泊松方程和微分形式的麦氏方程一样，只适用于均匀介质内部，不适用于两种介质的分界面。 静电场的标势及其微分方程

泊松方程和微分形式的麦氏方程一样，只适用于均匀介质内部，不适用于两种介质的分界面。

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第一节             静电场的标势及其微分方程

一.静电场的标势

在电荷静止的情况下：，

                       （此处为）。

即电场与磁场无关。求解电场不必考虑麦氏方程组中的另两个方程。上面这两个方程连同介质的电磁性质方程，是求解静电场的基础。

第一式表示静电场的无旋性；第二式表示表示自由电荷分布是电位移矢量的源。

由矢量微分知，一个无旋场必可表示为某个标量场的梯度：

              0。

标量函数称为静电场的标势，有时简称静电势。电势单位为伏特。，负式表示的方向与电势梯度的方向相反，即指向电势减小得最快的方向。由梯度的定义知，由有向线元连接的两空间点间电势差：。

而任意两点、间的电势差： 。

积分与路径无关，因无旋性的积分表示是：。

因而：       。

即：             。         

（   多么类似于热力学中的    ）

由于是把单位正电荷从移至时电场力做的功，因而：，是把单位正电荷从移至时外力克服电场力的功或电场力做功的负值。

只有两点间的电势差才有物理意义，而某一点处电势的绝对数值并没有什么实际意义——电势的零点可以任意选取。在电荷分布于有限区域内的情况下，常选无穷远点为电势零点：

（对无穷大平行板电容器不能这样选）

于是空间中任一点p处电势：，

下面先考虑点电荷激发的电势，然后再考虑任意电荷分布在空间中产生的电势。由点电荷Q产生的场强公式（以Q 为原点）：，把沿径向（即方向）积分至，为避免积分变量与积分限的混淆，把积分变量改为，

，

由于静电场具有叠加性，因而电势也具有叠加性。多个点电荷激发的电势等于每个点电荷单独存在时激发的电势的代数和。

设有一组点电荷1，2，3…n)，它们与场点的距离分别为1，2，3…n），则这组点电荷在p点激发的电势：

对一连续电荷分布，若以表源点坐标，表场点坐标，为点指向点的矢量，则点处电势：

  （真空中）

如果已知空间中电荷分布，就可求出电势分布，从而求出场强。但是在实际问题中，电荷分布并不是预先给定而要由场与电荷、介质、导体的相互作用决定。例如，当一个固定的电荷附近放一导体，导体表面上要产生感应电荷分布，其分布情况不是预先给定的。我们上面所得公式只反映了电荷激发场这一方面，而未反映场对电荷的作用。实际上，关于静电场的两个方程，我们只用了一个，而另一个方程及介质的电磁性质方程也应与上式联立起来考虑。这样就能把场与电荷的相互作用一并考虑。

二.静电势的微分方程和边值关系

在均匀、各向同性的介质中，场强较弱时，有：，把此式及代入中，得到：，其中为自由电荷密度。这是静电势满足的基本微分方程。再加上边界条件，就可以确定。

但是泊松方程和微分形式的麦氏方程一样，只适用于均匀介质内部，不适用于两种介质的分界面。在分界面上应代之以边值关系。

由，有限，分界面两侧点的距离趋于零，因而，，它与    []是一致的

由另一边值关系：，得： ，

 即   

式中为由介质1指向介质2的界面的法线方向单位向量,为界面上的自由电荷的面密度.总之,静电势的边值关系是:

以上是边值关系的一般形式。当电场中存在导体时,由于导体的特殊性质,导体表面处的边值关系应有特殊形式。由于导体内有自由电子，因而在静电场情况下,导体内部场强必为零。而且,导体表面处电场不能有切向分量,否则自由电子将运动,不能静止。导体内部没有电场的必要条件是：导体内部不带电,电荷只能分布在表面上。,因而在静电场情况下,导体的边界条件归结为：

①导体内部不带电,电荷只能分布在导体表面上；

②导体内部电场为零；

③导体表面处电场必须沿法线方向,因而,导体表面为等势面,整个导体的电势相等。

由此,导体表面处的边界条件为:

，

   (指导体外接近导体面的介质中的)。

静电场的基本问题是求静电势，它在每个均匀区域中满足泊松方程，在分界面上满足边值关系，在所研究的边界上满足边界条件。

三.静电场的能量

第一章已经导出，在均匀、各向同性的介质中，场强较弱时，电场的能量密度：。因而，电场的总能量，对场变量积分，积分区域为全空间。

在静电情况下，，。

所以，

第二项中各项数量级为  ，，

所以，当时     ，

因此                  。

积分范围是 的所有区域。但表示的并不是的区域中的电场能量，而是全空间的静电场能量。因此，不能把看成静电场的能量密度。

当全空间充满均匀、各向同性介质，且场强不太强时，

由       ，

。

得         （）。

上面三个电场能量公式。后面两个，只适用于静电场。而在非静电场情况下仍然表示电场（不包括磁场）能量。

在静电场情况下，之所以能通过电荷分布来表示电场能，是因为，电场分布完全取决于电荷分布。在非静电场情况下，电场、磁场可以互相激发，有独立于电荷分布之外的电磁波，因而，不能由电荷、电流分布表示。

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