12-2 能量均分定理、麦克斯韦速率分布_百度文库
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Boltzmann statistics - 波茲曼統計
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... 對稱的要求。但從量子力學的觀點來看，這種描述系統的方法是不正確的。因此由波茲曼統計所得的結果只有在經典極限（高溫、低密度）下，才會趨於正確的結果。
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by MANI LEI - 2011 - Cited by 1 - Related articles
Aug 25, 2010 - For a semiconductor that follows the Maxwell Boltzmann statistics (non-
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Boltzmann statistics (non-degenerate semiconductors). The considerations are based on an application of the electrostatic law of abrupt junctions and sum-.
RAPPORT D'ACTIVITÉ 1 9 9 0 - International Atomic Energy Agency
www.iaea.org/.../23032520.pdf
International Atomic Energy Agency
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波茲曼統計
Boltzmann statistics
裴呈志
2002年12月
力學名詞辭典
名詞解釋: 考慮N相同的質點在一體積為V的容器內，如果我們將這些質點看著可區分的質點，而且任意數目的質點可同時存在任何一個單一粒子態上，在這樣條件下，質點所服從的統計法則我們稱謂波茲曼統計法。在這種統計法則下，當兩個質點互相交換時，波函數不須加上任何對稱的要求。但從量子力學的觀點來看，這種描述系統的方法是不正確的。因此由波茲曼統計所得的結果只有在經典極限（高溫、低密度）下，才會趨於正確的結果。
§26.2.3 经典极限条件和能量连续条件
( 1 ) 玻色分布和费米分布的经典极限条件
如果参数a 满足条件
, (26. 25)
则玻色分布
(26. 21)
和费米分布
(26. 23)
两式分母中的 ±1就可以忽略，这时玻色分布和费米分布都过渡到了玻耳兹曼分布[式(26.19)]。
实际上，在满足条件的情况下，一般有
的情况下，一般有
, (26. 26)
即在各个能级
上的粒子数
远小于该能级的简并量子态数
.
上的粒子数远小于该能级的简并量子态数.
在上述条件下，具有不同的交换对称性的玻色子和费米子所组成的近独立粒子系统，在平衡态下都近似地遵从经典粒子所遵从的玻耳兹曼分布，因此式(26. 25)或式(26. 26)称为经典极限条件。
应该注意到，满足经典极限条件的玻色系统和费米系统，虽然与玻耳兹曼系统(定域系)遵从同样的分布，但是前者的粒子是不可分辨的，而后者的粒子是可分辨的。因此，即使在满足经典极限条件的情况下，它们的同一分布所对应的微观态的数目却是不同的，即
. (26. 27)
所以，尽管对于那些直接由分布函数导出的热力学量，例如内能和物态方程等，两者具有同样的统计表达式；然而，对于那些与微观状态数直接相关的热力学量，例如熵和自由能等，它们的统计表达式就会有明显的差异(见§28-2)。
为了具体了解什么样的系统满足经典极限条件，我们考察总粒子数一定的系统，并假定每一个能级上的量子态数或相格数也是固定的。由于条件
也是固定的。由于条件 (26. 26)
意味着每个量子态或相格中的粒子数远小于1，因此在 m 空间中该系统的粒子所能达到的相体积较大，即系统的体积和系统的总能量较大。系统的体积大，说明气体比较稀薄；系统的总能量大，说明气体的温度高。所以，气体越稀薄，温度越高，则越能满足经典极限条件。
由于玻色分布和费米分布的
比较难计算，可以采用玻耳兹曼分布的结果来进行粗略的分析。对于单原子理想气体，由经典极限条件 (见§28-2)可得
比较难计算，可以采用玻耳兹曼分布的结果来进行粗略的分析。对于单原子理想气体，由经典极限条件 (见§28-2)可得
. (26. 28)
由此可见，V/N越大，T越大，条件越容易满足；而且，粒子的质量m越大，条件也越容易满足。实际上，常温下的一般气体都满足上述经典极限条件，都遵从玻耳兹曼分布。
例如，即使是对于分子质量m最小的氢气来说，
它在大气压强和
下，有
；
下，有；
即使是在低温
下，仍然有
，
下，仍然有，
都能很好地满足经典极限条件。
