评述
·42卷(2013 年) 11 期
麦克斯韦妖与信息处理的物理极限*
任何对
于信息的逻辑上不可逆的操作，比如擦除1 比特
(bit)的信息或者合并两条计算路径，一定伴随着
孙昌璞1，† 全海涛2，††
(1 中国工程物理研究院北京计算科学研究中心北京100084)
(2 北京大学物理学院北京100871)
Maxwell's demon and the physical limits on
information processing
SUN Chang-Pu1，† QUAN Hai-Tao2，† †
(1 Beijing Computational Science Research Center，Chinese Academy of
Engineering Physics，Beijing 100084，China)
(2 School of Physics，Peking University，Beijing 100871，China)
摘要文章系统地评述了麦克斯韦妖佯谬相关的热力学基本观念的发端、历史沿
革以及当前正在发展的科学前沿问题。文章作者从以下两个方面详细地阐述了为什么信息处
理过程本质上是一个与麦克斯韦妖观念相“纠缠”的物理过程：(1)信息认知和提取可以辅助
物理系统更有效地做功；(2) 物理定律会对信息处理过程施加一个不可逾越的物理极限。这
些分析与概念的澄清将有助于正确理解计算过程和热力学之间的关系。
关键词麦克斯韦妖，信息处理，热力学熵，兰道尔原理
Abstract We review the origin and historical evolution of the fundamental concepts regarding
Maxwell’s demon as well as the latest developments at the frontiers of scientific research derived
from the paradox. It is demonstrated from two complementary aspects that information processing is a
process that is in essence“entangled”with the concept of Maxwell’s demon: (1)Aphysical system can
work more efficiently by acquiring information, and (2) physical laws impose an ultimate limit on the
energy dissipation during information processing. Our analysis and clarification of these concepts
should promote our understanding of the intrinsic relation between computation processes and the theory
of thermodynamics.
Keywords Maxwell's demon, information processing, thermodynamic entropy, Landauer's
principle
2013－09－16收到
† email：cpsun@csrc.ac.cn
†† email：htquan@pku.edu.cn
DOI：10.7693/wl20131101
* 国家自然科学基金（批准号：11121403，11375012 ）、国家重点基
础研究发展计划（批准号：2012CB922104）资助项目；青年千人计划项目
1 引言
众所周知，热力学的许多原理通常表述为能
量从一种形式转化为另一种形式的不可能性。例
如，热力学第二定律的开尔文表述是：通过一个
热力学循环，不可能从一个单一热源提取能量做
功，而不对外界产生影响[1，2]。在与日常生活相关
的经典、宏观领域，这个定律得到迄今为止所有
实验的支持，业已成为一个常识性的真理。但
是，怎样从微观角度理解热力学第二定律却经常
是莫衷一是，众说纷纭，甚至会导致一些违反这
一常识性真理的永动机设想的产生。特别是将它
应用到计算科学领域时，其间的一些说辞更是有
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失严谨，例如，改进材料性能可以使计算机不消
耗能量不散热。要回答计算过程原理上是否需要
消耗能量，就必须了解当代与麦克斯韦妖(Maxwell’s
demon)佯谬相关的热力学科学前沿的发展。
麦克斯韦妖是理想实验中的智慧精灵[3]。在
麦克斯韦假想实验中，它可以区分容器中每个分
子的速度，并据此打开和关闭容器中间隔板上的
阀门，使得原本温度均匀分布的气体分子最终按
高、低两种速度分别分布于隔板的两边，从而在
隔板两边形成温度差(见图1)。置于它们之间的热
机随后就会通过完成热力学循环对外做功。在这
个过程中，外界没有对妖怪做功，妖怪和系统也
没有发生能量交换。乍一看来，麦克斯韦妖的存
在使得热量从低温热库流向高温热库，而没有产
生任何其他后果。因此，表面上看，热力学第二
定律(克劳修斯表述)可以被违反，第二类永动机
就有可能出现。
然而当代研究表明，这种违反热力学第二定
律的结论只是一个佯谬。麦克斯韦妖必须作为热
机工作物质的一部分参与热力学循环。在上述描
述中，存贮于麦克斯韦妖记忆体(存储单元)中关
于气体分子速度的信息没有被擦除，热力学循环
本质上并没有完成。根据兰道尔(R. Landauer)原
