伽利略變換- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia
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伽利略變換是經典力學中用以在兩個只以均速相對移動的參考系之間變換的 ... 利用線性代數的術語來說，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。
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根據伽利略變換，不同運動狀態的觀察者測到的光速似乎應該不同！ 但光改變了一切！ ？ ... 4 Vector 在羅倫茲轉換下，分量會轉換為原來分量的線性組合. 這與向量在座標軸 ... 在線性代數中，向量內積由一個Metric 矩陣來定義：. 向量內積被寫成兩個 ...
标 题: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月20日12:26:08 星期四), 站内信件 我所认识的狭义相对论（一） ------------------ 总说 这两天忙里偷闲，乘着math板高涨的人气，稍微说一下我所认识的狭义相对论。 从数学结构上来说，狭义相对论就是线性代数，或者确切一点，是四维伪欧氏空间（闵 可夫斯基空间）里的线性代数。 大家可能对这样的说法觉得新奇，线性代数这门课任何理工科的同学都接触过，不会很 陌生，如果稍微用功一点，对里面的各种概念也不会感到困惑；相比之下，狭义相对论 “似乎”就高深得多了。 原因是什么？因为学物理必须在大脑中有直观的映象，不巧的是狭义相对论的很多结论 与日常的直观（或者说高中物理）不一致，两者打架了就难以理解，即使理解了也会有 偏差，导致许多错误的结论。 这确实是个很难办的问题，日常的直观就这么一点，我们总不可能乘坐速度接近于光速 的火箭去感受正确的直观。一个变通方案是通过数学这座桥，以一个宏大的框架去“罩 住”整个物理结构，然后在这个框架内去讨论问题。这样做，数学本身固有的自洽性使 得思路不会走偏，并且我们可以沿着数学自身的逻辑结构，从结论往回走，一步步寻找 物理对应，以真正搞清楚发生了什么。 至于像爱因斯坦那样，不通过数学就能够抓住正确直观的人，那是天才。 --------------- 线性代数到底对应着狭义相对论里的什么 大家都知道狭义相对论有两条基本公理：1) 光速不变 2)惯性系平权 （任何怀疑这两条的就等于推翻了狭义相对论，这里不讨论了） 那这两条对应于线性代数的什么呢？答案是： 2) 惯性系平权 -> 线性空间里每一组标准正交基都是平权的（这是废话）。 1) 光速不变 -> 只有那些不改变内积的基变换才是物理上容许的。 在我们所熟知的n维欧氏空间里，满足1)的基变换就是正交变换，直观上，这种变换称作 “旋转”及“镜象”。而在闵可夫斯基空间里，内积的定义是二次型x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2，对应的变换就是洛仑兹变换，当然我们也可以称它为“旋转”变换，大家如 果对相对论的公式有印象，就会发现因子sqrt(1 - v^2/c^2)出现的次数很多，这个东西 像什么呢？如果令theta = arcsin(v / c)，那以上因子就是cos(theta)，像不像是坐标 系的旋转呢? PS. 为什么光速不变对应于二次型x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2？ 首先，给定一组基，任一点(x, y, z, t)只要满足x^2 + y^2 + z^2 -c^2t^2 = 0（ 称为零间隔点）,那么它在任意其它一组基上的坐标(x',y',z',t')也一定满足这个等式。 为了看清这一点，假设一束光从原点(0, 0, 0, 0)（这个坐标在任何基下都是不变的）出 发，在某组基下于t时到达(x,y,z,t)（它一定是能到的，因为光速永远是c），这个光传 播的事实在另一组基下也要成立。 这样，任何满足光速不变的基变换必须将零间隔点变换成零间隔点。也即是说 对任何四维向量x，x^T * M * x = 0，当且仅当x^T * Q^T * M * Q * x = 0，（条件*） 其中M = diag(1, 1, 1, -c)，Q是基变换。 