8：变分建模法
变分法建模
· 1 变分法简介 · 2 应用
问题一： 等周问题（古希腊） 1：给定一平面封闭曲线 Γ ，使得所围的平面图形面积最大。 2：延拓到多维时的情形。
Γ
空间曲面面积的定义：曲面微元向切平面作投影的微元面积， 作和，求极限。 以3维空间为例z=z(x,y),
z |·· =Γ = zΓ
s = min ∫∫ 1 + z + z dxdy
2 x 2 y ·
z |·· =Γ = zΓ
二：Euclid问题 A B
水平镜面 选择P点，使得AP+PB最短
推广的问题，折射。 三： 捷线问题（John.Berluli） A
B 找一条从A到B的连续曲线，当小球只受重力作用， 从A到B的时间最短 1 2 mv = mgy, v = 2 gy 2 等时线，旋轮线 ds
ds = (dx) 2 + (dy ) 2 , dt = v
B xB
( xB , y B )
ds T =∫ = v A
∫
0
1 + y '2 2 gy
dx
四： 最短路问题 A(x1,y1)
y(x) B(x2,y2) 求连接AB的最短线。
L = ∫ 1 + y ' dx
2
1: 平面 2：球面
直线 测地线
变分法简介： 变分法简介：
变分法基本概念 1：变分 设S为一函数集，若对于每一个S中的函数x(t)有一个实数 J与之对应，则称J是定义在S上的泛函 记作J(x(t)),S称为容许函数集
对于平面 xy上过定点 A（x 1 , y 1）和B（x 2 , y 2）的每一条光滑曲线 y ( x )， 绕x轴旋转得到一个旋转体 ，如图，旋转体的侧面 积是曲 如图， 线y ( x )的泛函由微分知识有
x2
s=
∫
2πy ( x ) (1 + y' 2 ( x ))dx
x1
容许函数集为 S = {y(x) | y(x) ∈ C 1 [x 1 , x 2 ], y ( x 1 ) = y 1 , y ( x 2 ) = y 2 } ( 2)
最简泛函的形式：
t2
J ( x(t )) = F(t , x, x' )dt
t1
∫
x1 被积函数F包括自变量，未知函数及其导数
x2
泛函的极值 泛函J ( x(t ))在x0 (t ) ∈ S取得极小值是指， 对于任意一个与x0 (t )接近的x(t ) ∈ S，都有J ( x(t ))》J ( x0 (t ))
所谓接近，用距离d ( x(t ), x0 (t )) < ε度量
d[x(t ), x 0 (t )] =
max {| x(t ) · x
t1 ≤ t ≤ t 2
0 ( t ) |, | x' ( t )
· x' 0 (t ) |}
泛函的极大值可类似定义，x0(t)泛函的极值函数或极值曲线
泛函的变分
δx(t ) = x(t ) · x 0 (t )
如同函数的微分是函数增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函 增量的线性主部，作为泛函的自变量，函数x(t)在x0(t)的增量记作
(4)
称为函数的变分， 称为函数的变分，由它 引起的泛函的增量记作 · J = J(x 0 (t) + δ x ( t )) · J ( x 0 ( t )) 如果 · J 可以表示为 · J = L ( x 0 (t) , δ x ( t )) + r ( x 0 (t) , δ x ( t )) 的线性项， 其中 L 是 δ x 的线性项，而是 δ J （ x 0 ( t )), δ J （ x ( t )) 的高阶项， δ x 的高阶项， 的变分。 则称 L 为泛函在 x 0 ( t )的变分。记作
泛函的另一个重要形式 是它可以表示为 对参数 α 的导数： · δ J (x(t)) = J ( x (t ) + αδ x (t )) |α = 0 ·α
根据L和r的性质有：
(5)
·J = J ( x(t ) + αδx) · J ( x(t )) = L( x(t ),αδx) + r ( x(t ),αδx)
L( x(t ),αδx) = αL( x(t ),
δx)
α →0
lim
r ( x(t ),αδx)
α
r ( x(t ),αδx) = lim δx = 0 α →0 αδx