理[4]，擦除一个比特信息在平衡态时至少要消耗
能量kTln2~10-21J(这里k 是玻尔兹曼常数，T 是环
境温度)。这是因为每擦除1 bit 信息，环境中的熵
将增加kln2。这里的熵增最终会补偿前面的热流
引起的熵减少[5，6]。因此，即使自然界存在无所不
能的麦克斯韦妖，也绝不会存在第二类永动机。
由于现有的普适的计算过程必然包括擦除信息的
初始化过程，这就意味着必然要消耗一定的能
量。兰道尔原理本质上也预言了现有计算过程能
量消耗一定存在下界约束。在现有的计算框架
下，无论怎样改进器件的物理性能，都不能破坏
这个下界。这是热力学第二定律的要求。在过去
的五十年中，这个预言激发人们去不断探索超越
现有计算技术物理极限的可能性，从而导致了可
逆计算[7—9]和量子计算[10]等前沿科学领域的兴起。
本文结合当代热力学发展的前沿科学问题，
从麦克斯韦(J. C. Maxwell)最早提出的热力学佯谬
谈起，并论及希拉德(L. Szilard)利用单分子热机
模型对此热力学佯谬进行的精确表述，然后给出兰
道尔原理一个直观的证明，以演示信息擦除为什么
必定要耗功并产生热，使得热力学对计算过程施
加一个物理极限。我们还以单分子热机为例，阐
述贝奈特(C. H. Bennett)是怎样从可逆计算的研究
受到启发，利用兰道尔信息擦除原理解决麦克斯
韦佯谬的。最后，我们还指出，正是这些探索，促
使了人们开始量子信息和量子计算的研究。
2 麦克斯韦妖假想实验挑战热力学第
二定律
1871 年，麦克斯韦在他出版的《热理论》
(Theory of Heat)一书的一章中，讨论了热力学第
二定律的局限性。他设想有一个充满气体、温度
均匀的容器(如图1)，容器中间有一个隔板，把容
器分成A和B两个区域，隔板上有一个阀门。另
外，有一个今天被称为麦克斯韦妖(Maxwell’s
demon)的想象中的精灵，它能够观察气体中每个
分子的速度，并能够自由地打开和关闭这个阀
门。我们可以假设，在理想情况下，打开和关闭
阀门都不做功。所以，它可以让较快的分子从A
到B，而让较慢的分子从B到A。经过足够长的时
间以后，容器中的A区温度变低，而B区温度变
高。从而使处于A和B之间热机可以利用两边温
度差对外做功。把麦克斯韦妖和热机集成为一个
整体，似乎形成了一个违反第二定律的永动机
图1 麦克斯韦妖示意图(取自维基百科网站)。其中绿色图
标代表麦克斯韦妖，蓝色和红色分别代表低速和高速运动的
分子。由于妖怪的干预，开始均匀分布的气体分子最后被分
割开来。快速(高温)的分子全部到右边，慢速(低温)的分子
全部到左边
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——第二类永动机，实现了从单一热源吸热做功。
麦克斯韦由此认为，如果存在这种智慧精
灵，那么热力学第二定律有可能被违反。麦克斯
韦本来是想通过这个假想实验说明热力学第二定
律是一个统计性的原理，它有一定的概率因为涨
落现象被违反。不过这种可能性随着系统的自由
度数量(如气体中分子数)增加而急剧减少。麦克斯
韦的这个假想实验后来吸引了很多物理学家的注
意，他们认为这个假想实验还有很多地方并没有被
理解清楚[3，11]。比如，有人认为，即使存在这个智
慧精灵(开尔文(W. Thomson)在1874 年第一次将它
命名为麦克斯韦妖)，热力学第二定律仍然不会被违
反，但是并不能进一步说明为什么不被违反；还有
人关心如果麦克斯韦妖能够导致热力学第二定律
被违反，那么整个热力学理论体系是否都要改写。
在众多的早期对麦克斯韦妖模型有兴趣的物
理学家中，布朗运动理论研究的先驱者之一，波
兰物理学家斯莫卢霍夫斯基(M. Smoluchowski)就
是其中很著名的一位。他认为，完全自动化的(没
有智能的)模型才能够在物理实验中实现。因此他
提问：能否构造一个完全机械的模型来取代麦克
斯韦的智能模型？斯莫卢霍夫斯基希望没有智慧
精灵的参与，但是同样能够利用分子运动的涨
落，使一个体系的熵减少，从而构造出一个永动
机。1912 年斯莫卢霍夫斯基提出了一个“单向弹
簧门”(trapped door)模型(见图2)[12，13]。这个模型
和麦克斯韦最初的模型很相似。不同之处在于斯
莫卢霍夫斯基的“单向弹簧门”模型中没有作为
外界控制者的智慧精灵。阀门由弹簧与挡板连
接，并且阀门只能单向移动。当右边腔中的分子
以很高的速度撞击阀门时，阀门被打开，从而使
分子可以进入到左边腔中，但是当分子速度不够
高时，它无法撞击开阀门，从而仍然呆在右边腔
中。这个完全自动化的模型似乎也可以实现麦克
斯韦开始设想的效果，把速度快和速度慢的分子
区分开。但是斯莫卢霍夫斯基自己当时就认识到
他的模型并不能实现麦克斯韦开始的设想。因为
这个阀门足够小，在经历几次撞击之后，它的温
度就会足够高。这样“单向弹簧门”开始做布朗
运动，从而变成了“双向弹簧门”。气体分子既
可以从左到右，又可以从右到左了。因此斯莫卢
霍夫斯基当时就断言，不可能构建一个完全自动
化的(机械的)模型来实现麦克斯韦的设想，但是
如果有一个智慧精灵的参与(如同麦克斯韦设想的
那样)，还是有可能构造出一个永动机的[14]。顺便
指出一下，在斯莫卢霍夫斯基的模型被提出近80
年后，美国物理学家祖瑞克(W. H. Zurek)和合作
者进行了数值模拟研究。他们的数值结果肯定了
斯莫卢霍夫斯基在1912 年的论断，即“单向弹簧
门”模型不可能实现麦克斯韦设想的效果。他们
的结果发表在1992年的《美国物理》杂志上[15]。
无独有偶，还有另一个重要的自动化的模
型。那就是1963 年费曼(R. P. Feynman)在他的
《费曼物理讲义》(卷一)[16]中提出的“费曼棘齿和
棘爪”(ratchet and pawl)模型(见图3)。这个模型
