<數學人系列講座> 幾何、數論與物理上的黎曼靈感 (蔡宜洵)
频谱分析是可能证明黎曼猜想的途径;复数放在“复球面”上 ...
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5 Year 1 Months Ago
講者：蔡宜洵(台大數學系)
時間：2002/12/16
紀錄：黃朝章
校稿：黃籃萱
時間：2002/12/16
紀錄：黃朝章
校稿：黃籃萱
準備這個演講確實跟準備所有其他演講都不一樣，真的是很花時間。最主要就是要選擇一個題材，怎麼樣選擇一個題材，會讓大學部的學生可能會有一點收穫，這個確實是一件很困難的一件事情，我嘗試這樣做，我不知道能不能做得成功。在座既然上課上了一天，很辛苦、很累了，坐在這邊聽演講總希望有一點收穫，我期望今天這個演講，也許沒有辦法百分之百讓你覺得滿意，可是至少有一部份會讓你覺得是以前沒有聽到過的。因為我這個本來打算是用一個小時來演講，可是我後來準備的結果，好像一個小時講不完，但是我既然已經寫了，我的態度就是說我非把它講完不可，所以可能會超過一個小時，可以嗎？
因為這個是演講，並不是上課，所以我的速度可能會有一點點快，你如果不習慣的話，那這也是一種訓練。有時候我會勸告我的同學，你不一定是要跟著頭腦走，頭腦比較慢，你跟著感覺走；如果你的感覺也感覺不到的話，就自己想像一下，類比想像；如果想像跟類比也失效了，那我告訴你還有一個辦法，你就好像學新的知識一樣，有一些新的數學名詞你可能就把它記下來，我覺得這是一個辦法，你至少知道有這些名詞，如果以後遇到的話，大概再回想一下，就像我們小時候背一些唐詩宋詞，可能不知道它的意義，可是後來慢慢的就會懂，所以我覺得這是一個辦法，因為裡頭有一些名詞，如果你不在這種演講場合，可能就不會聽得到或接觸得到。
有一次，陳省身在一個非常正式的演講裡頭，我不知道講題是不是他自己選的，還是被指定的，不過我想大概沒有人敢給陳省身指定題目，題目就是微分幾何與廣義相對論。因為觀眾都是很有名的數學家或物理學家，陳省身說他今天作了一個演講，裡面有一半的內容是他完全不懂的東西。我今天弄了一個這麼大的題目，是我自己找的。我的情況，說實在不比他好到哪裡去，所以大概三分之二是我不懂的東西，不過因為是對大學部的學生演講，所以就趕鴨子上架，反正不管怎麼樣我就是要拿出一些東西給你看，讓你學一點東西。
這裡有一些黎曼的個人資料，他是1826年出生，1866年去世。他在1853年12月提出去的Habilitationsschrif，這是個德國字。Habilitationsschrift字典上查不到，我問了一些從德國來的Speaker他們說是一種資格考試，你要當學校老師的話，你必須要經過一種口試的鑑定。黎曼將Habilitationsschrift提交給當時的哥廷根大學，時間是在1853年12月，差不多是150年前。 Habilitationsrortrag是Habilitationsschrift提交給學校出去之後，正式地在隔年的六月十號作一個演講，那個演講就是「論幾何基礎的假設」。這個場合，我們可以說是黎曼幾何誕生。
在還沒有談黎曼數學還有它跟近代數學的關係之前，有寫科普的一個數學家Osserman，他是一個作微分幾何極小曲面，為了讓一般大眾了解數學家的貢獻，讓大家理解這些數學家相互的這些關係，他對黎曼就做了一個特別的對比。數學跟音樂，把高斯比喻作貝多芬的話，那黎曼就是布拉姆斯，他們之間的垂直關係也很像，黎曼師承高斯，就像布拉姆斯，也許不完全師承貝多芬，不過受貝多芬影響很大。如果看他們的出生時間也差不多，高斯(1777年出生)比貝多芬(1770年出生)年輕七歲，反過來那個黎曼就是比布拉姆斯 (1833年出生)老了七歲。我還沒講完，你如果是好事之徒，再去算他們年齡總合的話，他們的年齡總和真的差不多。黎曼很早死，40歲就死了，那另外一邊的音樂家活比較久，不過加起來正負不差五歲，你可以去查。
