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冯·诺伊曼
李旭辉
(华东师范大学)
冯·诺伊曼，J．(von Neumann，John)1903年12月28日生于匈牙利布达佩斯；1957年2月8日卒于美国华盛顿．数学、物理学、计算机科学．
冯·诺伊曼出生于犹太人家庭．父亲麦克斯·冯·诺伊曼(Max von Neumann)是位富有的银行家． 1913年，奥匈帝国皇帝弗朗西斯·约瑟夫一世(Franz Joseph I)授予麦克斯贵族的封号，诺伊曼家族的姓中便有了“von”字．
冯·诺伊曼自幼受到良好的教育．父亲特地聘请了家庭教师，向他系统传授数学、外语、历史和自然常识，而他很早就显示出超人的记忆力和理解力．传说他6岁能心算8位数除法，8岁掌握了微积分，12岁时还学习了E．波莱尔(Borel)的《函数论教程》(Lecons sur la thorie des fonctions)．
第一次世界大战爆发的1914年，冯·诺伊曼刚满10岁，被送入大学预科学习．他的过人才智引起了老师L．瑞兹(Ratz)的注意，瑞兹觉得让冯·诺伊曼接受传统的中学教育是在浪费时间，应该对他进行专门的数学训练，使其天才得到充分发展．瑞兹把冯·诺伊曼推荐给布达佩斯大学的J．屈尔沙克(Krschak)教授，屈尔沙克则安排助教M．费克特(Fekete)担任了他的家庭辅导工作．他发表的第一篇论文，便是在不到18岁时与费克特合写的，推广了切比雪夫(Чеъыдев)多项式求根的费耶尔(Fejr)定理．1921年他通过中学生毕业考试时，已被公认为前途远大的数学新秀．
这之后的四年，冯·诺伊曼先后在柏林大学和瑞士苏黎世的同业高等技术学院攻读化学，同时保留着布达佩斯大学数学系的学籍．每学期末，他都要从欧洲赶回布达佩斯，探望家人并参加数学考试．1925年和1926年春，他先后获得了苏黎世的化学工程学位和布达佩斯大学的数学博士学位．
在柏林，冯·诺伊曼参加过A．爱因斯坦(Einstein)关于统计力学的讲座并跟随E．施密特(Schmidt)学习；在苏黎世，他与H．外尔(Weyl)和G．波利亚(Plya)都有过密切接触．冯·诺伊曼曾说，对他早年学术思想影响最大的数学家，便是外尔和施密特．
他还数次前往格丁根大学，拜访大数学家D．希尔伯特(Hi－lbert)．他被希尔伯特的量子力学和证明论深深吸引住了．希尔伯特也非常赏识这位年轻学者，1926年初他尚未拿到博士学位时，希尔伯特就设法为他谋到了格丁根大学的访问学者资格．
1927—1929年，冯·诺伊曼被聘为柏林大学的义务讲师，其间在集合论、代数学和量子理论方面取得了大量研究成果，受到数学界的瞩目．1929年他转入汉堡大学任义务讲师．经外尔推荐，他于1930年以客座讲师的身份来到美国普林斯顿大学数学系，第二年成为该系终身教授．这样，他每年有一半时间生活在欧洲，另一半则在美国度过．
1933年，高级研究院在普林斯顿成立．冯·诺伊曼从一开始便受聘担任研究院的数学物理终身教授，年仅29岁，是院内最年轻的教授．他在1937年取得了美国公民权．
当时，世界经济正处于大萧条时期，战争的阴云笼罩着欧洲，而普林斯顿却成为数学和物理学精英云集之地．在浓厚的学术气氛和安定的生活中，冯·诺伊曼一直全身心地从事着研究工作．1932年，他从数学上总结了量子力学的发展，出版《量子力学的数学基础》(Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik)一书，同时推出了著名的弱遍历定理．1937年他发表关于算子环的理论，还确立了连续几何学．希尔伯特第五问题的部分解决，也是他在这个时期的主要成就之一．
1930年。冯·诺伊曼与M·柯维斯(Kovèsi)结婚，女儿玛丽娜(Marina)在1935年出生．两年后，他们的婚姻破裂．1938年夏，冯·诺伊曼回布达佩斯讲学、探亲，与克拉拉·丹(KlaraDan)结婚并于年底一起来到了普林斯顿．克拉拉后来成为首批为计算机编制数学问题码的学者之一．
第二次世界大战爆发后，冯·诺伊曼的科学生涯发生了转折．1940年，他被阿伯丁弹道实验研究所聘为科学顾问，1941年受聘任海军兵工局顾问．从1943年底起，他又以顾问身份参加了洛斯阿拉莫斯研究所的工作，指导原子弹最佳结构的设计，探讨实现大规模热核反应的方案．在数学上，除了解决各种数值计算问题外他的最重要成就是1944年正式创立了对策论和现代数理经济学．
大战后期，他转向电子计算机的研究．1944年夏，他参观了尚未竣工的第一台电子计算机ENIAC，并参加了为改进计算机性能而举行的一系列专家会议．此后一年里，他提出电子计算机及程序设计的崭新思想，制订出两份全新方案——EDVAC机方案和IAS机方案．1951年，IAS机研制成功，证明了他的理论的正确性．
大战结束后，冯·诺伊曼担任高级研究院计算机研究所所长，同时继续在美国海军武器实验室等军事机关中服务．1954年10月，他被任命为美国原子能委员会委员，便于次年辞去了在高级研究院的职务，由工作、生活了23年的普林斯顿迁居到华盛顿．
从40年代末直到逝世前，冯·诺伊曼还集中研究了自动机理论，包括对各种人造自动机和天然自动机的比较，解决自动机的自适应、自繁殖和自恢复等问题．1951年发表“自动机的一般逻辑理论”(The general and logical theory of automata)，开辟了计算机科学的一个新领域，并为以后人工智能的研究奠定了基础．
1955年夏，冯·诺伊曼被确诊患有骨癌，病情迅速恶化．他在轮椅上坚持进行思考、写作，参加学术会议，还为耶鲁大学准备了希利曼(Hilliman)讲座的讲稿．1957年2月8日，他在华盛顿陆军医院与世长辞，享年53岁．
冯·诺伊曼一生担任过许多科学职位，获得了众多荣誉，最主要的有：1937年获美国数学会博歇(Bcher)奖；1947年获美国数学会吉布斯(Gibbs)讲师席位，并得到功勋奖章(总统奖)；1951—1953年任美国数学会主席；1956年获爱因斯坦纪念奖及费米(Fermi)奖．
他发表的学术论文共有150余篇，全部收录在1961年珀格蒙出版社出版的《冯·诺伊曼文集》(Collected works of John vonNeumann)中．其中60篇是纯粹数学方面的，60篇关于应用数学，20篇属于物理学．冯·诺伊曼以其超人的才思和丰硕的学术成果，成为一代科学巨匠．
纯 粹 数 学
冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925—1940年，主要可分为以下六个方向。
1．集合论与数学基础
本世纪初，为了克服悖论给G．康托尔(Cantor)集合论带来的困难，并系统整理康托尔的理论与方法，人们开始致力于公理化方法的研究．1908年，出现了两个著名的公理系统：E．策梅罗(Zermelo)的系统[后由A．弗伦克尔(Fraenkel)和A．斯科朗(Skolem)修改补充，成为ZF公理系统]和B．罗素(Russell)的类型论．
冯·诺伊曼很早就对集合论问题感兴趣．1923年还在苏黎世就读期间，他发表了自己的第二篇论文“超穷序数引论”(Zur Einfhrung der transfiniten Ordnungszahlen)，力图将康托尔的序数概念“具体化、精确化”．在康托尔的定义中，序数是良序集的序型，而根据ZF公理系统，序型的存在性是无法证明的．冯·诺伊曼借助于ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理，给出了序数及超限序数形式化的新定义，这种定义一直沿用至今．
此后六七年中，他积极传播公理化的思想，并试图建立更具形式化和精确性的公理系统．1923年，他向德国《数学杂志》(Ma－thematische Zeitschrift)编辑部提交了长篇论文“集合论的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre)，施密特代表编辑部把论文推荐给集合论方面的权威弗伦克尔．经过与弗伦克尔详尽地探讨，冯·诺伊曼根据原文写出一篇介绍性文章“集合论的一种公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre)，于1925年发表．
“集合论的公理化”后来成为冯·诺伊曼的博士毕业论文．它所建立的公理体系经P．贝尔纳斯(Bernays)和K．哥德尔(Gdel)完善之后，形成了公理化集合论中又一新的系统——NBG系统．
NBG系统不像ZF系统那样，把集合与从属关系作为原始概念，并采取限制集合产生的办法来达到排除悖论的目的，也不同于类型论中以集合与层次的语言描述集合体系．它的特点是在“集合”与“属于”之外，引入了“类”作为不定义概念，比集合的概念更具概括性．类分为集合和真类，规定真类不能作为类的元素．这样，就排除了由“所有集合的集合”产生悖论的可能性．
与ZF公理系统相比，NBG系统保留了更多、更有用的论证方法．而且在ZF系统中，包含着由无穷多条公理组成的公理模式，NBG系统则不含公理模式，是一有穷公理系统，有着如同初等几何公理那样简单的逻辑结构，这是它最主要的优点．
现已证明，NBG系统是ZF系统的扩充．哥德尔在证明选择公理与连续统假设同其他公理的相容性时，就受到了NBG系统的启发．到今天，NBG系统仍是集合论最好的基础之一．
与集合论公理化的工作相适应，冯·诺伊曼在20年代后期参与了希尔伯特的元数学计划．1927年的文章“关于希尔伯特的证明论“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)对数学形式主义的基本概念进行了阐释．它指出，希尔伯特元数学计划所提出的各种问题，虽经希尔伯特本人及贝尔纳斯、W．阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所进展，但从总体上而言仍未得到令人满意的解决．尤其是阿克曼关于自然数论无矛盾性的证明，不能在古典分析中实现．
1931年，哥德尔不完全性定理提出之后，希尔伯特计划的完全实现落空了．对此，冯·诺伊曼并未感到过分惊奇，因为早在1925年发表的“集合论的一种公理化”中，他便隐约地预见到哥德尔的结论：任一形式化体系中都存在着本系统内无法判定的命题．原文的最后一句话是：“暂时，除了陈述集合论本身的缺陷外，我们还能做什么呢？没有一种已知的方法可以避免其中的困难．”他认为，“由哥德尔的结果应当引出一条新的途径，去理解数学形式主义的作用，而不应把它当作问题的结束．”他本人对数学基础保持着长久的兴趣，并在后期关于计算机逻辑设计和机械化证明中得到体现．
2．测度论
测度论在冯·诺伊曼的整个研究工作中并非处于中心地位，但他给出了许多很有价值的方法和结果．
在1929年的“一般测度理论”(Zur allgemeinen Theorie desMasses)一文中，冯·诺伊曼对群的子集讨论了有限可加测度．n维欧氏空间Rn中的“测度问题”是：Rn的幂集上，是否存在一非负、正规化且关于刚体运动不变的可加集函数？F．豪斯多夫(Hau－sdorff)和S．巴拿赫(Banach)证明：测度问题在n为1和2时有无穷多个解，在其他情况下无解．这个结论给人的感觉是：当维数由2变为3时，空间的特性发生了根本的、难以捉摸的变化．冯·诺伊曼则指出，问题在本质上是属于群论的，造成性质差异的根源在于群的变化而非空间的变化．探讨测度问题的可解性，需要用到群的可解性这一代数概念．
他继续运用群论的思想，分析了豪斯多夫-巴拿赫-塔尔斯基(Tarski)悖论：Rn(n≥3)中两个不同半径的球，可以分别被分解为有限个互不相交的不可测子集，使两球的子集间可建立起两两全等的关系(在n为1或2时，这种分解不存在)．他解释说，这是因为在n为3或更大时，正交群包含着自由非阿贝尔(Abel)群，而在小于3时则不然．
这样，测度问题便从Rn推广到了一般的非阿贝尔群．而巴拿赫关于R2的一切子集使用同一测度的可能性被证明对阿贝尔群的所有子集也成立．最后，他得出结论：所有可解群都是可测度的(即某种测度能够引入到可解群上)．
这篇文章属于最早将集合论的结果从欧氏空间推广到更一般的代数和拓扑结构中去的工作之一．从那时起，这种思想方法开始受到了更广泛的重视．
同一时期，匈牙利数学家A．哈尔(Haar)提出这样一个问题：在Rn中是否有一种挑选可测子集的方法，使得每个子集均与给定的集合等价，并且选择过程保持有限集运算？冯·诺伊曼给出了肯定的回答，并把结论推广到可测函数的情形．这成为解决测度分解问题的出发点．1935年，他还与M．斯通(Stone)合作，讨论了更一般的问题：A是一布尔代数，M为A的理想，何时存在A的子代数，使A到A／M的映射限制在子代数上时为同构？他们给出了存在性的各种充分条件．
另一成果是他在1934年对紧致群证明了哈尔测度的唯一性(在相差常数因子的意义下)．证明过程中构造了紧致群上连续函数的“不变平均”(invariant means)，用到不同于哈尔的方法来引进测度：以光滑测度m′代替给定的左不变测度m，m′由下式定义：
其中ω为适当的权函数．m′不但具有m的所有性质，且具有右零不变性．这些方法在后来他与S．博赫纳(Bochner)研究可分拓扑群上殆周期函数时得到了系统的应用．