洛伦兹变换则条件更强，它还保证x^T * M * x = x^T * Q^T * M * Q * x对任意x成立。 自然就能保证光速不变。 (我不太清楚由条件*是否能导出 M = a*Q^T*M*Q,a为实常数 的结论，如果行的话， 洛伦兹变换就和光速不变等价，最多差一个a（换度量单位）） --------------- 线性代数与相对论里的“相对”性 在相对论里很多本来不变的东西变了，像同时性，长度，质量之类，这看起来令人震惊 不已；然而换成线性代数的语言，就不足为奇，每个人都自然认为在不同的基下某点的 x或者y坐标是会变的，这就是相对性。 了解了这个，就不必像很多科普书里费无数口舌，设计繁复的光路实验以保证观察者“ 看到的”是什么。事实上狭义相对论的所有结论，只是在“坐标”上面成立，说它是坐 标上的游戏也行，和“看到”是无关的。 同时性->在某个基下坐标t = const的那些超平面，即是同时性平面，显然这会随不同基 的选择而变。 长度->首先要说明相对论里怎么算长度。闵可夫斯基空间可不是三维空间，随便选定两 个点就可以算的。一个自然的选择是这两个点必须“同时”（即t坐标是一样的），然后 按前三个坐标去算长度。 于是在基1下（即在惯性系1下）放在(0, 0, 0, t)至(1, 0, 0, t)的静止单位尺，是可 以取任意t值算得长度（这个叫作“固有长度”）； 但是到基2下，同时性不一样了，在基2上选的两个“同时”点到基1上看变得不同时，并 且基2是移动的！这样得到的长度不一样是很自然的了。 至于质量，这个已经涉及到动力学方面，狭义相对论里的“质量”个人觉得不如说是“ 惯性”更为恰当些，即被加速的难易程度，如果物体越来越难被加速，那么所谓“质量 ”就变大了。但是请注意“加速”这个动作虽然绝对，但“加速”程度本身是相对的（ 依基而变），因此惯性变大同坐标值的变化一样，只是一种效应而已。 （写得有点乱。。。大家有砖尽管扔，觉得有不详细的地方我抽空再补充） -- 。。。。。。 ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 202.120.40.76] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月20日15:53:45 修改本文·[FROM: 202.120.40.76] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月20日15:56:51 修改本文·[FROM: 202.120.40.76]
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我所认识的狭义相对论（一） - 饮水思源
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2007年12月20日 - 4 篇文章
从数学结构上来说，狭义相对论就是线性代数，或者确切一点，是四维伪欧 ..... 光速为c必须在任何惯性系里都成立，但是伽利略变换不能保证这一点。标 题: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月20日12:26:08 星期四), 站内信件 我所认识的狭义相对论（一） ------------------ 总说 这两天忙里偷闲，乘着math板高涨的人气，稍微说一下我所认识的狭义相对论。 从数学结构上来说，狭义相对论就是线性代数，或者确切一点，是四维伪欧氏空间（闵 可夫斯基空间）里的线性代数。 大家可能对这样的说法觉得新奇，线性代数这门课任何理工科的同学都接触过，不会很 陌生，如果稍微用功一点，对里面的各种概念也不会感到困惑；相比之下，狭义相对论 “似乎”就高深得多了。 原因是什么？因为学物理必须在大脑中有直观的映象，不巧的是狭义相对论的很多结论 与日常的直观（或者说高中物理）不一致，两者打架了就难以理解，即使理解了也会有 偏差，导致许多错误的结论。 这确实是个很难办的问题，日常的直观就这么一点，我们总不可能乘坐速度接近于光速 的火箭去感受正确的直观。一个变通方案是通过数学这座桥，以一个宏大的框架去“罩 住”整个物理结构，然后在这个框架内去讨论问题。