http://books.google.com.hk/books?id=GXCo4MUn74gC&pg=PA92&lpg=PA92&dq=%22%E5%A3%B0%E5%AD%90%22%E7%8E%BB%E8%89%B2%E7%B5%B1%E8%A8%88&source=bl&ots=JsfXWzUFMT&sig=GgjPVMqUqK-HpYNlhFSZdZ0d3Ks&hl=zh-TW&sa=X&ei=5cRbU_SaNumkyQH3qIHgDg&ved=0CEsQ6AEwAw#v=onepage&q=%22%E5%A3%B0%E5%AD%90%22%E7%8E%BB%E8%89%B2%E7%B5%B1%E8%A8%88&f=false
"声子"玻色統計
固体物理
作者:韦丹
ssp-19-金属电导理论-final-new - 豆丁网
www.docin.com/p-211395309.html
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熱固體傳導的深入探討
作者
莊雅淳。國立彰化女中。一年十五班
許嘉凌。國立彰化女中。一年十五班
壹●前言
在基礎物理第一章提到不同物質熱導率不同,記得在國中時也做過許多關於比熱
和熱導率的實驗,例如:將水和金屬加熱看溫度上升速率,亦有在銅和玻棒一端
用奶油黏上牙籤,另一端加熱然後觀察牙籤掉下順序。當時,老師只讓我們看結
果卻未解釋為何,上了高中後我便問老師此問題,老師便提供我「凝體
Everywhere」這本書,裡面用了許多量子的概念解釋各種不同的現象,也因這樣
的觀點,深深吸引了我,進而讓我深入研究思考。我把舊有的實驗和已知的一些
現象重新整理出來,再詳細的閱讀這本書,將有疑慮的問題記錄下來並請教物理
老師,因為是第一次接觸到這種觀點,所以充滿許多問題,幸好物理老師不厭其
煩的向我解釋,經過這樣的過程後,我總算弄清楚了「熱」的來龍去脈,也能將
這些概念再和生活中更多的實際例子結合。
貳●正文
一、熱傳導
湯匙放進熱茶裡不久會感覺到熱,這涉及了熱的傳導,又另一個現象:
熱
箱
冰
熱流
銀棒
冰融化
可看見熱的傳導,而上述兩現象皆有個共通點:只有在溫度不同時才有熱能流動
傳播。而是什麼原因造成這樣的結果?它的解釋會牽涉到量子力學,所以必須先
確認兩樣要素:
01. 測量熱能的方法,以便知道要供給多少熱才能使材料產生多少溫度變化。
02. 如何計數電子與聲子在晶體中遷移而發生碰撞次數。
(註一)晶體的熱能使原子振動,這些振動是聲波,能量是量子化的,聲波量子
化就是聲子,充滿整個晶體,為振動能為hf
的量子,h為蒲郎克常數,f為頻率。
而德拜(Peter Debye,1884-1966)是最早想到以聲波模式來探討固體中原子熱振
動。
二、比熱
n
每公克材料自 20°C 上升到 21°C 所需的熱量(J)稱為材料的每公克比熱,由此亦
可計算出每原子的比熱。下表為一些物質的比熱(註二)
材料 每克比熱(J/°C) 每原子比熱(10
-23
J/°C)
銅
0.39 4.1
銀
0.24 4.3
鉛
0.13 4.48
鑽石
0.51 1.05
水
4.2 12.6
以聲子的熱能開始探討,熱能代表了晶體離子的振動能。假設晶體的溫度為 20°
C,以符號T代表,而聲子有最高頻率fD存在,如果能量kBT(波茲曼常數kB=1.38×
10
-23
