平凡解是Ax=0中的零解,即x=0。
中文名
平凡解
外文名
Trivial Solution
定 义
Ax=0中的零解,即x=0，称为平凡解
应用学科
数学
数学范畴
矩阵代数
矩阵代数的中的定义，
因为任何线性空间的子空间都过零点, 所以明显的等于0的时候解是成立的,但这显然没什么意义,说这个0解是平凡的,
通俗来讲，如果方程组AX=0, 只有当X=0的时候才成立，就说方程组AX=0只有平凡解（trivial solution），此时肯定有行列式|A| 不为零。相反如果方程组AX=0存在非零解，也就是说存在不为零的X也可以使方程组AX=0成立，则说方程组AX=0存在非平凡解（nontrivial solution），此时肯定有系数矩阵行列式的值|A|=0。
向量积只存在于三维向量中？
初：
若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则
1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直
2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直
对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?)
Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？
其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题：
Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？
自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有
Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？
类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题
Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...)
就这样嗯...
若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则
1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直
2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直
对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?)
Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？
其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题：
Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？
自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有
Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？
类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题
Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...)
就这样嗯...
1个答案
假定你学过线性代数，不然没法讲……
向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。
为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。
也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。
那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？
考虑三维空间
里的一组基
，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作
的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为
。这里用了
这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。
为了方便，我们还可以增加一些约定。由一个向量和它自己张成的“平行四边形”（可以看成是退化的平行四边形）面积为0，于是可以约定
、
、
。另一方面，在考虑物理等实际问题的时候定向是很重要的，从正面看过去的“面积”和从反面看过来的“面积”可以看成是相反的，所以可以约定：
、
、
。
这样一来，我们已经定义好了对于三个基底这个
该怎么算。于是，很容易把这个双线性地延拓成一个
的运算。
比如说，对于
和
，
就等于
有没有发现这有结果看起来点熟悉？
如果把最后的
换成
，
换成
，
换成
，这就是我们熟悉的“向量积”了。
但我们不换。
对于面积，我们有了。于是很自然地想到，对于体积，我们也应该有个
。而且，它的一组基是
。也就是说，是一个一维的向量空间。然后约定，对于
，如果调换其中两项，得到的就是原来的乘以-1，比如说
。这样，如果中有两项是一样的，比如说
，那么调换这两项的次序，就有
，于是它只能等于0。
这样，和前面类似，我们就可以定义三个向量的外积了。经过验算（具体过程我就不写了）就会发现：三个向量的外积就是我们熟悉的混合积，当然还要乘上一个
。
再看一遍前面的过程，就会发现“三”这个维数在这里并没有起到什么特别的作用，顶多是使得的维数和恰好一样。于是，我们可以把这些东西推广到任意一个有限维的向量空间。也就是说，对一个
维的向量空间，取它的一组基
。这样，对
，就可以取
为由
张成的向量空间（这个空间是
维的）。然后约定，对
（这里不要求
），如果调换其中两项，得到的东西等于原来的乘以-1。然后就可以像前面那样那样定义
个维向量的外积。然后，这个外积（在这个维空间中）的模就是你所问的那个“体积”了。特别地，在
的时候，
是个一维空间，个维向量正好可以排成一个
的方阵，这些向量外积正好相当于这个矩阵的行列式（具体的我也不算了）。
到目前为止已经回答了你的全部问题。
不过，中两个向量取了一下外积就到了里，中的东西再和中的东西取外积又到了里……这样总有点不方便。于是我们可以把它们统一一下。我们把实数域
当作一维的向量空间，就记作
，约定它和其他东西的外积就等于数乘。然后把自己记作
。然后取所有这些直和，得到
，记作
。它也是个向量空间。除了向量空间的结构，这个东西上面还有一个外积运算。我们把这个东西叫做外代数。
前面都是先选了上的一组基，然后才定义出这么一堆东西。其实它们的定义也可以不依赖于基的选取，不过要先讲张量什么的，我这里就不介绍了。
外代数还有个叫“泛性质”的性质（这段看不懂就算了）：对任一个结合代数
（这里说的“结合代数”指的是有某种形式的“乘法”运算，而且这个运算满足结合律的向量空间，下面就把这个“乘法”记作
）和任何一个线性映射
，如果对中任一个元素
都有
，那么就有唯一的一个代数同态
，使得
，这里
是到的嵌入，也就是把等同于中的那个。
当然，向量积还有别的一些推广，不过我不是很了解，就不说了。可以参考维基百科的Cross Product词条。我这里只举一个跟你的问题关系不是很大的小例子：
考虑三阶反对称矩阵（也就是满足
的矩阵）的全体
。这种矩阵一定长成
的形式，因此是一个三维的线性空间。然后在上定义一种叫“李括号”的运算
。算算看，这样会得到什么东西？
就说这么多。不说了
2012年11月11日 - 因此，我们可以将面积看成一个映射： 其中V 就是一个矢量，V*V 代表两个 ... 是X 和Y 轴上的单位正向量，那么由这两个矢量张成的四边形就是一个 ... 显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）： 假定面积映射是一个 .... 成的
2013年11月7日 - 若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则 ... 由一个
解：u和v都是二维空间的列向量。可以用平. 面坐标系中的两个点，或从坐标原点引向. 这两点的箭头 ..... 图4.11 二维向量'张成'的平面就退化为直线，成了一. 空间的子 ...