1933—1934年，冯·诺伊曼在高级研究院作过有关测度论的报告，非常详细地阐释了欧氏空间中勒贝格测度的古典理论，并推广到抽象测度空间中．报告的内容在很长一段时间内是美国在测度论方面的主要资料来源，1950年由普林斯顿出版社编辑成为《函数算子》 (Functional operators)一书．
3．遍历理论
冯·诺伊曼在这一领域的首要成就，是证明了平均遍历定理(mean ergodic theorem，亦称弱遍历定理)．19世纪70年代，L．玻尔兹曼(Boltzmann)提出了统计力学中的遍历性假设，并希望以此为前提，推导出保测变换的空间平均等于(离散)时间平均，这就是玻尔兹曼计划．
从数学上实现这一计划，首先需要证明作为时间平均的极限的存在性．1931年，B．库普曼(Koopman)和A．韦伊(Weil)同时发现，由保测变换诱导出的函数算子是酉算子．它给冯·诺伊曼以很大启示．当时，他正致力于算子理论的研究，这一发现促使他尝试着用希尔伯特空间的自共轭算子去解决存在性问题．很快，他便提出并证明了遍历理论的第一个重要定理——平均遍历定理：
，对保测变换T，遍历平均
依L2的范数收敛到函数Pf，其中Ut是T诱导的算子
UTf(x)=f(Tx),xX
而p是L2到Ut不变函数空间的正交投影．
在这一结果发表(1932年)之前，冯·诺伊曼把它介绍给了G．D．伯克霍夫(Birkhoff)和库普曼．伯克霍夫将“依平均测度”意义下的收敛改善为“处处收敛”，得出了更强的结论——逐点遍历定理(pointwise ergodic theorem，亦称个体遍历定理)，并于1931年12月率先发表．
尽管如此，由于伯克霍夫与库普曼在1932年撰写了“遍历理论的近期发展”(Recent contributions to the ergodic theory)，使学术界了解到遍历定理产生的前因后果，冯·诺伊曼的首创性工作得到了肯定．
不久，第33卷《数学纪事》(Annals of mathematics，1932)又刊登了他颇具影响力的文章“古典力学中的算子方法”(ZurOperatorenmethode in der klassischen Mechanik)，这标志着对遍历理论系统研究的开端．
论文首先给出了平均遍历定理的详尽证明，然后推出6条重要的定理．第一条是分解定理(decomposition theorem)：任何保测变换均可分解为若干遍历变换的直积分．它说明在所有保测变换中，具有遍历性的是最基本、最重要的，任何保测变换都可由它们构造而得．
定理2则进一步指出，单参数保测变换群的分类问题在本质上可归结为对遍历变换进行分类．
保测变换的分类问题后来成为遍历理论的中心问题，其中最关键的第一步，当属冯·诺伊曼与P．哈尔莫斯(Halmos)1942年共同证明的结论：
f1和f2分别是有限测度空间X1和X2上的保测变换，U1和U2分别是X1，X2在L2上诱导出的酉算子．若f1，f2有离散谱，则f1与f2同构当且仅当U1和U2作为希尔伯特空间上酉算子时是相同的．
冯·诺伊曼在处理遍历理论的问题时，往往着重于测度和谱的内在联系．定理5就是关于离散谱的典型结果：对于具有纯点谱的酉算子U(由遍历变换诱导而得)，其谱实际上构成实数群的一可数子群；反过来，实数群的每个无穷可数子群均可作为某些遍历变换所诱导的酉算子的纯点谱．
与此对应，又有冯·诺伊曼和库普曼关于连续谱的混合定理(mixing theorem)．它断言：遍历变换的几何性质(混合性)与酉算子的谱性质(无非平凡的特征值)是等价的．
对于冯·诺伊曼在测度论和遍历理论方面所取得的成果，哈尔莫斯给予了如此的评价：“从文献数量上看，它们尚不及冯·诺伊曼全部科学论著的十分之一，但就质量而言，即使他从未在其他方面作过研究，这些成果也足以使他在数学界享有永久的声望．”
4．群论
冯·诺伊曼的一个著名成果，是在1933年对紧致集解决了希尔伯特第五问题．早在1929年，他曾证明对连续群有可能改变参数，使群的运算成为解析的．具体地说，对于n维空间中的线性变换群，它有一正规子群，可以被解析地且按有限个参数一一对应的方式局部表出．这是第一篇对解决希尔伯特第五问题做出贡献的文章．
1933年，他在《数学纪事》第34卷上发表“拓扑群中解析参数导论”(Die Einfhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen)，证明每个局部同胚于欧氏空间的紧致群允许一李群结构．这样，希尔伯特第五问题在紧致群的条件下得到了肯定的回答．
问题的解决用到了彼得(Peter)-外尔积分在群上的类比、施密特的函数逼近定理及L．E．J．布劳威尔(Brouwer)关于欧氏空间的区域不变性定理，体现出冯·诺伊曼丰富的集合论与实变函数知识以及他对积分方程、矩阵计算技巧的熟练应用．
另一项工作亦同群论相关：群上的殆周期函数(almost pe－riodic function)理论．他把H．玻尔(Bohr)首创的实数集上殆周期函数概念扩展到任意群G中，继而在新的殆周期函数理论与彼得、外尔的群表示理论之间建立起联系：设群G的有限矩阵表示为D(x)=(dij(x))，
则下述三个条件等价：
(1)每个dij(x)都是G上的有界函数；
(2)每个dij(x)都是G上的殆周期函数；
(3)D等价于一个酉矩阵的表示．
他由此指出，群上的殆周期函数构成了群表示理论的最大适用范围．
5．算子理论
对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个科学生涯，这方面的论文占他全部著述的三分之一，他在这个领域有着20多年的领导地位．
1927—1930年，他首先给出了希尔伯特空间的抽象定义，即现在所使用的定义．然后，对于希尔伯特空间上自共轭算子谱理论从有界到无界的推广，做了系统的奠基性工作：引入稠定闭算子的概念，给出无界自共轭算子、酉算子以及正规算子的谱分解定理，指出了对称算子和自共轭算子在性质上的差异，还与外尔共同研究了无界算子经过扰动后谱的变化规律．
冯·诺伊曼的谱理论的形成，加上1933年巴拿赫所著《线性算子理论》(Thorie des operations linaires)一书的问世，标志着数学领域中又一新的分支——泛函分析的诞生．
20年代，E．诺特(Noether)和E．阿廷(Artin)发展了非交换代数理论，冯·诺伊曼意识到这是对矩阵论极好的阐释和简化，他尝试着将有关概念扩展到希尔伯特空间上的算子代数中，由此产生了“算子环”的概念：关于弱(或强)算子拓扑为闭且含有恒等算子I的＊子代数称为算子环．算子环可以认为是有限维空间内矩阵代数的自然推广，后来被人们称为冯·诺伊曼代数，以示对冯·诺伊曼的纪念．而在同构意义下，它又可称作W*代数．
算子环的正式定义出现在冯·诺伊曼1929年的论文“函数运算代数和正规算子理论”(Zur Algebra der Funktionaloperati－oren und Theorie der normalen Operatoren)中．这篇论文还包括了“交换子”(commutant)、“因子”(factor)等重要定义，以及二次交换子定理(double commutant theorem)：
是算子环，则交换子也是算子环，且．
这实际上给出了算子环的一个等价定义：希尔伯特空间H上有界线性算子全体(H)中满足=()’的＊子代数称为算子环．这一定义是研究算子环的重要工具，如判断算子何时与一算子环相伴，用于对稠定闭算子进行标准分解等．
从1935年开始，冯·诺伊曼在F．J．默里(Murray)的协助下，又写出了题为“论算子环”(On rings of operators)的系列文章．
他们的首要结论是：算子环可以表示为因子的连续直积分．因此，对算子环的研究便归结为对因子的研究．
受经典非交换代数理论的启示，人们曾推测所有因子均同构于(H)．冯·诺伊曼和默里在“论算子环I”中证明：当因子包含极小射影时，它同构于(H)．但同时，他们又应用遍历论的技巧，构造出一类重要的例子，说明并非所有的因子都有极小射影，因而有关因子的性质远非人们推测的那样简单．
他们在因子的射影之间建立了序关系，使之具有可比性．而这种序关系又可用维数函数(定义于因子的等价类之上)来表述．根据维数函数值域的不同情况，对因子有以下分类：
通过群测度空间的构造，他们得到了Ⅱ1型和Ⅱ∞型因子．1940年的“论算子环Ⅲ”又给出了Ⅲ型因子的例子．
继因子的分类和各类因子存在性的证明之后，一个重要的问题是：这种分类是否完成了因子的代数分类？即某给定类型中的全体因子是否同构？冯·诺伊曼和默里花去大量时间考察这个问题，最终构造出两个新的Ⅱ1型因子并证明它们是非同构的，从而给了原问题否定的回答．
6．格论
冯·诺伊曼在研究希尔伯特空间算子环时，遇到了一类完备有补模
定义L为连续几何(continuous geome－try)，并构造出一类重要的连续几何：对任意可除环F和自然数n，F上的2n维子空间构成2n—1维射影几何PG(F，2n—1)．将它度量完备化之后得到的有补模格就是连续几何，记为CG(F)．他证明了希尔伯特空间中的Ⅱ1型因子具有与CG(F)同构的不变子空间格．
正则环(regular ring)是冯·诺伊曼引入的另一新概念：A是有单何的表示有着密切联系：连续几何L与某正则环A的主左理想构成的格同构．也就是说，将A分解为诸理想的直和，对应于把L分解为诸格的直积的问题．
在这些结论的证明过程中，冯·诺伊曼又发展了一些新的思想方法，其中主要是关于格的分配性：数对的分配性、独立元的分配性和无穷分配性等．他最早发现，在布尔代数中，交与并的运算必然是无穷分配的，而这种分配性又等价于连续性．
他在格论方面的工作大部分未能及时发表，主要通过1935—1937年高级研究院的讲义《复域几何》(Geometry of complexdomains)、《连续几何》及美国科学院会议录得以保存和传播．
应 用 数 学
1940年以后，随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展，冯·诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中，主要是计算数学和对策论两方面的工作．
1．计算数学
冯·诺伊曼认为，描述物理现象的方程一旦用数学语言给予表达，就可以从数值上得到解决而无须借助于常规方法或进行重复试验．他在计算数学方面的努力，是与他的这种观点以及解决实际问题的困难程度分不开的．
大战中，各种技术问题引起了快速估计和逼近解的需要．这些问题往往涉及一些不能忽略或分离的外部扰动，必须借助数值方法进行定性分析．冯·诺伊曼从数值稳定性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索．1946年，他和V．巴格曼(Bargmann)、D．蒙哥马利(Montgomery)合作．向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”(Solutionof linear systems of high order)，对线性方程组的各种解法进行了系统阐述，并探讨了利用计算机进行实际求解的可能性． 1947年，他又同H．哥德斯坦(Goldstine)研究了高阶矩阵的数值求逆，并给出严格的误差估计，特别是对150阶矩阵求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果．
在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况时，冯·诺伊曼创始了人工粘性法．例如，物理学上有系统守恒律
Ut+F(U)=0(U为热量，F为流量)，
它所描述的系统即使在初值光滑的情形下也会自发地产生间断性(激波)．冯·诺伊曼和R．里希特迈耶(Richtmyer)把它看成分布方程，求解过程便相当于寻求有效的数值算法来计算分布导数．他们以抛物正则方程
Ut+F(U)=εΔU
代替原方程，使分布导数成为普通导数，从而可用有限差分来近似，这样得出的解总是光滑的．这种在计算公式中人为加入“粘性”项的方法，使激波间断成为光滑的过渡区，激波的位置与强度便很容易确定了．人工粘性法是现代流体动力学中拉格朗日方法的第一个例子，提供了在电子计算机上对流体力学进行数值模拟的有力手段．
电子计算机产生之后，冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法，从而推动了计算数学的兴起与形成，也使他成为现代科学计算的奠基人之一(详见本文“计算机的理论与实践”部分)．
2．对策论与数理经济
冯·诺伊曼是对策论(又称博弈论)的创始人和现代数理经济学的开拓者之一．本世纪20年代，波莱尔最早用数学语言刻画了博弈问题，引进纯策略与混合策略的概念，并提出解决个人对策与零和二人对策的数学方案．但是，对策理论作为学科的真正创立，则是从冯·诺伊曼1928年发表“关于伙伴游戏理论”(Zur The－orie der Gesellschaftsspiele)开始的．
文中最重要的结论，是关于零和二人对策的极小极大定理(minimax theorem)：m×n矩阵A是正规化零和二人对策的支付矩阵，x和y是对局双方采取的混合策略的概率向量，存在唯一数值v，使得
同时，存在最优策略x*和y*，使
以极小极大定理为依据，冯·诺伊曼首先讨论了合作对策问题，特别是零和三人对策中有两方联合的情形．为了给出合作对策解的概念，他引入特征函数的思想．最后又明确表述了n个游戏者的一般博弈方案，结果表明：在附加条件下，n人对策问题的解是存在并且唯一的．
