自由电子 vs 布洛赫电子 由于电子速度总是垂直于k空间中 的等能面，洛伦兹力和等能面相切，不改变电子能量， 电子沿等能面运动。同时，电子波矢k沿磁场方向的分 量不随时间改变。因此，电子在h空间的运动轨迹，是 垂直于磁场的平面和等能面的交线。如果等能面是闭合 的，且声子对电子的散射可以忽略，则电子在k空间绕 磁场作回旋运动。

固体中电子在电场和磁场中的运动
motion of the electrons in solids in the external electric and magnetic fields

　　有重要作用。 固体中电子在均匀磁场中的运动当固体置于磁场 B中时，电子受洛伦兹力，运动方程(2)变为 e、，n 二一百‘入。’ (4) k一声‘ d一d 式中砂是电子速度。由于电子速度总是垂直于k空间中 的等能面，洛伦兹力和等能面相切，不改变电子能量， 电子沿等能面运动。同时，电子波矢k沿磁场方向的分 量不随时间改变。因此，电子在h空间的运动轨迹，是 垂直于磁场的平面和等能面的交线。如果等能面是闭合 的，且声子对电子的散射可以忽略，则电子在k空间绕 磁场作回旋运动。回旋频率是 、一、2二eB/。)子提备 (5) v(k)是电子垂直于磁场B的速度分量。积分式(4)有 k二~毛旦rxB n (6) 由式(6)可以看到，电子在实空间中的运动轨迹，在垂 直于B的平面上的投影，和在k空间的运动轨迹形状相 ~~。一一一一，，一，._、.~~妊了~以 同，只是旋转了90。，大小差一比例因子畏三。同时， I，，，、~从，不名J甘’声、’J一~~v”~书丸” 由于洛伦兹力垂直于u和B，它不改变电子速度沿B方 向分量的大小，电子在实空间沿B方向作匀速运动。对 于最简单的自由电子情形，等能面为球面。如果磁场沿 之方向，那么在k空间中电子在kx一岛平面上作匀速圆周 运动，回旋频率是峨=eB/观’。而在实空间中沿之方 向作匀速运动，在x一y平面内作匀速圆周运动，其合成 运动是螺旋运动(图3)。其中图a为电子在k空间中的 运动轨迹，图b为电子在实空间中的运动轨迹。 ┌──┐ │魁《│ └──┘ 图3在均匀磁场中电子的运动轨迹 上面是对固体中电子在磁场中运动的经典处理。按 照量子理论，电子在磁场中作回旋运动的轨道是量子化 的，因而电子沿垂直于磁场方向运动的能量分量必然也 是量子化的。因此，在有磁场时，电子的准连续能谱变 成一些高度简并的等距分立能级。这些分立能级称作朗 道能级。电子准连续能谱在磁场中简并成朗道能级是德 哈斯一范阿耳芬效应等很多现象的物理原因。在很多金 属中，在强场低温下，朗道能级间隔可以变得比能隙大 得多，这时能带划分已没有意义，电子象自由电子一样 作回旋运动。这种现象称为磁致击穿。 高频交变电场引起一个能带内各个朗道能级之间的 跃迁，称作电子回旋共振;光场引起不同能带的朗道能 级间的跃迁，称作磁光吸收。在磁场中的载流导体产生 霍耳效应、磁致电阻等磁电现象。由于只有当电子相继 两次散射之间的时间间隔(即弛豫时间)大于回旋运动周 期时，才能完成一次回旋运