J/°C)聲子能量hfD大得多的話,則由聲子的統計物理學可得知每一原子的平均
熱能變為 3kBT,所以每一原子溫度要升高 1 度所需的額外能量為 3kB(T+1)-3kBT
=3kB=4.14×10
-23
J/°C。因此,每個原子的比熱都應該是這個值,不管什麼材料都
一樣。由上表可得知,銅、銀、鉛的比熱都差不多,但鑽石卻不同。這是因為鑽
石的fD比其它三種物質的fD都大很多,所以必須要到較高的溫度,才能使kBT明顯
大於hfD。當不符合這條件時,聲子的統計物理學告訴我們,其比熱會較小,而
且如果溫度接近絕對零度,比熱會較小。
再看上表,銀鉛的每原子比熱都比來自聲子的 3kB值稍微大些。會超過的原因是
因為金屬中有傳導電子,它能接受熱能,並且移動到附近還沒被佔據的量子態,
因而增加了比熱。假定每個原子放出一個電子自由遊蕩,這些電子會形成費米
面,也就是電子能量的最高層。在絕對零度時,電子佔滿了最高能量的費米能
EF(約為室溫下每原子熱能的 1000 倍)以下的所有量子態。在溫度T下,電子可以
多獲得的熱能形式的能量約為kBT,僅是費米能的很小比例。只有那些能量比費
米能小約kBT的電子,可以移動到較高能量的空態,並在原處遺留下空態,也就
是「電洞」。由於費米能是熱能的一千倍,也就是電子比熱約為來自聲子的千分
之一,因此,我們可以下個結論:在室溫下電子比熱僅佔總比熱的很小部分,加
熱晶體的大部分能量都跑到聲子去了,若是金屬,只有很少部分跑到傳導電子
上。對於絕緣體或半導體,因為沒有自由電子或稀少到可忽略,差不多所有能量
都給聲子。
三、平均自由程
回到第一點所說的導熱棒,熱形式的能量會很穩定的自熱端流向冷端,用電子、
電洞及聲子來說明的話,便是由於這些量子都是含有熱能的實體,所以一定在棒
子內部承擔了熱傳導的角色。熱傳導的重要媒介便是聲子,聲子在材料中以聲波
的速率朝各方向運動;聲子的密度,也就是每單位體積內的聲子數目,會逐漸由
熱端朝向冷端遞減。
聲子自熱端移動了一段距離後會碰撞其它聲子,但聲子在碰撞前移動的距離都不
一樣,取平均值的距離便是「平均自由程」。同時,另一端也會發生相反方向的
熱流,因為聲子是往四面八方運動的,而能量的淨流就是這兩相反方向的聲子流
量的差。
金屬內的電子與電洞也會碰撞到聲子,在合金中也會碰撞到合金原子,因此也有
平均自由程。
四、熱導率
我們都知道金屬的熱導率大於絕緣體,在第三點便提到熱的傳播可由聲子、電洞
及電子,金屬具自由電子,絕緣體則沒有,這裡可分別探討。
01.絕緣體
假設熱流的方向是自左而右,意即溫度也是自左向右下降,如下圖。在導熱棒上
取三個橫切面 A、B、C,它們有相同的面積 S 平方公分,彼此的距離為平均自
由程 l(單位為公分)。
再假設A、B、C的溫度分別為T
1
、T、T
2
。基於熱流方向,我們知道T
高於T而T
高於T
2
,在A處的聲子溫度為T1,熱能為每立方公分E(T
)。
平均而言,有二分之一的聲子可向右到達B,在B截面每秒像右流過的熱量為:
1/2[E(T
1
1
)]×面積S×聲子的速率s。聲子的速率和聲音的速率一樣,在大多數的固體
中為每秒數千公尺。另外在B截面上亦有向左的聲子,這些聲子是來自C截面,
熱能每立方公分E(T
2
),每秒向左的熱能為:1/2[E(T
向右的淨熱能記為QL,為上面兩式的差,等於(1/2)[ E(T
2
1
)]×面積S×聲子的速率s。每秒
1
)-E(T
)]Ss。由上可看出