极小极大定理是对策论的基石．30年代，冯·诺伊曼本人及其他数学家陆续给出此定理的一些新的证明方法．到了40年代，A．瓦尔德(Wald)以极小极大定理为基础，把决策过程视为人与环境进行的二人对策问题，由此开创了统计决策理论．从那时起，对策论成为应用数学中一个活跃的研究领域．
1940年，奥地利经济学家O．摩根斯坦(Morgenstern)来到普林斯顿，他使冯·诺伊曼对经济问题特别是货物交换、市场控制和自由竞争等产生兴趣．经过四年的合作，他们出版了《对策论与经济行为》 (Theory of games and economic behavior)．这部著作对1928年的论文进行了进一步阐述，如增加了“分配”(imputa-tion)、“控制”(domination)的概念，定义了冯·诺伊曼-摩根斯坦解．全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的．
对策论在经济理论基本问题中的应用，是书中另一重要成果．他们认为，尽管当时的经济学还处于发展早期——如同16世纪的物理学，但最终它必将也像物理学一样，发展成为一门严密的数理科学．而对策论就是迈向综合性的数理经济学的第一步．这实际上体现了冯·诺伊曼将社会科学也纳入公理化数学体系的愿望．
早在1932年普林斯顿举办的一次学术讨论会上，冯·诺伊曼还讨论了一般经济平衡的模型化问题．他给出货物生产与消费的一个经济模型，并指出了模型问题与极小极大定理的密切关系：当把经济活动视为零和对策问题时，经济模型的平衡点就是对策问题中的极大极小值v．
物 理 学
冯·诺伊曼的眼光并未只局限于数学方面，他对物理科学同样有着浓厚的兴趣．可以说，对数学和物理学之间内在联系的探讨，在他的科学成就中具有最重大的意义．前面提到的算子理论和遍历理论等，实质上都与他在理论物理领域的工作——量子力学的数学化密不可分．
1926年，冯·诺伊曼来到格丁根大学．他在跟随希尔伯特研究数学基础的同时，被格丁根大学内正在开展的量子力学工作深深吸引住了．当时的量子力学在数学上有两种表述体系：W．海森堡(Heisenberg)、M．玻恩(Born)和W．泡利(Pauli)从微观粒子的粒子性出发建立的矩阵力学，E．薛定谔(Schrdinger)从波动性出发建立的波动力学．对于推测原子的性质这一实用目的来说，这两种体系是足够的．不久，薛定谔又证明了两者的等价性，并归结为由P．狄拉克(Dirac)和P．约当(Jordan)发展的变换理论的特殊情形．但是，冯·诺伊曼等人对此并不满意，他们希望从中提取更多的共性，建立量子力学的形式化体系．
这年冬天，希尔伯特就量子力学的新发展作了一次演讲，L．诺德海姆(Nordheim)为讲义的物理部分准备了材料，而关于数学形式化部分的主要工作，则是由冯·诺伊曼完成的．
量子理论的一个基本点，是原子状态的数学描述．冯·诺伊曼对此并未明确定义，而是给予了形式化的处理：原子的状态由希尔伯特空间中的单位向量表征．这正如希尔伯特对欧氏几何进行形式化时，把点、直线作为不定义术语一样．冯·诺伊曼指出，这种描述同海森堡和薛定谔的定义是一致的，而且代数中的形式规则如加法、乘法规则，对他们的表述体系同样适用．
他又构造了基于五条公理之上的抽象希尔伯特空间，并证明海森堡和薛定谔的原子状态定义满足五条公理．最后的结论是：量子力学的一种合适的形式语言，由抽象希尔伯特空间的向量(代表系统状态)、某类算子(代表系统中的可观察量)及其代数规则构成．
这些方法极好地体现了希尔伯特的公理化纲领，成为量子力学数学化的序曲，也促使冯·诺伊曼对希尔伯特空间的算子理论给予了充分的发展．
1932年，他的名著《量子力学的数学基础》由德国斯普林格公司出版．这是对先前的方法和结论的综合与完善．他特别指出，狄拉克等人在处理算子的概念时，对其定义域和拓扑并未予以充分考虑，草率地假设当算子为自共轭时，总可以被对角化．而对于无法对角化的，则引入狄拉克非正常函数(δ函数)的概念．冯·诺伊曼发现了它的自相矛盾的性质，并用自己的成就证明：变换理论能够建立在清晰的数学基础之上．其方法并非去修正狄拉克的理论，而是发展希尔伯特的算子理论．当他成功地将算子谱论由有界推广到无界情形后，便最终完成了量子力学的形式化工作，它包含海森堡和薛定谔等人的体系作为特殊情况．
书中另一个主要内容，是从统计学角度阐述了量子力学中的“因果律”(causality)和“测不准原理”(indeterminacy)．他的结论是，量子系统的不确定性并非由于观察者的状态未知所致．即使在系统中引入假想的“隐参量”(hidden parameters)，使观察者处于精确的状态，最终仍会因为观察者的主观意识而导致不确定的观察结果．这种观点得到了大多数物理学家的赞同．
此书还包括了对量子力学中特殊问题的解决，例如遍历假设在量子系统中的表述和证明．这成为他后来开辟的遍历理论的先声．
《量子力学的数学基础》(德文版)先后被译为法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理论物理领域的经典之作．
1927年，冯·诺伊曼开始用概率术语对量子力学进行分析，引入统计矩阵U(现称为ρ矩阵)来描述各种量子状态的系统之集合．统计矩阵成为量子统计学的主要工具．而他关于量子力学的度量理论则为热力学的发展奠定了基础．
计算机的理论与实践
在洛斯阿拉莫斯，原子核裂变过程所提出的大量计算任务，促使冯·诺伊曼关注着电子计算机的研制情况．从1944年8月到1945年6月，他参与了对电子数值积分和计算器ENIAC(ele－ctronic numerical integrator and calculator)的考察和改进工作．他发现ENIAC机的主要缺陷，是仍采取以往机电式计算机的“外插型”程序，在按给定程序执行运算时，每个问题都需要一个特殊的线路系统，因而缺乏高速计算所必需的灵活性和普遍性．
1945年3月，冯·诺伊曼为宾夕法尼亚大学起草了离散变量自动电子计算机EDVAC(electronic discrete variable automaticcomputer)的设计方案，轰动了科学界．第二年6月，他又与A．伯克斯(Burks)、哥德斯坦联名提出更完善的报告“电子计算机逻辑设计初探” (Preliminary discussion of the the logical design of an electronic computing instrument)，揭开了计算机发展史上新的一页．
在这两份报告中，冯·诺伊曼建立了计算机组织的最主要结构原理——存储程序(stored－program)原理．它确定计算机由五部分构成：计算器、控制器、存储器、输入和输出装置．程序由指令组成并和数据一起存放在存储器中，机器按程序指定的逻辑顺序，把指令从存储器中读出来并逐条执行，从而自动完成程序描述的处理工作．
根据这一原理设计的EDVAC机和IAS机方案，与ENIAC机相比有如下重要的改进：
(1)将十进制改为二进制，程序和数据均由二进制代码(code)表示；
(2)程序由外插变为内存，当算题改变时，不必变换线路板而只需更换程序；
(3)以超声波信号的方式存储输入的电信号，并建立多级存储结构，存储能力大大提高；
(4)采用并行计算原理，即对数字的各位同时进行处理．
从1946年开始，冯·诺伊曼组织哥德斯坦等人在高级研究院进行了IAS机的实际建造工作，1951年终于获得成功．它的运算速度达到每秒百万次以上，比ENIAC机快数百倍，实现了冯·诺伊曼的设想．
由存储程序原理构造的电子计算机称为存储程序计算机，后又被称为冯·诺伊曼型机．现代计算机的组织结构虽然有了一些重大变化，但就原理而言，占主流的仍是以存储程序原理为基础的冯·诺伊曼型机．冯·诺伊曼的思想深深地影响着现代计算机的存储、速度、指令选取和线路设计等各个方面．
冯·诺伊曼的名字是与计算机设计家联系在一起的．然而，他对计算机的主要兴趣并不在于计算机的设计与制造，而在于如何利用这种新型科学工具，开创现代科学计算的新天地．
古典的数值分析方法，对于计算机来说未必是最优的，而一些在算术上极为复杂的方法，编制为程序后反而容易在新型计算机上得以实现．冯·诺伊曼从这一实际情况出发，为计算机程序设计做了大量工作．他和哥德斯坦发明了流程图(flow diagram)以沟通所要计算的问题和机器指令；他引入子程序和自动编程法，大大简化了程序员编程时的繁琐程度．矩阵特征值计算、求逆、多元函数极值和随机数产生等数十种计算技巧，也都是他在战后的几年内首创的，它们在工业部门和政府计划工作中有着广泛的应用．
电子计算机诞生后，冯·诺伊曼和S．乌拉姆(Ulam)倡导了一种新型计算方法——蒙特卡洛法(Monte Carlo method)，它将所要求解的数学问题化为概率模型，在计算机上以较小规模实现随机模拟，获得近似解．例如，在计算n维立方体的某子区域的体积时，不用通常的将空间分割为一系列格点以逼近所求体积的方法，而是按均匀的概率在空间中随机选择点，利用计算机确定落在孩子区域中的点与所有点的比．当所选点的数量足够多时，这个比便给出了体积的近似值．
蒙特卡洛法的优点在于对问题的几何形状不敏感，收敛速度与维数无关，因此特别适用于高维数的数学物理问题．利用此法，冯·诺伊曼通过适当的对策产生了具有给定概率分布的随机数列，设计了处理玻尔兹曼方程的概率模型．战后，他在高级研究院领导了一个气象研究小组，建立起模拟大气运动的模型，希望利用计算机逐步求解从而解决数值天和技术上都有着极大的启发意义．
1956年，美国原子能委员会在向冯·诺伊曼颁发费米奖时，特别提到了他对于在计算机上进行计算研究的贡献．
从1945年起，冯·诺伊曼还致力于自动机理论及脑神经和计算机的对比研究，他被认为是自动机理论的创立者．
本世纪三、四十年代，C．尚农(Shannon)的信息工程、A．图灵(Turing)的理想计算机理论和R．奥特维(Ortvay)对人脑的研究，引发了冯·诺伊曼对信息处理理论的兴趣．而1943年W．麦考洛奇(McCulloch)与W．匹茨(Pitts)所著的《神经活动中内在意识的逻辑分析》(A logical calculus of the ideas imma－nent in nervous activity)，则使他看到了将人脑信息过程数学定律化的潜在可能．在他1945年关于EDVAC机的设计方案中，所描述的存储程序计算机便是由麦考洛奇和匹茨设想的“神经元”(neurons)所构成，而非利用真空管、继电器或机械开关等常规元件．
此后，他参加了有关信息论、控制论的系列会议，同数学家、物理学家、电工学家和生物学家进行广泛接触，逐渐形成了能同时应用于生物和技术领域的自动机理论．1948年9月，在希克松(Hixon)讨论班上，他作了“自动机的一般逻辑理论”(The ge－neral and logical theory of automata)的报告，提出自动机的自繁殖和迭代阵列等新概念，并对人造自动机(如计算机)和天然自动机(如人脑)进行了比较．他通过计算说明，计算机中电子元件的数量不过是人脑神经元数目的百万分之一；而另一方面，信息在电子元件中的传递速度大约是在脑神经中的一万倍．这样，计算机以速度取胜，而大脑则在复杂性上占优．为了使两者的特性具有可比性，可用每秒内发生的电信过程作为标准．计算显示，人脑的特性要超出计算机一万倍．
进一步，他还指出，计算机在执行运算时一般是依顺序进行的，而人脑则倾向于平行运算，因此在“逻辑深度”上不及计算机．
以此为基础，他于1952年开创了著名的冗余技术：对于一批带有一定故障发生率的元件(不可靠元件)，通过适当的方法，建造出任意规模和复杂程度的自动机，使不正确输出的概率能被控制在一定范围之内(可靠机)．同时，他又仿照微生物组织的结构来描述自繁殖系统，提出诺伊曼细胞空间的概念，利用许多互相连结的小自动机并行运算，形成了更大规模的自动机——诺伊曼自动机．这是最早最基本的一类自动机．这两项理论在70年代分别发展成为容错自动机理论和细胞自动机理论．
1955年初，冯·诺伊曼应耶鲁大学之邀，开始为美国最古老、最著名的科学讲座之一——希利曼讲座编写讲义，系统阐述他关于计算机、自动机和人脑的理论体系．由于他的病情加重和逝世，这次讲座的计划未能实现．1958年，耶鲁大学出版了讲义的单行本《计算机与大脑》(The computer and the brain)．
在1947年的论著《数学家》(The mathematician)中，冯·诺伊曼表达了这样的数学观念：数学的发展与自然科学有着密切联系，数学方法渗透于并支配着自然科学的所有理论分支．数学有其经验来源，不可能存在绝对的、脱离所有人经验的严密性概念．而另一方面，数学是创造性学科，受审美观的支配，选择题材和判断成功的标准都是美学的．必须防止纯粹美学化的倾向．为此，应该不断在数学中注入一些“或多或少直接来自于经验的思想”．
冯·诺伊曼的科研活动明显地受着上述观念的影响．他涉猎了如此众多的科学领域，力求保持数学理论同物理学及其他自然科学中日益增长的复杂现象之间的联系．这同时也是对实现数学的普适性和有机统一性这个目标的贡献．