这样做，数学本身固有的自洽性使 得思路不会走偏，并且我们可以沿着数学自身的逻辑结构，从结论往回走，一步步寻找 物理对应，以真正搞清楚发生了什么。 至于像爱因斯坦那样，不通过数学就能够抓住正确直观的人，那是天才。 --------------- 线性代数到底对应着狭义相对论里的什么 大家都知道狭义相对论有两条基本公理：1) 光速不变 2)惯性系平权 （任何怀疑这两条的就等于推翻了狭义相对论，这里不讨论了） 那这两条对应于线性代数的什么呢？答案是： 2) 惯性系平权 -> 线性空间里每一组标准正交基都是平权的（这是废话）。 1) 光速不变 -> 只有那些不改变内积的基变换才是物理上容许的。 在我们所熟知的n维欧氏空间里，满足1)的基变换就是正交变换，直观上，这种变换称作 “旋转”及“镜象”。而在闵可夫斯基空间里，内积的定义是二次型x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2，对应的变换就是洛仑兹变换，当然我们也可以称它为“旋转”变换，大家如 果对相对论的公式有印象，就会发现因子sqrt(1 - v^2/c^2)出现的次数很多，这个东西 像什么呢？如果令theta = arcsin(v / c)，那以上因子就是cos(theta)，像不像是坐标 系的旋转呢? PS. 为什么光速不变对应于二次型x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2？ 首先，给定一组基，任一点(x, y, z, t)只要满足x^2 + y^2 + z^2 -c^2t^2 = 0（ 称为零间隔点）,那么它在任意其它一组基上的坐标(x',y',z',t')也一定满足这个等式。 为了看清这一点，假设一束光从原点(0, 0, 0, 0)（这个坐标在任何基下都是不变的）出 发，在某组基下于t时到达(x,y,z,t)（它一定是能到的，因为光速永远是c），这个光传 播的事实在另一组基下也要成立。 这样，任何满足光速不变的基变换必须将零间隔点变换成零间隔点。也即是说 对任何四维向量x，x^T * M * x = 0，当且仅当x^T * Q^T * M * Q * x = 0，（条件*） 其中M = diag(1, 1, 1, -c)，Q是基变换。 洛伦兹变换则条件更强，它还保证x^T * M * x = x^T * Q^T * M * Q * x对任意x成立。 自然就能保证光速不变。 (我不太清楚由条件*是否能导出 M = a*Q^T*M*Q,a为实常数 的结论，如果行的话， 洛伦兹变换就和光速不变等价，最多差一个a（换度量单位）） --------------- 线性代数与相对论里的“相对”性 在相对论里很多本来不变的东西变了，像同时性，长度，质量之类，这看起来令人震惊 不已；然而换成线性代数的语言，就不足为奇，每个人都自然认为在不同的基下某点的 x或者y坐标是会变的，这就是相对性。 了解了这个，就不必像很多科普书里费无数口舌，设计繁复的光路实验以保证观察者“ 看到的”是什么。事实上狭义相对论的所有结论，只是在“坐标”上面成立，说它是坐 标上的游戏也行，和“看到”是无关的。 同时性->在某个基下坐标t = const的那些超平面，即是同时性平面，显然这会随不同基 的选择而变。 长度->首先要说明相对论里怎么算长度。闵可夫斯基空间可不是三维空间，随便选定两 个点就可以算的。一个自然的选择是这两个点必须“同时”（即t坐标是一样的），然后 按前三个坐标去算长度。 于是在基1下（即在惯性系1下）放在(0, 0, 0, t)至(1, 0, 0, t)的静止单位尺，是可 以取任意t值算得长度（这个叫作“固有长度”）； 但是到基2下，同时性不一样了，在基2上选的两个“同时”点到基1上看变得不同时，并 且基2是移动的！这样得到的长度不一样是很自然的了。 至于质量，这个已经涉及到动力学方面，狭义相对论里的“质量”个人觉得不如说是“ 惯性”更为恰当些，即被加速的难易程度，如果物体越来越难被加速，那么所谓“质量 ”就变大了。但是请注意“加速”这个动作虽然绝对，但“加速”程度本身是相对的（ 依基而变），因此惯性变大同坐标值的变化一样，只是一种效应而已。 （写得有点乱。。。大家有砖尽管扔，觉得有不详细的地方我抽空再补充） -- 。。。。。。 ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 202.120.40.76] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月20日15:53:45 修改本文·[FROM: 202.120.40.76] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月20日15:56:51 修改本文·[FROM: 202.120.40.76]
