向量积只存在于三维向量中？ | 问答| 问答| 果壳网科技有意思
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为什么矩阵的行秩/列秩= 用秩一矩阵和逼近的最小项数 ... - 知乎
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三维空间已知张成一个平面的两个不平行向量，求法向量_百度知道
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向量外积与行列式的本质关系| 数学笔记
math.tianpeng.org/2010/04/向量外积与行列式的本质关系/
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【线性代数的几何意义】向量的基本几何意义- AndyJee - 博客园
www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491458.html
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[PDF]行列式几何化的教学研究
www.paper.edu.cn/index.../1674-5884(2012)04-0090-05
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《线性代数》 - longhuihu的专栏- 博客频道- CSDN.NET
blog.csdn.net/longhuihu/article/category/1887589
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[PDF]基于Clifford 代数的混合型传感器网络覆盖理论分析
info.scichina.com:8083/sciF/.../downloadArticleFile.do?...
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何 ... 外积是一个二向量( 平面量) , 即这两个向量张成的平面内的. 一个有方向的面积 ...
向量外积与行列式的本质关系
在三维空间中，两个向量a和b的外积a×b定义为这样的一个向量：
1) |a×b|=|a||b|sin<a,b> 其中sin<a,b>表示a和b两向量夹角的正弦。
2) 若|a×b|≠0，那么a×b的方向垂直于a和b所在平面并且使a,b,c满足右手螺旋定则。
设i,j,k是三维空间中成右手定则关系的标准正交基底，a和b在这组基底下的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，那么a×b可以用行列式形式地表示为
这个公式的由来，在一般的教材中，是先推导出外积的几个重要性质：
1) a×b = -b×a
2) (a+b)×c = a×c+b×c
3) a×(b+c) = a×b+a×c
4) a×(kb)=(ka)×b=k(a×b)
5) i×j=k,j×k=i,k×i=j
然后，就可以利用这些性质对以下式子进行展开：
a×b=(a 1 i+a 2 j+a 3 k)×(b 1 i+b 2 j+b 3 k)
最后化为上面的行列式表示。
但是，为什么外积可以如此规整地表示为一个行列式？难道只是巧合吗？一定有某些内在的原因。
设
c=(∣ ∣ ∣ a 2 b 2 a 3 b 3 ∣ ∣ ∣ ,−∣ ∣ ∣ a 1 b 1 a 3 b 3 ∣ ∣ ∣ ,∣ ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ ∣ ∣ )
首先，注意到 c 的三个分量是那个三阶行列式中的三个子式，利用行列式展开法则，我们可以很容易地证明c垂直于a和b:
c⋅a =a 1 ∣ ∣ ∣ a 2 b 2 a 3 b 3 ∣ ∣ ∣ −a 2 ∣ ∣ ∣ a 1 b 1 a 3 b 3 ∣ ∣ ∣ +a 3 ∣ ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ a 1 a 1 b 1 a 2 a 2 b 2 a 3 a 3 b 3 ∣ ∣ ∣ ∣ =0
c⋅b =b 1 ∣ ∣ ∣ a 2 b 2 a 3 b 3 ∣ ∣ ∣ −b 2 ∣ ∣ ∣ a 1 b 1 a 3 b 3 ∣ ∣ ∣ +b 3 ∣ ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ b 1 a 1 b 1 b 2 a 2 b 2 b 3 a 3 b 3 ∣ ∣ ∣ ∣ =0
那么，为了证明c就是a×b，我们还需证明 |c|=|a||b|sin<a,b> ，以及a,b,c满足右手螺旋定则。
为了证明三个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3)满足右手螺旋定则，只需验证行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| c1 c2 c3 |
的值是非负的。为此，我们将c的坐标代入，并把此行列式按c的那一行展开，得到行列式的值等于 |c| ² ，因此它确实是非负的。
下面证明|c|=|a||b|sin<a,b> 。考虑行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| c1 c2 c3 |
的几何意义，知道它是a,b,c三个向量组成的平行六面体的体积，前面我们已经知道它的数值等于 |c| ² 。又因为c垂直于a和b，那么下面的式子是成立的：