形式化思想在冯·诺伊曼的哲学观念中占据着主导地位．他认为，逻辑体系具有普遍性和综合性，而形式化逻辑结构在某种程度上刻画了事物的抽象本质．他对寻找逻辑体系的局限性不感兴趣，但当某种局限性被发现后，他便开始考虑如何利用更加形式化的过程去克服它(体现在他对哥德尔不完全性定理的态度)．对他来说，最高层次的抽象——例如逻辑和数学的基础——应当通过严密的形式逻辑手段去完成．在接触到实际问题时，冯·诺伊曼总能迅速地给出适当的数学形式化表述，并进行纯形式的推理．不仅如此，将形式逻辑和数学付诸最大限度的应用，成为他的科学禀性．在他看来，利用抽象的形式结构可以了解整个世界——包括社会生活和精神意识．这在他对数学基础、量子理论和计算机组织的形式化工作中都有所反映．可以说，冯·诺伊曼遵循着这样一种观念：只有严密的逻辑体系才可能包含主宰万物的、永恒的普遍真理．
在冯·诺伊曼身上，集中着多种科学才能：对数学思想的集合论基础(形式上是代数的)的感知，对分析和几何的经典数学之本质的理解，以及发掘现代数学方法的潜在威力并应用于理论物理问题的深刻洞察力．这些才能之间并不矛盾，但每一种都要求很高的注意力和记忆力，它们能汇集于一人之身是非常难得的．
冯·诺伊曼不用笔和纸就能熟练地估计几何大小，进行代数和数值运算，这种心算能力常常给物理学家们留下深刻的印象．
对于在科学上有时并非十分重要但却体现出一定难度的问题，他也极愿给予关注．通过与他交谈，人们往往可以领会到一些并非人人皆知的、能轻松解决问题的数学技巧．这使他受到应用数学工作者的喜爱和欢迎．
除了科学之外，冯·诺伊曼对历史也有着浓厚的兴趣．早在孩提时代，他就系统阅读了21卷的《剑桥古代史》(Cambridgeancient history)和《剑桥中世纪史》(Cambrige medieval histo－ry)，特别精通欧洲皇室的衍变和拜占庭的历史．他对历史事件的叙述和评价，总是令同事们大为折服．从中还可感受到他以数学家特有的方式表达的幽默．
他能熟练地运用德语、法语、英语、拉丁语和希腊语．他在美国所进行的演讲以其良好的文学修养著称．
冯·诺伊曼曾从N．维纳(Wiener)处了解到中国的情况，产生了到中国访问讲学的愿望．1937年5月，维纳致函清华大学校长梅贻琦和数学系主任熊庆来，推荐冯·诺伊曼作为清华大学的访问教授．可惜，两个月后日本侵华战争的全面爆发，使他们的希望成了泡影．
李旭辉
(华东师范大学)
冯·诺伊曼，J．(von Neumann，John)1903年12月28日生于匈牙利布达佩斯；1957年2月8日卒于美国华盛顿．数学、物理学、计算机科学．
冯·诺伊曼出生于犹太人家庭．父亲麦克斯·冯·诺伊曼(Max von Neumann)是位富有的银行家． 1913年，奥匈帝国皇帝弗朗西斯·约瑟夫一世(Franz Joseph I)授予麦克斯贵族的封号，诺伊曼家族的姓中便有了“von”字．
冯·诺伊曼自幼受到良好的教育．父亲特地聘请了家庭教师，向他系统传授数学、外语、历史和自然常识，而他很早就显示出超人的记忆力和理解力．传说他6岁能心算8位数除法，8岁掌握了微积分，12岁时还学习了E．波莱尔(Borel)的《函数论教程》(Lecons sur la thorie des fonctions)．
第一次世界大战爆发的1914年，冯·诺伊曼刚满10岁，被送入大学预科学习．他的过人才智引起了老师L．瑞兹(Ratz)的注意，瑞兹觉得让冯·诺伊曼接受传统的中学教育是在浪费时间，应该对他进行专门的数学训练，使其天才得到充分发展．瑞兹把冯·诺伊曼推荐给布达佩斯大学的J．屈尔沙克(Krschak)教授，屈尔沙克则安排助教M．费克特(Fekete)担任了他的家庭辅导工作．他发表的第一篇论文，便是在不到18岁时与费克特合写的，推广了切比雪夫(Чеъыдев)多项式求根的费耶尔(Fejr)定理．1921年他通过中学生毕业考试时，已被公认为前途远大的数学新秀．
这之后的四年，冯·诺伊曼先后在柏林大学和瑞士苏黎世的同业高等技术学院攻读化学，同时保留着布达佩斯大学数学系的学籍．每学期末，他都要从欧洲赶回布达佩斯，探望家人并参加数学考试．1925年和1926年春，他先后获得了苏黎世的化学工程学位和布达佩斯大学的数学博士学位．
在柏林，冯·诺伊曼参加过A．爱因斯坦(Einstein)关于统计力学的讲座并跟随E．施密特(Schmidt)学习；在苏黎世，他与H．外尔(Weyl)和G．波利亚(Plya)都有过密切接触．冯·诺伊曼曾说，对他早年学术思想影响最大的数学家，便是外尔和施密特．
他还数次前往格丁根大学，拜访大数学家D．希尔伯特(Hi－lbert)．他被希尔伯特的量子力学和证明论深深吸引住了．希尔伯特也非常赏识这位年轻学者，1926年初他尚未拿到博士学位时，希尔伯特就设法为他谋到了格丁根大学的访问学者资格．
1927—1929年，冯·诺伊曼被聘为柏林大学的义务讲师，其间在集合论、代数学和量子理论方面取得了大量研究成果，受到数学界的瞩目．1929年他转入汉堡大学任义务讲师．经外尔推荐，他于1930年以客座讲师的身份来到美国普林斯顿大学数学系，第二年成为该系终身教授．这样，他每年有一半时间生活在欧洲，另一半则在美国度过．
1933年，高级研究院在普林斯顿成立．冯·诺伊曼从一开始便受聘担任研究院的数学物理终身教授，年仅29岁，是院内最年轻的教授．他在1937年取得了美国公民权．
当时，世界经济正处于大萧条时期，战争的阴云笼罩着欧洲，而普林斯顿却成为数学和物理学精英云集之地．在浓厚的学术气氛和安定的生活中，冯·诺伊曼一直全身心地从事着研究工作．1932年，他从数学上总结了量子力学的发展，出版《量子力学的数学基础》(Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik)一书，同时推出了著名的弱遍历定理．1937年他发表关于算子环的理论，还确立了连续几何学．希尔伯特第五问题的部分解决，也是他在这个时期的主要成就之一．
1930年。冯·诺伊曼与M·柯维斯(Kovèsi)结婚，女儿玛丽娜(Marina)在1935年出生．两年后，他们的婚姻破裂．1938年夏，冯·诺伊曼回布达佩斯讲学、探亲，与克拉拉·丹(KlaraDan)结婚并于年底一起来到了普林斯顿．克拉拉后来成为首批为计算机编制数学问题码的学者之一．
第二次世界大战爆发后，冯·诺伊曼的科学生涯发生了转折．1940年，他被阿伯丁弹道实验研究所聘为科学顾问，1941年受聘任海军兵工局顾问．从1943年底起，他又以顾问身份参加了洛斯阿拉莫斯研究所的工作，指导原子弹最佳结构的设计，探讨实现大规模热核反应的方案．在数学上，除了解决各种数值计算问题外他的最重要成就是1944年正式创立了对策论和现代数理经济学．
大战后期，他转向电子计算机的研究．1944年夏，他参观了尚未竣工的第一台电子计算机ENIAC，并参加了为改进计算机性能而举行的一系列专家会议．此后一年里，他提出电子计算机及程序设计的崭新思想，制订出两份全新方案——EDVAC机方案和IAS机方案．1951年，IAS机研制成功，证明了他的理论的正确性．
大战结束后，冯·诺伊曼担任高级研究院计算机研究所所长，同时继续在美国海军武器实验室等军事机关中服务．1954年10月，他被任命为美国原子能委员会委员，便于次年辞去了在高级研究院的职务，由工作、生活了23年的普林斯顿迁居到华盛顿．
从40年代末直到逝世前，冯·诺伊曼还集中研究了自动机理论，包括对各种人造自动机和天然自动机的比较，解决自动机的自适应、自繁殖和自恢复等问题．1951年发表“自动机的一般逻辑理论”(The general and logical theory of automata)，开辟了计算机科学的一个新领域，并为以后人工智能的研究奠定了基础．
1955年夏，冯·诺伊曼被确诊患有骨癌，病情迅速恶化．他在轮椅上坚持进行思考、写作，参加学术会议，还为耶鲁大学准备了希利曼(Hilliman)讲座的讲稿．1957年2月8日，他在华盛顿陆军医院与世长辞，享年53岁．
冯·诺伊曼一生担任过许多科学职位，获得了众多荣誉，最主要的有：1937年获美国数学会博歇(Bcher)奖；1947年获美国数学会吉布斯(Gibbs)讲师席位，并得到功勋奖章(总统奖)；1951—1953年任美国数学会主席；1956年获爱因斯坦纪念奖及费米(Fermi)奖．
他发表的学术论文共有150余篇，全部收录在1961年珀格蒙出版社出版的《冯·诺伊曼文集》(Collected works of John vonNeumann)中．其中60篇是纯粹数学方面的，60篇关于应用数学，20篇属于物理学．冯·诺伊曼以其超人的才思和丰硕的学术成果，成为一代科学巨匠．
纯 粹 数 学
冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925—1940年，主要可分为以下六个方向。
1．集合论与数学基础
本世纪初，为了克服悖论给G．康托尔(Cantor)集合论带来的困难，并系统整理康托尔的理论与方法，人们开始致力于公理化方法的研究．1908年，出现了两个著名的公理系统：E．策梅罗(Zermelo)的系统[后由A．弗伦克尔(Fraenkel)和A．斯科朗(Skolem)修改补充，成为ZF公理系统]和B．罗素(Russell)的类型论．
冯·诺伊曼很早就对集合论问题感兴趣．1923年还在苏黎世就读期间，他发表了自己的第二篇论文“超穷序数引论”(Zur Einfhrung der transfiniten Ordnungszahlen)，力图将康托尔的序数概念“具体化、精确化”．在康托尔的定义中，序数是良序集的序型，而根据ZF公理系统，序型的存在性是无法证明的．冯·诺伊曼借助于ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理，给出了序数及超限序数形式化的新定义，这种定义一直沿用至今．
此后六七年中，他积极传播公理化的思想，并试图建立更具形式化和精确性的公理系统．1923年，他向德国《数学杂志》(Ma－thematische Zeitschrift)编辑部提交了长篇论文“集合论的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre)，施密特代表编辑部把论文推荐给集合论方面的权威弗伦克尔．经过与弗伦克尔详尽地探讨，冯·诺伊曼根据原文写出一篇介绍性文章“集合论的一种公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre)，于1925年发表．
“集合论的公理化”后来成为冯·诺伊曼的博士毕业论文．它所建立的公理体系经P．贝尔纳斯(Bernays)和K．哥德尔(Gdel)完善之后，形成了公理化集合论中又一新的系统——NBG系统．
NBG系统不像ZF系统那样，把集合与从属关系作为原始概念，并采取限制集合产生的办法来达到排除悖论的目的，也不同于类型论中以集合与层次的语言描述集合体系．它的特点是在“集合”与“属于”之外，引入了“类”作为不定义概念，比集合的概念更具概括性．类分为集合和真类，规定真类不能作为类的元素．这样，就排除了由“所有集合的集合”产生悖论的可能性．
与ZF公理系统相比，NBG系统保留了更多、更有用的论证方法．而且在ZF系统中，包含着由无穷多条公理组成的公理模式，NBG系统则不含公理模式，是一有穷公理系统，有着如同初等几何公理那样简单的逻辑结构，这是它最主要的优点．
现已证明，NBG系统是ZF系统的扩充．哥德尔在证明选择公理与连续统假设同其他公理的相容性时，就受到了NBG系统的启发．到今天，NBG系统仍是集合论最好的基础之一．
与集合论公理化的工作相适应，冯·诺伊曼在20年代后期参与了希尔伯特的元数学计划．1927年的文章“关于希尔伯特的证明论“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)对数学形式主义的基本概念进行了阐释．它指出，希尔伯特元数学计划所提出的各种问题，虽经希尔伯特本人及贝尔纳斯、W．阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所进展，但从总体上而言仍未得到令人满意的解决．尤其是阿克曼关于自然数论无矛盾性的证明，不能在古典分析中实现．
1931年，哥德尔不完全性定理提出之后，希尔伯特计划的完全实现落空了．对此，冯·诺伊曼并未感到过分惊奇，因为早在1925年发表的“集合论的一种公理化”中，他便隐约地预见到哥德尔的结论：任一形式化体系中都存在着本系统内无法判定的命题．原文的最后一句话是：“暂时，除了陈述集合论本身的缺陷外，我们还能做什么呢？没有一种已知的方法可以避免其中的困难．”他认为，“由哥德尔的结果应当引出一条新的途径，去理解数学形式主义的作用，而不应把它当作问题的结束．”他本人对数学基础保持着长久的兴趣，并在后期关于计算机逻辑设计和机械化证明中得到体现．
2．测度论
测度论在冯·诺伊曼的整个研究工作中并非处于中心地位，但他给出了许多很有价值的方法和结果．
在1929年的“一般测度理论”(Zur allgemeinen Theorie desMasses)一文中，冯·诺伊曼对群的子集讨论了有限可加测度．n维欧氏空间Rn中的“测度问题”是：Rn的幂集上，是否存在一非负、正规化且关于刚体运动不变的可加集函数？F．豪斯多夫(Hau－sdorff)和S．巴拿赫(Banach)证明：测度问题在n为1和2时有无穷多个解，在其他情况下无解．这个结论给人的感觉是：当维数由2变为3时，空间的特性发生了根本的、难以捉摸的变化．冯·诺伊曼则指出，问题在本质上是属于群论的，造成性质差异的根源在于群的变化而非空间的变化．探讨测度问题的可解性，需要用到群的可解性这一代数概念．