接下來我的演講主題分為四個部分。
1. 模空間與量子物理 2. 向量叢與規範場 3. 代數幾何與KdV方程 4. 代數幾何與編碼學
我們先談一些預備的知識。二維裡頭封閉曲面有幾種？有一個特別的名詞叫genus，如果要翻譯的話，就把它翻譯成虧格數。球面是genus=0；torus長的像輪胎面的形狀有一個洞，genus=1；另外higher genus有大於1個洞，也就是genus≧2，所有擺在R3裡頭可定向的封閉曲面，都是這幾類，就是由它的洞來區分。
我們來看第一個部分，模空間跟量子物理。模空間這個觀念，據我所知第一個提出來的還真的是黎曼。他一手創造黎曼面(Riemann surface)，然後一直走到甚至模空間這個地步，量子物邊跟模空間的物理部分最好的解釋，恐怕就是費因曼的機率的做法。我用一個簡單的例子來比對，因為等一下模空間在第二部分還要出現，所以你大概知道模空間的一個感覺就可以了。
 ，我們看在複數上有兩個三次方程式 ， ，a,b,c,λ這些是參數，C跟Cλ是這些方程式的解集合，雖然這兩個方程式稍微看起來是不一樣，但是C跟Cλ可以一一對應起來。為什麼？很簡單，你只要作一點代換就可以了， 。
之前那個有a、b、c的方程式太複雜了，做了這樣的對應，我們就可以只看
 這個方程式就好。這個方程式它有一個λ，其它的0跟1固定的。對這個λ，你還可以再做變換 使得 。同理， 。我們有沒有一種規則可循，什麼樣子的可以變過去？什麼樣子的變不過去？是不是所有的都可以變來變去？那我們也不用這麼多λ，一個就好，乾脆就變換成0、1、2。可是現在問題並不是這麼簡單，答案在這裡，一個函數有理函數 是不變量。現在有一個定理 。所以剛剛的λ跟 ，如果帶進去j函數的話，答案是一樣的；λ跟1-λ帶進去的話呢，也是一樣的，這是充分必要條件。這個時候就引出了一個moduli的觀念，並不是所有的λ都一樣，有的變得變過去，有的變不過去。我們這裡就把λ叫做模參數(moduli parameter)。剛剛我們有看到λ還是有一些離散的情形，就是說λ跟 對應，λ跟1-λ對應，類似離散的對應，所以我們為了方便起見，就假裝整個λ至少大部分來講是不一樣的。用一些參數來描述所有的可能性，你所有興趣的結構的那種參數，有一種習慣，就是把它叫做moduli parameter。這是moduli的觀念，我這邊的moduli講得比較清楚一點點，等一下的moduli就講得很不清楚，就要用想像、類比把它對比過去。
我們現在來看這個圖形，我們可以畫一下這個函數圖形，
 是解集合。可是我們現在是比較複雜一點，x軸和y軸都是複數，因為複數一維是實數二維，所以實際上剛剛那個解集合 。要是學黎曼面的話，你就可以看到剛剛那個情形，它的長相在C×C裡頭，我這個還不太精確，因為要加入一個無窮遠點，如果適當的加入無窮遠點以後，剛剛那些圖形看起來都是有一個洞，不管你選那一個λ，基本上都有個洞，我是指好的情形就是不等於0、1的時候， 。所以這個moduli的意思就更明顯了，就是說所有的 這樣子都是torus，可是就還是有的彼此可以變數變換，一個對到一個；有的彼此就不能變換，所以還是有不一樣的地方。當然從拓樸來講就沒有moduli，拓樸上看起來大家幾乎都一樣。
這樣一個事情跟這個物理會有什麼關係？我們有一個free particle、質量、速度、動能，我們要了解free particle在時空裡頭怎麼走？軌跡是什麼？很簡單，用一點點牛頓定律就曉得它的軌跡是直線運動，可是現在我們用另外一個想法來想它，就是所謂的最小作用原理，Hamilton的最小作用量原理(minimum affect principle)，重新來看這麼簡單free particle的情形。簡單地講我們如果把它的動能積分起來，你把所有可能的路徑的動能積分起來，最小作用原理就是說你要找到一個適當的量，使得你走的路徑是讓那個量為最小值。Free particle的軌跡使得動能加起來最小，