|c| ² =|a| |b| sin<a,b> |c| (因为体积等于底面积乘以高)
当c≠0时，我们直接可以得到 |c| =|a| |b| sin<a,b>。
当c=0时，我们任意取一个三维向量d=(d1,d2,d3)，考虑行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| d1 d2 d3 |
因为它总是0，即不论d是什么向量，a,b,d总是线性相关。我们可以断定a,b线性相关，从而|a| |b| sin<a,b>=0，同样有|c| =|a| |b| sin<a,b>。
这样，没有用到外积的那些难以推导的性质，直接用行列式的性质，我们就证明了上面的外积表达式，而且这个证明更能揭示它们之间的本质联系。
因为有这样的本质联系，我们可以把三维空间中两个向量的外积推广到n维空间中的n-1个向量的情形。但是需要注意的是向量的顺序与定向的问题：如果规定
a1,a2, ...,an-1,a1×a2×...an-1取正向，那么必须在表示外积的行列式中把基底那一行写在最下面，然后按照基底那一行展开成各个分量。
在初级线性代数中，有几个概念之间有密切联系，这些概念是：
1）行列式，2）3个向量张成多面体的有向体积，3）2个向量的外积，4）3个向量的混合积
其实1，2，4直接相等，证明的途径多种多样，这里列出了一种，与一般的教科书稍有不同，即先承认1）等于2），再由此推出3）的表达式，最后推得4）等于1）。
其实承认1）等于2）之后，4）等于1）是很自然的（根据外积和混合积的定义），然后用类似上文的方法也可以推出3）的表达式。
如果开始像一般的线性代数书那样推导3）的表达式，那么4）等于1）就是显然的，从而可以证明1）等于2）。
这些内容都可以向高维空间推广，这里就不赘述了。
1) |a×b|=|a||b|sin<a,b> 其中sin<a,b>表示a和b两向量夹角的正弦。
2) 若|a×b|≠0，那么a×b的方向垂直于a和b所在平面并且使a,b,c满足右手螺旋定则。
设i,j,k是三维空间中成右手定则关系的标准正交基底，a和b在这组基底下的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，那么a×b可以用行列式形式地表示为
这个公式的由来，在一般的教材中，是先推导出外积的几个重要性质：
1) a×b = -b×a
2) (a+b)×c = a×c+b×c
3) a×(b+c) = a×b+a×c
4) a×(kb)=(ka)×b=k(a×b)
5) i×j=k,j×k=i,k×i=j
然后，就可以利用这些性质对以下式子进行展开：
最后化为上面的行列式表示。
但是，为什么外积可以如此规整地表示为一个行列式？难道只是巧合吗？一定有某些内在的原因。
设
首先，注意到 c 的三个分量是那个三阶行列式中的三个子式，利用行列式展开法则，我们可以很容易地证明c垂直于a和b:
那么，为了证明c就是a×b，我们还需证明 |c|=|a||b|sin<a,b> ，以及a,b,c满足右手螺旋定则。
为了证明三个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3)满足右手螺旋定则，只需验证行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| c1 c2 c3 |
的值是非负的。为此，我们将c的坐标代入，并把此行列式按c的那一行展开，得到行列式的值等于 |c| ² ，因此它确实是非负的。
下面证明|c|=|a||b|sin<a,b> 。考虑行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| c1 c2 c3 |
的几何意义，知道它是a,b,c三个向量组成的平行六面体的体积，前面我们已经知道它的数值等于 |c| ² 。又因为c垂直于a和b，那么下面的式子是成立的：
|c| ² =|a| |b| sin<a,b> |c| (因为体积等于底面积乘以高)
当c≠0时，我们直接可以得到 |c| =|a| |b| sin<a,b>。
当c=0时，我们任意取一个三维向量d=(d1,d2,d3)，考虑行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| d1 d2 d3 |
因为它总是0，即不论d是什么向量，a,b,d总是线性相关。我们可以断定a,b线性相关，从而|a| |b| sin<a,b>=0，同样有|c| =|a| |b| sin<a,b>。
这样，没有用到外积的那些难以推导的性质，直接用行列式的性质，我们就证明了上面的外积表达式，而且这个证明更能揭示它们之间的本质联系。
因为有这样的本质联系，我们可以把三维空间中两个向量的外积推广到n维空间中的n-1个向量的情形。但是需要注意的是向量的顺序与定向的问题：如果规定
a1,a2, ...,an-1,a1×a2×...an-1取正向，那么必须在表示外积的行列式中把基底那一行写在最下面，然后按照基底那一行展开成各个分量。
在初级线性代数中，有几个概念之间有密切联系，这些概念是：
1）行列式，2）3个向量张成多面体的有向体积，3）2个向量的外积，4）3个向量的混合积
其实1，2，4直接相等，证明的途径多种多样，这里列出了一种，与一般的教科书稍有不同，即先承认1）等于2），再由此推出3）的表达式，最后推得4）等于1）。
其实承认1）等于2）之后，4）等于1）是很自然的（根据外积和混合积的定义），然后用类似上文的方法也可以推出3）的表达式。
如果开始像一般的线性代数书那样推导3）的表达式，那么4）等于1）就是显然的，从而可以证明1）等于2）。
这些内容都可以向高维空间推广，这里就不赘述了。
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