phymath999: tw01 弧長作為曲線的自然參數得知空間彎曲需要曲率作為資訊，因此至少要有兩個維度，一個是切線方向，另一個是垂直於切線方向。另一考慮的角度，測度張量的定義 gij = ei · ej，因此至少需兩個線性獨立的向量作基底才有最起碼的測度張量。這呼應我們前面講過的，一維生物不需要畢氏定理

http://boson4.phys.tku.edu.tw/high-school_math/geometry_1.html
得知空間彎曲需要曲率作為資訊，因此至少要有兩個維度，一個是切線方向，另一個是垂直於切線方向。另一考慮的角度，測度張量的定義 g_ij = e_i · e_j，因此至少需兩個線性獨立的向量作基底才有最起碼的測度張量。這呼應我們前面講過的，一維生物不需要畢氏定理

幾何 (I)

形狀的數學、實驗的數學

想像力發揮、心中的小宇宙、"模型"
形狀、比例與相似性

從設計圖到完成品，形狀的相似性
繪製地圖

Geo 希臘文原意是土地、測量。"幾何" 是徐光啟、利瑪竇翻譯。

希臘的幾何成就

畢達哥拉斯定理：

古中國叫"勾股弦定理"

古書中甚至轉述大禹因此治水成功，換用現代的語言，是應用數學原理成就精密的大型工程。

證明的方法很多，（但在此不採用三角函數的正餘弦定理 sin²θ + cos²θ = 1，這是因為這個三角函數的定理本身就是由畢氏定理證明出來的），以下介紹一個比之圖像化的證明。

（圖片出處：維基百科）
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/勾股定理
我們怎樣看畢氏定理？

多維度空間中長度的本質。即，長度與其投影在低維度裏的長度，它們之間有一定的關係。

誰不需要畢氏定理？

生存在一維空間中之智慧形式。

歐基里德：公設與證明

古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設。頭四條公設分別為：

由任意一點到任意一點可作直線。

一條有限直線可以繼續延長。

以任意點為心及任意的距離可以畫圓。

凡直角都相等。

第五條公設說：同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於兩直角，則這兩直線經無限延長後在這一側相交。
是直尺與圓規的幾何

奧依勒的多面體公式

v - e + f = 2
其中 v、f、e 各代表 "頂點 (vertex)"、"面 (face)"、"邊 (edge)" 的數目。
http://140.128.93.186/~chents/MG11
如何理解

雕刻家的觀點
思考三角錐頂點、四角錐頂點、. . . n 角錐頂點，在截去一角 ( v' = v - 1 ) 來增加了一個面 ( f' = f + 1) 時的結果：同時也增加了 n 個邊 ( e' = e + n )
（值得注意的是，上述截角的動作是可逆的。）
可見 v' - e' + f' = v - e + f 會是常數
剩下的問題是，這個常數值是多少
考慮最簡單的四面體錐
1 + n = (n - 1) + ?
可見這個 "?" 是 2
一次截去兩個頂角可以嗎？這樣就不保證是凸形了。
（其他的證明方式可見維基百科或科普書）
證明 : http://plus.maths.org/content/eulers-polyhedron-formula

補充：高維度公式
( http://www.math.osu.edu/~fiedorowicz.1/math655/HyperEuler.html )

光學與幾何

(幾何起源很早，與光學的關係也很密切)
為什麼近的東西看起來比較大？
視線從眼中射出？
反射與折射

面鏡與透鏡
大一物理中的幾何光學

http://163.13.111.54/general_physics/week-08_day-1__geometrical_optics.html

解析幾何

座標
結合了函數與幾何，空間中的直線、曲線，都是函數或滿足某方程式的解。

向量空間（解析幾何與向量的關係）

向量：高中數學的定義？

維度？

線性獨立

有 N 個向量，若任何一個都不能夠透過其他的向量線性組合而成，則這 N 個向講線性獨立。
線性相依

無法構成線性獨立時稱之

向量：大學物理學的定義

座標轉換（詳見下次上課內容：幾何 II）

向量空間：

該空間中有乘與加兩種操作。係數乘上基底向量是基本單元。向量是可以加減的，而係數（純量）則乘在向量上，要滿足一些規律，並構成封閉系統。
（維基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space、MathWorld：http://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html）
（定義裏剛好也有談到體(filed) 的，詳見 http://mathworld.wolfram.com/FieldAxioms.html）

向量間的內積與外積

向量的內積

我們為什麼想要知道向量的內積：(1) 想知道向量的長度 (2) 想知道向量的分量
（幾何意義是：任一向量在另一向量上的投影大小，兩種作法的結果是一樣的。）（為什麼？）