 ，其中φ是位置函數，求出minI[φ]得到的差不多就是直線了。這個理論可以推廣到很一般的情形。
我們現在直接推廣，有一個新的物理理論，叫做弦論(string theory)，這是一個非常複雜的理論。如果直接推廣，原來是0維的free particle，直接推廣到一維的弦。二維的推廣變成黎曼面，一個二維曲面。我們把弦嵌入(embed)時空裡頭，同樣地，把黎曼面嵌入某一個很大的時空裡頭。弦論要考慮這樣子的嵌入，我們現在只告訴你有這樣的一個理論在考慮事情，為什麼我們也不知道，因為現在也沒有人說弦論是對的，所以目前還是停留在數學的階段，你問物理學家他也不知道，他就說我們就這樣想想看吧！如果想對了運氣好，想錯了反正現在也沒有人證明它錯。
同樣地，我們也可以直接把剛剛那個action推廣，剛剛的類比是把動能
 的微分變成▽，dt變成二維的話就把它面積加起來，所以有一個這樣的action， ，S是原來的黎曼面。這些都是古典力學，在量子的情況是怎樣？用最簡單圖畫式的寫法，古典力學就是一個微分方程求解φ0。量子力學則說，我們不能夠就去求一個解，所有可能的路徑都可能會有影響，有一個機率的可能性在那邊，量子力學就是這樣，大家都有聽過，就是感覺最荒唐的一種想法，就是說所有可能性都會發生，只是你選的那條古典的路徑機率最大。
所以弦論就很自然地考慮所有的嵌入。要考慮所有可能性，考慮完了之後，還有一個很重要的對稱性，如果沒有這個對稱性那就跟黎曼面就扯不上關係了。這個對稱性很容易算，這個對稱性叫做保角對稱(conformal symmetry)，就是你把它的幾何尺度，作一個漲縮度χ，
 ，因此會互相消掉使得action一樣，這個很容易，直接算就知道。這個漲縮是一種保角的一個行為，長度是同時漲縮，但是它夾角維持不變。
所以我們回到genus=1的情形。現在有一個問題是說前面的所有可能的幾何形狀，扣掉兩個保角等價，這是物理上要考慮的，物理上的那個對稱性就是說你兩個x跟x'果差一個χ的話，你得到的量是一樣的。所以為了要找出一個比較好的、比較有意義的、真實的、degree of 1的自由度，你真正的空間，那些多餘的、重複的只能夠算一個，所以你要把所有可能的形狀扣掉保角，那是什麼東西？所以第一部分的重點就是這一句話，
 ，m 是用來表示moduli，它是一個moduli理論的基本定理，就像是moduli理論的畢氏定理，所以等一下我們還會遇到這樣的定理。看起來是不一樣的對應，看起來來源不一樣，但是整個來講你可以這樣子想，數學上就是在考慮所有可能的結構，物理上因為量子力學的關係，所以它也變成要考慮所有可能的結構，因為所有可能都是一個機率，變成一個因子在那裡，那大家說所有可能，就會撞在一起。所以這個就是模空間的觀念，這一段的模空間，我比較容易解釋，其他幾何量的moduli就比較難解釋，所以接下來我遇到的moudli就用類比的方式，讓你感覺到確實也應該會有一個moduli這樣的一個觀念。
我們看第二部分，向量叢跟規範場。主要的人之一，向量叢的部分，數學上的向量叢部分是陳省身，規範場的部分當然就是楊振寧，兩個華人。我們來看一下向量叢(vector bundle)，這裡有幾個例子，一個是切叢(tangent bundle)，另外一個簡單的例子就是法叢(normal bundle)，切叢就是你把所有的切平面或者是切空間所形成的，我這邊說的不是很精確，但是大致上是這樣，你把它弄得很精確是有一點點的麻煩，但是它基本上它最主要的結構就是由整個的切平面一個一個把它組成的，切就代表切平面，叢是代表一堆，每一點的切平面全部合起來，叫做切叢。法叢也是一樣的意義，每一點找它的法向量，每一點合起來就會形成切叢。這是兩個大家很容易感覺的到的幾何直觀。