[回复本文][原帖] 发信人: kongzizhizi (Li Shiyang), 信区: math 标 题: Re: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月21日04:27:03 星期五) 聊聊我的想法。 对于第一条对映，比较有问题。你说线性空间的各组基（首先，这里不一定要标准正 交吧）平权，这里的线性空间包括时间维吗？如果不包括，那么这个基的平权只能对应空 间旋转对称性，即空间各项同性，也即角动量守恒。因为不同的基，只造成一个旋转的结 果。而惯性系平权不是说的这个。惯性系平权照我理解，是说物理定律在空间、时间两者 以匀速方式耦合平移形式不变（如果对这一点，空间、时间在无耦合情况下各自平移不变 是必要的，那么也可说它蕴含了动量守恒和能量守恒）。三维空间基变换是个静态结果， 不体现时空耦合（即运动），而且基的线性变换对映的是旋转，而非平移。而如果认为线 性空间包括了时间维，也不对头，第二个假设是用来说明四维间的耦合关系的，第一个假 设没涉及到这个问题，我印象中第一个假设伽利略时代也是认可的（大概就是牛一律的扩 充电磁领域等等），所以你说的第一个对映我觉得问题比较大。 对于第二条对映，说实话不太明白你意思的关键。在闵可夫斯基空间下，我觉得不是 像的问题，洛仑兹变化似乎就是旋转变换。我不知道复向量的模和内积定义和实向量是否 相同，复正交阵（如果有这个东西），是不是和实正交阵一致。如果是，那么，把洛仑兹 变换中的t用闵可夫斯基空间第四维cit（这里写作T）代换掉，那么由（x,y,z,T)到（x', y',z',T'）的变换矩阵是个复矩阵，如果模、内积的计算法同实向量，那么，这个矩阵的 列向量内积两两为0，每列模为1。这和实正交阵是完全一样的。所以我说洛仑兹变换对于 闵可夫斯基空间根本就是个旋转变换。 为什么光速不变对映那个实二次型，我觉得关键是说明为什么在式子中c的位置上是个 常数，更进一步说明为什么二次规范型的系数是1、1、1、-c^2。那部分我不很理解你的意 图。 坐标变换变得只是坐标，当然不会改变二次型的值。条件（*）似乎只要Q是可逆阵就 可以满足啊……不知是不是我哪里想错了？你那个M最后一个坐标是不是应该是-c^2？关键 的约束不是变换前后二次型值不变（只要是可逆线性变换应该都不变），而是不能改变矩 阵的特征值（也就是说要是相似变换）（不能改变x、y、z对映的1、1、1似乎就是说明各 向同性，不能改变t对映的-c^2就是光速不变，至于为什么是c……似乎只能说麦克斯韦方 程组显示：上帝规定它是那么大），所以在三维空间里必须是正交变换。对于对角阵M，不 能改变特征值就是不能改变它本身，所以必须有QT*M*Q=M，这样的变换阵只有一个，就是 单位阵E，换句话说，没这样的变换。于是放弃以（x,y,z,t）空间的正交变换满足那个二 次型系数不变的想法，将-c^2开方纳入变换阵，或者，先将t变成T。这时，M就变成了E， 而E就有个好处，任何正交阵都能使QT*E*Q=E，于是就允许存在很多这样的Q了。前面说了 ，洛仑兹变换其实就是纳入ci的变换阵，或者，先将t变成T，那么洛仑兹变换就是对（x, y,z,T）的复正交变换。 我就学过点儿工程数学线性代数，有些东西说得比较想当然，请多多指教呀！ 【 在 tydsh 的大作中提到: 】 : 我所认识的狭义相对论（一） : ------------------ : 总说 : 这两天忙里偷闲，乘着math板高涨的人气，稍微说一下我所认识的狭义相对论。 : 从数学结构上来说，狭义相对论就是线性代数，或者确切一点，是四维伪欧氏空间（闵 : 可夫斯基空间）里的线性代数。 : 大家可能对这样的说法觉得新奇，线性代数这门课任何理工科的同学都接触过，不会很 : 陌生，如果稍微用功一点，对里面的各种概念也不会感到困惑；相比之下，狭义相对论 : “似乎”就高深得多了。 : 原因是什么？