他继续运用群论的思想，分析了豪斯多夫-巴拿赫-塔尔斯基(Tarski)悖论：Rn(n≥3)中两个不同半径的球，可以分别被分解为有限个互不相交的不可测子集，使两球的子集间可建立起两两全等的关系(在n为1或2时，这种分解不存在)．他解释说，这是因为在n为3或更大时，正交群包含着自由非阿贝尔(Abel)群，而在小于3时则不然．
这样，测度问题便从Rn推广到了一般的非阿贝尔群．而巴拿赫关于R2的一切子集使用同一测度的可能性被证明对阿贝尔群的所有子集也成立．最后，他得出结论：所有可解群都是可测度的(即某种测度能够引入到可解群上)．
这篇文章属于最早将集合论的结果从欧氏空间推广到更一般的代数和拓扑结构中去的工作之一．从那时起，这种思想方法开始受到了更广泛的重视．
同一时期，匈牙利数学家A．哈尔(Haar)提出这样一个问题：在Rn中是否有一种挑选可测子集的方法，使得每个子集均与给定的集合等价，并且选择过程保持有限集运算？冯·诺伊曼给出了肯定的回答，并把结论推广到可测函数的情形．这成为解决测度分解问题的出发点．1935年，他还与M．斯通(Stone)合作，讨论了更一般的问题：A是一布尔代数，M为A的理想，何时存在A的子代数，使A到A／M的映射限制在子代数上时为同构？他们给出了存在性的各种充分条件．
另一成果是他在1934年对紧致群证明了哈尔测度的唯一性(在相差常数因子的意义下)．证明过程中构造了紧致群上连续函数的“不变平均”(invariant means)，用到不同于哈尔的方法来引进测度：以光滑测度m′代替给定的左不变测度m，m′由下式定义：
其中ω为适当的权函数．m′不但具有m的所有性质，且具有右零不变性．这些方法在后来他与S．博赫纳(Bochner)研究可分拓扑群上殆周期函数时得到了系统的应用．
1933—1934年，冯·诺伊曼在高级研究院作过有关测度论的报告，非常详细地阐释了欧氏空间中勒贝格测度的古典理论，并推广到抽象测度空间中．报告的内容在很长一段时间内是美国在测度论方面的主要资料来源，1950年由普林斯顿出版社编辑成为《函数算子》 (Functional operators)一书．
3．遍历理论
冯·诺伊曼在这一领域的首要成就，是证明了平均遍历定理(mean ergodic theorem，亦称弱遍历定理)．19世纪70年代，L．玻尔兹曼(Boltzmann)提出了统计力学中的遍历性假设，并希望以此为前提，推导出保测变换的空间平均等于(离散)时间平均，这就是玻尔兹曼计划．
从数学上实现这一计划，首先需要证明作为时间平均的极限的存在性．1931年，B．库普曼(Koopman)和A．韦伊(Weil)同时发现，由保测变换诱导出的函数算子是酉算子．它给冯·诺伊曼以很大启示．当时，他正致力于算子理论的研究，这一发现促使他尝试着用希尔伯特空间的自共轭算子去解决存在性问题．很快，他便提出并证明了遍历理论的第一个重要定理——平均遍历定理：
，对保测变换T，遍历平均
依L2的范数收敛到函数Pf，其中Ut是T诱导的算子
UTf(x)=f(Tx),xX
而p是L2到Ut不变函数空间的正交投影．
在这一结果发表(1932年)之前，冯·诺伊曼把它介绍给了G．D．伯克霍夫(Birkhoff)和库普曼．伯克霍夫将“依平均测度”意义下的收敛改善为“处处收敛”，得出了更强的结论——逐点遍历定理(pointwise ergodic theorem，亦称个体遍历定理)，并于1931年12月率先发表．
尽管如此，由于伯克霍夫与库普曼在1932年撰写了“遍历理论的近期发展”(Recent contributions to the ergodic theory)，使学术界了解到遍历定理产生的前因后果，冯·诺伊曼的首创性工作得到了肯定．
不久，第33卷《数学纪事》(Annals of mathematics，1932)又刊登了他颇具影响力的文章“古典力学中的算子方法”(ZurOperatorenmethode in der klassischen Mechanik)，这标志着对遍历理论系统研究的开端．
论文首先给出了平均遍历定理的详尽证明，然后推出6条重要的定理．第一条是分解定理(decomposition theorem)：任何保测变换均可分解为若干遍历变换的直积分．它说明在所有保测变换中，具有遍历性的是最基本、最重要的，任何保测变换都可由它们构造而得．
定理2则进一步指出，单参数保测变换群的分类问题在本质上可归结为对遍历变换进行分类．
保测变换的分类问题后来成为遍历理论的中心问题，其中最关键的第一步，当属冯·诺伊曼与P．哈尔莫斯(Halmos)1942年共同证明的结论：
f1和f2分别是有限测度空间X1和X2上的保测变换，U1和U2分别是X1，X2在L2上诱导出的酉算子．若f1，f2有离散谱，则f1与f2同构当且仅当U1和U2作为希尔伯特空间上酉算子时是相同的．
冯·诺伊曼在处理遍历理论的问题时，往往着重于测度和谱的内在联系．定理5就是关于离散谱的典型结果：对于具有纯点谱的酉算子U(由遍历变换诱导而得)，其谱实际上构成实数群的一可数子群；反过来，实数群的每个无穷可数子群均可作为某些遍历变换所诱导的酉算子的纯点谱．
与此对应，又有冯·诺伊曼和库普曼关于连续谱的混合定理(mixing theorem)．它断言：遍历变换的几何性质(混合性)与酉算子的谱性质(无非平凡的特征值)是等价的．
对于冯·诺伊曼在测度论和遍历理论方面所取得的成果，哈尔莫斯给予了如此的评价：“从文献数量上看，它们尚不及冯·诺伊曼全部科学论著的十分之一，但就质量而言，即使他从未在其他方面作过研究，这些成果也足以使他在数学界享有永久的声望．”
4．群论
冯·诺伊曼的一个著名成果，是在1933年对紧致集解决了希尔伯特第五问题．早在1929年，他曾证明对连续群有可能改变参数，使群的运算成为解析的．具体地说，对于n维空间中的线性变换群，它有一正规子群，可以被解析地且按有限个参数一一对应的方式局部表出．这是第一篇对解决希尔伯特第五问题做出贡献的文章．
1933年，他在《数学纪事》第34卷上发表“拓扑群中解析参数导论”(Die Einfhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen)，证明每个局部同胚于欧氏空间的紧致群允许一李群结构．这样，希尔伯特第五问题在紧致群的条件下得到了肯定的回答．
问题的解决用到了彼得(Peter)-外尔积分在群上的类比、施密特的函数逼近定理及L．E．J．布劳威尔(Brouwer)关于欧氏空间的区域不变性定理，体现出冯·诺伊曼丰富的集合论与实变函数知识以及他对积分方程、矩阵计算技巧的熟练应用．
另一项工作亦同群论相关：群上的殆周期函数(almost pe－riodic function)理论．他把H．玻尔(Bohr)首创的实数集上殆周期函数概念扩展到任意群G中，继而在新的殆周期函数理论与彼得、外尔的群表示理论之间建立起联系：设群G的有限矩阵表示为D(x)=(dij(x))，
则下述三个条件等价：
(1)每个dij(x)都是G上的有界函数；
(2)每个dij(x)都是G上的殆周期函数；
(3)D等价于一个酉矩阵的表示．
他由此指出，群上的殆周期函数构成了群表示理论的最大适用范围．
5．算子理论
对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个科学生涯，这方面的论文占他全部著述的三分之一，他在这个领域有着20多年的领导地位．
1927—1930年，他首先给出了希尔伯特空间的抽象定义，即现在所使用的定义．然后，对于希尔伯特空间上自共轭算子谱理论从有界到无界的推广，做了系统的奠基性工作：引入稠定闭算子的概念，给出无界自共轭算子、酉算子以及正规算子的谱分解定理，指出了对称算子和自共轭算子在性质上的差异，还与外尔共同研究了无界算子经过扰动后谱的变化规律．
冯·诺伊曼的谱理论的形成，加上1933年巴拿赫所著《线性算子理论》(Thorie des operations linaires)一书的问世，标志着数学领域中又一新的分支——泛函分析的诞生．
20年代，E．诺特(Noether)和E．阿廷(Artin)发展了非交换代数理论，冯·诺伊曼意识到这是对矩阵论极好的阐释和简化，他尝试着将有关概念扩展到希尔伯特空间上的算子代数中，由此产生了“算子环”的概念：关于弱(或强)算子拓扑为闭且含有恒等算子I的＊子代数称为算子环．算子环可以认为是有限维空间内矩阵代数的自然推广，后来被人们称为冯·诺伊曼代数，以示对冯·诺伊曼的纪念．而在同构意义下，它又可称作W*代数．
算子环的正式定义出现在冯·诺伊曼1929年的论文“函数运算代数和正规算子理论”(Zur Algebra der Funktionaloperati－oren und Theorie der normalen Operatoren)中．这篇论文还包括了“交换子”(commutant)、“因子”(factor)等重要定义，以及二次交换子定理(double commutant theorem)：
是算子环，则交换子也是算子环，且．
这实际上给出了算子环的一个等价定义：希尔伯特空间H上有界线性算子全体(H)中满足=()’的＊子代数称为算子环．这一定义是研究算子环的重要工具，如判断算子何时与一算子环相伴，用于对稠定闭算子进行标准分解等．
从1935年开始，冯·诺伊曼在F．J．默里(Murray)的协助下，又写出了题为“论算子环”(On rings of operators)的系列文章．
他们的首要结论是：算子环可以表示为因子的连续直积分．因此，对算子环的研究便归结为对因子的研究．
受经典非交换代数理论的启示，人们曾推测所有因子均同构于(H)．冯·诺伊曼和默里在“论算子环I”中证明：当因子包含极小射影时，它同构于(H)．但同时，他们又应用遍历论的技巧，构造出一类重要的例子，说明并非所有的因子都有极小射影，因而有关因子的性质远非人们推测的那样简单．
他们在因子的射影之间建立了序关系，使之具有可比性．而这种序关系又可用维数函数(定义于因子的等价类之上)来表述．根据维数函数值域的不同情况，对因子有以下分类：
通过群测度空间的构造，他们得到了Ⅱ1型和Ⅱ∞型因子．1940年的“论算子环Ⅲ”又给出了Ⅲ型因子的例子．
继因子的分类和各类因子存在性的证明之后，一个重要的问题是：这种分类是否完成了因子的代数分类？即某给定类型中的全体因子是否同构？冯·诺伊曼和默里花去大量时间考察这个问题，最终构造出两个新的Ⅱ1型因子并证明它们是非同构的，从而给了原问题否定的回答．
6．格论
冯·诺伊曼在研究希尔伯特空间算子环时，遇到了一类完备有补模
定义L为连续几何(continuous geome－try)，并构造出一类重要的连续几何：对任意可除环F和自然数n，F上的2n维子空间构成2n—1维射影几何PG(F，2n—1)．将它度量完备化之后得到的有补模格就是连续几何，记为CG(F)．他证明了希尔伯特空间中的Ⅱ1型因子具有与CG(F)同构的不变子空间格．
正则环(regular ring)是冯·诺伊曼引入的另一新概念：A是有单何的表示有着密切联系：连续几何L与某正则环A的主左理想构成的格同构．也就是说，将A分解为诸理想的直和，对应于把L分解为诸格的直积的问题．
在这些结论的证明过程中，冯·诺伊曼又发展了一些新的思想方法，其中主要是关于格的分配性：数对的分配性、独立元的分配性和无穷分配性等．他最早发现，在布尔代数中，交与并的运算必然是无穷分配的，而这种分配性又等价于连续性．
他在格论方面的工作大部分未能及时发表，主要通过1935—1937年高级研究院的讲义《复域几何》(Geometry of complexdomains)、《连续几何》及美国科学院会议录得以保存和传播．
应 用 数 学
1940年以后，随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展，冯·诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中，主要是计算数学和对策论两方面的工作．
1．计算数学
冯·诺伊曼认为，描述物理现象的方程一旦用数学语言给予表达，就可以从数值上得到解决而无须借助于常规方法或进行重复试验．他在计算数学方面的努力，是与他的这种观点以及解决实际问题的困难程度分不开的．
大战中，各种技术问题引起了快速估计和逼近解的需要．这些问题往往涉及一些不能忽略或分离的外部扰动，必须借助数值方法进行定性分析．冯·诺伊曼从数值稳定性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索．1946年，他和V．巴格曼(Bargmann)、D．蒙哥马利(Montgomery)合作．向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”(Solutionof linear systems of high order)，对线性方程组的各种解法进行了系统阐述，并探讨了利用计算机进行实际求解的可能性． 1947年，他又同H．哥德斯坦(Goldstine)研究了高阶矩阵的数值求逆，并给出严格的误差估计，特别是对150阶矩阵求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果．