物理上是我們怎麼解釋，下面是我自己的解釋，就是我們學過電場、磁場或者是重力場等等，這個也應該導致向量叢。這個場的觀念，如果我沒記錯的話，應該是 Faraday發明的，Faraday是19世紀的實驗物理學家。場的觀念就是說你整個宇宙每一點有一個什麼東西在那裡，看那裡面的電場，電場是一個向量，就是說那邊有一個向量空間，它就是在某一個向量空間裡頭，只是你沒有去定義它而已，所以電場它既然是向量的話，在每一點有一個場，那就表示那一點，那個電場在那一點，它在一個向量叢，所以也就是說你每一點其實有一個向量空間。如果是電生成的，那個可能是叫電向量空間，磁場生成的叫磁向量空間，總之是一個向量空間，重力場就是重力向量空間，就是會形成一個向量叢，就跟剛剛很像，剛剛的切叢跟法叢也是這樣，就是說每一點你不管怎樣都有一個向量空間在那裡，你先不管向量空間是怎麼來，有的是tangent的方式來的，有的是normal的方式來的，無論如何，它就是一個向量，叫做V。
如果我們把它推廣的話，這個剛剛那個向量空間V，它可以有兩種情形，它可以是實數，或者是複數，這個複數當然比較不是那麼容易感覺，但是反正你要是談向量空間，就可以這樣分類，實向量空間或者是複向量空間。如果是
 時候，我們就把它叫做複線叢(complex line bundle)，這個名字可能翻譯的不是很好，線就表示是line的意思，因為是複數一維的向量空間的叢，所以向量叢大概是這樣子的一個感覺，我不知道你有沒有感覺得到，你如果沒有感覺得到，就把它全部想成是切叢好了，每一點的向量空間都是tangent來的，這個就是黎曼幾何，黎曼幾何把切的部分變成向量叢就變成微分幾何，就是陳省身他們再發展出來的，大致上是這樣。如果把這個前面的moduli這個想法推廣，也不能說是推廣，就是說有一個類比，你剛剛那邊討論的向量叢，在適當的條件之下也可以討論它的moduli，向量叢它的拓樸可能是一樣，但是它就是有某一些結構不一樣，會有這樣的一個 moduli，就剛剛我們講genus=1的情形，大家都是torus，拓樸上來講都一樣，可是就是有某種結構它不一樣形成moduli，所以向量叢也是會形成一個moduli。下面這個例子就是給你一個名詞，這樣你至少知道有一個很有名的名詞， 是genus=1的黎曼面，所有的複線叢(on S)的moduli ，Picard variety of S。大家要記住，因為等一下我們還會用到它。
所以這個是數學的部分，跟物理會有什麼關係？它的來源不是很意外，我們如果可以有一個很粗略的等號，就是向量叢幾何等於是一個規範場的古典場論。如果有一個電場我們要去解電位能Φ，它是一個純量函數，這裡頭重要的是這個解不是唯一，位能會差一個常數，看你要定哪邊為0，所以位能它有個位階，你根本不知道怎麼選，它相差一個平移變換，這個是比較簡單的一個情形，但是如果要對磁場B作同樣的事情，會如何？也是會產生這種效應出來，只是說這個時候你解不是純量，會變成要解向量位能(vector potential)，這是一個向量函數
 這個方程式它的重點也是說它沒有唯一解。所以這邊我要說這個事情，就畫兩塊 ，可能在 這一塊有一個解，在 這裡又有另外一個解，個別把它解出來 ， ，可是問題是在 上 ，你沒有辦法避免這種現象，這個看起來可能有一點抽象，我們用一個簡單的類比來說這個是很容易發生的，這個類比當然不完全正確，不過我們就姑且這樣想像一下，角函數就有這種性質，從x軸量過去θ，你剛開始量的時候是0，可是你量一圈回來就又回到2π，在0跟2π的地方就是量不好，你可以說我量上半圈或只看下半圈，那很清楚，可是你要看一整圈，這個θ回來時，就不知道要叫0還是要叫2π，可是2π跟0又不一樣，就產生了不連續的現象。剛剛這些差一個平移變換，你如果是磁場的情形，它相差一個變換，我們就把它取做規範變換(gauge transformation)，兩個不同的解 之間的關係有一個規範變換來顯示，其實是一個gradient某個東西的函數，很容易可以寫下來，不過我們不去寫它。兩個解集不唯一的時候，至少在電磁學的情況下相差一個規範變換，這個是19世紀的電磁學一開始要解方程式時就有的一個現象，所以你做這些事情有一個規範對稱(gauge symmetry)在那裡，就跟剛剛前面的保角對稱一樣，只不過我們剛剛的保角對稱較好寫，χ寫下去就消掉，我們這邊可能也不是太難寫，可是我沒有花時間去寫下來。