向量的外積

我們為什麼想要知道向量的外積：電磁交互作用的勞倫玆力、描述轉動（但小心轉動本身不是向量、轉速才是，因此角動量仍是向量）。
（幾何意義是：兩向量撐開之面積大小、方向是撐開面之法方向。）（在三度空間就是體積嗎？不是，向量三重積，即 A · (B × C) 才是三個向量撐開來的平行六面體體積）
外積之大小等於張開之平行四邊形面積一事，是可以透過 :"移一塊補一塊" 的策略證明，請大家自行試試看。
更高維度的情形：n 個向量在 n 維空間張間來的體積，是該 n 個向量將各自分量排成矩陣後的行列式值。至於 n × n 矩陣的行列式值怎麼算，是有公式及規律性的。
作業：二維向量兩個求外積，試與其分量形式所組成的行列式值作比較。

延伸知識：函數空間

（下次上課介紹）

(數學)物件

三度空間裏的(數學)物件：點、線、面、體
直線

如何寫下一條直線的方程式？

多問一句：如何寫下一個平面的方程式？

曲線

合宜的參數表示法

一條曲線是可以用參數來表示的，只要這個參數滿足一些基本的、不太離譜怪異的要求。

曲線的範例：

點集合 (x₁, x₂) 的一般形式用極座標表示

x₁ = r cosθ , x₂= r sinθ

阿基米德螺線

依上面定義的 (x₁, x₂)，其中
r = a θ , ( a ≠ 0 )

產生上圖的程式　spiral_of_archimedes.f

狄奧克勒斯蔓葉線

r = 2 c sin²θ / cosθ , ( c ≠ 0 )

產生上圖的程式　cissoid_of_diocles.f

Conchoid (蚌線) of Nicomedes 　　 (不是蚶線 limacon)

r = a / cosθ+ c , ( a ≠ 0, c ≠ 0 )

產生上圖的程式　conchoid_of_nicomedes.f

http://mathworld.wolfram.com/ConchoidofNicomedes.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Conchoid_%28mathematics%29

Trisectrix (三等分角線) of Maclaurin

r = a / cos(θ/3) , ( a ≠ 0, θ = 0 ~ 3π)

產生上圖的程式　trisectrix_f_maclaurin.f

曲線自身的參考座標

空間彎曲與否，是不是非得要跑到更高維度才看得出來？住在低維度空間的生物有什麼線索可用？（答案：非歐幾何時，歐氏幾何已建立的公設是不能用了。如三角形內角和大於 180 度）
事實上，即便二維都是很勉強的，因為那些生物都不可能有消化道（想像一下）。
有同學問，是否零維與一維就不知道或沒有所謂的空間彎曲？答案是的確如此：得知空間彎曲需要曲率作為資訊，因此至少要有兩個維度，一個是切線方向，另一個是垂直於切線方向。另一考慮的角度，測度張量的定義 g_ij = e_i · e_j，因此至少需兩個線性獨立的向量作基底才有最起碼的測度張量。這呼應我們前面講過的，一維生物不需要畢氏定理。

弧長作為曲線的自然參數

弧長的觀念，可以從多邊線段的長度來思考。上圖每一直線段都可由畢氏定理明確得出（因為我們知道那些點的 x 及 y 座標），故可加得總長。如果切分越來越細，而總長趨於某一定值極限。

這個 l 可以被證明將與選取參數表示法無關。（但這個 l 真的是我們所認知的弧長這種東西嗎？怎麼看出來？關鍵在 dx = (dx/dt) dt = x^· dt，即 dx = √(dx · dx) = √(x^· · x^· ) dt ）
弧長本身可以依其長度發展的變化而拿來當作一個表示曲線的參數，它與原參數之間的關係只要仿照上式定義來定成以下的形式即可：

利用這個定義，可證明（在此不列），弧長本身滿足作為曲線之參數表示法的規定要求，它的確是可以拿來作為描述曲線的參數。
以 dx = (dx₁, dx₂, dx₃) 代表微小線段向量，則根據畢氏定理（二維的連套用兩次），可以確認 s 真的具有弧長的意義

範例：圓螺旋線

補充思考：
如果我們要用電腦去表現任何的曲線，不管拿到的是公式的 x(t) 或是數據的 X(I) ，我們都能自行建立合適的參數來繪圖。

這裏既然提出了弧長可做為參數使用了，則座標對參數之微分就有對特別的 s 及一般的 t 了，以下用 prime 及 dot 在符號上區分它們的不同：

斜率、曲率、扭率

切線方向（斜率）
曲線進展的方向是

上式有沒有除以 h 都沒有關係的。
取極限的情況，可得單位切（線）向量

如果換從在參數 t 的表象（表示法）裏，則有

利用以下性質（由 s(t) 的定義可看出）

便可得到

如此可以看得出它的確是單位向量 (小心切向量 t 與參數 t 是不同的東西)

曲率
切線方向如果一直不變，就是一條直線（相對於其所在的空間而言）。
如果切線單位向量隨著參數而改變，必定產生彎曲。將單位切線向量對弧長為分，得到以下的向量 k(s) （沒有特定命名，但依其方向定出的單位向量叫作法方向，後面會提到）

其大小叫作曲率 κ(s)