由一个连杆连接着一个形状不对称的棘齿和棘
爪，一个由绳子吊着的重物，还有几个很大的叶
片。其中叶片和棘齿棘爪系统分别处于两个温度
不同的热库中，温度分别用T1和T2表示。当温度
为T1 的热库中的快速运动的气体分子撞击叶片
时，叶片会发生转动。连杆会同时带动棘齿转
动。由弹簧连接的棘爪与棘齿相互咬合。需要指
出的是，棘爪处于温度为T2的热库中，它会在气
体分子的碰撞下做布朗运动。从而使这个棘爪与
棘齿时而咬合，时而松开。当棘爪与棘齿未咬合
时，棘齿就不仅仅作顺时针运动，它有时也会做逆
时针运动。由于棘齿的形状不对称，连杆向一个方
图2 斯莫卢霍夫斯基单向弹簧门模型(图片取自文献[6])。
挡板上的“单向弹簧门”在分子撞击下时而开启，时而关
闭。斯莫卢霍夫斯基设想由于挡板运动的“单向”性，分
子只能从右边到左边，不能从左边到右边
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向转动的概率会大于向另一个方向转动的概率，平
均来看，连杆会向一个方向(棘齿斜率小的那边)作
定向转动。
不同于斯莫卢霍夫斯基的“单向弹簧门”模
型，这个模型可以利用气体分子的热涨落来实现
对外做功或制冷(把热量从低温热库抽运到高温热
库)的功能。至于到底它是对外做功还是制冷，依
赖于两个热库的温度、重物的质量和棘爪尺寸等
参数的选取。需要指出的是，对于费曼棘齿和棘
爪模型，无论参数是选取在做功区间还是制冷区
间，它都非常不同于一般的热机和制冷机模型。
后者一般对应一些热力学循环(如卡诺循环、奥托
循环)，而费曼棘齿和棘爪模型不对应于任何热力
学循环，它工作时处于一个非平衡稳态。另外，
费曼棘齿和棘爪必须依赖热涨落来工作，而一般
的热机和制冷机不需要考虑工作物质的涨落。需
要指出的是，如果两个热库的温度相同(即T1 =
T2)，费曼棘齿和棘爪模型也不能对外做功。因为
此时棘爪做布朗运动，棘齿向两个方向运动的几率
相同，不会导致定向运动。因此，虽然费曼棘齿和
棘爪模型可以利用热涨落实现对外做功或制冷，
但是它不能实现麦克斯韦设想那样的“永动机”，
即在单一温度条件下(T1=T2)，实现对外做功[18]。
3 信息的价值和获取信息的代价
有关麦克斯韦妖问题的研究在1929 年出现了
一个转折。著名的物理学家希拉德提出了一个简
化版的麦克斯韦妖模型——希拉德单分子热机模
型[19]。在这个模型中，希拉德设想一个智慧精灵
(麦克斯韦妖)操控一个单分子热机，其基本原理
如图4(A)和图4(B)所示。开始时，一个气体分子
在一个盒子中自由运动(如图4(A)的第一排和图4
(B)中的(a)图所示)。若在中间插入一块挡板将盒
子分成两个部分，则气体分子必然占据某一侧，
如图4(A)的第二排所示。由于分子运动的随机
性，我们在插入挡板的时候，并不确切知道这个
分子是处于左侧还是右侧。在这个时候，麦克斯
韦妖做了一次测量，通过测量，了解分子所处的
位置到底是左边还是右边。如果测量的结果是分
子处于挡板的右边(如图4(A)第二排左边和图4(B)
中的(b)图所示)，则在挡板右边通过一根细绳连
接一个重物(如图4(B)中的(c)图所示)。整个容器
与一个热库接触足够长的时间，单个分子气体经
历一个等温过程，通过从环境吸热而膨胀，同时
提升重物做功(如图4(A)的第三排左边和图4(B)中
的(c)图和(d)图所示)。如果测量的结果是分子处
于挡板的左边，则在挡板左边通过一根细绳连接
一个重物，通过同样的方式提升重物做功。这就
是图4(A) 第二排到第四排右边代表的过程。完成
上述膨胀做功过程后，气体分子回到初始状态(如
图4(A)的第五排和图4(B)中的(a)图所示)。这样一
个循环完成，接下来进入下一个循环，完全重复
上述过程。
在一个循环中，单分子气体等温膨胀，体积
从V/2 扩张到V，推动活塞做功，提升重物。显
然，抽出活塞，系统形式上完成了一个循环，其
净效应是从单一热源提取热量对外做功。若整个
过程足够缓慢(即准静态过程)，不难计算这个过
程中气体分子做功为
W = ∫
V/2
V
PdV = ∫
V/2
V kT
V
dV = kT ln 2 ，
这里P 为压强，V 为体积，k 为玻尔兹曼常数，T
为外界温度。如果仅考虑这个单分子气体以及它
的环境热库，而忽略麦克斯韦妖，希拉德单分子
热机相当于一个永动机，它可以源源不断地从单
图3 费曼棘齿和棘爪模型(图片取自文献[17])。这个模型依
赖分子运动的涨落工作。它既可以工作在热机区间(热流从
T1到T2，重物被举起)，也可以工作在制冷机区间(热流从T2
到T1，重物下降)，具体在哪个区间由模型的参数决定
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一热源吸热对外做功。或者说它不断让环境的热
力学熵减少。不过希拉德不认为这个模型是一个
永动机，他认为必然是因为某一过程(如测量过
程)导致熵增。这个熵增足够补偿前面提到的熵减
少。但是希拉德本人对于到底是哪个步骤有熵增
以及熵增的机制有些含混不清[6]。希拉德相信，
因为这个原因，即使存在麦克斯韦妖，热力学第
二定律也不会被违反。值得指出的是，早在信息
科学诞生之前的1929 年，希拉德就意识到与二进
制有关的信息的概念，他还发明了我们今天称为
“比特”的信息单位。另外，希拉德还认识到麦
克斯韦妖在获取信息过程中的另外两个重要概
念：测量过程和存储单元。可以说希拉德先驱性
的工作为现代信息科学奠定了基础，并且指出了
它与物理学的联系。
1951 年，另外一个著名的物理学家布里渊
(L. Brillouin)更加具体地研究了获取信息(测量)过
程的能量消耗及其导致的熵增。他希望把测量