在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况时，冯·诺伊曼创始了人工粘性法．例如，物理学上有系统守恒律
Ut+F(U)=0(U为热量，F为流量)，
它所描述的系统即使在初值光滑的情形下也会自发地产生间断性(激波)．冯·诺伊曼和R．里希特迈耶(Richtmyer)把它看成分布方程，求解过程便相当于寻求有效的数值算法来计算分布导数．他们以抛物正则方程
Ut+F(U)=εΔU
代替原方程，使分布导数成为普通导数，从而可用有限差分来近似，这样得出的解总是光滑的．这种在计算公式中人为加入“粘性”项的方法，使激波间断成为光滑的过渡区，激波的位置与强度便很容易确定了．人工粘性法是现代流体动力学中拉格朗日方法的第一个例子，提供了在电子计算机上对流体力学进行数值模拟的有力手段．
电子计算机产生之后，冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法，从而推动了计算数学的兴起与形成，也使他成为现代科学计算的奠基人之一(详见本文“计算机的理论与实践”部分)．
2．对策论与数理经济
冯·诺伊曼是对策论(又称博弈论)的创始人和现代数理经济学的开拓者之一．本世纪20年代，波莱尔最早用数学语言刻画了博弈问题，引进纯策略与混合策略的概念，并提出解决个人对策与零和二人对策的数学方案．但是，对策理论作为学科的真正创立，则是从冯·诺伊曼1928年发表“关于伙伴游戏理论”(Zur The－orie der Gesellschaftsspiele)开始的．
文中最重要的结论，是关于零和二人对策的极小极大定理(minimax theorem)：m×n矩阵A是正规化零和二人对策的支付矩阵，x和y是对局双方采取的混合策略的概率向量，存在唯一数值v，使得
同时，存在最优策略x*和y*，使
以极小极大定理为依据，冯·诺伊曼首先讨论了合作对策问题，特别是零和三人对策中有两方联合的情形．为了给出合作对策解的概念，他引入特征函数的思想．最后又明确表述了n个游戏者的一般博弈方案，结果表明：在附加条件下，n人对策问题的解是存在并且唯一的．
极小极大定理是对策论的基石．30年代，冯·诺伊曼本人及其他数学家陆续给出此定理的一些新的证明方法．到了40年代，A．瓦尔德(Wald)以极小极大定理为基础，把决策过程视为人与环境进行的二人对策问题，由此开创了统计决策理论．从那时起，对策论成为应用数学中一个活跃的研究领域．
1940年，奥地利经济学家O．摩根斯坦(Morgenstern)来到普林斯顿，他使冯·诺伊曼对经济问题特别是货物交换、市场控制和自由竞争等产生兴趣．经过四年的合作，他们出版了《对策论与经济行为》 (Theory of games and economic behavior)．这部著作对1928年的论文进行了进一步阐述，如增加了“分配”(imputa-tion)、“控制”(domination)的概念，定义了冯·诺伊曼-摩根斯坦解．全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的．
对策论在经济理论基本问题中的应用，是书中另一重要成果．他们认为，尽管当时的经济学还处于发展早期——如同16世纪的物理学，但最终它必将也像物理学一样，发展成为一门严密的数理科学．而对策论就是迈向综合性的数理经济学的第一步．这实际上体现了冯·诺伊曼将社会科学也纳入公理化数学体系的愿望．
早在1932年普林斯顿举办的一次学术讨论会上，冯·诺伊曼还讨论了一般经济平衡的模型化问题．他给出货物生产与消费的一个经济模型，并指出了模型问题与极小极大定理的密切关系：当把经济活动视为零和对策问题时，经济模型的平衡点就是对策问题中的极大极小值v．
物 理 学
冯·诺伊曼的眼光并未只局限于数学方面，他对物理科学同样有着浓厚的兴趣．可以说，对数学和物理学之间内在联系的探讨，在他的科学成就中具有最重大的意义．前面提到的算子理论和遍历理论等，实质上都与他在理论物理领域的工作——量子力学的数学化密不可分．
1926年，冯·诺伊曼来到格丁根大学．他在跟随希尔伯特研究数学基础的同时，被格丁根大学内正在开展的量子力学工作深深吸引住了．当时的量子力学在数学上有两种表述体系：W．海森堡(Heisenberg)、M．玻恩(Born)和W．泡利(Pauli)从微观粒子的粒子性出发建立的矩阵力学，E．薛定谔(Schrdinger)从波动性出发建立的波动力学．对于推测原子的性质这一实用目的来说，这两种体系是足够的．不久，薛定谔又证明了两者的等价性，并归结为由P．狄拉克(Dirac)和P．约当(Jordan)发展的变换理论的特殊情形．但是，冯·诺伊曼等人对此并不满意，他们希望从中提取更多的共性，建立量子力学的形式化体系．
这年冬天，希尔伯特就量子力学的新发展作了一次演讲，L．诺德海姆(Nordheim)为讲义的物理部分准备了材料，而关于数学形式化部分的主要工作，则是由冯·诺伊曼完成的．
量子理论的一个基本点，是原子状态的数学描述．冯·诺伊曼对此并未明确定义，而是给予了形式化的处理：原子的状态由希尔伯特空间中的单位向量表征．这正如希尔伯特对欧氏几何进行形式化时，把点、直线作为不定义术语一样．冯·诺伊曼指出，这种描述同海森堡和薛定谔的定义是一致的，而且代数中的形式规则如加法、乘法规则，对他们的表述体系同样适用．
他又构造了基于五条公理之上的抽象希尔伯特空间，并证明海森堡和薛定谔的原子状态定义满足五条公理．最后的结论是：量子力学的一种合适的形式语言，由抽象希尔伯特空间的向量(代表系统状态)、某类算子(代表系统中的可观察量)及其代数规则构成．
这些方法极好地体现了希尔伯特的公理化纲领，成为量子力学数学化的序曲，也促使冯·诺伊曼对希尔伯特空间的算子理论给予了充分的发展．
1932年，他的名著《量子力学的数学基础》由德国斯普林格公司出版．这是对先前的方法和结论的综合与完善．他特别指出，狄拉克等人在处理算子的概念时，对其定义域和拓扑并未予以充分考虑，草率地假设当算子为自共轭时，总可以被对角化．而对于无法对角化的，则引入狄拉克非正常函数(δ函数)的概念．冯·诺伊曼发现了它的自相矛盾的性质，并用自己的成就证明：变换理论能够建立在清晰的数学基础之上．其方法并非去修正狄拉克的理论，而是发展希尔伯特的算子理论．当他成功地将算子谱论由有界推广到无界情形后，便最终完成了量子力学的形式化工作，它包含海森堡和薛定谔等人的体系作为特殊情况．
书中另一个主要内容，是从统计学角度阐述了量子力学中的“因果律”(causality)和“测不准原理”(indeterminacy)．他的结论是，量子系统的不确定性并非由于观察者的状态未知所致．即使在系统中引入假想的“隐参量”(hidden parameters)，使观察者处于精确的状态，最终仍会因为观察者的主观意识而导致不确定的观察结果．这种观点得到了大多数物理学家的赞同．
此书还包括了对量子力学中特殊问题的解决，例如遍历假设在量子系统中的表述和证明．这成为他后来开辟的遍历理论的先声．
《量子力学的数学基础》(德文版)先后被译为法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理论物理领域的经典之作．
1927年，冯·诺伊曼开始用概率术语对量子力学进行分析，引入统计矩阵U(现称为ρ矩阵)来描述各种量子状态的系统之集合．统计矩阵成为量子统计学的主要工具．而他关于量子力学的度量理论则为热力学的发展奠定了基础．
计算机的理论与实践
在洛斯阿拉莫斯，原子核裂变过程所提出的大量计算任务，促使冯·诺伊曼关注着电子计算机的研制情况．从1944年8月到1945年6月，他参与了对电子数值积分和计算器ENIAC(ele－ctronic numerical integrator and calculator)的考察和改进工作．他发现ENIAC机的主要缺陷，是仍采取以往机电式计算机的“外插型”程序，在按给定程序执行运算时，每个问题都需要一个特殊的线路系统，因而缺乏高速计算所必需的灵活性和普遍性．
1945年3月，冯·诺伊曼为宾夕法尼亚大学起草了离散变量自动电子计算机EDVAC(electronic discrete variable automaticcomputer)的设计方案，轰动了科学界．第二年6月，他又与A．伯克斯(Burks)、哥德斯坦联名提出更完善的报告“电子计算机逻辑设计初探” (Preliminary discussion of the the logical design of an electronic computing instrument)，揭开了计算机发展史上新的一页．
在这两份报告中，冯·诺伊曼建立了计算机组织的最主要结构原理——存储程序(stored－program)原理．它确定计算机由五部分构成：计算器、控制器、存储器、输入和输出装置．程序由指令组成并和数据一起存放在存储器中，机器按程序指定的逻辑顺序，把指令从存储器中读出来并逐条执行，从而自动完成程序描述的处理工作．
根据这一原理设计的EDVAC机和IAS机方案，与ENIAC机相比有如下重要的改进：
(1)将十进制改为二进制，程序和数据均由二进制代码(code)表示；
(2)程序由外插变为内存，当算题改变时，不必变换线路板而只需更换程序；
(3)以超声波信号的方式存储输入的电信号，并建立多级存储结构，存储能力大大提高；
(4)采用并行计算原理，即对数字的各位同时进行处理．
从1946年开始，冯·诺伊曼组织哥德斯坦等人在高级研究院进行了IAS机的实际建造工作，1951年终于获得成功．它的运算速度达到每秒百万次以上，比ENIAC机快数百倍，实现了冯·诺伊曼的设想．
由存储程序原理构造的电子计算机称为存储程序计算机，后又被称为冯·诺伊曼型机．现代计算机的组织结构虽然有了一些重大变化，但就原理而言，占主流的仍是以存储程序原理为基础的冯·诺伊曼型机．冯·诺伊曼的思想深深地影响着现代计算机的存储、速度、指令选取和线路设计等各个方面．
冯·诺伊曼的名字是与计算机设计家联系在一起的．然而，他对计算机的主要兴趣并不在于计算机的设计与制造，而在于如何利用这种新型科学工具，开创现代科学计算的新天地．
古典的数值分析方法，对于计算机来说未必是最优的，而一些在算术上极为复杂的方法，编制为程序后反而容易在新型计算机上得以实现．冯·诺伊曼从这一实际情况出发，为计算机程序设计做了大量工作．他和哥德斯坦发明了流程图(flow diagram)以沟通所要计算的问题和机器指令；他引入子程序和自动编程法，大大简化了程序员编程时的繁琐程度．矩阵特征值计算、求逆、多元函数极值和随机数产生等数十种计算技巧，也都是他在战后的几年内首创的，它们在工业部门和政府计划工作中有着广泛的应用．
电子计算机诞生后，冯·诺伊曼和S．乌拉姆(Ulam)倡导了一种新型计算方法——蒙特卡洛法(Monte Carlo method)，它将所要求解的数学问题化为概率模型，在计算机上以较小规模实现随机模拟，获得近似解．例如，在计算n维立方体的某子区域的体积时，不用通常的将空间分割为一系列格点以逼近所求体积的方法，而是按均匀的概率在空间中随机选择点，利用计算机确定落在孩子区域中的点与所有点的比．当所选点的数量足够多时，这个比便给出了体积的近似值．
蒙特卡洛法的优点在于对问题的几何形状不敏感，收敛速度与维数无关，因此特别适用于高维数的数学物理问题．利用此法，冯·诺伊曼通过适当的对策产生了具有给定概率分布的随机数列，设计了处理玻尔兹曼方程的概率模型．战后，他在高级研究院领导了一个气象研究小组，建立起模拟大气运动的模型，希望利用计算机逐步求解从而解决数值天和技术上都有着极大的启发意义．
1956年，美国原子能委员会在向冯·诺伊曼颁发费米奖时，特别提到了他对于在计算机上进行计算研究的贡献．
从1945年起，冯·诺伊曼还致力于自动机理论及脑神经和计算机的对比研究，他被认为是自动机理论的创立者．
本世纪三、四十年代，C．尚农(Shannon)的信息工程、A．图灵(Turing)的理想计算机理论和R．奥特维(Ortvay)对人脑的研究，引发了冯·诺伊曼对信息处理理论的兴趣．而1943年W．麦考洛奇(McCulloch)与W．匹茨(Pitts)所著的《神经活动中内在意识的逻辑分析》(A logical calculus of the ideas imma－nent in nervous activity)，则使他看到了将人脑信息过程数学定律化的潜在可能．在他1945年关于EDVAC机的设计方案中，所描述的存储程序计算机便是由麦考洛奇和匹茨设想的“神经元”(neurons)所构成，而非利用真空管、继电器或机械开关等常规元件．
此后，他参加了有关信息论、控制论的系列会议，同数学家、物理学家、电工学家和生物学家进行广泛接触，逐渐形成了能同时应用于生物和技术领域的自动机理论．1948年9月，在希克松(Hixon)讨论班上，他作了“自动机的一般逻辑理论”(The ge－neral and logical theory of automata)的报告，提出自动机的自繁殖和迭代阵列等新概念，并对人造自动机(如计算机)和天然自动机(如人脑)进行了比较．他通过计算说明，计算机中电子元件的数量不过是人脑神经元数目的百万分之一；而另一方面，信息在电子元件中的传递速度大约是在脑神经中的一万倍．这样，计算机以速度取胜，而大脑则在复杂性上占优．为了使两者的特性具有可比性，可用每秒内发生的电信过程作为标准．计算显示，人脑的特性要超出计算机一万倍．
