速度迁移概率与Fokker-Planck 方程 右边第一项为“摩擦力”，第二项为“速度空间扩散”。其长时间行为即为 Maxwellian 分布；弛豫时间则为

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3.3.3 速度迁移概率与Fokker-Planck 方程

我们现在利用 Markov 过程的扩散性质和迁移概率的概念来讨论速度空间

的扩散过程。

从 Brownian 运动的朗之万方程

d

dt

V   V  f （3.25）

出发，我们可以形式地得到这个方程的解

( )

0

0

( )

t

V  V e t   d e t f  ，

并得到所谓“长期解”

( )

0

0

( )

t

U  V V e t   d e t f  。 （3.48）

从这个“长期解”我们可以定义速度迁移概率

 ( ;t)  e (t )。 （3.49）

由中心极限定理，我们得到速度空间的“位置”概率密度

2

2

3/2 3

2

2

( ) 3

2

U

U W e

 U

  

  

 

 

U 。 （3.50）

而这里的均方“位移”显然是

 2 2

0

U  V V e t

  d d   ( )f ( ) ( )f ( )

  d d  ( ) ( ) f ( )f ( )

  d d  ( ) ( ) 2D (  )

2 2  2 

0

( ) 1

2

t

D d  D e  t

       。（3.51）

这里用到了“随机力”f ( )具有Gaussian 概率分布形式的假设。即其关联函数

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) i j B ij f  f    k T      D    。

则（3.50）可以写成

 

 

2

0

2

3/2 | |

2 1

2 ( , )

2 1

t

t

B

m e

k T e

t

B

W t m e

k T e





 













 

  

    

V V

V 。 （3.52）

显然，其长时间行为即为 Maxwellian 分布；弛豫时间则为1/ 。

对（3.52）作微分运算，得到，

2

2

2 W 3 W W D W

t

  

  

   

  

V

V V

2

2

2 ( W) ( DW)

 

  

 

V

V V

。 （3.53）

这个方程被称为 Fokker-Planck 方程。显然（3.52）是Fokker-Planck 方程的

Green 函数解。对比（2.18），显然有







 

v

V ， 2

2

 D



 



v v

。

这就是为什么我们称（2.18）右边第一项为“摩擦力”，第二项为“速度空间扩

散”。

3.3.4