过程更加具体化，以此来证实测量过程导致熵
增这种假设或猜测。同时还有盖博(D. Gabor)[21]独
立地进行了类似的研究。他们聚焦在麦克斯韦妖获
取信息的过程中，而且他们都假设妖怪是通过光信
号照射单个分子来对分子进行测量的。他们的结论
是：获取信息的过程一定会有能量的耗散。因而，
即使存在这样的妖怪，热力学第二定律也不会被违
反[22]。布里渊还声称，他发现了一个重要的物理定
律：每次测量过程都伴随着一个熵增，而且存在一
个熵增下限，如果低于这个下限，测量无法完成。
至此，人们一般认为，麦克斯韦在1871 年
提出的问题已获得解决。获取信息不是免费的。
麦克斯韦妖必须为获取信息付出代价。这个代价
将导致能量的消耗以及环境的熵增，并最终保证
热力学第二定律不被违反。
4 有关信息擦除的兰道尔原理与贝奈
特的解决方案
然而事实证明，布里渊等人并没有最终的解
决有关麦克斯韦妖问题。我们现在暂时离开物理
学，来看看另外一个领域——计算机科学领域发
生的故事[6]。大约在1960年，IBM公司的物理学家
兰道尔开始研究数据处理的热力学问题。数据处
理，比如从一个器件到另一个器件复制数据，与测
量过程很类似，都是一个器件获得另一个器件的态
的信息。在1950 年代，人们都认为数据处理的过
程是内禀不可逆的过程(热力学意义上的不可逆)。
这和希拉德及布里渊所认为的测量过程是不可逆过
程是一致的。因此当时人们普遍接受的观点是：任
何一种数据操作都会导致一个不低于某下限的热量
耗散。大约在1960年，兰道尔更仔细地分析了这
图4 希拉德单分子热机的循环原理(图片取自文献[20])。
(A)图代表在盒子中间插一个挡板，然后进行测量，若分子
处在右(左)边则让分子气体向左(右)等温膨胀对外做功。(B)
图是更详细的示意图，说明当测量结果为分子处在挡板右
边时，分子气体做功的过程
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个问题，他却发现大家以前普遍接受的观点其实
是有问题的。正确的结论是：完成几乎所有的信息
处理过程，比如“读”、“写”和“复制”数据，原
则上可以不消耗任何能量。但是另外一些数据操作
过程，比如信息擦除过程，有一个能量耗散的下
限，同时会导致热量耗散的下限[4]。这个结论今天
被称作兰道尔原理，其文字表述如下[4]：“任何对
于信息的逻辑上不可逆的操作，比如擦除1 比特
(bit)的信息或者合并两条计算路径，一定伴随着
信息载体以外的系统的相应的熵增。”
擦除存储单元的信息是一个热力学不可逆的
操作。兰道尔还确认了其他几种热力学不可逆的
操作，所有这些热力学不可逆的操作都有一个共
同点， 那就是“ 丢掉计算机过去的状态的信
息”。用兰道尔本人的话说，这些操作是“逻辑
上不可逆”的。信息擦除的过程就是从一个现有
的态K(这个态是任意的)到一个标准态L(如全部
为0 的态)，是一个逻辑不可逆的过程。逻辑不可
逆是指从K 到L 的映射没有一个唯一的逆映射，
即“输出态不能够唯一确定输入态”。兰道尔认
为，任何一个逻辑态都对应一个物理态。逻辑不
可逆的过程对应着物理态自由度减少的过程，必
然导致能量耗散[6]。兰道尔原理预言了擦除1 bit
信息所需要耗费的最少的能量为kTln2。这里k 是
玻尔兹曼常数(约1.38×10-23 J/K)，T 是环境温度
( 约27 ℃ 或300 K)， ln2 是2 的自然对数。用
kTln2~10-21 J 的功擦除1 bit 的信息，同时导致同样
多的热量被释放到环境中。
这个关于逻辑不可逆操作的能量耗散下限最
早是冯·诺依曼(Von Neumann)提出来的[23]，但是严
格的论证是由兰道尔给出的。兰道尔用双势阱中
的一个粒子处于左边和右边势阱分别代表0 和1。
中间的势垒远超过kT。这样热涨落不会使系统在0
和1之间发生跳跃。擦除信息的过程就是，通过使
势阱变形，让开始处于任意一边的粒子都演化到
某一边，如左边(0 态)。兰道尔比较信息擦除过程
中的散热量与擦除的信息量，就得到了兰道尔原
理。兰道尔在证明他的定理时用到了热力学第二
定律。兰道尔认为，擦除信息的过程导致环境熵
增。另外，英国物理学家彭罗斯(O. Penrose)也在
1970 年独立于兰道尔提出了类似的原理[24]。这里
顺便指出，这个原理在它被提出半个多世纪后的
2012年才最终被欧洲科学家从实验上验证[25]。
前面提到，在研究麦克斯韦妖问题时，布里
渊认为测量的过程会导致kT 量级的能量损耗。
兰道尔认为“ 计算过程与测量过程有密切联
系”，而且他认为，布里渊的分析中提到测量过
程，却没有能够很好定义测量过程。兰道尔还认
为，布里渊没有回答下面这个重要的问题：当系
统A和系统B耦合在一起时，测量是在何时发生
的？事实上两个物理系统耦合在一起，并不一定
导致耗散。
1982 年，兰道尔在IBM的同事贝奈特明确指
出，测量并获得信息的过程原则上是逻辑可逆的过
程，可以做到不消耗能量，也不导致熵增[5，6]，1)。
由此他很自然地得到：即使存在麦克斯韦妖，热
力学第二定律也不会被违反。关键在于麦克斯韦
妖信息存储单元中信息擦除的过程，而不是布里
渊等人认为的测量过程。相反，信息擦除的过程
一定是逻辑不可逆的过程，它总是伴随着一个最
低的能量消耗和一个最小的熵增。这个能量消耗
的下限或熵增的下限是兰道尔原理给出的。它保
证了即使存在麦克斯韦妖这种智慧精灵，热力学
第二定律也不会被违反。贝奈特证明的一个关键
点是，认识到用光信号来做测量手段不是必须
的。虽然布里渊证明了如果妖怪用光信号来获取
信息，测量过程的能量耗散足以保证热力学第二
定律不被违反。贝奈特发现用光信号来测量(获取
信息)不是必须的。若用别的手段来做测量，测量
