Series01 級數

級數

在數值計算、數值分析與逼近理論中，我們常要處理「由無限多個量所成的和」，並討論這個和（Sum）所代表的量之大小。因此，我們常應用序列（Sequence），與級數（Series）這兩個概念及所涉及的方法。 設X為集合，N為正整數全體所成的集合。稱函數f：N→X為X元素所成的一個序列，f記作〈fn〉n∈N；fn為f在n之值，稱為此序列之第n項。X為實數全體或複數全體（即X=R或X=C）時，稱此序列為實數序列或複數序列。為方便計，我們只引介實數序列〈an〉n∈N所成的級數。若〈an〉n∈N為任何（實數）序列，形式的無限和a1+a2 +a3+…+a n +a n+1 +…稱為一個無限級數或級數。這個級數記作(方程式1)或(方程式2)，an為這級數之第n項。令S n = a1+a2 +…+a n ，或(方程式3),Sn為此級數之第n項的部分和（n-th Partial Sum）。所有部分和Sn形成一個（實數）序列〈S n 〉n∈N。若此序列向一實數S收斂，則稱此級數(方程式4)向S收斂（即對任何ε>O，有一正整數no，使得對所有n≧no ，｜Sn－S｜＜ε）；此時，S叫做級數(方程式5)之和（Sum）。我們又稱：級數(方程式6)是收斂級數（或收斂），若此級數向某一實數收斂；否則，稱此級數是發散級數（或發散）。我們可定義(方程式7)（P為任何充分大的正整數） 一、收斂判定法 收斂級數具有那些（初步的）性質？若(方程式8)與(方程式9)都收斂，則(方程式10)必收斂。若(方程式11)向A收斂，c為任何常數，則(方程式12)與(方程式13)均向cA收斂。若(方程式14)收斂，去掉此級數之有限多個項後，可得到一收斂的新級數。 如何判定一個級數(方程式15)收斂，解答此問題之後，才可能進行計算，以求得此級數之和（若此級數收斂）之一逼近值。理論上的判定法（或判準）是下列： 柯西判準（Cauchy Criterion）：(方程式16)收斂之充分必要條件是：對任何ε＞O，可找到一個正數no＞0，使得對所有m,n≧no ,m＞n時，｜Sm－S n ｜＜ε。 由此可得到「判定(方程式17)不收斂」的方法：若(方程式18)，則(方程式19)發散。 其他各種判定法，要依級數之類型而創設。首先，稱(方程式20)是一個正項級數（Positive Term Series），若每項an均為正，正項級數(方程式21)收斂之充分必要條件是：其部分和序列〈S n 〉n是有界的，即有一常數K＞0使得每個S n ≦M。稱級數(方程式22)（或(方程式23)）為一幾何級數（Geometric Series）。我們可證得，若｜r｜＜1，則此級數收斂。若｜r｜≧1，則此及數發散。我門還有下列方法判定一個正項級數是否收斂。 （一）比較法（Comparison Test）：若(方程式24)與(方程式25)都是正項級數，若有正值常數K,n0＞0使得對所有n≧n0，an≦kb n ，而(方程式26)收斂，則(方程式27)收斂。 （二）極限判定法（Ratio Limit Test）：若(方程式28)與(方程式29)，都是正項級數，(方程式30),為（非零）實數，並且(方程式31)收斂，則(方程式32)收斂。 （三）柯西稠密判定法（Cauchy’s Condensation Test）：若(方程式33)為正項級數，〈an〉n成一個單調減少的序列（即對每個n,a n ≧a n+1）。則(方程式34)與(方程式35)同時收斂或同時發散（其中之一收斂，則另一必收斂；其中之一發散，則另一發散）。 （四）積分判定法（Integral Test）：若(方程式36)為一正項級數，f：x→f（x）在區間（1,＋∞）是一個單調減少的連續函數，並取正值，則(方程式37)與(方程式38)同時收斂或同時發散。例如，因(方程式39)發散，故(方程式40)發散。 正負項交替出現的級數(方程式41)叫做交錯級數（Alternating Series）。