进一步，他还指出，计算机在执行运算时一般是依顺序进行的，而人脑则倾向于平行运算，因此在“逻辑深度”上不及计算机．
以此为基础，他于1952年开创了著名的冗余技术：对于一批带有一定故障发生率的元件(不可靠元件)，通过适当的方法，建造出任意规模和复杂程度的自动机，使不正确输出的概率能被控制在一定范围之内(可靠机)．同时，他又仿照微生物组织的结构来描述自繁殖系统，提出诺伊曼细胞空间的概念，利用许多互相连结的小自动机并行运算，形成了更大规模的自动机——诺伊曼自动机．这是最早最基本的一类自动机．这两项理论在70年代分别发展成为容错自动机理论和细胞自动机理论．
1955年初，冯·诺伊曼应耶鲁大学之邀，开始为美国最古老、最著名的科学讲座之一——希利曼讲座编写讲义，系统阐述他关于计算机、自动机和人脑的理论体系．由于他的病情加重和逝世，这次讲座的计划未能实现．1958年，耶鲁大学出版了讲义的单行本《计算机与大脑》(The computer and the brain)．
在1947年的论著《数学家》(The mathematician)中，冯·诺伊曼表达了这样的数学观念：数学的发展与自然科学有着密切联系，数学方法渗透于并支配着自然科学的所有理论分支．数学有其经验来源，不可能存在绝对的、脱离所有人经验的严密性概念．而另一方面，数学是创造性学科，受审美观的支配，选择题材和判断成功的标准都是美学的．必须防止纯粹美学化的倾向．为此，应该不断在数学中注入一些“或多或少直接来自于经验的思想”．
冯·诺伊曼的科研活动明显地受着上述观念的影响．他涉猎了如此众多的科学领域，力求保持数学理论同物理学及其他自然科学中日益增长的复杂现象之间的联系．这同时也是对实现数学的普适性和有机统一性这个目标的贡献．
形式化思想在冯·诺伊曼的哲学观念中占据着主导地位．他认为，逻辑体系具有普遍性和综合性，而形式化逻辑结构在某种程度上刻画了事物的抽象本质．他对寻找逻辑体系的局限性不感兴趣，但当某种局限性被发现后，他便开始考虑如何利用更加形式化的过程去克服它(体现在他对哥德尔不完全性定理的态度)．对他来说，最高层次的抽象——例如逻辑和数学的基础——应当通过严密的形式逻辑手段去完成．在接触到实际问题时，冯·诺伊曼总能迅速地给出适当的数学形式化表述，并进行纯形式的推理．不仅如此，将形式逻辑和数学付诸最大限度的应用，成为他的科学禀性．在他看来，利用抽象的形式结构可以了解整个世界——包括社会生活和精神意识．这在他对数学基础、量子理论和计算机组织的形式化工作中都有所反映．可以说，冯·诺伊曼遵循着这样一种观念：只有严密的逻辑体系才可能包含主宰万物的、永恒的普遍真理．
在冯·诺伊曼身上，集中着多种科学才能：对数学思想的集合论基础(形式上是代数的)的感知，对分析和几何的经典数学之本质的理解，以及发掘现代数学方法的潜在威力并应用于理论物理问题的深刻洞察力．这些才能之间并不矛盾，但每一种都要求很高的注意力和记忆力，它们能汇集于一人之身是非常难得的．
冯·诺伊曼不用笔和纸就能熟练地估计几何大小，进行代数和数值运算，这种心算能力常常给物理学家们留下深刻的印象．
对于在科学上有时并非十分重要但却体现出一定难度的问题，他也极愿给予关注．通过与他交谈，人们往往可以领会到一些并非人人皆知的、能轻松解决问题的数学技巧．这使他受到应用数学工作者的喜爱和欢迎．
除了科学之外，冯·诺伊曼对历史也有着浓厚的兴趣．早在孩提时代，他就系统阅读了21卷的《剑桥古代史》(Cambridgeancient history)和《剑桥中世纪史》(Cambrige medieval histo－ry)，特别精通欧洲皇室的衍变和拜占庭的历史．他对历史事件的叙述和评价，总是令同事们大为折服．从中还可感受到他以数学家特有的方式表达的幽默．
他能熟练地运用德语、法语、英语、拉丁语和希腊语．他在美国所进行的演讲以其良好的文学修养著称．
冯·诺伊曼曾从N．维纳(Wiener)处了解到中国的情况，产生了到中国访问讲学的愿望．1937年5月，维纳致函清华大学校长梅贻琦和数学系主任熊庆来，推荐冯·诺伊曼作为清华大学的访问教授．可惜，两个月后日本侵华战争的全面爆发，使他们的希望成了泡影．
2003-4-7 0:27:21
冯·诺伊曼 冯·诺伊曼，著名美籍匈牙利数学家。1903年12月3日生于匈牙利布达佩斯的一个犹太人家庭。 冯·诺依曼的父亲麦克斯年轻有为、风度翩翩，凭着勤奋、机智和善于经营，年轻时就已跻身于布达佩斯的银行家行列。冯·诺依曼的母亲是一位善良的妇女，贤慧温顺，受过良好教育。 冯·诺伊曼从小就显示出数学天才，关于他的童年有不少传说。大多数的传说都讲到冯·诺伊曼自童年起在吸收知识和解题方面就具有惊人的速度。六岁时他能心算做八位数乘除法，八岁时掌握微积分，十二岁就读懂领会了波莱尔的大作《函数论》要义。 微积分的实质是对无穷小量进行数学分析。人类探索有限、无限以及它们之间的关系由来已久，l7世纪由牛顿、莱布尼茨发现的微积分，是人类探索无限方面取得的一项激动人心的伟大成果。三百年来，它一直是高等学府的教学内容，随着时代的发展，微积分在不断地改变它的形式，概念变得精确了，基础理论扎实了，甚至有不少简明恰当的陈述。但不管怎么说，八岁的儿童要弄懂微积分，仍然是罕见的。上述种种传闻虽然不尽可信，但冯·诺伊曼的才智过人，则是与他相识的人们的一致看法。 还有的故事说冯·诺伊曼记忆力惊人，读书过目成涌，如他自幼爱好历史学，读了不少书，后来成了业余的拜占庭史行家。他还谙熟圣女贞德审讯的详情以及南北战争的细节。乌拉姆回忆说：1937年圣诞节刚过，他和冯·诺依曼驾车从普林斯顿出发，去达克大学参加美国数学家协会会议。当经过文明战争的四战场时，冯·诺依曼叙述了有关战斗的最细微的情节。他的历史知识堪称渊博，宛如百科全书，而他喜爱的和知道的最详尽的是古代史。 小时候的冯·诺依曼不但聪明机智过人，还富于幽默感，爱好双关语和俏皮的打油诗。当时，布达佩斯与柏林之间已经可以通长途电话，布达佩斯市内也架起了电话线。用电话是个新鲜事，冯·诺伊曼有幸家中也使用了电话，他时常摆弄电话，对电话号码本也甚有兴趣。电话号码本尽管不厚，但纸上密密麻麻的四位数号码，令人看看就头痛，要记住它是不容易的，但冯·诺依曼却很容易的就把他们全记下来了。当麦克斯得知自己的孩子有如此之好的记忆力时，十分惊异。 冯·诺依曼十几岁时曾得到一位叫拉斯罗·瑞兹的颇有才华的老师的点拨。他的同学菲尔纳在回忆小冯·诺依曼早期学习情况的信中说过：冯·诺依曼的非凡才华引起了瑞兹的注意，他感到冯·诺依曼有超凡的才能，几年来，瑞兹竭尽全力辅导，而冯·诺依曼吸收知识之快，更是非常惊人。现在他感到，再由自己来培养冯·诺依曼，就会心有余而力不足了，必须提醒孩子的父母，采取新的方法。瑞兹认为：再按传统的办法教冯·诺依曼中学数学课程将是毫无意义的，应该接受大学教师的单独的数学训练。于是在寇夏克教授的指导下，由当时在布达佩斯大学当助教的菲克特对冯·诺依曼进行家庭辅导。 1914年夏天，约翰进入了大学预科班学习，是年7月28日，奥匈帝国借故向塞尔维亚宣战，揭开了第一次世界大战的序幕。由于战争动乱连年不断，冯·诺依曼全家离开过匈牙利，以后再重返布达佩斯。当然他的学业也会受到影响。但是在毕业考试时，冯·诺依曼的成绩仍名列前茅。 1921年，冯·诺依曼通过“成熟”考试时，已被大家当作数学家了。他的第一篇论文是和菲克特合写的，那时他还不到18岁。麦克斯由于考虑到经济上原因，请人劝阻年方17的冯·诺依曼不要专攻数学，后来父子俩达成协议，冯·诺依曼便去攻读化学。 其后的四年间，冯·诺依曼在布达佩斯大学注册为数学方面的学生，但并不听课，只是每年按时参加考试。与此同时，冯·诺依曼入柏林大学(1921年)，1923年又进入瑞士苏黎世联邦工业大学学习化学。1926年他在苏黎世的获得化学方面的大学毕业学位，通过在每学期期末回到布达佩斯大学通过课程考试，他也获得了布达佩斯大学数学博士学位。 冯·诺依曼的这种不参加听课只参加考试的求学方式，当时是非常特殊的，就整个欧洲来说也是完全不合规则的。但是这不合规则的学习方法，却又非常适合冯·诺依曼。冯·诺依曼在柏林大学学习期间，曾得到化学家哈贝尔的悉心栽培。哈贝尔是德国著名的化学家，由于合成氨而获诺贝尔奖。 逗留在苏黎世期间，冯·诺依曼常常利用空余时间研读数学、写文章和数学家通信。在此期间冯·诺依曼受到了希尔伯特和他的学生施密特和外尔的思想影响，开始研究数理逻辑。当时外尔和波伊亚两位也在苏黎世，他和他们有过交往。一次外尔短期离开苏黎世，冯·诺依曼还代他上过课。聪明的智慧加上得天独厚的栽培，冯·诺依曼在茁壮地成长，当他结束学生时代的时候，他已经漫步在数学、物理、化学三个领域的某些前沿。 1926年春，冯·诺依曼到哥廷根大学任希尔伯特的助手。1927～1929年，冯·诺依曼在柏林大学任兼职讲师，期间他发表了集合论、代数和量子理论方面的文章。l927年冯·诺依曼到波兰里沃夫出席数学家会议，那时他在数学基础和集合论方面的工作已经很有名气。 l929年，冯·诺依曼转任汉堡大学兼职讲师。1930年他首次赴美，成为普林斯顿大学的客座讲师。善于汇集人才的美国不久就聘冯·诺依曼为客座教授。 冯·诺依曼曾经算过，德国大学里现有的和可以期待的空缺很少，照他典型的推理得出，在三年内可以得到的教授任命数是三，而参加竞争的讲师则有40名之多。在普林斯顿，冯·诺依曼每到夏季就回欧洲，一直到l933年担任普林斯顿高级研究院教授为止。当时高级研究院聘有六名教授，其中就包括爱因斯坦，而年仅30岁的冯·诺依曼是他们当中最年轻的一位。 在高等研究院初创时间，欧洲来访者会发现，那里充满着一种极好的不拘礼节的、浓厚的研究风气。教授们的办公室设置在大学的“优美大厦”里，生活安定，思想活跃，高质量的研究成果层出不穷。可以这样说，那里集中了有史以来最多的有数学和物理头脑的人才。 l930年冯·诺依曼和玛丽达·柯维斯结婚。1935年他们的女儿玛丽娜出生在普林斯顿。冯·诺依曼家里常常举办时间持续很长的社交聚会，这是远近皆知的。l937年冯·诺依曼与妻子离婚，1938年又与克拉拉·丹结婚，并一起回普林斯顿。丹随冯·诺依曼学数学，后来成为优秀的程序编制家。与克拉拉婚后，冯·诺依曼的家仍是科学家聚会的场所，还是那样殷勤好客，在那里人人都会感到一种聪慧的气氛。 二次大战欧洲战事爆发后，冯·诺依曼的活动越出了普林斯顿，参与了同反法西斯战争有关的多项科学研究计划。l943年起他成了制造原子弹的顾问，战后仍在政府诸多部门和委员会中任职。1954年又成为美国原子能委员会成员。 冯·诺依曼的多年老友，原子能委员会主席斯特劳斯曾对他作过这样的评价：从他被任命到1955年深秋，冯·诺依曼干得很漂亮。他有一种使人望尘莫及的能力，最困难的问题到他手里。都会被分解成一件件看起来十分简单的事情，……用这种办法，他大大地促进了原子能委员会的工作。 冯·诺依曼的健康状况一直很好，可是由于工作繁忙，到l954年他开始感到十分疲劳。1955年的夏天，X射线检查出他患有癌症，但他还是不停的工作，病势扩展。后来他被安置在轮椅上，继续思考、演说及参加会议。长期而无情的疾病折磨着他，慢慢地终止了他所有的活动。1956年4月，他进入华盛顿的沃尔特·里德医院，1957年2月8日在医院逝世，享年53岁。 冯·诺伊曼是二十世纪最重要的数学家之一，在纯粹数学和应用数学方面都有杰出的贡献。他的工作大致可以分为两个时期：1940年以前，主要是纯粹数学的研究：在数理逻辑方面提出简单而明确的序数理论，并对集合论进行新的公理化，其中明确区别集合与类；其后，他研究希尔伯特空间上线性自伴算子谱理论，从而为量子力学打下数学基础；1930年起，他证明平均遍历定理开拓了遍历理论的新领域；1933年，他运用紧致群解决了希尔伯特第五问题；此外，他还在测度论、格论和连续几何学方面也有开创性的贡献；从1936～1943年，他和默里合作，创造了算子环理论，即现在所谓的冯·诺伊曼代数。 1940年以后，冯·诺伊曼转向应用数学。如果说他的纯粹数学成就属于数学界，那么他在力学、经济学、数值分析和电子计算机方面的工作则属于全人类。第二次世界大战开始，冯·诺伊曼因战事的需要研究可压缩气体运动，建立冲击波理论和湍流理论，发展了流体力学；从1942年起，他同莫根施特恩合作，写作《博弈论和经济行为》一书，这是博弈论(又称对策论)中的经典著作，使他成为数理经济学的奠基人之一。 冯·诺伊曼对世界上第一台电子计算机ENIAC(电子数字积分计算机)的设计提出过建议，1945年3月他在共同讨论的基础上起草EDVAC(电子离散变量自动计算机)设计报告初稿，这对后来计算机的设计有决定性的影响，特别是确定计算机的结构，采用存储程序以及二进制编码等，至今仍为电子计算机设计者所遵循。 1946年，冯·诺依曼开始研究程序编制问题，他是现代数值分析——计算数学的缔造者之一，他首先研究线性代数和算术的数值计算，后来着重研究非线性微分方程的离散化以及稳定问题，并给出误差的估计。他协助发展了一些算法，特别是蒙特卡罗方法。 40年代末，他开始研究自动机理论，研究一般逻辑理论以及自复制系统。在生命的最后时刻他深入比较天然自动机与人工自动机。他逝世后其未完成的手稿在1958年以《计算机与人脑》为名出版。 冯·诺伊曼的主要著作收集在《冯·诺伊曼全集》(6卷，1961)中。 无论在纯粹数学还是在应用数学研究方面，冯·诺依曼都显示了卓越的才能，取得了众多影响深远的重大成果。不断变换研究主题，常常在几种学科交叉渗透中获得成就是他的特色。 1．