J ( x + αδx) · J ( x) · J ( x + αδx) |α =0 = lim ∴ α →0 ·α α J ( x + αδx) + r ( x + αδx) = lim = L ( x , δ x ) = δJ ( x )
α →0
α
极值与变分 利用5式可以得到泛函极值与变分的关系： 5
若J ( x(t ))在x 0 (t )达到极值 则δJ( x 0 (t )) = 0
泛函极值的必要条件——欧拉方程 欧拉方程 泛函极值的必要条件 ）：固定端点条件下取得极值的必要条件 6
d FX · Fx ' = 0 dt Fx · Ftx ' · Fxx ' x'· Fx ' x ' x' ' = 0
推广到含有两个或两个以上未知函数的情况
t2
J ( x ( t ), u ( t )) =
∫ F ( t , x , x ' , u , u ' )dt
t1
的欧拉方程为 d Fx · Fx' = 0 dt d Fu · Fu ' = 0 dt
3）横截条件 如果容许函数x(t)的一个端点t=t2不固定,而是在一条给定的曲线x=g(t) 上变动，讨论泛函J在以上条件下的极值曲线。 1：用欧拉方程得出其通解，用一个端点条件确定一个常数。 2）其次，另一个定解条件用以下式子确定：
[F + (g'· x' )Fx' ] | t = t 2 = 0
称为横截条件 考虑如下两种特殊情况 1）： 当 x = g ( t )垂直于横轴时 , t 2固定但 x ( t 2 )自由 , 称 t 2 为自由端点 ,
dt 2 = 0，所以有 Fx' |t = t 2 = 0
定解条件 2）：
当x = g(t )平行于横轴时 , g' = 0 定解条件为： 定解条件为： F · x' Fx' | t = t 2 = 0
4：条件极值
t
J =
∫
2
F(t,
x(t),
u(t))dt
24 25
t1
x ' ( t ) = f ( t , x ( t ), u ( t ))
引入乘子 λ （ t), 构造泛函
t 21
与函数条件极值一样，采用拉氏乘数法，化为无条件极值。
I(x(t), u(t)) =
∫ [F(t,
x, u) + λ (t)(f(t, x, u) - x' )]dt
26
t1
记 H(t, x, u) = F(t, x, u) + λ (t)f(t, x, u) H 称为哈密尔顿函数，（ 称为哈密尔顿函数，（
t 21
26 ）改写为
I(x(t), u(t)) =
∫ (H
- λ x' )dt
t1
化为含有两个函数x(t),u(t)的无条件极值。用欧拉方程有
d ( H · λx' ) x' = 0 dt d ( H · λx' ) u · ( H · λx' ) u' = 0 dt 将H的表达式代入有 ·H + λ' (t ) = 0 ·x ·H =0 ·u 即 归结为求下列微分方程组 ( H · λx' ) x · ·H = · λ ' (t ) ·x ·H =0 ·u x' = f(t, x, u)
模型五 农作物灭虫药的使用
为了减少虫害给农作物带来的巨大损失，农民们普遍使用农药 冲经济学的角度来看，什麽时候使用灭虫药和使用多少药能让 损失降到最小，是倍受关注的问题，使用一个数学的模型给出 您的解释。 一般地，如果用u(t)表示时刻t的使用灭虫药的数量，用表示x(t) 时刻t害虫的数量，用F[x(t),u(t),t]表示单位时间的总损失，包括被 害虫x(t)毁坏的农作物及灭虫药的费用。设农作物生长季节周期 为T， 则总损失可记作
T
J ( u ( t )) =
F ( x ( t ), u ( t ), t ) dt ∫
(1)
0 又因为害虫数量x(t)极其增长率x’(t)取决于灭虫药的数量u(t)， 所以有
X’(t)=f(x(
t),u(t),t)
(2)
于是（1），（2）构成一个以u(t)为控制函数，x(t)为状态函数 的泛函极值问题。 (参见《实变函数与泛函分析》） 在这里，我们不做一般性的讨论，只就u(t)在特殊情况下的模 型加以考虑,结合实际情况，农名用药的实际情况是：u(t)大体 上成如图的形式: U(t) u2 及隔一段时间用一次药，用药 u1 时间很短（与整个生长季节相比） 于是确定u(t)就转化为确定
τ 1 ,τ ................, u1 , u 2 .............
