无论是实流形还是复流形，没有度规都无法进行更细致的研究。Riemann在1854年第一次提出“流形”的粗糙概念时，是直接开始赋予度规即 Riemann度规，相应的流形称为Riemann流形。Einstein研究广义相对论时对时空赋予的度规是Lorentz度规，相应的时空流形称为 Lorentz流形

标题: 时空与几何的几个问题 (1-2)
作者: 萍踪浪迹
1.

总是有人在时空几何方面产生很多问题，这都怪我们没有生活在七维空间或者九维时空。因为如果我们只考虑三维弯曲空间，那么必须有七维空间才够嵌入，如果只是“浸入”的话，那么维数可以降低，但是无法避免自交点。如果我们考虑四维弯曲时空，要有九维时空才够嵌入，“浸入”的情况如前。

因为我们生活在三维空间加一维时间，时间在我们的观念里始终是一个流逝量而很难从骨子里当它是一个和空间平等的维。

这样我们对空间的直观认识只能停留在三维空间里的曲面。即使是曲面，也要有限制，因为三维空间无法嵌入Klein圆和Poincare上半平面，它们是双曲几何模型且可以建立共性等价。

因为我们无法思考比曲面维数更高的几何体，使得我们对空间的认识只能用类比和计算来进行。类比的典型就是那曲面上的蚂蚁，可是我们凭什么认定我们在现实时空中的处境会和蚂蚁在曲面上的情形类似呢？假设一种情况，一只蚂蚁在篮球内部爬，它的头和脚的连线其实是一根直线段，和球上的弧是无法重合的，那么它应该知道自己是在弯曲的面上面爬，除非这蚂蚁已经是理想的质点。Einstein回答他儿子的名言是就涉及到蚂蚁爬苹果。由于上面的原因，虽然蚂蚁不会微分几何，不会进行张量计算，它仍然会知道自己是在曲面上爬。只有假设它确实是2维的，才可以让我们把我们生活在现在的空间中无法依赖直觉感知弯曲空间的情况与蚂蚁进行类比。
而计算的方式就是运用微分几何，写出度规，然后算曲率。

计算会告诉我们许多信息，从类空超曲面到D膜，我们都无法避免计算。有时候我们要从度规开始计算曲率，有时候更复杂，要从曲率反过来探索度规性质，比如Ricci平坦空间的度规。

这方面的问题林林种种，平坦空间问题太简单，没有必要再浪费敲键盘时间了。

谈谈联络，曾经有人误认为弯曲空间的复杂性质是因为联络系数不为零。这个错误可能在初学者身上会出现。实际上，如果我们在平直空间里不取直角坐标系，那么联络系数就可以不为零。反之，在弯曲空间里逐点取测地坐标，联络系数就可以在相应点化为零。换言之，联络依赖于坐标系的选择，因此不是张量，张量是不依赖坐标选取的。

再讲测地坐标，纯微分几何中的Riemann坐标就是其中一种，相对论中的Fermi坐标就是其中一种。

由于取定Fermi坐标后，相应点联络系数为零，因此物理学家就默认了所谓的“最小耦合原理”——一个严格说不算原理的原理。根据这个原理，弯曲时空中的一些物理定律只要把平直时空中相应的物理定理进行简单改造就可以了——把普通导数变成协变导数。

但是，我们知道，时空，或者广言之，几何体的曲率张量是不随坐标变换而变化的，你可以取测地坐标让联络系数为零，但是无法让曲率张量为零，除非它本来的曲率张量就是零。所以弯的还是弯的，所以我们无法用加速度取代引力场，所以Synge等人一直攻击等效原理。确实，我们也知道流形（manifolds，弯曲空间的严格定义）的切空间只在对应点的无穷小邻域内才可以认为和流形上该点邻域重合，这个和Poincare回归定理是一样的道理——极大时间后也只能回到原来位置的任意小邻域内，而不是和原来位置重合。

因为物理上面，物质都有个尺度，小到Planck长度就够让物理学家头疼了，无穷小又怎么可以？因此Synge等人要把“等效原理”这个接生婆埋掉。因为只要物体有尺度，那么一般而言，引力场都会令其产生潮汐力畸变，引力场就无法用加速度取代。

当然我认为Synge是有点吹毛求疵了，因为Einstein本人也早就在著作了提到不可以忽略引力场的潮汐效应，毕竟这个很容易凭直观认知到。因此，只要对相对论有基本了解的人，都不会太憎恶“等效原理”这个接生婆，她不象Synge等人宣称的那么可怕那么讨厌。

2. 复分析与微分几何的联姻

复变函数的研究从Euler开始就有了萌芽，但是真正使其成为一门成熟学科的却是Cauchy，他用的是积分方式研究复函数性质。Weierstrass 也系统研究了复变函数，但是用的是级数方法，而Riemann研究复变函数的方法是几何的方法。后人发现Weierstrass的方法其实可以从 Cauchy和Riemann的方式导出。Cauchy-Riemann方程是用来判断复函数全纯（解析）的核心。