對此級數，我們有下列判定法。 萊布尼茲判定法（Leibniz Test）：若序列〈a n 〉n∈N滿足下列三條件：每項均正，(方程式42)，並且此序列單調減少，則交錯級數(方程式43)收斂。例如(方程式44)收斂。 二、級數之絕對收斂 稱級數(方程式45)條件收斂（Conditionally Converges）當且只當：(方程式46)收斂，但(方程式47)發散。例如(方程式48)即是這種級數之一例。稱級數(方程式49)絕對收斂（Absolutely Converges）當且只當(方程式50)收斂。注意：絕對收斂的級數一定是收斂級數。例如(方程式51)就是絕對收斂的級數。 在計算無限多個量所成的級數(方程式52)（或無限多量所成的形式之和）時，我們必須注意此級數是否為絕對收斂或條件收斂之級數？若此級數為條件收斂級數，則必須注意在計算過程中不可任意更換項之順序或隨便使用括號來計算，級數的原來括號也不能去掉。因為我們有下列重要定理。 [定理]給定條件收斂的級數(方程式53)，則 （一）重新更換項目，或使用括號重新安排項目之順序，可能使新級數收斂，但其和不一定是(方程式54)之和。 例如：(方程式55)之和為log2（2之自然對數），依據「p個正項後，隨著出現q個負項」為一群（用括號表示），然後交替出現，但在每一群正負項之絕對值，依關係排列，由此得到一新級數(方程式56)，則(方程式57)。例（1+1/3+1/5-1/2）+（1/7+1/9+1/11-1/4）+（1/13+1/15+1/17-1/6）+…之和為log2+1/2log3/1。 （二）原級數(方程式58)可能有一安排（重新更換項目順序或使用括號）使新級數發散。例如(方程式59)收斂，但(方程式60)（二正一負之項目順序）則發散。 （三）給定任何實數c，則可重新更換（或使用括號重新安排）原級數(方程式61)之項目順序，則得到一個向c收斂的新級數。 上面的結果（一）至（三）告訴我們：在計算(方程式62)之值或其值之逼近值時，若(方程式63)為一條件收斂級數，則不可隨意更換或重新安排項目之順序。否則會導致嚴重錯誤的結果。若(方程式64)為絕對收斂級數，則這級數不具有上述缺點。 現在的中心問題是：如何判定所給級數(方程式65)為絕對收斂級數？我們有下列方法： （一）比例判定法（Ratio Test）：給定級數(方程式66)，令(方程式67)，若r＜1，則此級數絕對收斂；若r＞1，則此級數發散；但若r=1，則情況不明。例如，已知(方程式68)絕對收斂，(方程式69)條件收斂；對前者而言，(方程式70)，對後者而言，(方程式1)（由積分判定法，(方程式1)收斂，(方程式1)發散）。 （二）根號判定法（Radical Test）：給定級數(方程式71)，令(方程式72)，若ρ＜1則此級數收斂；若ρ＞1，則此級數發散；但若ρ=l，情況不明。 使用前兩種判定法而得到γ=1或ρ=1時，可使用下列方法彌補。 （三）高斯判定法（Gauss Test）：給定正項級數，若有定數（固定常數）α,λ,k（均與n無關），λ＞1,│θ n │＜k使得(方程式73)，則α＞1時，此級數收斂；α≦1時，(方程式74)發散。 例如，若(方程式75)，若p＞2，則(方程式76)收斂；若p≦2，則(方程式77)發散。 三、冪級數（Power Series） 具有形式(方程式78)或(方程式79)的實數項級數稱為x的冪級數（Power Series about x）。對任何給定的冪級數(方程式80)，下列三種情形中只有一種成立：（一）對所有實數x，此冪級數均絕對收斂。（二）有一個區間I（I⊆R），使得(方程式81)在I之任何點x絕對收斂，在I以外的任何點 ，此級數不絕對收斂。（三）(方程式82)只在一點收斂，在其他所有點發散。在第（二）種情形，區間I稱為冪級數(方程式83) 的收斂區間（Interval of Convergence），通常在許多情形下，I是一個開區間（－a, a），a為實數。