所以你類比的結果就是所有的A，要看量子化之後如何？大致上是這樣，是在適當的條件下考慮
 ，我這邊都沒寫清楚，所有的A是什麼？當然這邊會有一個向量叢，它的拓樸數是固定，在它的拓樸數是固定的情況下，考慮所有可能的向量位能 A。拓樸數固定就表示那個磁場某一個量是固定的，就是磁通量是固定的，而且是某一個整數，如果在磁通量是固定的情形下，考慮所有可能的磁通量，也跟著考慮所有可能的A去解決那個磁通量，這樣再把它扣掉那些對稱性，聽起來很複雜，不過細節不是那麼的重要，你就是就憑感覺走，頭腦不用太好，脊椎發達一點就好。所以所有可能的 ，扣掉規範對稱後，結果是什麼？答案就是所有向量叢所形成的moduli，剛剛那個向量叢是純粹數學去操作解方程式，這個是一個微分方程的操作，結果這兩個在適當的條件之下，一對一對等，第一個部分是量子化需要的，因為它必須要在這上面作事情，所以數學的moduli又跑進去了。
接著，第三部份要把前兩部分再連起來。討論KdV方程。KdV方程是什麼呢？19世紀發現的一個偏微分方程式，它不是一個不是百分之百精確，但是在某一些簡單的物理條件下它是用來逼近水波物理的一個方程式，它寫起來就是這麼複雜，u=u( x , t )，
 ， 是一個非線性項，這個方程式很難解，在上個世紀60年代有一個突破，到70年代發生的事情是我們的主題。在60年代產生的突破最主要就是說，大家發現這個方程式可以解，所以大家就可以了解更多的事情。到70年代，就有一件事情有點驚人或至少很有意思的事情，黎曼面也可以跑進來了，所以我們下面的部份就是在講黎曼面的數學跟前面KdV的關係是什麼，我這邊下面講的差不多就是結論而已，我沒有辦法解釋為什麼會這樣子，當初我第一次聽到的時候也會想怎麼會這樣子？這世界發生了什麼事情？所以有一個黎曼面，考慮它上面的複線叢，我們剛剛講過叫Pic(S)，這個Pic(S)是什麼？有一個這樣的問題，它像什麼？它不是一個彎曲空間，它像是平坦的空間，我現在把它很簡單的寫一下 ，R是實數， 是格子點， ，g是genus的意思。所以這個基本上看起來是像R，除了格子點重複的，兩個點差一個格子點要看成是一樣的，整個合起來就是一個平的東西，這邊要寫一個就是線性動力(linear dynamics)，這個名詞是我自己發明的，可能不太好，你看它的是直線運動，在上面的直線走來走去，linear dynamics on Pic(S)。結論就是：(在適當的條件下){(廣義的)KdV動力學}  [Pic(S)上的線性動力學]。這是什麼意思？就是說剛剛描寫黎曼面線叢的歐基里德幾何的直線方程式，這是一個很複雜的moduli，描寫moduli space上面的直線方程式剛好就是KdV方程式。這是一個發現，所以不是用頭腦想出來的，這是用感覺或是其他不知道怎麼回事弄出來的。前三個部分就是幾何跟物理的部份，就到這邊結束。