尽管Riemann把Gauss的内蕴曲面的微分几何研究推广到高维流形，但是他并没有将Gauss的这个强有力方法推广到复曲线（赋予复结构的实曲面），因为他当时关心的是复平面（复直线），复平面当然用不着曲面论了。Riemann给出了著名的Riemann映射定理，这是复变函数几何方面的核心定理。

为了解决多值函数问题，1851年，Riemann在自己的博士论文中提出了著名的Riemann曲面理论，这篇论文博得了一向吝于赞人的Gauss的极大赞赏，看来这老狐狸真的极有眼光（注：Abel曾经把Gauss研究数学的风格形容为一只狡猾的狐狸总是把自己在雪地上的脚印用尾巴扫平。） Riemann面从复分析观点看，是1维复流形，而我们知道复流形在纯数学和理论物理中的作用有多么巨大，而且正是Weyl在1913年对于 Riemann面的深刻论述导致了流形的第一个严格定义——局部欧式的Hausdorff空间。而复流形则加上一个复结构就可以了。

无论是实流形还是复流形，没有度规都无法进行更细致的研究。Riemann在1854年第一次提出“流形”的粗糙概念时，是直接开始赋予度规即 Riemann度规，相应的流形称为Riemann流形。Einstein研究广义相对论时对时空赋予的度规是Lorentz度规，相应的时空流形称为 Lorentz流形。但是对于复流形，直到Ahlfors在1938年时通过推广复分析中经典的Schwarz引理时才开始把微分几何引入复分析，他在单位圆盘上定义了Poincare度规（双曲度规）后不仅给出了Schwarz引理的几何图景，而且把Schwarz引理推广为Ahlfors- Schwarz引理。

经典的Schwarz引理引理说：若f（z）为单位圆上的全纯自同构映射，且f（0）=0，f（z）的模小于或等于z的模，且f的导数在z=0时小于或等于1。如果我们用微分几何观点分析，在单位圆上取Poincare度规，那么就是说，单位圆上的全纯自同构保持度规不增加，当且仅当这个自同构为旋转时，映射前后的度规相等。由Schwarz引理可知，单位圆的全纯自同构群由Mobius变换和旋转复合而成。

另外，我们可以计算出，单位圆取定Poincare度规时，曲率为 -1，因此它自然成为“常负曲率曲面”的代表，并且理所当然是双曲几何的最佳模型。而Ahlfors则考虑单位圆到区域U的映射，他将U的度规取到可以令 U的曲率的上界为-1（即小于或者等于-1），证明单位圆到U到映射，使度规不增加，这就是著名的Ahlfors-Schwarz引理。如果此时的U就是单位圆，那么这个定理就退化为Schwarz引理。

为了将一维复流形推广到高维复流形，我们要将Cauchy-Riemann方程组写成复形式，将复函数表示复变量z及其共轭复数的函数zbar， Cauchy-Riemann方程写成复形式就是这个函数对于zbar的偏导数为0。如果我们取多个变量z_1, z_2,…… z_n, z_1bar, z_2bar,…… z_nbar，那么我们就进入多复变函数的研究，此时的Cauchy-Riemann方程组就是对所有n，f对z_nbar的偏导数全为0，此时的函数就是全纯函数。取定2n维流形上的开覆盖{U_a}，如果U_a存在到n维复欧式空间的同胚且{U_a}中任意的两个坐标卡的公共部分都可建立全纯变换，我们就说这个实 2n维流形是n维复流形。

著名的Kahler流形是特殊的复流形。对于Kahler流形，不仅有截面曲率，还有全纯截面曲率，且二者不是一个概念，全纯截面曲率为常数并不意味着截面曲率为常数。微分几何中经典的Schur定理说：如果Riemann截面曲率在流形的每点都与方面无关，那么所有点的Riemann截面曲率相等（也就是常截面曲率流形），在Kahler空间里，把上面定理中的Riemann截面曲率换成“全纯截面曲率”，结论依然成立。

如果Kahler流形的全纯截面曲率为常数（记住，此时的截面曲率未必为常数），那么其Ricci曲率就为常数，这样就有了了著名的Kahler-Einstein流形，复欧式空间、复射影空间、复环面、复双曲空间都是Kahler-Einstein流形。

如果Kahler-Einstein流形的Ricci曲率为零，就是著名的Calabi-Yau流形（Ricci平坦流形）。当然，现在的代数几何不必通过这个途径来定义Calabi-Yau流形。但是我们通过这种方式来认识Calabi-Yau流形是比较直观的。弦论中n=3的Calabi-Yau流形很重要，n=2 Calabi-Yau流形（K3曲面）的也很重要。