此時，a叫做(方程式84)的收斂半徑（Radius of Convergence）。在第（一）種情形，我們稱該級數的收斂區間為（－∞, ∞），收斂半徑為無限大（+∞）。給予任何冪級數(方程式85)，可使用比例判定法與根號判定法，求得此級數之收斂半徑與收斂區間。給定冪級數(方程式86)，令(方程式87)或(方程式88)，則此冪級數之收斂半徑為R (方程式89) 具有形式(方程式90)的h的冪級數稱為f在a的泰勒級數（Taylor Series of f about x=a）。 ﹝定理﹞若函數f：﹝a ,a + h﹞→R滿足下列條件：f及其高階導數f', f'',…,f (n-1)（n為任何正整數）均在﹝a, a + h﹞連續，並且f(n)在（a, a + h）存在，p為任何正整數，且有θ, 0＜θ＜1使(方程式91)，則f(a + h)可展開為h的冪級數（f可展開為在a的泰勒級數）(方程式92)。 在通常情形下，取a=0 , h = x。 上述定理告訴我們，這是把函數f展開為h的冪級數的一種方法。由此可計算f(a + h)的逼近值：(方程式93)，在此n為一我們取定的正整數，其誤差為(方程式94)，θ為一正小數，0＜θ＜l，我們可估計此誤差之大小。 若函數f、g在某一區間I內可展開為x的冪級數，(方程式95)，我們可使用下列方法把f(x)g(x)展開為x的冪級數。 （一）柯西與墨頓定理（Cauchy-Mertens Theorem）：若(方程式96)向A收斂，(方程式97)向B收斂，但這二級數中有一個是絕對收斂，(方程式98)，則(方程式99)向AB收斂（即(方程式100)之和為AB） 若一冪級數(方程式101)在一區間I向一個函數f(x)絕對收斂，或f(x)在區間I可展開為一絕對收斂的冪級數(方程式102)，則用表式(方程式103)表之。使用下列定理，我門由f(x)得到新函數之冪級數展開法： ﹝定理﹞若(方程式104)，則f在I可微分，並且(方程式105)。 ﹝定理﹞若(方程式106)，則f在I可積分，並且(方程式107)。 四、收斂級數之和之數值求法 如何用數值表示一個交錯級數之和？首先設「算子」Δ如下： Δf=f(x + h)－f(x)，h 可正可負，但x + h在x附近，x + h與x均在f之定義域內。 ﹝定理﹞（歐伊勒﹝Euler﹞定理） 若(方程式108)（條件）收斂，則(方程式109)， 在此Δ0u0≣u0，Δu0= u1－u0，Δ2u0=Δ（Δu0）=Δu1－Δu0，Δnu0=Δ（Δ n-1 u0）=Δ n-1 u1－Δ n-1 u0。 例如：對級數1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…，我們有下列計算出來的數表： 首先1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+… ≒0.616667+1/7-1/8+1/9-1/10+… （0.616667事前6項之和之逼近值）=0.616667+(方程式110) 使用歐伊勒定理於級數(方程式111)，我們有下列計算出來的數表： 見圖1 因此，1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+… ≒0.616667+(方程式112) ≒0.616667+0.076477 ≒0.693144 ﹝定理﹞設級數(方程式113)之和為S，其第n項部分和為S n ，若有二常數k , ρ使S-S n ≒kρ n ，則可使用Aitken-Shanks變換求得S之逼近值： S≒(方程式114) 若S-Sn=kρ n ，則對所有n，(方程式115)，但若對不同的n，S-S n =kρn則上式右邊也隨不同的n而變。因此可設序列(方程式116)。如下： (方程式117) 我們可由序列(方程式118)逼近級數(方程式119)之和S（但計算過程複雜冗長）。 