我們現在看第四部分，電腦科學裡頭編碼學(coding theorem)跟黎曼面的關係。我其實對編碼學不是很了解，所以我就不談編碼學，只是藉著它來談黎曼面上的數學，我們藉著編碼學上面一些很簡單的問題，發現就是黎曼面上面所有高深的數學，注意啊，我講所有的，這句話不是誇張，幾乎是所有的數學可以用來作編碼學上面的一些問題。Coding就是編碼，F是有限體，可以把F想成是一些字母，譬如你可能只有五個字母abcde，我們所有人的名字都比如用abcde來寫，或是所有的英文字都只能用abcde五個字母來拼，這個就是F某一個有限集合。編碼的意思就是你有另外一個集合，你要去編的，像譬如說我們教室有這麼多人，這個集合叫做C，每一個人要重新取名字，你只能用abcde五個字母去編號，所以這邊有k次方，這只是一個近似，假如說原來有限體的個數是q，要編碼的集合大小就是q^k，k叫做C的維度 (dimension)。譬如字母是五個字母，這邊有25個人就寫成52。編碼就是說每一個人要給他一個名字，所以這邊就只能用abcde去挑，給他一個指定。
但是鑑別率的問題也跟著產生。我們兩個人的名字可能不一樣，但只差一個字，可是萬一有一點點小誤差怎麼辦？兩個人就同名同姓了。所以在編碼的時候，第一，不同人的名字一定要不同，一定至少有一個位置要不一樣；第二個，希望不一樣的地方越來越多越好，這樣就有很大的鑑別率，鑑別率在編碼學裡頭叫做距離(distance)，
 ，所以你可以有一個最簡單編法，原來是k次方， ，就把它全部排在前面使得後面全部是0，就等於前面那一塊就是F的k次方，完全一一對應，雖然這是最簡單的編法，但是鑑別率最差。這種編法是一對一，絕對沒有問題，可是問題是dc=1，鑑別率至少要是1，鑑別率是0的話就是不是one to one，因為如果你要one to one就一定要有一個地方不一樣。可是那種最簡單的編法，它的鑑別率就剛好是一而已，所以在某種意義上它是最差的鑑別率。譬如說有一個字是 (0,0,0,0,0,…)，然後還會有一個字是(1,0,0,0,0,…)，第一個位置是1，後面都是0，如果不小心把第一個位置抄成是0的話，兩個人就重複了，所以這個是最差的鑑別率。
我們現在用比較新一點的、稍微有一點點技巧的，剛剛那個真的一點數學都沒有，我們現在至少有一點點常識的做法。我們還是看一個向量空間C:={多項式,degree≦k,常數項=0}，dimC=k，係數是必須要是有限體，我們現在把F當成是有限體，在這個集合裡面取n個點出來 α1,α2,…,αn≠0在F中，然後把這個多項式p(x)→(p(α1),p(α2),…,p(αn))，在這上面取n個值，這是一種對法。重點是C是 k維的東西，取了n個點作取值的映射，就取了n個值出來，所以你只要找n個點取值就好，當然你問取值是什麼意思，所以就利用到F是有限體，我覺得真的第一次看到，它還有一點點用處，所以你應該好好學代數。所以這個最差的情形就是，很不幸前面k-1都是多項式的零根，所以前面都是零，最多只有k-1個，因為有一個根是0。最壞的情形是這樣，最壞的情形過了以後，後面都不等於零了，除非它是零多項式，所以這個鑑別率就跑出來，因為有一塊一定不等於零，所以這個當然我們也不要講說有多好的鑑別率，至少鑑別率就是超過2，所以這邊會有幾個位子，dc=n-(k-1)，n是長度，所以這最小的distance至少這麼多不一樣，所以就是說這兩個加起來有一個等式是dc+k=n+1這邊的目標是希望鑑別率越大越好，
 是鑑別率、 是編碼效率，希望這兩個都越大越好，可是兩個是互相排擠的，就是說希望鑑別率可以很大，我們只要讓長度越長，越多個位子不一樣越好，編碼效率就說不要把n弄得很大，就只有這麼多人，要取適當的n，所以這個是編碼的效率問題，希望這兩個都能夠同時達到，這就是編碼學其中的一個問題。我講的到目前為止都是國中數學，現在你要準備好，接受比較高等的數學。我們剛剛是用多項式來作這件事情。我作一個總結，dc和k加起來是n+1，這是optimal的情況下，兩個加起來只能是≦n+1，這裡說的是linear code的情形，就是說C如果擺進去是線性空間的話，可是我們不管這個問題。再來就是這些n個點(≠0)，但是因為它要在F裡頭，所以很自然的一個條件是不能夠比F還要多，這是很不practical，因此要求n<︱F︱≡q。例如說F是字母，你本來就不希望字母太多，26個英文字母已經太多了，當然你機器很powerful的話就沒關係，可是F通常不應該太多，但是這個字應該要允許它的n很長，要不然很容易被破解。如果像真正的英文字，通常一個英文字不會超過10個字母，不過那樣的話就很容易被破解。所以每一個字的編碼之後還是要稍微長一點，所以n這個限制就一個很大的限制，雖然它有一個很好的 optimal的一個結果，這個是一個很重要的限制。