然而，对于电子来说，即使在室温下就有
，不满足经典极限条件。在§28-3中将要讨论的金属中的“电子气体”、固体中的“声子气体”和辐射场中的“光子气体”等，它们都不满足经典极限条件，玻耳兹曼分布对它们不适用。
，不满足经典极限条件。在§28-3中将要讨论的金属中的“电子气体”、固体中的“声子气体”和辐射场中的“光子气体”等，它们都不满足经典极限条件，玻耳兹曼分布对它们不适用。
通常，我们也把经典极限条件称为弱简并条件，而把不满足这一条件的玻色气体和费米气体称为强简并气体。这里的“简并”不是能量的简并，而是因微观粒子的全同性使得系统的微观态数变少了的意思。
图26 - 3 能量连续条件
( 2 ) 能量连续条件
在经典力学中，粒子的能量是连续的。然而，微观粒子是服从量子力学的运动规律的，粒子的能量往往是不连续的，粒子分布在离散的能级上。因此，在应用统计物理方法讨论系统的性质时，必须计算对于能级的求和。例如，玻耳兹曼分布的拉格朗日乘子a 和b 的确定取决于
, 
,
而热力学量的确定取决于式(28.34)所定义的配分函数Z，即
. (26. 29)
在以上各式中，
是对能级i求和，
是对量子态j求和。
我们这里所要讨论的能量连续条件，就是上述各式中的求和转化为积分的条件。
如图26 - 3所示，以量子态序号j为横坐标，以
为纵坐标，画出随j变化的折线。折线中与横轴平行的每一段，相应于一个能级，它所包含的量子态数等于该能级的简并度。式(26.29)所给出的粒子配分函数Z，就是上述折线下的面积。若折线可以用一条光滑的曲线代替，则计算时可用积分代替求和，即可得到能量连续条件。
为纵坐标，画出随j变化的折线。折线中与横轴平行的每一段，相应于一个能级，它所包含的量子态数等于该能级的简并度。式(26.29)所给出的粒子配分函数Z，就是上述折线下的面积。若折线可以用一条光滑的曲线代替，则计算时可用积分代替求和，即可得到能量连续条件。
由图26 - 3可见，要用光滑曲线代替折线，必须满足条件
.
显然，该条件可以化为
或 
.
.
再由
，
可得
, (26. 30)
其中
表示任意两个相邻能级的间隔。因此，如果在所考虑的问题中，粒子的能级分布非常稠密，任意两个相邻能级之间的能量差De 远远小于特征热能kT，则可以把粒子的能量看成是近似连续的变量，这个条件称为能量连续条件。
表示任意两个相邻能级的间隔。因此，如果在所考虑的问题中，粒子的能级分布非常稠密，任意两个相邻能级之间的能量差De 远远小于特征热能kT，则可以把粒子的能量看成是近似连续的变量，这个条件称为能量连续条件。
一般而言，对于分子的不同自由度，相邻能级的间距De 在数量上可以有很大的差别。即使在同一温度下，有的自由度能满足能量连续条件，有的则不能满足。
例如，我们考察在边长为1 cm的立方盒子中的氢分子。
① 平动自由度
氢分子的能级间隔为
,
在室温下有
，
满足能量连续条件。
② 转动自由度
氢分子的能级间隔为
,
与室温下的
的数量级相同。所以，除非是在高温下对于转动惯量I很大的分子，一般情况下，对于转动自由度必须考虑能级的量子化。
的数量级相同。所以，除非是在高温下对于转动惯量I很大的分子，一般情况下，对于转动自由度必须考虑能级的量子化。
③ 振动自由度
氢分子的能级间隔为
,
比室温下的大两个数量级，不满足能量连续条件。
大两个数量级，不满足能量连续条件。
氢气的摩尔定体热容
随温度的变化如图26-4所示，它给出了上述能级间隔大小的差别对可测量性质的影响。
随温度的变化如图26-4所示，它给出了上述能级间隔大小的差别对可测量性质的影响。
图26 - 4 能级间隔对摩尔定体热容的影响
由于能级间隔De 的大小与普朗克常量h有关，例如自由粒子的De µ h2，线性谐振子的De µ h，因此
意味着，对于满足能量连续条件的问题来说，普朗克常量是一个可以忽略的小量，粒子的波动性和能量的量子化可以忽略，对粒子运动状态的描述可以采用半经典近似，即可以近似地用广义坐标和广义动量来描述粒子的运动状态。
意味着，对于满足能量连续条件的问题来说，普朗克常量是一个可以忽略的小量，粒子的波动性和能量的量子化可以忽略，对粒子运动状态的描述可以采用半经典近似，即可以近似地用广义坐标和广义动量来描述粒子的运动状态。
应该注意到，对于玻耳兹曼系统，如果它满足能量连续条件，该系统就可以用经典的玻耳兹曼统计理论来处理；否则，就必须采用考虑到了粒子能量量子化的玻耳兹曼统计理论。
然而，对于玻色系统和费米系统，情况则比较复杂。即使是电子气这样的强简并气体，它们不满足经典极限条件，但有可能满足能量连续条件；在这种情况下可以忽略能级的量子化，即可以用积分代替对能级或量子态的求和，但它们所遵从的仍然是玻色统计或费米统计。只有在既满足经典极限条件又满足能量连续条件的情况下，它们才可以用经典的玻耳兹曼统计理论来处理，所得的某些结果还必须按式(26. 27)进行修正。
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