过程原则上可以不导致能量耗散。他给出的一个
例子是通过分子磁矩(而不是布里渊用的光信号)
来进行测量[5]，所耗散的能量原则上可以无穷小。
1) 兰道尔在他的1961 年发表的文章中，提到测量过程与数据操作过程的关系，因而也隐含测量过程可以不
消耗能量，但是没有明确表述出来。1970 年代，MIT 的弗里德金（E. Fredkin）和贝奈特在研究可逆计算的模
型时也同样认识到测量过程与数据操作过程的关系，因而也隐含测量过程可以不消耗能量，但是同样没有明
确表述出来。
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为了说明测量与观察等信息提取过程在上述
麦克斯韦妖热机循环过程中的作用，我们首先说
明什么是信息和信息的度量，以及为什么信息本
质上是物理的。一般说来，一个物体所包含的信
息是由其可能状态的多少来确定的。一个人事先
并不知道物体处在n 个状态中的哪一个状态上，
只是知道每一个状态相应的几率为P1， P2，
P3，……，Pn，香农(C. E. Shannon)用
S = -Σ
k= 1
n
Pk log2 Pk
来刻画信息量[26]，此S 称为香农熵。例如，在希
拉德模型中，气体分子开始以50%的几率分别处
于A 和B两个区域。一旦人们知道气体分子是处
在两个态之中的哪一个态上，人们便获得了1 bit
的信息。
基于以上关于信息及其度量的简单讨论，我
们可以用图5 描述一个信息擦除的物理过程。设
一个气体分子可能处在左边或右边中任意一个，
但是我们不知道到底是哪一个。我们事先不管分子
是处在左边或右边，只要抽出中间挡板，并且把活
塞从右向左一直推到中间，分子最后必然是处在左
边。于是，体系的香农熵减少1 bit(即由S = 1 bit变
为0)。相应地，外界对系统做功为W = kTln2。
基于上述物理分析，我们看到擦除信息需要
消耗功，我们可以重新描述麦克斯韦妖佯谬(见图
6)。注意到麦克斯韦妖的作用是观察单分子的
状态，然后把信息贮存在它的存储单元中，存
储单元在物理上是一个二态系统。初始时系统
处于A 态， 分子可以处于空间的任何一个位
置，妖怪处于0 态。妖怪进行一次测量(过程(a))
后，整个系统达到B 态。若分子处在挡板的右
边，妖怪将其信息存储单元重置为R 态；若分
子处在挡板的左边，妖怪将其记忆存储单元重
置为L 态。过程(a)不花费能量。接下来的过程
(b)是妖怪根据自己记录的信息控制分子气体。
让它从热库吸热向外膨胀，同时对外做功，最
后系统到达状态C。此时系统加妖怪的熵比以
前增加了。如果前面的过程完全可逆，这个增
加量正好等于热库熵的减少量。此时妖怪的信
息存储单元中的信息未被擦除。为了麦克斯韦
妖的初始化，在(c)过程中外界必须对其做功，
最后擦除它的信息，回到初态A。不难看出，
若计算这个可逆过程对外做功， 净做功量为
零。因此，没有第二类永动机存在。
在1982 年贝奈特的工作之前，绝大多数的研
究者都先验地接受布里渊的假设，妖怪是用光信
号(而不是其他的物理手段)探测分子速度的。因
此，整整一代物理学家都被“洗脑”。认为布里
渊已经彻底解决了麦克斯韦妖佯谬问题(参阅文
献[27]和[3])。1982 年，贝奈特的文章的观点(准
确说是兰道尔—彭罗斯—贝奈特方案的出现)让物
理学家认识到布里渊工作的问题所在，并很快放
弃了布里渊的结论。1982 年以后，除了个别研究
者持有异议外[28—30]，物理学界几乎一致地接受了
兰道尔—彭罗斯—贝奈特的解决方案。
至此，经历一个多世纪的有关麦克斯韦妖的
争论终于尘埃落定。麦克斯韦在最初提出他的假
想实验时恐怕也没有想到这个问题的答案远远超
出了他的时代。对他的问题的最终的回答必须等
到信息科学诞生和兰道尔原理的提出。他山之
石，可以攻玉，物理学家对麦克斯韦妖佯谬的解
决历程再次佐证了这样一个结论：不同学科的发
图5 信息擦除的物理过程(其基本思想是：无论分子开始处
于左还是右(0 或1 态)，抽出中间挡板，然后从右边开始等
温压缩气体分子，直到挡板到达活塞中间。这样分子必然
到左边(0 态)，原来的信息被擦除。这个擦除过程的能耗为
kTln2)
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展可以互相借鉴，互相促进。
5 自动化信息热机、信息制冷机和信息
擦除器
麦克斯韦妖佯谬最终得到了解决。但是物理
学家对这个问题的兴趣并没有停止。因为贝奈特
虽然说明麦克斯韦妖不会对热力学第二定律构成
威胁，即擦除它的存储单元的信息，保证热力学
第二定律不会被违反，但是他的假想实验似乎仍
然没有完全摆脱“智慧精灵”这个假设。有智慧
精灵参与的(非自动化的)信息热机模型不可能在
实验室实现，因为世界上不存在这样的智慧精
灵。有没有可能设计一个完全自动化的麦克斯韦
热机或麦克斯韦制冷机？即没有任何“智慧精
灵”的参与，这个机器能够实现麦克斯韦最初的
设想，并且得到和兰道尔原理预言相一致的结
果。如果能够构造出一个自动化的信息热机模
型，我们将有希望在实验室中真正制造出一个信
息热机或信息擦除器，从而实现麦克斯韦最初的
设想。这个装置不仅可以帮助我们理解信息、
熵、热、功这些物理学基本概念，而且有很重要
的应用前景。
这样的自动化机器应该具有下面的性质：向
这个机器输入没有写入信息的存储单元，这个机
器就可以从单一热源吸热做功，使热库的熵减
少。这个自动化的信息处理机器消费信息存储单
元和热量，输出机械功，并不违反热力学第二定
律。因为它虽然从单一热源吸热做功，但是它却
同时在存储单元上写上了大量信息(信息熵增
加)。这些信息载体上记录的信息并没有被擦除。
一旦擦除这些信息，那么将消耗一定的能量，并
且导致环境的熵增。这些熵增可以补偿前面的热