动，因此和电子回旋运动有 关的德哈斯一范阿耳芬效应、电子回旋共振等现象，只 有在强磁场低温下才能观察到。 (曾令之王以铭) 固体中电子在电场和磁场中的运动motionof the eleetrons in solids in the external eleetrie and magnetic fields讨论固体中电子在外加电场和磁场 中的运动规律，是分析固体中各种输运现象的基础。 准经典运动固体中电子的本征状态用波矢k和能 带指标”表征，状态函数为布洛赫函数，其对应的能量 为凡(k)。对同一能带(”一定)，En(h)是k的准连续 函数。通常，外加电磁场比固体中的周期场弱得多，固 体中电子在外场中的运动规律，可以以上述布洛赫状态 为基础进行讨论。讨论由于外加电磁场而产生的各种电 导效应等一般输运问题时，在一定条件下，固体中电子 往往可以当作准经典粒子来处理。按照量子力学和经典 力学的对应关系，作为准经典粒子的一个k态固体电子 应该用一个波包来表示。为了得到稳定的波包，它应该 用和k相差甚少的很多单色布洛赫波叠加而成。波包的 群速度为 。(吞)=粤二*君(掩) 那 (l) 这就是处于k态的布洛赫电子平均速度。因此，州k) 表示将固体中电子看成准经典粒子时k态电子的速度。 与自由电子不同，按照式(D，固体电子的速度不总是 随能量增加而单调增加，且砂(k)的h的指向也不一定 一致。图1表示一个典型的一维能带结构(图a)和相 应的速度随态的变化曲线(图b)。图中还示意地表示一 个电子在电场以沿一k方向)作用下的运动。我们看 到，当‘从原点变化到布里渊区边界‘一音时，速度先 是线性地增加，达到最大值后，在布里渊区的边界又减 小到零。 粼-一l-一水J一入B 电子 ┌─┬──┐ │ │/入 │ └─┴──┘ 图1电子在电场作用下运动示意图 在有外场的情况下，晶体电子的状态变化由运动方 。单=F Q石 (2) 描述，式中F是外力。容易看出，式(2)和牛顿定律相 似，但其中丸k取代了经典力学中的动量。在电子受外 场作用加速、电子声子碰撞等许多电子动力学问题中， 九k确实起着动量的作用，但它又不是处在h态的布洛 赫电子的真正动量，因此一般称作准动量或晶体动量。 式(l)和(2)是处理电子准经典运动的两个基本关系式。 在外力作用下，随电子波矢变化，其速度也必然变化， 即产生加速度。参照牛顿定律，其加速度可以表示为 d砂(k) dt 1。 了下~r 刀多~ (3) m’为有效质量，一般是二阶对称张量，具体形式和固 体的电子能带结构有关(见电子有效质量)。由于m‘是 一个张量，电子加速度和外力的方向可能不同。 固体中电子在恒定电场中的运动当固体加有恒定 外电场‘时，电子

受外力F=一腮作用。按照式(2)， 此时电子在k空间作匀速运动(图1)。设电子从k=0开 始。运动到A点时，由于A，和A等价，电子重新出现 在A‘点上。因此，电子的能量沿E(h)曲线呈周期变 化。电子能量的周期变化，对应着速度随时间的振荡变 化。这里的速度是电子在实空间的速度。这样，当有外 电场时，电子在实空间作周期性振荡运动。但是，这种 振荡运动实际上很难观察到。原因是通常情况下，这种 振荡的周期约10--5秒。而电子在运动过程中同时要和 声子、杂质和缺陷不断发生碰撞。连续两次碰撞的时间 间隔典型值是10一‘4秒。因此，电子远在完成一个振荡 周期以前就被散射掉了。二维情况可以作类似分析。在 外加电场‘作用下，电子在k空间沿平行于F二一“的 直线均匀移动，它在实空间的运动轨迹取决于能带结 构。如果外电场沿布里渊区一个对称方向，则电子在这 个方向作与一维情况相似的循环运动。 当有外电场存在时，电子有附加的静电势能，电子 能量将随距离变化，能带发生倾斜(图2)。图Za是在 材 一/弓 图2电子能量随距离变化示意图 k空间中表示的一维能带结构，图Zb表示在有外场时 电子能量随距离的变化。在上面讨论的准经典运动中， 电子运动到点A时遇到带隙被反射，而在等价点A‘处 出现，电子总是在一个能带中运动。带隙相当于一个势 垒。按照量子力学原理，电子遇到势垒时，将有一定的 概率穿透势垒。穿透概率随电场增强而急剧增加。如果 电场足够强(能带倾斜厉害)，带隙足够小，电子就有可 观的概率跃过能隙而运动到点B，即达到较高的能带。 这种现象叫做隧道效应。隧道效应在半导体器件物理中