可定義曲率半徑

不用弧長作參數，而以一般的參數表示曲率時，複雜很多（不重要，僅供參考）

切線變化方向的單位向量，又叫曲線的法向量 (Normal Vector) ：

我們再定 bi-normal vector ，為突出垂直於 t 與 p 所張開的平面，下面談扭率的時候要用

t 、p 、 b 形成右手系座標軸

扭率
曲率測度曲線偏離切線方向直行的程度，而扭率則測度偏離密切面（osculating plane，即 t 與 p 構成的面）的程度（下圖中的 N 就是我們公式中定義的 normal vetor p）

我們可以看出

定為如下

由於 b' 與 p 平行，故扭率 τ 為

重要性質

若將一條曲線的局部變化以泰勒展開式加以分祈，則會發現，以弧長為參數，以 t、p、b 為 x₁、x₂、x₃ 的座標軸，則 x₁、x₂、x₃ 的變化全由弧長、曲率與扭率決定，這個公式叫做正則表象（canonical representation）。
事實上，曲率與扭曲唯一決定了一條曲線（在不計位置的情況下）。(叫做 "空間曲線的基本定理"，）

平面

一個典型的例子，三角形內角和等於 180 度，(補充：三角形的外角和等於 360 度；凸多邊形的外角和是 360 度)
http://dropwa.com/math/polygon/poly_3t.htm

曲面

裁縫師要能懂曲面的幾何，因為布是平面而衣服是立體的
曲面彎曲如何描述？（與曲線一樣，透過曲面法方向沿參數延伸時的變化）
曲面上能有直線嗎？（法向量是曲面的一個重要特徵量，曲面上的線在曲面法方向的投影，呈一直線者，即相當於曲面上的直線。）
曲面上之 "直線" 的特性：法向量投影後斜率沿發展方向不變，連接兩點間長度最短（測地線）。

如何在曲面上建立座標？

要用兩個參數 u¹, u² （在此用上標來標示參數，不是次方的意思），空間中的點則由 x(u¹, u²) 來描述。
要作為一套合理的表面參數，須要求 x(u¹, u²) 是 1-1 (1對1) 的對應。並且切線向量 t₁ 及 t₂ 有 t₁ × t₂ 恆不為零

曲面的法向量

曲率

一個曲面有 first funcdamental form 及 second fundamental form 這兩個量。
高斯曲率
黎曼曲率張量

空間

空間是幾何的舞台，抑或是演出者？

（問題：宇宙的空間膨脹，所有的東西都放大，對地球上生活的我們而言，不是都分不出來嗎？例如所謂膨脹的氣球圖像，在氣球上畫一隻螞蟻、則螞蟻不是會跟著膨脹嗎？）

維度

我們自己是知道存在於（巨觀）的三度空間，這是因為此空間中兩點的距離是透過 s ² = x² + y² + z² 而得來的

幾何學所認為的空問本質

空間可以彎，但局部仍是平的（只要取夠小的範圍看）
（反例：不可微分的函數）

前面的結論，弧長是曲線最自然的參數

也就是說，一維空間裏，兩點間的距離(長度)是最基本的。問如何定距離，只要推廣距離的定義，就推廣了空間的概念。
(想像我們定義一個量, 叫做 "離距" <- 在此亂創名詞一下, 見下:)

測度（metric，定距離，或 norm）

d(P,Q) 必須是實數、有限、非負值
d(P,Q) = 0 若且唯若 P = Q （即 P 與 Q 是同一個點）
d(P,Q) = d(Q,P)
d(P,Q) <= d(P,R) + d(R,Q) （其中 R 是異於 P, Q 的另一點，這一條件也叫做三角不等式）

測度張量

(ds)² = Σ g_ij dx_i dx_j
g_ij不再是單位矩陣 I ≡ δ_ij ，事情開始變得有趣。
例如，差距是 ( Δt, Δx, Δy, Δz ) 兩個時空點，其 (狹義相對頓論下之) 世界線的距離是：
Δs² = -c² (Δt)² + (Δx)² + (Δy)² + (Δz)²

空間的平坦與彎曲

大家看過線的彎曲，能否想像面的彎曲及空間的彎曲？
空間也是可以有曲率的，如同一個面（曲面）可以有曲率的那樣。

愛因斯坦方程式超簡介

愛因斯坦在他的廣義相對論中提出，重力加速度與運動加速度是等效的（運動加速度會讓加速者看到光的彎曲，重力加也會），重力造成物體加速是因有質量的物質其週圍時空的曲率而造成。

水星進動與太陽背後的星光彎折（全日蝕才看得到）的預測，是此一理論的兩大勝利。

方程式的樣子如下：

G ^μν - Λ g ^μν = k T ^μν
上式的意思是

時空曲率 - 宇宙項 = 物質密度
其中 Λ是宇宙常數、k 是重力常數。裏頭為了營造出恆定宇宙（否則原方程式的解非膨脹即收縮），而設的扺消項。
1929 年在哈伯得到宇宙膨脹的證據時，愛因斯坦自稱這是他一生最大最錯誤。（有數據支持宇宙膨脹是加速之後，有人因此說，難到愛因斯坦的宇宙項終究還是加對了嗎？）