五、函數項級數與均勻收斂性 在「數值分析」與「逼近理論」中，我們常引用「函數序列」、「均勻收斂」這些概念。 令〈f n 〉 n 為函數fn：E→R所成的序列，稱為「函數序列」（即每一個函數是一個實數值函數，且其定義域為E, E⊆R。我們可考慮此序列在E所決定的函數f，(方程式120)。在某些情形下，f可以是空函數。f叫做這函數序列的極限函數（Limit Function）。例如，若(方程式121),x∈R，則函數序列〈f n 〉 n 之極限函數為自然指數函數x→e x 。我們自然面臨下列問題：若一函數序列〈fn〉n之每項fn：E→R具有一個性質，其極限函數能否具有這性質？這問題之研究涉及「均勻收斂」概念。 給予函數序列〈fn〉 n ，每個fn：E→R,E⊆R，設f為此序列在E之極限函數，我們稱函數序列〈f n 〉n在E向f均勻收斂（記作：f n ？f on E），當且只當：對任何ε＞0，能找到λ＞0，使得對所有n≧λ，對所有x∈E,│f n (x)－f(x)│＜ε。 上述「均勻收斂」概念可推廣到「函數項級數」之「均勻收斂」概念。 給予一個函數序列〈fn〉 n （fn：E→R,E⊆R）稱級數為一「函數項級數」（Series of Function Terms）。稱一函數f(x)為此級數之和函數，（Sum Function），當且只當：f(x)為此級數之和（Sum）。給予一個函數項序列〈g n 〉 n , gn：E→R,E⊆R，對每個整數n≧0，令(方程式122)。我們說：函數項級數(方程式123)在E均勻收斂，當且只當：函數序列〈f n 〉n在E均勻收斂。換言之，若f為(方程式124)之和函數，則稱(方程式125)在E向f(x)均勻收斂，當且只當：對任何ε＞0，存在λ＞0使得對所有n≧λ，對所有x∈E，(方程式126)。 如何判定一個函數項級數(方程式127)是否均勻收斂？這是在計算此級數或求其導數，求其積分時必先解決的問題。 （一）魏爾斯特拉斯M判定法（Weierstrauss’s M Test）：給定函數序列〈g n 〉 n , g n ：E→R, E⊆R，若有實數序列〈M n 〉使得對每個n，對所有x∈E，│g n (x)│≦Mn，並且(方程式128)收斂，則(方程式129)在E均勻收斂。 （二）狄里希立判定法（Dirichlet’s Test）：給定函數序列〈g n 〉 n , 〈v n 〉 n ，所有gn與v n 之定義域均為E（E⊆R），若有常數K＞0，使得對所有n≧0，對所有x∈E，(方程式130)，〈v n （x）〉n為在E的單調減少，並取正值的序列，且(方程式131)，則(方程式132)在E均勻收斂。 （三）阿貝爾判定法（Abel’s Test）：給定函數序列〈g n 〉 n , 〈v n 〉 n ，所有gn與vn之定義域為E, E⊆R。假設(方程式133)在E均勻收斂，有常數M＞0使得對所有v n (x)在E滿足條件0≦v n (x)≦M；又對每個x∈E,〈v n （x）〉n為遞減的序列，則(方程式134)在E均勻收斂。 任何函數級數之微分與積分，必須考慮到此級數之均勻收斂性。重要結果如下： ﹝定理﹞若〈g n 〉 n ，為一函數序列，g n ：E→R, E⊆R，每個gn在E連續，且(方程式135)則其和函數也在E連績。 ﹝定理﹞若〈g n 〉n為一函數序列，g n ：﹝a , b﹞→R在﹝a , b﹞連續，每項gn在開區間（a , b）可微，c為﹝a , b﹞之某一點使(方程式136)收斂；若(方程式137)在（a , b）均勻收斂，則(方程式138)在﹝a , b﹞均勻收斂，且其和函數f在﹝a , b﹞連續，在（a , b）可微，對所有(方程式139)。 ﹝定理﹞給予函數序列〈g n 〉 n ，g n ：﹝a , b﹞→R在﹝a , b﹞可積分（可做黎曼積分），若(方程式140)在﹝a , b﹞均勻收斂，則其和函數f也可在﹝a , b﹞積分，並且(方程式141)。（洪成完）