下面在我們還沒有講之前，你可以想說我們剛剛用多項式來製造這個編碼，那我們現在就要用黎曼面的辦法來作，你可以怎麼想呢？這些話也許是不精確的，不過你可以想成現在是在彎曲空間上面的多項式問題，你以前知道多項式都是在平的幾何，現在是在彎曲空間上，我們能不能夠談多項式數學，這樣你就知道可能可以串聯起來，實際上黎曼面的辦法真的是這樣子，這個複數C就要跟剛剛的有限體Fq類比，我在稍微定義有限體，q=p^ν，P是質數，例如F5的話就是 {0,1,2,3,4}有五個數字，它上面可以加減乘除。我們黎曼面原來一開始是在複數上面，現在是在有限體上面，這是有需要的。所以現在我們這個不是真的黎曼面，我們現在是這個等於是在有限體上的黎曼面，不過如果你不喜歡想成有限體，你就把它整個想成C就是了，C跟有限體這兩個都是體，只是說這裡頭要有一個代換。同樣你也可以有多項式ckx^k+…+c1x，這個是沒有常數項的多項式。這個平面上的多項式，我們就硬把它想成這個多項式是有理函數
 ，p(x)跟q(x)都是多項式，但是滿足下面的條件
(1) 若R(a)=∞，則a=∞；(2)R(0)=0
我們在這裡是∞=+∞=-∞，只有一個無窮大，所以多項式在無窮大取值還是無窮大，無窮大就只有一點。其實在黎曼面上多項式是沒有意義的，因為你可以作變數變換，我們剛開始就是在黎曼面就是作變數變換，多項式根本是假的，在平的空間上才有多項式，有理函數才是真正存在的，所以你要把剛剛的多項式，故意想成有理函數，如果有理函數在一點等於無窮大的話，那點一定是無窮大，所以q(x)就不存在，因為如果是在複數上的話，q(x)會有一個根使得會爆掉，就不符合之前所說的條件。
所以綜合起來，多項式是有理函數加上某些特殊條件，這種條件我們把它叫做zero in pole的條件，黎曼面跟平常的數學不一樣的就是說它有無窮大，相對於零它有無窮大這個叫做極(pole)或奇異點，所以有理函數再加上零還有無窮大的條件，就製造出多項式來，最簡單的想法是這樣，這樣的想法在一般的黎曼面上也對。我們想像一個黎曼面S，不仿想成是genus=1，上面隨便挑一點D固定，扮演無窮遠點的假設，所以我們定義L(kD)={S上的有理函數R,若R(a)= ∞, 則a=D, order(at D)≦k}，這個定義跟之前的定義幾乎一模一樣，那R(0)=0的條件也是需要考慮的，在這裡頭我們為了方便起見，先考慮比較簡單的情形。這個定義在黎曼面上是有意義的，你唯一要問的就是什麼是黎曼面上的有理函數，只有這個不一樣，你如果承認黎曼面上有有理函數的話，那裡頭的敘述跟剛剛全部一樣。現在的問題是L(kD)有多少維？這個顯然很容易看，因為這是一個線性空間，有理函數如果滿足這樣的條件的話，相加起來還是滿足這個條件，因為你次數不會增加，兩個加起來爆掉的次數就是那麼多了，Riemann-Roch定理是算這個維數有多少。剛剛我們平式空間的多項式，次數k的多項式有k維。可是這個在黎曼面上的時候，這個問題就nontrivial了，你要等於是說在這一點上的線性空間的維數，不一定是k維了，因為黎曼面很複雜，但是這是一個線性空間，所以有個Riemann-Roch定理，Riemann又跑出來了，Roch好像是他的學生，Riemann是有一個下界，而Riemann-Roch把這個全部確定算了出來，Riemann-Roch定理這個是150年前的數學了，要用這個來解決現代的20年前的編碼學，Riemann-Roch可以說是黎曼面裡頭的畢氏定理，黎曼面裡頭已經有好幾個畢氏定理了，因為它們都太重要了。