集合论，数学基础 冯·诺依曼的第一篇论文是和菲克特合写的，是关于车比雪夫多项式求根法的菲叶定理推广，注明的日期是1922年，那时冯·诺依曼还不满18岁。另一篇文章讨论一致稠密数列，用匈牙利文写就，题目的选取和证明手法的简洁显露出冯·诺依曼在代数技巧和集合论直观结合的特征。 1923年当冯·诺依曼还是苏黎世的大学生时，发表了超限序数的论文。文章第一句话就直率地声称“本文的目的是将康托的序数概念具体化、精确。他的关于序数的定义，现在已被普遍采用。 强烈企求探讨公理化是冯·诺依曼的愿望，大约从l925年到l929年，他的大多数文章都尝试着贯彻这种公理化精神，以至在理论物理研究中也如此。当时，他对集合论的表述处理，尤感不够形式化，在他1925年关于集合论公理系统的博士论文中，开始就说“本文的目的，是要给集合论以逻辑上无可非议的公理化论述”。 有趣的是，冯·诺依曼在论文中预感到任何一种形式的公理系统所具有的局限性，模糊地使人联想到后来由哥德尔证明的不完全性定理。对此文章，著名逻辑学家、公理集合论奠基人之一的弗兰克尔教授曾作过如下评价：“我不能坚持说我已把(文章的)一切理解了，但可以确有把握地说这是一件杰出的工作，并且透过他可以看到一位巨人”。 1928年冯·诺依曼发表了论文《集合论的公理化》，是对上述集合论的公理化处理。该系统十分简洁，它用第一型对象和第二型对象相应表示朴素集合论中的集合和集合的性质，用了一页多一点的纸就写好了系统的公理，它已足够建立朴素集合论的所有内容，并借此确立整个现代数学。 冯·诺依曼的系统给出了集合论的也许是第一个基础，所用的有限条公理，具有像初等几何那样简单的逻辑结构。冯·诺依曼从公理出发，巧妙地使用代数方法导出集合论中许多重要概念的能力简直叫人惊叹不已，所有这些也为他未来把兴趣落脚在计算机和“机械化”证明方面准备了条件。 20年代后期，冯·诺依曼参与了希尔伯特的元数学计划，发表过几篇证明部分算术公理无矛盾性的论文。l927年的论文《关于希尔伯特证明论》最为引人注目，它的主题是讨论如何把数学从矛盾中解脱出来。文章强调由希尔伯特等提出和发展的这个问题十分复杂，当时还未得到满意的解答。它还指出阿克曼排除矛盾的证明并不能在古典分析中实现。为此，冯·诺依曼对某个子系统作了严格的有限性证明。这离希尔伯特企求的最终解答似乎不远了。这是恰在此时，1930年哥德尔证明了不完全性定理。定理断言：在包含初等算术(或集合论)的无矛盾的形式系统中，系统的无矛盾性在系统内是不可证明的。至此，冯·诺依曼只能中止这方面的研究。 冯·诺依曼还得到过有关集合论本身的专门结果。他在数学基础和集合论方面的兴趣一直延续到他生命的结束。 2．量子理论的数学基础，算子环，遍历理论 在1930～l940年间，冯·诺依曼在纯粹数学方面取得的成就更为集中，创作更趋于成熟，声誉也更高涨。后来在一张为国家科学院填的问答表中，冯·诺依曼选择了量子理论的数学基础、算子环理论、各态遍历定理三项作为他最重要数学工作。 1927年冯·诺依曼已经在量子力学领域内从事研究工作。他和希尔伯待以及诺戴姆联名发表了论文《量子力学基础》。该文的基础是希尔伯特1926年冬所作的关于量子力学新发展的讲演，诺戴姆帮助准备了讲演，冯·诺依曼则从事于该主题的数学形式化方面的工作。文章的目的是将经典力学中的精确函数关系用概率关系代替之。希尔伯特的元数学、公理化的方案在这个生气勃勃的领域里获得了施展，并且获得了理论物理和对应的数学体系间的同构关系。对这篇文章的历史重要性和影响无论如何评价都不会过高。冯·诺依曼在文章中还讨论了物理学中可观察算符的运算的轮廓和埃尔米特算子的性质，无疑，这些内容构成了《量子力学的数学基础》一书的序曲。 l932世界闻名的斯普林格出版社出版了他的《量子力学的数学基础》，它是冯·诺依曼主要著作之一，初版为德文，1943年出了法文版，l949年为西班牙文版，l955年被译成英文出版，至今仍不失为这方面的经典著作。当然他还在量子统计学、量子热力学、引力场等方面做了不少重要工作。 客观地说，在量子力学发展史上，冯·诺依曼至少作出过两个重要贡献：狄拉克对量子理论的数学处理在某种意义下是不够严格的，冯·诺依曼通过对无界算子的研究，发展了希尔伯特算子理论，弥补了这个不足；此外，冯·诺依曼明确指出，量子理论的统计特征并非由于从事测量的观察者之状态未知所致。借助于希尔伯待空间算子理论，他证明凡包括一般物理量缔合性的量子理论之假设，都必然引起这种结果。 对于冯·诺依曼的贡献，诺贝尔物理学奖获得者威格纳曾作过如下评价：“在量子力学方面的贡献，就是以确保他在当代物理学领域中的特殊地位。” 在冯·诺依曼的工作中，希尔伯特空间上的算子谱论和算子环论占有重要的支配地位，这方面的文章大约占了他发表的论文的三分之一。它们包括对线性算子性质的极为详细的分析，和对无限维空间中算子环进行代数方面的研究。 算子环理论始于1930年下半年，冯·诺依曼十分熟悉诺特和阿丁的非交换代数，很快就把它用于希尔伯特空间上有界线性算子组成的代数上去，后人把它称之为冯·诺依曼算子代数。 1936～l940年间，冯·诺依曼发表了六篇关于非交换算子环论文，可谓20世纪分析学方面的杰作，其影响一直延伸至今。冯·诺依曼曾在《量子力学的数学基础》中说过：由希尔伯特最早提出的思想就能够为物理学的量子论提供一个适当的基础，而不需再为这些物理理论引进新的数学构思。他在算子环方面的研究成果应验了这个目标。冯·诺依曼对这个课题的兴趣贯穿了他的整个生涯。 算子环理论的一个惊人的生长点是由冯·诺依曼命名的连续几何。普通几何学的维数为整数1、2、3等，冯·诺依曼在著作中已看到，决定一个空间的维数结构的，实际上是它所容许的旋转群。因而维数可以不再是整数，连续级数空间的几何学终于提出来了。 1932年，冯·诺依曼发表了关于遍历理论的论文，解决了遍历定理的证明，并用算子理论加以表述，它是在统计力学中遍历假设的严格处理的整个研究领域中，获得的第一项精确的数学结果。冯·诺依曼的这一成就，可能得再次归功于他所娴熟掌握的受到集合论影响的数学分析方法，和他自己在希尔伯特算子研究中创造的那些方法。它是20世纪数学分析研究领域中取得的最有影响成就之一，也标志着一个数学物理领域开始接近精确的现代分析的一般研究。 此外冯·诺依曼在实变函数论、测度论、拓扑、连续群、格论等数学领域也取得不少成果。1900年希尔伯特在那次著名的演说中，为20世纪数学研究提出了23个问题，冯·诺依曼也曾为解决希尔伯特第五问题作了贡献。 3．一般应用数学 1940年，是冯·诺依曼科学生涯的一个转换点。在此之前，他是一位通晓物理学的登峰造极的纯粹数学家；此后则成了一位牢固掌握纯粹数学的出神入化的应用数学家。他开始关注当时把数学应用于物理领域去的最主要工具——偏微分方程。研究同时他还不断创新，把非古典数学应用到两个新领域：对策论和电子计算机。 冯·诺依曼的这个转变一方面来自他长期对数学物理问题的钟情；另一方面来自当时社会方面的需要。第二次世界大战爆发后，冯·诺依曼应召参与了许多军事科学研究计划和工程项目。1940～1957年任马里兰阿伯丁试验弹道研究实验室科学顾问；1941～1955年在华盛顿海军军械局；1943～1955年任洛斯·阿拉莫斯实验室顾问；1950～1955年，陆军特种武器设计委员会委员；1951～1957年。美国空军华盛顿科学顾问委员会成员；1953～1957年，原子能技术顾问小组成员；1954～1957年，导弹顾问委员会主席。 冯·诺依曼研究过连续介质力学。很久以来，他对湍流现象一直感兴趣。l937年他关注纳维—斯克克斯方程的统计处理可能性的讨论，1949年他为海军研究部写了《湍流的最新理论》。 冯·诺依曼研究过激波问题。他在这个领域中的大部分工作，直接来自国防需要。他在碰撞激波的相互作用方面贡献引入注目，其中有一结果，是首先严格证明了恰普曼—儒格假设，该假设与激波所引起的燃烧有关。关于激波反射理论的系统研究由他的《激波理论进展报告》开始。 冯·诺依曼研究过气象学。有相当一段时间，地球大气运动的流体力学方程组所提出的极为困难的问题—直吸引着他。随着电子计算机的出现，有可能对此问题作数值研究分析。冯·诺依曼搞出的第一个高度规模化的计算，处理的是一个二维模型，与地转近似有关。他相信人们最终能够了解、计算并实现控制以致改变气候。 冯·诺依曼还曾提出用聚变引爆核燃料的建议，并支持发展氢弹。1947年军队发嘉奖令，表扬他是物理学家、工程师、武器设计师和爱国主义者。 4．对策论 冯·诺依曼不仅曾将自己的才能用于武器研究等，而且还用于社会研究。由他创建的对策论，无疑是他在应用数学方面取得的最为令人羡慕的杰出成就。现今，对策论主要指研究社会现象的特定数学方法。它的基本思想，就是分析多个主体之间的利害关系时，重视在诸如下棋、玩扑克牌等室内游戏中竞赛者之间的讨价还价，交涉，结伙，利益分配等行为方式的类似性。 对策论的一些想法，20年代初就曾有过，真正的创立还得从冯·诺依曼1928年关于社会对策理论的论文算起。在这篇文章中，他证明了最小最大定理，这个定理用于处理一类最基本的二人对策问题。如果对策双方中的任何一方，对每种可能的策略，考虑了可能遭到的最大损失，从而选择“最大损失”最小的一种为“最优”策略，那么从统计角度来看，他就能够确保方案是最佳的。这方面的工作大致已达到完善。在同一篇论文中，冯·诺依曼也明确表述了n个游戏者之间的一般对策。 对策论也被用于经济学。经济理论中的数学研究方法，大致可分为定性研究为目标的纯粹理论和以实证的、统计的研究为目标的计量经济学。前者称为数理经济学，正式确立于本世纪40年代之后。无论在思想上或方法上，都明显地受到对策论的影响。 数理经济学，过去模仿经典数学物理的技巧，所用的数学工具主要是微积分和微分方程、将经济问题当成经典力学问题处理。显然，几十个商人参加的贸易洽谈会，用经典数学分析处理，其复杂程度远远超过太阳系行星的运动，这种方法的效果往往很难是预期的。冯·诺依曼毅然放弃这种简单的机械类比，代之以新颖的对策论观点和新的数学—和凸性的思想。 1944年，冯·诺依曼和摩根斯特思合著的《对策论和经济行为》是这方面的奠基性著作。论文包含了对策论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际应用的详细说明。这篇论文以及所作的与某些经济理论的基本问题的讨论，引起了对经济行为和某些社会学问题的各种不同研究，时至今日，这已是应用广泛、羽毛日益丰盛的一门数学学科。有些科学家热情颂扬它可能是“20世纪前半期最伟大的科学贡献之一”。 5．计算机 对冯·诺依曼声望有所贡献的最后一个课题是电子计算机和自动化理论。 早在洛斯·阿拉莫斯，冯·诺依曼就明显看到，即使对一些理论物理的研究，只是为了得到定性的结果，单靠解析研究也已显得不够，必须辅之以数值计算。进行手工计算或使用台式计算机所需化费的时间是令人难以容忍的，于是冯·诺依曼劲头十足的开始从事电子计算机和计算方法的研究。 1944～l945年间，冯·诺依曼形成了现今所用的将一组数学过程转变为计算机指令语言的基本方法，当时的电子计算机(如ENIAC)缺少灵活性、普适性。冯·诺依曼关于机器中的固定的、普适线路系统，关于“流图”概念，关于“代码”概念为克服以上缺点作出了重大贡献。尽管对数理逻辑学家来说，这种安排是显见的。 计算机工程的发展也应大大归功于冯·诺依曼。计算机的逻辑图式，现代计算机中存储、速度、基本指令的选取以及线路之间相互作用的设计，都深深受到冯·诺依曼思想的影响。他不仅参与了电子管元件的计算机ENIAC的研制，并且还在普林斯顿高等研究院亲自督造了一台计算机。稍前，冯·诺依曼还和摩尔小组一起，写出了一个全新的存贮程序通用电子计算机方案EDVAC，长达l0l页的报告轰动了数学界。这一向专搞理论研究的普林斯顿高等研究院也批准让冯·诺依曼建造计算机，其依据就是这份报告。 速度超过人工计算千万倍的电子计算机，不仅极大地推动数值分析的进展，而且还在数学分析本身的基本方面，刺激着崭新的方法的出现。其中，由冯·诺依曼等制订的使用随机数处理确定性数学问题的蒙特卡洛方法的蓬勃发展，就是突出的实例。 19世纪那种数学物理原理的精确的数学表述，在现代物理中似乎十分缺乏。基本粒子研究中出现的纷繁复杂的结构，令人眼花廖乱，要想很决找到数学综合理论希望还很渺茫。单从综合角度看，且不提在处理某些偏微分方程时所遇到的分析困难，要想获得精确解希望也不大。所有这些都迫使人们去寻求能借助电子计算机来处理的新的数学模式。冯·诺依曼为此贡献了许多天才的方法：它们大多分载在各种实验报告中。从求解偏微分方程的数值近似解，到长期天气数值须报，以至最终达到控制气候等。 在冯·诺依曼生命的最后几年，他的思想仍甚活跃，他综合早年对逻辑研究的成果和关于计算机的工作，把眼界扩展到一般自动机理论。他以特有的胆识进击最为复杂的问题：怎样使用不可靠元件去设计可靠的自动机，以及建造自己能再生产的自动机。从中，他意识到计算机和人脑机制的某些类似，这方面的研究反映在西列曼讲演中；逝世后才有人以《计算机和人脑》的名字，出了单行本。尽管这是未完成的著作，但是他对人脑和计算机系统的精确分析和比较后所得到的一些定量成果，仍不失其重要的学术价值。 --------------------------------------------------------------------------------
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