淨熱能包含了[ E(T
1
)-E(T
2
)]這因式,為溫度T
1
與T
2
2
的每立方公分熱能的差異。這
個差值除以溫度差即為材料的比熱CL,因此,QL=(1/2) CL(T
)Ss。
又QL=QL(2l/2l)亦即:QL=(1/2) CL[(T
1
-T
2
1
-T
)/ 2l ]Ss×(2l)。由於導熱棒的溫度在距離
2l內自T
)/ 2l這個變化率,則R稱沿著導熱棒的溫度「梯
度」(gradient)。所以每秒沿著導熱棒傳送的熱能可簡化為:QL=sCL l SR。到目前
為止,都只考慮聲子的向左或向右,但事實上聲子是朝各方向運動的。把這個考
慮進去就必須修正為:QL=(1/3)sCL l SR。可寫成QL=KLSR,此時KL代表
(1/3)sCL l。KL純粹是材料的一種性質,受來自聲子的比熱CL所影響,而聲子的速
率為s,平均自由程為l。而KL下標L表示熱是被晶格的振動所攜帶,亦即由聲子
所攜帶,KL便稱為材料的「晶格熱導率」。晶格熱導率愈大,材料的熱傳導性也
愈好。而由上面的公式可看出熱導率其實就是每秒通過邊長 1 公分的立方體兩相
對表面的熱能,兩相對面的溫差為 1°C。
02.金屬
絕緣體和半導體的熱能幾乎全包含於聲子之中。但金屬的熱能不只包含於聲子
中。因為溫度之故,它也含在費米面附近成對的電子-電洞中。因此,金屬的熱
流來自聲子,也來自電子-電洞。電子及電洞的導熱方法和聲子一模一樣,所以
可用上述聲子的熱傳導率的公式,電子的熱導率KE對應成(1/3)CEVF l E,其中VF
1
下降至T2,用R代表(T
1
-T
2
為費米速度。所以,電子與電洞每秒所攜帶的熱能為QE=KESR。又總能量Q=QE
+QL。不管是聲子的熱傳導率還是電子、電洞的熱導率,都是受粒子的比熱、速
率、以及平均自由程的乘積所決定的。
要估計電子及聲子所分攤的熱傳導相對大小,先從平均自由程著手。電子與電洞
會先與聲子碰撞,然後再碰撞到其它電子或電洞,聲子最可能碰到的也是其它聲
子,因此所有的電子及聲子的平均自由程都會趨向一樣。再來看比熱和速度,雖
然電子比熱小於晶格比熱,但費米速度卻遠大於材料中的聲速,所以來自電子與
電洞的熱傳導和聲子的差不多,甚至更大。
參●結論
熱傳導的載體為聲子、電子及電洞,而要去探討這些便會牽涉到粒子的比熱及平
均自由程。鑽石(絕緣體)和金屬的每原子比熱差別在比 3kB大或小,金屬之所以
超過,是因為金屬中有傳導電子,它能接受熱能,並且移動到附近還沒被佔據的
量子態,因而增加了比熱。接著,我探討了平均自由程,因電子、電洞和聲子都
是先碰撞聲子再進行另一碰撞,所以平均自由程都趨向一樣。最後推導了熱導率
的公式,並藉此探討金屬和絕緣體導熱速度快慢之原因,即是因金屬除了聲子的
傳導,還加上自由電子。這樣便大致完整探討熱固體傳導了。不過熱的另兩種傳
導方式的模式呢?對流也是藉由物質攜帶能量,只是有別於固體傳導之物質不
2
動,那情況會怎樣?而輻射呢?這些都是我未來可深入探討了解的地方。
肆●引註資料
註一、<<凝體 Everywhere>>p.165.166。錢卓斯卡(B.B.Chandrasekhar)著。天下。2000
註二、<<凝體 Everywhere>>p.193。錢卓斯卡(B.B.Chandrasekhar)著。天下。2000
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