因为学物理必须在大脑中有直观的映象，不巧的是狭义相对论的很多结论 : 与日常的直观（或者说高中物理）不一致，两者打架了就难以理解，即使理解了也会有 : 偏差，导致许多错误的结论。 : 这确实是个很难办的问题，日常的直观就这么一点，我们总不可能乘坐速度接近于光速 : 的火箭去感受正确的直观。一个变通方案是通过数学这座桥，以一个宏大的框架去“罩 : 住”整个物理结构，然后在这个框架内去讨论问题。这样做，数学本身固有的自洽性使 : 得思路不会走偏，并且我们可以沿着数学自身的逻辑结构，从结论往回走，一步步寻找 : 物理对应，以真正搞清楚发生了什么。 : 至于像爱因斯坦那样，不通过数学就能够抓住正确直观的人，那是天才。 : --------------- : 线性代数到底对应着狭义相对论里的什么 : (以下引言省略...) -- ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 59.78.48.92] |
[回复本文][原帖] 发信人: tydsh (To unknown future...forge on), 信区: math 标 题: Re: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月21日11:11:39 星期五), 转信 好，终于有人有实质性回贴了，太感动了~~ 第一条对应显然是包括时间维的，整个四维闵可夫斯基空间上的基。这样就包括了惯性 系之间的各种变换，空间旋转也好，有相对速度也好，都在基变换的范围之内。 还有，第一个假设（光速不变）是由麦克斯韦方程导出，但与伽利略时代的第二个假设 （惯性系平权）矛盾。照麦克斯韦方程，光速为c必须在任何惯性系里都成立，但是伽利 略变换不能保证这一点。 时空各向同性确实也是狭义相对论的隐含假设，不然就没办法使用线性代数这个全局上 线性的工具了。这一条我漏掉了。 关于第二条（内积不变），不能说洛伦兹变换就是旋转变换。换成ict是常用的简便方案 ，但是关键是复内积不是和实内积一样定义的，复内积关于第二个参数是共轭线性的。 如果把ct换成ict，两者内积变为 Innerproduct[(x_1, y_1, z_1, ict_1), (x_2, y_2, z_2, ict_2)] = x_1*x_2 + y_1*y_2 + z_1*z_2 + c^2t_1t_2 注意上面还是四项全加，没有减号。 另一方面，从线性代数里我们可以知道，内积都是 二次型，而二次型是有“指标”的。闵可夫斯基空间里的内积的指标是3+1-，而普通四 维欧氏空间里的指标是4+。指标是个基变换不变量，因此这两个空间的结构是不一样的 。 还有一种更简单的想法，闵可夫斯基空间里存在模长为0的非零向量（零间隔），而R^4 里没有。拓扑上是不一致的。 M最后一个坐标确实应该是-c^2，是我写错了:( 条件(*)不是只要可逆阵就能满足的，条件(*)是把零间隔集变成零间隔集。举个例子， 考虑二维的闵氏空间，M=diag(1, -c^2)，这里面零间隔集是两条直线x=+ct和x=-ct，如 果取Q为普通二维空间的旋转变换，Q是可逆的，但Q把这两条直线绕原点旋转了一个角 度，直线上的点对到了非零间隔集上去了。 为什么光速不变（物理）对应于不能改变矩阵的特征值（数学）？为什么空间各向同性 意味着x,y,z的项必然是1？ 对前者，必须要有一个物理过程进行两者转换，不说明这个物理过程就无法对应。我在第 二段里写的就是这个物理过程。 对后者，我想你没有明白什么是空间各向同性。x,y,z的坐标可以换成任何其它量纲使得 diag上的三个数彼此都不同，但是这还是满足空间各向同性的，因为它是说“任何物理 规律在空间的各个点上都是一样的”，也即是说表现物理规律的等式里的常数/阶次/运 算等等不是空间坐标的函数。把diag上的三个数换掉仅仅相当于把物理规律公式里的某 些常数在所有空间点上统一地换掉，结果还是空间各向同性的。 还有M=Q^T*M*Q这个的解绝不只是E自己，不要想当然哦:) 在二维上简单推一下就知道了，你马上会得到二维闵氏空间上的洛伦兹变换。 把-c^2纳入Q同样是不行的，在复空间里上述等式是M=Q^H*M*Q，H是共轭转置。 --------------------------------------- PS. 为什么复内积要那样定义。原因是必须保证向量模长|v|^2 = <v,v> 是实数。 