库的熵减少。就整体而言，整个宇宙的熵不会减
少，因而热力学第二定律也不会被违反。虽然在
原则上找不到理由说明这样的机器不可能存在，
但是实际中却一直没有人来实现自动化的信息热
机，哪怕是提出一个理想化的模型。一个重要的
突破出现在2012 年。美国马里兰大学雅津斯基教
授(C. Jarzynski)及其合作者提出了一个完全自动
化的信息热机装置[31]。它通过消费输入的空白存
储单元，利用热涨落把热能转化为机械功；或者
相反，通过消费机械功，实现对存储单元上信息
的(部分)擦除。图7 是该装置的简单示意图。当输
入的信息载体(存储单元)的信息熵很小的时候，
这个信息热机可以从单一热源吸热，同时把热完
图6 麦克斯韦妖和热机作为一
个整体的循环过程(图片取自维基
媒体网站)。(上)图代表妖怪监控
单分子热机对外做功。同时它的
存储单元也有相应的信息记录和
擦除的过程。妖怪标注为O，R
和L，分别代表妖怪的存储单元
处于O 态，R 态和L 态。过程(b)
中Q和W及箭头分别代表热机从
外界吸热同时对外做功。(下)图
用“相空间”体积的变化描述这
个过程，横轴和纵轴分别代表气
体分子及妖怪所处的位置。“相
空间”体积正比于热机和妖怪的
总熵(S)的大小。在过程(b)中获
得的功，在过程(c)中全部用于擦
除妖怪的信息，因此不会有第二
类永动机存在
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评述
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全转化为机械功，并且使存储单元的信息熵增
加。如果单看热库的热力学熵的改变，它是负
数。这似乎是违反了热力学第二定律，就如同麦
克斯韦最开始的模型里设想的那样。但是如果把
存储单元上的信息熵与热力学熵等价起来，我们
可以看到存储单元的信息熵加上热库的热力学熵
之和不会减少。这正是推广的克劳修斯等式，说
明热力学第二定律没有被违反。
如果输入的存储单元的信息熵很大，则这个
自动化的模型进入另一个工作区间，它的效果正
好相反。它将耗费一些机械功，同时减少(或者说
擦除一部分)存储单元的信息熵。在这个工作区间
时，这个模型被称作信息擦除器。这样信息擦除
器与信息热机就被统一在一个物理模型中。至于
它到底处于哪个工作区间，完全取决于我们设定
的参数所处的范围。有关这个模型的更详细的情
况请参阅文献[31]。
同样，雅津斯基教授和合作者(包括本文的作
者之一)还考虑了一个自动化的信息制冷机模型[32]。
与信息热机类似，这个自动化的模型通过消费输
入的存储单元利用热涨落把热量从低温热库输送
到高温热库，或者相反通过消费高温热库的热
量，实现对存储单元上信息的(部分)擦除。有关
这个模型的更详细的情况请参阅文献[32]。
需要指出的是，1912 年，斯莫卢霍夫斯基曾
经断言构造一个完全自动化的模拟麦克斯韦想法
的装置是不可能的，不过他指出，如果有一个智
慧精灵参与，那还是有可能的[12—14，6]。费曼在他
的《费曼物理讲义》(1963)一书中有过类似的评
论，认为不可能构造出一个完全自动化的模型来实
现麦克斯韦想法。因此，雅津斯基等的工作相当于
推翻了斯莫卢霍夫斯基和费曼分别在一个世纪及半
个世纪前的论断。斯莫卢霍夫斯基在做这个论断的
时候，信息学还没有诞生，人们还没有清楚地认识
到信息及其在增强做功方面所起的关键作用，更没
有认识到信息获取原则上可以不耗能量，但是信
息擦除必须消耗一个最低限度的能量。费曼在做
他的论断的时候，兰道尔原理刚刚问世，还没有
广为人知。因此他们都不可能认识到智慧精灵对
于实现麦克斯韦的设想是否是可有可无的。
6 量子力学与麦克斯韦妖
所有前面的有关麦克斯韦妖、信息及热力学
问题的讨论都只是在经典物理范围内进行的。实
际上，在量子力学范围内讨论麦克斯韦妖相关的
问题也吸引了很多物理学家的兴趣。研究的主题
包括量子热机，如量子希拉德热机和量子计算等
等。我们将摘取其中几个方面进行介绍。这里面
也包括我们自己的工作。
1984 年，美国物理学家祖瑞克研究了量子希
拉德单分子热机[33]。他的研究结果显示，虽然量
子测量和经典系统的测量有些不同，但是贝奈特
的方案对于量子系统同样适用。也就是说，把信
息擦除考虑进来，则不会有“永动机”出现，或
不会有违反热力学第二定律的现象发生。同时，
祖瑞克还研究了退相干对量子希拉德单分子热机的
影响。1997年，美国物理学家洛伊德(S. Lloyd)研究
了一个基于核磁共振系统的量子热机模型[34]。这个量
子热机由两个量子比特和两个热库组成。其中一个量
子比特充当麦克斯韦妖，另外一个充当工作物质。
洛伊德用他的核磁共振系统很好地演示了量子麦克
斯韦妖的测量、反馈控制以及最后的信息擦除等
过程。同样，他的模型支持了贝奈特的猜想：测
量过程可以不导致熵增，但是信息擦除过程一定
会导致熵增，从而保证热力学第二定律不被违反。
2006 年，本文作者和其他合作者一起，研究
了如何利用超导量子比特实现包含麦克斯韦妖的
图7 依靠信息驱动的机器示意图(摘自文献[9])。这个示意
图的大意是，通过输入空白的信息存储单元，这个机器可
以从单一热源吸热对外做功，其代价是输出的信息存储单
元上被写满了信息，擦除这些信息要消耗能量
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热力学循环[35，36]。我们的
研究动机是，如果在量子
领域有麦克斯韦妖的存
在，是否会从本质上改善
量子热机的效率？在我们
的研究中，我们把量子测
量处理成一个产生系统和
测量仪器之间的理想量子
纠缠的相互作用动力学过
程，避免了使用基本观念
上备受争议的波包塌缩