t 为了进一步简化，在下面的模型中我们假设在整个生长过程中 只使用一次品药。它可以推广到多次的情况。
τ1
τ2
二
模型假设
1。未使用灭虫药时，害虫的自然增长率为r，由于食物丰富 不考虑自身的阻滞作用；害虫的迁移率为常数q>0，表示由外界 向所考察地域迁入；害虫的初始数量为 x0 2.在农作物生长季节内（0 u 0 时才有效， m 是环景保护条 u 例规定的上限。 3.使用单位数量的农药后，害虫减少量与当时数量成正比，比例 系数 α ， 这符合害虫分布较密的情况。 4。农作物被毁坏得数量与当时害虫的数量x(t)成正比，比例系数 为b，农作物的单价为p（时间较短，不考虑折扣因子。） 5:使用灭虫药的固定费用为c 0 ，单位数量灭虫药的费用为c1
τ
三 建立模型 建立模型的目的是确定使用灭虫药的时刻和数量，使整个生 长期间的总损失最小。根据假设4，5总损失应为 T （3）
L(τ , u) = c0 + c1u + pb∫ x(τ , u, t)dt
0
式中
x(τ , u , t ) 表示害虫数量与t,u有关
dx = rx + q, 0 ≤ t < τ dt x ( 0) = x 0
根据假设1，未用灭虫药时（
t <τ
）害虫增长满足
（4）
利用MATHEMATICA 解出它：
In[]=:
DSolve x' t - r x t + q · 0, x t , t
Out[]=:
@D D @D@ @D
0 ≤ t <τ
（5）
q rt x t · +· C 1 r
即：
q rt q x(t ) = ( x0 + )e · r r
根据假设2，3，在 t 满足
= τ 时使用数量的药后害虫的残存量
dx = ·αx, u 0 ≤ u ≤ u m du · x(τ , u 0 ) = x (t )
其中
（6）
x · (τ ) 由（5）式令
t →τ
时得到。
利用MATHEMATICA 解出（6）： In[]=:
DSolve x' u + a x u · 0, x u , u
Out[]:=
x u · ·
即：
-au
C 1
（7）
x(τ,u) = x (t)e
·
·α(u·u0 )
, u0 ≤ u ≤ um
当后害虫又按照方程（4）的规律由初值增长，于是根据（5）式 可以写出
q r ( t ·τ ) q x (t ) = [ x (τ , u ) + ]e · , τ ≤t ≤T r r
（8）
将（6），（7），（8）代入（3）式积分后可得：
·1 e ·1 q e ( x0 + ) + L(τ , u ) = c0 + c1u + pb{ r r r q rτ ·α (u ·u0 ) q qT ·α ( u ·u 0 ) （9） .[( x0 + )e + (1 · e )] · } r r r
rτ
r (T ·τ )
四 模型求解
这实际上是一个求函数极值问题，由高等数学的知识知： 这是一个求二元函数极
值问题，以（u,τ )自变量 在（9）式两边对u求导，并令它等于零有： 可利用MATHEMATIC求偏导
· x f x, y, z
（10）
即： · L = 0
·u
rx 0 1 T τ = · ln( 1 + ) 2 2r q
因为要求 τ 》0，令 τ
（10）
=0
由（10）时可求出
rx 0 q = q c = rT e ·1
所以最佳时刻 τ * 应为
*
（11）
0
（12）
τ =
, q ≤ qc q > qc
rx0 T 1 · ln(1 + ), 2 2r q
（11）式的 令
·L =0 ·u
qc
程临界迁移率 可得
r (T ·τ )