复空间的所有其它地方T换成H的原因是必须和内积定义自洽。 当然我们可以不保证向量模长是实数，从而发展出一个新的（更复杂的）数学分支。 不过对于狭义相对论而言，（复）线性代数就足够了。 在 kongzizhizi (Li Shiyang) 的大作中提到: 】 : 聊聊我的想法。 : 对于第一条对映，比较有问题。你说线性空间的各组基（首先，这里不一定要标准正 : 交吧）平权，这里的线性空间包括时间维吗？如果不包括，那么这个基的平权只能对应空 : 间旋转对称性，即空间各项同性，也即角动量守恒。因为不同的基，只造成一个旋转的结 : 果。而惯性系平权不是说的这个。惯性系平权照我理解，是说物理定律在空间、时间两者 : 以匀速方式耦合平移形式不变（如果对这一点，空间、时间在无耦合情况下各自平移不变 : 是必要的，那么也可说它蕴含了动量守恒和能量守恒）。三维空间基变换是个静态结果， : 不体现时空耦合（即运动），而且基的线性变换对映的是旋转，而非平移。而如果认为线 : 性空间包括了时间维，也不对头，第二个假设是用来说明四维间的耦合关系的，第一个假 : 设没涉及到这个问题，我印象中第一个假设伽利略时代也是认可的（大概就是牛一律的扩 : 充电磁领域等等），所以你说的第一个对映我觉得问题比较大。 : 对于第二条对映，说实话不太明白你意思的关键。在闵可夫斯基空间下，我觉得不是 : 像的问题，洛仑兹变化似乎就是旋转变换。我不知道复向量的模和内积定义和实向量是否 : 相同，复正交阵（如果有这个东西），是不是和实正交阵一致。如果是，那么，把洛仑兹 : 变换中的t用闵可夫斯基空间第四维cit（这里写作T）代换掉，那么由（x,y,z,T)到（x', : y',z',T'）的变换矩阵是个复矩阵，如果模、内积的计算法同实向量，那么，这个矩阵的 : 列向量内积两两为0，每列模为1。这和实正交阵是完全一样的。所以我说洛仑兹变换对于 : 闵可夫斯基空间根本就是个旋转变换。 : 为什么光速不变对映那个实二次型，我觉得关键是说明为什么在式子中c的位置上是个 : 常数，更进一步说明为什么二次规范型的系数是1、1、1、-c^2。那部分我不很理解你的意 : 图。 : 坐标变换变得只是坐标，当然不会改变二次型的值。条件（*）似乎只要Q是可逆阵就 : 可以满足啊……不知是不是我哪里想错了？你那个M最后一个坐标是不是应该是-c^2？关键 : 的约束不是变换前后二次型值不变（只要是可逆线性变换应该都不变），而是不能改变矩 : 阵的特征值（也就是说要是相似变换）（不能改变x、y、z对映的1、1、1似乎就是说明各 : 向同性，不能改变t对映的-c^2就是光速不变，至于为什么是c……似乎只能说麦克斯韦方 : 程组显示：上帝规定它是那么大），所以在三维空间里必须是正交变换。对于对角阵M，不 : 能改变特征值就是不能改变它本身，所以必须有QT*M*Q=M，这样的变换阵只有一个，就是 : 单位阵E，换句话说，没这样的变换。于是放弃以（x,y,z,t）空间的正交变换满足那个二 : 次型系数不变的想法，将-c^2开方纳入变换阵，或者，先将t变成T。这时，M就变成了E， : 而E就有个好处，任何正交阵都能使QT*E*Q=E，于是就允许存在很多这样的Q了。前面说了 : ，洛仑兹变换其实就是纳入ci的变换阵，或者，先将t变成T，那么洛仑兹变换就是对（x, : y,z,T）的复正交变换。 : 我就学过点儿工程数学线性代数，有些东西说得比较想当然，请多多指教呀！ : 【 在 tydsh 的大作中提到: 】 : : 我所认识的狭义相对论（一） : : ------------------ : : 总说 : : 这两天忙里偷闲，乘着math板高涨的人气，稍微说一下我所认识的狭义相对论。 : : 从数学结构上来说，狭义相对论就是线性代数，或者确切一点，是四维伪欧氏空间（闵 : : 可夫斯基空间）里的线性代数。 : : 大家可能对这样的说法觉得新奇，线性代数这门课任何理工科的同学都接触过，不会很 : : 陌生，如果稍微用功一点，对里面的各种概念也不会感到困惑；相比之下，狭义相对论 : : “似乎”就高深得多了。 : : 原因是什么？因为学物理必须在大脑中有直观的映象，不巧的是狭义相对论的很多结论 : : 与日常的直观（或者说高中物理）不一致，两者打架了就难以理解，即使理解了也会有 : : 偏差，导致许多错误的结论。 : : 这确实是个很难办的问题，日常的直观就这么一点，我们总不可能乘坐速度接近于光速 : : 的火箭去感受正确的直观。一个变通方案是通过数学这座桥，以一个宏大的框架去“罩 : : 住”整个物理结构，然后在这个框架内去讨论问题。这样做，数学本身固有的自洽性使 : : 得思路不会走偏，并且我们可以沿着数学自身的逻辑结构，从结论往回走，一步步寻找 : : 物理对应，以真正搞清楚发生了什么。 : : 至于像爱因斯坦那样，不通过数学就能够抓住正确直观的人，那是天才。 : : --------------- : : 线性代数到底对应着狭义相对论里的什么 : : (以下引言省略...) -- 。。。。。。 ※ 来源:·饮水思源 bbs.sjtu.edu.cn·[FROM: 58.196.151.18] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月21日11:25:50 修改本文·[FROM: 58.196.151.18] ※ 修改内容:·tydsh 于 12月21日11:27:04 修改本文·[FROM: 58.196.151.18] |
[回复本文][原帖] 发信人: kongzizhizi (Li Shiyang), 信区: math 标 题: Re: 我所认识的狭义相对论（一） 发信站: 饮水思源 (2007年12月21日15:00:53 星期五) 看得我晕乎~~~~外行。 按我的想法，相对论的一个突破就是把t和另外三维联合起来看作一个整体的四维空间 ，因此有了时空耦合（相对性），伽利略时代的惯性系平权大概就是因为没有考虑t维和前 三位的平等关系，所以惯性系之间的t是绝对的。在那样的理解下，惯性系间的差别是以匀 速耦合的时空平移，而不是一个包括t在内的四维空间的基变换。 第二个问题，看了你的扫盲，明白了一些东西，不明白的以后慢慢学吧。我就奇怪当 时为什么明明看到两个复坐标的平方和是1但用matlab算那个复向量的模不是1，原来有个 共轭线性的问题。大概因为这里比较特殊，洛仑兹变换阵（至少在我试验的x、cit二维下 ），每个元不是实数就是纯虚数，所以恰好没有你说的按实数的定义方法会出现模不是实 数的情况，相反刚好和实数范围的定义吻合。 关于空间各向同性那段完全赞同，是我乱说的。 M=Q^T*M*Q的解的问题纯属头昏，当时我通过手解M特征向量来构造Q，发现带着c做施 密特正交化相当繁，用matlab直接就求了一个E给我，想想也对，就忘了这个阵其实不是唯 一的，按施密特正交化的得到的那个阵应该就不是E，被旋转过的。 【 在 tydsh 的大作中提到: 】 : 好，终于有人有实质性回贴了，太感动了~~ : 第一条对应显然是包括时间维的，整个四维闵可夫斯基空间上的基。这样就包括了惯性 : 系之间的各种变换，空间旋转也好，有相对速度也好，都在基变换的范围之内。 : 还有，第一个假设（光速不变）是由麦克斯韦方程导出，但与伽利略时代的第二个假设 : （惯性系平权）矛盾。照麦克斯韦方程，光速为c必须在任何惯性系里都成立，但是�.. : 略变换不能保证这一点。 : 时空各向同性确实也是狭义相对论的隐含假设，不然就没办法使用线性代数这个全局上 : 线性的工具了。这一条我漏掉了。 : 关于第二条（内积不变），不能说洛伦兹变换就是旋转变换。换成ict是常用的简便�.. : ，但是关键是复内积不是和实内积一样定义的，复内积关于第二个参数是共轭线性的。 : 如果把ct换成ict，两者内积变为 : Innerproduct[(x_1, y_1, z_1, ict_1), (x_2, y_2, z_2, ict_2)] : = x_1*x_2 + y_1*y_2 + z_1*z_2 + c^2t_1t_2 : 注意上面还是四项全加，没有减号。 另一方面，从线性代数里我们可以知道，内积�.. : 二次型，而二次型是有“指标”的。闵可夫斯基空间里的内积的指标是3+1-，而普通四 : 维欧氏空间里的指标是4+。指标是个基变换不变量，因此这两个空间的结构是不一样的 : 。 : 还有一种更简单的想法，闵可夫斯基空间里存在模长为0的非零向量（零间隔），而R^4 : 里没有。拓扑上是不一致的。 : M最后一个坐标确实应该是-c^2，是我写错了:( : (以下引言省略...) |
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