2011年11月9日 - 我找到了这本书的电子版，并且传到了自己网站上，与大家分享一下。大家可以 ... 如果你没有时间翻遍整本书的话，看看我精选出的这些题目也是一个不错的选择。 1. ... 答案：两条线段，它由线段BC 绕A 点顺时针或逆时针旋转60 度而得。这是 ... 答案：
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2008年11月14日 - <DIV class=spctrl></DIV> 从几何角度讲， 它是一个真正的<A ... target=_blank><
文中所提供的教學課例，是由合作研究中心提出的，有關 ... 數學活動的關鍵因素是教師對活動的設計，它是教學計劃 ..... 由於加法形成一個可交換群，而乘法是一個域。0 本身是 ... 進入其他的幾何體系如坐標幾何，向量，甚至複數的“阿根圖” .... 的文化中，都有着自己獨特的記數符號。發展到 ...... 性質：具有平行四邊形和菱形的所有性質。
向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。
为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。
也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。
那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？
考虑三维空间
里的一组基，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为。这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。为了方便，我们还可以增加一些约定。由一个向量和它自己张成的“平行四边形”（可以看成是退化的平行四边形）面积为0，于是可以约定
、、。另一方面，在考虑物理等实际问题的时候定向是很重要的，从正面看过去的“面积”和从反面看过来的“面积”可以看成是相反的，所以可以约定：、、。这样一来，我们已经定义好了对于三个基底这个
该怎么算。于是，很容易把这个双线性地延拓成一个的运算。比如说，对于
和，就等于有没有发现这有结果看起来点熟悉？
如果把最后的
换成，换成，换成，这就是我们熟悉的“向量积”了。但我们不换。
对于面积，我们有了
。于是很自然地想到，对于体积，我们也应该有个。而且，它的一组基是。也就是说，是一个一维的向量空间。然后约定，对于，如果调换其中两项，得到的就是原来的乘以-1，比如说。这样，如果中有两项是一样的，比如说，那么调换这两项的次序，就有，于是它只能等于0。这样，和前面类似，我们就可以定义三个向量的外积了。经过验算（具体过程我就不写了）就会发现：三个向量的外积就是我们熟悉的混合积，当然还要乘上一个
。再看一遍前面的过程，就会发现“三”这个维数在这里并没有起到什么特别的作用，顶多是使得
的维数和恰好一样。于是，我们可以把这些东西推广到任意一个有限维的向量空间。也就是说，对一个维的向量空间，取它的一组基。这样，对，就可以取为由张成的向量空间（这个空间是维的）。然后约定，对（这里不要求），如果调换其中两项，得到的东西等于原来的乘以-1。然后就可以像前面那样那样定义个维向量的外积。然后，这个外积（在这个维空间中）的模就是你所问的那个“体积”了。特别地，在的时候，是个一维空间，个维向量正好可以排成一个的方阵，这些向量外积正好相当于这个矩阵的行列式（具体的我也不算了）。到目前为止已经回答了你的全部问题。
不过，
中两个向量取了一下外积就到了里，中的东西再和中的东西取外积又到了里……这样总有点不方便。于是我们可以把它们统一一下。我们把实数域当作一维的向量空间，就记作，约定它和其他东西的外积就等于数乘。然后把自己记作。然后取所有这些直和，得到，记作。它也是个向量空间。除了向量空间的结构，这个东西上面还有一个外积运算。我们把这个东西叫做外代数。前面都是先选了
上的一组基，然后才定义出这么一堆东西。其实它们的定义也可以不依赖于基的选取，不过要先讲张量什么的，我这里就不介绍了。外代数还有个叫“泛性质”的性质（这段看不懂就算了）：对任一个结合代数
（这里说的“结合代数”指的是有某种形式的“乘法”运算，而且这个运算满足结合律的向量空间，下面就把这个“乘法”记作）和任何一个线性映射，如果对中任一个元素都有，那么就有唯一的一个代数同态，使得，这里是到的嵌入，也就是把等同于中的那个。当然，向量积还有别的一些推广，不过我不是很了解，就不说了。可以参考维基百科的Cross Product词条。我这里只举一个跟你的问题关系不是很大的小例子：
考虑三阶反对称矩阵（也就是满足
的矩阵）的全体。这种矩阵一定长成的形式，因此
是一个三维的线性空间。然后在上定义一种叫“李括号”的运算。算算看，这样会得到什么东西？就说这么多。不说了
矩阵的秩与行列式的意义_百度文库
wenku.baidu.com/view/5364a532eefdc8d376ee324c.html
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向量积只存在于三维向量中？ | 问答| 问答| 果壳网科技有意思
www.guokr.com/question/510522/
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[PDF]第四章平面( )和空间( )中的向量
202.117.122.42:8080/.../new-xd-%20Home%20-%20phys...
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Which Way Did the Bicycle Go 趣题选_程序员数学_酷勤网
www.kuqin.com › 考试 › 程序员数学
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[PDF]物理学咬文嚼字之五十七简并
随记：我们需要怎样的数学教育？ | Matrix67: The Aha Moments
www.matrix67.com/blog/archives/4294
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什么是张量？和矢量有什么区别？ - 已回答- 问答
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[PDF]數學教師不怕被學生難倒了！ - 教育局
www.edb.gov.hk/attachment/en/curriculum.../kla/ma/.../Cabinet%2014.pdf
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