u = u0 +
1
α
ln{
αpb
c1 r
(e
q rτ q · 1)[( x0 + )e · ]} r r
（13）
q < qc
为简化表达式，记
δ (q) =
pbx 0 rT ( e · 1) , r q + rx 0 q 2 pb[ · ] r r
（14） q > qc
则13式可写作
u = u0 +
又因为u 0
1
≤ u ≤ u m ，所以最佳用药量 u *
u0 + um 1
α
ln
αδ
c1
（15） 应为
u =
*
α
ln
αδ
c1
,
,
1<
αδ
c1
< e α ( u m ·u0 )
（16）
αδ
c1
≥e
α ( um ·u0 )
这样，（11），（12），（14），（16）构成了用药佳时刻和 数量的表达式。
五 模型检验
* * 上面所得到的使用灭虫药后的最小损失 L(τ , u ) 应该与不使 用药时的损失小，这时才决定用药。
不使用药的损失是 L(τ ,0) （实际上与 参考三式有
τ
无关）
L(τ ,0) = pb ∫ x(t )dt
0
T
(17)
其中x(t)由（5）式给出，由（17）式计算积分可得
pb q rT L(τ ,0) = [( x0 + )(e · 1) · qT ] r r
将（12），（14），（16）代入（9）式可以算出
（18）
L(τ , u )
* *
经化简后再利用（18）可得：
L (τ , u ) · L (τ ,0 ) =
* *
α
c1
[α u 0 +
αc 0
c1
+ 1 + ln
αδ
c1
·
αδ
c1
]
若记：
（19）
w(q ) = αu 0 +
则可知道仅当条件
αc0
c1
+ 1 + ln
αδ
c1
·
αδ
c1
（20）
W(q)<0 成立时才有：
（21）
L(τ ,0) < c0 + c1u m
（22）
于是在时刻 τ * 使用药量 使用药
是最佳选择。否则，整个生长期应不
模型解释（结果分析） 五 模型解释（结果分析） 在 τ * 的表达式（12）中有一个定值 q ，当实际的害虫迁移率
c
q ≤ qc
时
τ = 0 既生长季节一开始就用药，这是因为q较小
*
害虫的自然增长是虫害主要原因，尽早地用药根除害虫更为有利
q > q c 时外界迁入是虫害的主体，所以要过一段时间用药，并且
q越大灭虫时间越晚，另外，从的 q c 表达式可知，害虫的 初始 值 x 0越大则 q c 越大，增长率r越大则q c 越小。
在
的表达式（16）中规定了
αδ
c1
，因为否则由（20）式 >1
可知 W(q)<0 ，按照（21），（22）式更本不应用药
（16），（14）还表明，衡量药效的系数越大，药的价格越大 则用药量越小；农作物单价越大，衡量农作物损失的系数 越大，害虫的增长率，迁移率，初值越大，则越大。这些都 是与常识相符合。
六 模型评注
模型在适当的假设下得到的结果是合理的，但是由于表达式太 复杂，运用起
来十分不方便。实际上一些农民决定是否用药时 常采用比较简便的准则，比如将不用药的最大损失 与用最大药量的费用 相比较。
L(τ ,0)
当
L(τ ,0) > c0 + c1u m
u m 灭虫，用药时刻另行考虑或按（12）估计
时就用最大药量
当
L(τ ,0) < c0 + c1u m
时就不用药
Wednesday, July 22, 2015
= τ 时使用数量的药后害虫的残存量, 当后害虫又按照方程（4）的规律由初值增长
变分建模法
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