dirac01 厄米算符 算符的共轭算符相当于力学变量的共轭复数

为什么量子力学中力学量要用厄米算符表示
黄亦斌
(江西师范大学物理与通信电子学院,江西南昌 330022))
摘要:立足于量子力学的数学表述,详细讨论了厄米算符的4个性质:线性,本征态的完备性,本征态的正交性和本征值的实数性.对于每个性质都给出了正面和反面的讨论,从而揭示了它们各自所代表的意义.
关键词:完备性;正交性;正规算符;厄米算符
中图分类号:O413.1   文献标识码:A   文章编号:100020712(2008)0420001206
  量子力学中的力学量都是用厄米算符表示的.为什么要这样?本文试对其作一些分析.作为分析的起点,应首先承认如下两个假定做为前提.
假定1 承认“先有态矢,后有算符”[1]的观点,
即首先认为:粒子的状态用复Hilbert空间中的矢量
|ψ〉来描述.|ψ〉和α|ψ〉(α为复数)表示同一状态,可要求态矢归一化:
〈ψ|ψ〉=1
(1)
其物理意义是所有可能的测量结果的概率为1.
假定2 对于算符部分,承认:在系统的某态下测量某力学量就是把该态矢用力学量算符的本征态
(或本征子空间)展开,或者说就是把态矢投影到各本征子空间;力学量的单次测量值就是此力学量算符的某个本征值,而系统的态也同时“塌缩”到相应的本征子空间.
基于此,才能考虑可观测量(力学量)的可能表示方法.为简单起见,这里只考虑有限维Hilbert空间.从线性代数的观点看,厄米算符满足如下4个特征:1)线性;2)本征态的完备性;3)本征态的正交性(不是指本征态一定正交,而是指存在一组正交的本征态;分析简并情况可知应取后者);4)本征值的实数性.我们将一一考察每个特征所代表的意义.
1 本征值的实数性
这是大家最熟悉的一点,也是一般最为强调的一点.但其实这是对力学量算符的所有要求中最弱的一个要求[2].
Dirac是这样阐述这个要求的[3].首先根据算符
等式(A+)+=A和复数等式(α3)3=α的相似性,
假定算符的共轭算符相当于力学变量的共轭复数.
然后引入自共轭算符,认为它相当于实的力学变量,称为实算符.又指出任意算符可分开为实部和虚部.在可观测量部分,Dirac阐述了实数性要求:1)物理上的测量结果总是实数;2)如果测量值是复数,那么就相当于两个实数,就意味着同时做两种测量.但这两种测量所对应的算符不一定对易.故力学量算符只能取为实算符(即厄米算符).
这样的说法有一点问题,即没有足够的理由来反对力学变量可以是复的.Dirac自己也承认同时观察实部和虚部在经典物理中没有问题.Dirac所担心的事情只要限制实部和虚部所对应的算符可对易即可避免.实际上,存在更广泛的—类算符,它们具有跟厄米算符几乎相同的性质,除了本征值不一定为实数这一点.这就是正规(normal)算符(详见下文).其实部和虚部(借用Dirac的语言)的算符是厄米的,且可对易.
这样看来,本征值为实数的要求与其说是必然的,不如说是方便的.可以承认力学量算符是正规算符.但既然进行一次正规算符测量就是同时进行两个可对易的厄米算符测量,那么为理论简洁起见,干脆只把厄米算符作为力学量算符即可.这样做并不丧失一般性.
2 本征态的正交性
为什么需要本征态正交呢?我们知道,一个态