假设。因此， 我们从根
本上改进了原来的包含
麦克斯韦妖的量子热机
模型： 让一个充当热机
介质的二能级系统S 首先
与温度为TS 的热库接触，而另一个充当麦克斯
韦妖的二能级系统D 被置于温度为TD的热库当
中(见图8(a))。开始时二者均处于热平衡态，然
后脱离热库。用D测量S 处在什么态上，并根据
测量结果对S 进行反馈控制(采用可控的CNOT
门)，如果S 处在激发态上，D 就把它翻转到基
态上； 如果S 处在基态上，D 就让它保持不
变。最后让它们分别与各自的热库充分接触，
在达到热平衡态后，完成一个热力学循环。我们
的计算表明， 这样热机的效率形式上为
η = 1 - ςΔD /ΔS ，其中ΔD 和ΔS 是两个二能级系统
的能级差。由于ς 1 ，包含麦克斯韦妖的量子
热机的效率比不上不包含麦克斯韦妖的量子热
机的效率。就总体而言，仍然没有违背热力学
第二定律的现象。另外，我们还建议了如图8
(b)下图所示的基于超导量子电路的麦克斯韦妖
量子热机的物理实现及其量子操控方案。
需要指出的是，虽然量子力学有别于经典力
学，有很多独特的地方，比如量子纠缠、叠加原
理等，但是迄今为止没有发现量子力学效应使热
力学第二定律被违背的现象。也就是说，即使利
用量子力学的奇特性质，也不可能造出第二类永
动机。但是有些研究者声称他们利用量子力学效
应制造出了超越卡诺效率的量子热机，也就是
“违反”了热力学第二定律。比如美国物理学家
斯贾里(M. O. Scully)等人于2003 年在Science 上发
表文章称，他们利用量子相干性，可以实现“从
单一热源吸热对外做功”[37]，从而违背了热力学
第二定律的开尔文表述。他们设计了一种光子气
体热机的模型如下(见图9)。
在他们的模型中，热量来源于穿过腔的原
子。打个比方来说，这里的原子相当于蒸汽机中
的煤。腔中的光子气体相当于蒸汽机气缸中的蒸
汽。原子穿过微波腔，辐射光子到腔中，相当于
蒸汽机中的煤燃烧加热气缸中的蒸汽。他们设
想，让稍微偏离热平衡态的原子一个个地穿过微
波腔。所谓稍微偏离热平衡态是指密度矩阵对角
元满足玻尔兹曼分布，但是非对角元不严格为
零，只是接近零。这样的“热库”具有量子相干
性，而不是处在一个熵最大混合态上。当这样的
“量子相干热库”与量子光场耦合足够长时间后，也
会使得量子光场达到一个稳态。入射的原子会在某
个光场模式上产生大量相干的光子气体。如果原子
开始处在温度为T的热平衡态，光场达到稳态后的
温度也为T。如果原子开始处在稍微偏离T的量子
态上，光场达到稳态后的温度为Te>T [37，38]。这时，
光子气体热机的效率为η = 1 - Tc /Th - R cos ϕ，
图8 基于麦克斯韦妖的量子热机模型及其超导量子电路实现(取自文献[35]) (a)量子热机的
示意图；(b)超导量子电路图(上)和时序控制图(下)(L 为控制耦合的量子超导干涉仪，i-SWAP
代表一个逻辑门操作(虚互换门))
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评述
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(R<0 )。这里Th和Tc为两个热库的温度，R为一系数，
ϕ为入射原子的波函数相对相位。入射原子波函
数的相对相位为ϕ= π 时，热机效率高于卡诺效
率[37]。从表面上看，这些结果似乎违反了热力学第
二定律，但实际并非如此。我们经过研究发现[38]，
它之所以“违反”热力学第二定律，是因为它们隐
含了一个麦克斯韦妖在热力学循环中，妖怪选择只
让那些波函数的相对相位为p的原子通过，而不让
相对相位为其他值的原子通过。但是斯贾里等人却
未考虑对妖怪存储单元的信息擦除过程。这才是他
们产生所谓“违反”热力学第二定律的结果的根
源。如果考虑了对妖怪存储单元的信息擦除过
程，他们的热机效率不可能超过卡诺效率，或者
热力学第二定律也不会被违背[38]。
7 可逆计算，量子计算与信息处理的物
理极限
在微观层次上，人们可以把普适计算的逻辑
操作与热机循环过程一样理解为在外部参数控制
下的物理系统的时间演化问题。如果在计算过
程中每一步都不引入新的不确定性，原则上也
不需要擦除信息，而是让物理系统按动力学演
化“原路返回”，因为每一步演化中的初态和末
态都有一一对应的关系。这样完成一个计算过程
所需的能量损耗可以为无穷小。这就是所谓的逻
辑上可逆的计算，原则上不需要消耗能量。这
个概念最早是由兰道尔提出。1973 年，贝奈特
证明了那种不要擦除信息的逻辑上可逆的计算
原则上是可行的[39，7—9]。
要实现可逆计算，必须保证每一步操作都是
确定性的“一一映射”，并且操作是可逆的。通
俗地说，就是要从一个初态唯一确定一个末态，
从一个末态能够唯一确定一个初态。这样才能保
证在计算过程中不引入任何新的不确定性，以及
让系统“原路返回”。这不但要求执行计算的物理
系统满足时间反演对称性，而且还要求系统与环
境完全隔绝开来。但是在实际计算过程中，任何
一个系统都不可能完全与环境隔绝开来，因此很
难做到让物理系统完成计算过程后再沿“原路返
回”。从另外一个方面讲，即使我们能够让系统
与环境完全隔绝开来，用于计算的物理系统的自
由度实在太大，以致于我们无法完全跟踪系统每
个自由度的演化，就如同我们无法跟踪了解一个
蒸汽机气缸里每个分子的坐标和动量随时间的演
化。这都会导致在计算过程中不可避免地引入不
确定性。由于上述原因，现有的普适的计算技术
都不是基于可逆计算框架[7—9]，而是允许在计算
过程中引入不确定性，或者说允许完成计算过程
的物理载体的熵在计算过程中增加。最后，为了
使计算系统初始化，在完成一个计算过程后，再
擦除计算设备的物理系统增加的熵(转