至於零點的情形如何？如果說你在剛剛那個情形，你如果要在一點等於零的話，我們記成L(kD-D′)={R在L(kD)中，且R(D′)=0}，這個是一個符號，就是說剛剛那個空間裡頭有理函數在D′這點等於零，就多了這個條件。所以左邊括號內第一項，就是表示它的無窮大的地方，有k個無窮大，左邊第二項表示它有一個零，你如果寫2的話，就表示這邊要取零，並且零的重數是2。整個類比到剛剛多項式取值的對應，現在這邊也是一樣，一開始你有n個數字，然後取值對應，這個L的函數就在黎曼面上的點D1、D2…Dn取值，，也就是說把普通的多項式變成在黎曼面上的有理函數就對了，然後照樣你原來那邊怎麼想對應過去就怎麼想，當然這裡多的就是說這個維數怎麼控制，就是這裡頭數值的資料要怎麼掌控？掌控就是要用Riemann-Roch定理來操作。我們把答案寫出來，如果直接用Riemann-Roch定理，直接就算出來 dimC+d≧n-g+1，其中g是genus，這個dimC就是k，不過我現在不要再用k了，現在的k會跟剛剛的k會混淆，我現在就把它記為dimC，因為在我們初等多項式的情形下剛好就是k，可是在黎曼面的情況就不見得是k。這是一種類比，就是說維數加上d至少是n-g+1這麼多，所以這有個下界就是我們要的，就是說你在傳送率固定的情況之下，假如我們大家都固定一個傳送率，你的鑑別率至少可以這麼大。通常問題是這樣，固定一個傳送率，來比看誰的編碼技術好，讓鑑別率d可以越大越好，這個辦法就告訴我們，d至少可以達到這麼大。
剛剛最簡單的情形是g=0，我們看到它的答案確實是n+1，你如果記得的話。用Riemann-Roch就可以直接作出來n-g+1，編碼學是80年代才發明。我們兩邊除以n要看它的相對性
 ，剛剛我們有談到n跟q的關係限制，我們剛剛說這個條件是很不好的條件，一個n < q這樣的限制。所以這裡頭有兩個問題，第一個問題， 這個值有多大？你能不能夠管得到它？你管不到它的話，也沒有什麼用。第二個問題是你必須要解除n < q這個限制，是不是這樣一個辦法很自然的會把這個限制給解除掉，這邊就用到更深的數學，這邊的數學就是它所可以製造出來的數學，其實到現在還沒有完全解決。它要用到的數學，是叫做Weil conjecture，這個是Riemann hypothesis在有限體的一部分情形，所以這個很難，我們沒有辦法再談了。第二個用到一個定理Drinfeld-Vladut theorem，我們先把答案寫出來，在適當的條件之下， ，n 可以任意大沒有關係，q是有限體的個數，這是固定的，而且這個等號可以達到，所以最壞也有這麼壞。這個辦法，理論上講起來這是所有的電腦以前的任何辦法都做不到的，這個是最好的下界，就不只是這個等號成立，所有不管你是用其它自己發明的方法，這個估計都配合所有的方法，這用到Weil conjecture。
在結束之前我要補充一些東西，之前我們提到的那些D1、D2、D3…不能亂取，這個地方你如果取的不好的話是不行的，D1、D2、D3…必須是要是有理數，就是說從有限體的角度來講必須要是有理數，就好像是整數點一樣，類似那樣的觀念，你如果是C的話就是有理數點，有理數帶進去才會得到有理數嘛，你如果是超越數帶進去的話，例如π，那是沒有用的，所以這些就是數論問題了，費馬問題提出定義在整數上有幾個有理數點，是不是要把這個n估計出來，你說數論方程式有沒有用？不是每一條曲線都有足夠的有理數點，所以我們就要取好的曲線，讓這個有理數的點夠多，然後又能夠讓它的genus不要太多，因為剛剛會有一個genus，這兩個要互相要平衡，那這個平衡就是剛剛說的就是Weil conjecture來作的這個問題。基本上就是這樣，那我的演講就講到這裡。
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