，科研人员正在做出努力。 数学的发展进步，经常受到初等几何思想的启发。共形几何代数的建立，是几何代数领域的重大突破，自然会给数学家以启迪。初等几何中椭园、抛物、双曲几何的统一模式，是否可能借鉴于微分几何或微分方程的研究呢？能否建立相应的微分的几何代数模式呢？这些问题当然是非常难的，却是需要加以关注的。 七 . 参考文献 [Bo1] Rosenhahn, B., Perwass, C., Sommer, G., Free-form Pose Estimation by Using Twist Representations, Algorithmica , 38: 91-113, 2004. [Bo2] Rosenhahn, B., Sommer, G., Adaptive Pose Estimation for Different Corresponding Entities, In L. Van Gool (ed.), Pattern Recognition, 24. Symposium für Mustererkennung , Vol. 2449, LNCS, pp. 265-273. Springer, Berlin Heidelberg, 2002. [Bo3] Rosenhahn, B., Sommer, G., Pose estimation of free-form objects, In 8th European Conference on Computer Vision, ECCV 2004 , Prag, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, LNCS 3021, pp. 414-427. [DA] Andrea Dell'Acqua, Recovering Camera Motion and Scene Structure Using Geometric Algebra, Proc. NATO Computational Noncommutative Algebra and Applications , 2003. [Do1] Chris Doran, Anthony Lasenby and Joan Lasenby, Conformal Geometry, Euclidean Space and Geometric Algebra. In: J. Winkler (ed.), Uncertainty in Geometric Computations , Kluwer, 2002. [Do2] Chris Doran, New Advances in Geometric Algebra. In: J. Winkler (ed.), Uncertainty in Geometric Computations , Kluwer, 2002. 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[JL1] Joan Lasenby, Sahan Gamage and Maurice Ringer, Modelling Motion: Tracking, Analysis and Inverse Kinematics, in: G. Sommer and Y. Zeevi (eds.), AFPAC 2000 , LNCS 1888, pp. 104-114, 2000, Springer, Berlin, Heidelberg. [JL2] Joan Lasenby, Using Clifford/Geometric Algebra in Robotics, Proc. NATO Computational Noncommutative Algebra and Applications , 2003. [La1] Anthony Lasenby and Joan Lasenby, Surface Evolution and Representation Using Geometric Algebra. In: The Mathematics of Surfaces IX , R. Cipolla and R. Martin (eds.), Springer, London, 2000, pp. 144-168. [La2] A.N. Lasenby and C.J.L. Doran, Closed Universes, de Sitter Space and Inflation , Submitted to: Phys. Rev. D (2003). [Mn] Stephen Mann, Leo Dorst, Geometric Algebra: a computational framework for geometrical applications (part II: applications), IEEE Trans. on Computer Graphics and Applications , July/August 2002. [So] Sommer, G., Applications of Geometric Algebra in Robot Vision, In Proc. RIMS Symposium, Innovative Teaching in Mathematics with Geometric Algebra , Nov. 20-23, 2003, Kyoto, Plenary Talk. [Za] Marius Zaharia, Finding the n D Voronoi Diagram by Geometric Algebra Means, UVA, 2003. 撰稿人：石赫研究员 说明：本文是一篇背景材料，根据李洪波研究员提供的原始材料整理而成。 |
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