移到环境中去)。由兰道尔原理我们知
道，这意味着不低于某个临界值的能
量耗散。用一个比喻来说，可逆计算
模型就如同可逆的卡诺热机模型一样
只有理论上的意义。在实际中很难实
现这样理想化的模型。以热机模型为
例，真实的热机总是有摩擦的，而
且真实的热力学循环不可能是准静态
过程。
上面只是讨论了计算过程中的一
个环节——信息擦除。其实还有很多
其他的环节，受各种各样“不那么基
本”的物理极限的制约。所有这些限
图9 斯贾里光子气体量子热机(取自文献[37]) (a)光场驱动活塞(微波腔)对
外做功；(b)入射原子没有相干性时，量子热机的效率等于卡诺效率；(c)入射
原子有相干性时，量子热机的效率等于卡诺效率加上一个修正项
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制一起决定了计算过程中的能量耗散的下限[40，41]。
例如，逻辑元件是工作在稳态区域，而达到稳态
需要一定的弛豫时间；元件的开关时间是一个关
键的技术困难；信号在元件之间传播的速度是有
限的，信号传播的延迟是另一个技术上的挑战。
另外，计算机小型化也有原理上的困难。例如，
最终利用原子核作为存贮单元进行量子计算需要
更高的能量。这些困难都是从物理技术的层面考
虑问题，而兰道尔和贝奈特的工作主要强调了计
算原理上的物理限制。总之，除了在微观的层面
给出麦克斯韦妖佯谬的一个解决方案，兰道尔原
理的另一个意义就是预言了计算的物理极限的存
在。
兰道尔原理的直接后果是，它将会导致所谓
的摩尔定律[42]的终结。因为现有的计算机在完成
一个有效计算的实际过程中，原理上一个循环必
须包含初始化过程。物理上它意味着要对上一个
计算过程中存储单元的信息进行擦除，从而必须
消耗一定能量，并以热量的形式散发掉。计算的
速度越快，产生的热量就越多。当计算机芯片单
位面积上集成的元件数目越多，需要耗散掉的热
量也越来越多。这种(不可逆)计算的热量耗散机
制大大限制了计算机芯片的密度，给出了其物理
极限，从而导致摩尔经验定律(计算机CPU(中央
处理器)的晶体管数目每18 个月就会增加一倍)终
将不再适用，因为材料散热性能是有限制的。图
10 为计算机发展历史的概略图像，纵轴是CPU集
成的晶体管的数目，横轴代表年代。这个图表征
了CPU运算速度的增长。目前流行的22 nm技术
不久以后就会被14 nm 技术所替代。当集成电路
的线宽达到更小的尺度时，量子效应(如电子隧
穿)就不能再被忽略，经典比特就会失效，这也是
导致摩尔定律走向终结的另一个原因。估计再有
十年的时间，现有的计算机构架体系就会因此而
终结。因此，突破芯片尺度极限是当代计算机信
息科学发展所面临的一个急需解决的重大问题。
为了突破这种计算机的芯片尺度极限，人们
提出了量子计算的概念， 导致了量子信息学
(quantum information)的诞生[10]。量子信息是量子
物理与信息科学、计算机科学综合所形成的交叉
学科。它主要包括量子计算、量子通信和量子密
码学。它充分利用量子相干性及其衍生的独特的
量子特性(量子纠缠、量子并行和量子不可克隆
等) 进行信息存储、处理、计算和传送，以完成经
典信息系统难以胜任的高速计算、大容量信息传
输通信和完全安全保密的信息处理任务。更重要
的是，量子信息的研究(特别是量子计算的研究)会
为突破传统计算机芯片的尺度极限提供新的启示
和革命性的解决方案，从而导致未来计算机构架
体系根本性的变革。需要指出的是，量子信息的
研究不只是两个不同学科的简单交叉，它还涉及
到怎样从物理学的角度，在物质科学层面上深入
理解什么是信息，什么是物质，什么是能量等根
本性问题。这些问题的解决，反过来也有助于揭
开量子物理的不解之谜，甚至引发新一轮的量子
革命。例如，量子理论自建立之日起，虽然在应
用层面上取得了前所未有的成功，但其基本观念上
却是构建在一个有争议的基础之上(如玻尔和爱因
斯坦等人关于量子力学理论完备性的争论)。近年
来，由于量子信息的深入研究，在新的实验技术
的平台上，许多争论有望得到检验和进一步澄清。
8 结束语
以上关于麦克斯韦妖和计算过程的物理极限
图10 电脑处理器中晶体管数目的增长曲线符合摩尔经验
定律(图片取自维基百科)
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评述
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的讨论，强调了信息擦除过程必然导致一个不低
于某个临界值的能量耗散。这个结论导致的后果
包括：(1)即使存在麦克斯韦妖这种智慧精灵，热
力学第二定律也不会被违反；(2)在现有的计算技
术框架下，信息处理的过程必然会散热，散热量
下限由兰道尔原理给出；(3)可以设计一种自动化
的机器，它通过消费信息，可以从单一热源吸热
对外做功，或者实现制冷但是不消耗机械功。
麦克斯韦妖虽然是个简单的假想模型，但是
在过去的一百多年，它却吸引了众多一流物理学
家的兴趣和关注。人们对它的研究持续一百多
年，直到今天，它仍然吸引着很多物理学家的注
意力。在本文中，我们尽全力勾画出一个简单的
轮廓，让读者对这个方面的发展历程和最新进展
有个大体的了解，我们选择的内容受到自己知识
和兴趣偏好的影响，不可能是完全客观的和没有
遗漏的。另外，人们对“信息的物理学”[43]的了
解到目前为止也只是了解了冰山一角，更多的未
知领域有待我们去探索。我们相信在未来的研究
中，随着我们认识的进一步深入，信息科学和物
理学特别是热力学的联姻还会继续带给我们更多
的新的惊喜。
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