纯态各组分之间是相干叠加，而混合态是非相干叠加。
也就是说，纯态系统可以用一个波函数来描述，这个波函数各成分前的系数模方之和等于1，这是对概率幅的要求。
而混合态各成分之间没有相干性，是一个经典统计的结果，各成分前面系数之和为1，不加平方。这是经典概率的要求。因此混合态不能用一个波函数来描述。
这就是它们密度矩阵平方的迹的差异来源。纯态跟混合态与单量子多量子系统没关系。一个单量子系统也可以处于混合态，只要个成分之间的相干性被破坏。
纯态总可以用完备基矢展开（但纯态和本征态可不是一个概念哦，纯态可不一定是本征态。我们在初量里见到的波函数都是纯态），而混合态只能写成密度矩阵。
纯态各分量间的相对相位（不是整体相位）是意义的，但是在混态里没相对相位了，各分量间没有了干涉
從這形式，可以推論馮諾伊曼熵與經典信息論裏的夏農熵（Shannon entropy）相關。[11]
在這裏，可以視每一個本徵值
為處於本徵態 
的機率。假若某事件的發生機率為零，則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言，以下極限為零：
必定滿足 
或 
。
完全隨機混合態的
密度矩陣，其馮諾伊曼熵 
為
，而完全隨機混合態擁有最大的馮諾伊曼熵 
。
每一次做投影測量，馮諾伊曼熵都會增加，永遠不會減少，但是，對於廣義測量（generalized measurement），馮諾伊曼熵可能會減少。[12][13]混合態的馮諾伊曼熵永遠不小於零。因此，純態可以通過投影測量改變為混合態，但是，非純態的混合態永遠無法通過投影測量改變為純態。投影測量這動作促成了一種基本不可逆性的對於密度算符的改變，如同波函數塌縮。實際而言，相當反直覺地，投影測量這動作抹除了複合系統的量子相干性。更詳盡內容，請參閱條目量子退相干。
一個量子系統的亞系統可以從混合態改變為純態，但是所附出的代價是其它部分的馮諾伊曼熵會增加，就好似將一個物體放進冰箱來降低其熵，冰箱熱交換器外的空氣會變暖，而所增加的熵會比物體所減少的熵更多。更詳盡內容，請參閱條目熱力學第二定律。
在這裏，可以視每一個本徵值
為處於本徵態 的機率。假若某事件的發生機率為零，則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言，以下極限為零：
。
。
必定滿足 或 。完全隨機混合態的
密度矩陣，其馮諾伊曼熵 為
。
，而完全隨機混合態擁有最大的馮諾伊曼熵 。每一次做投影測量，馮諾伊曼熵都會增加，永遠不會減少，但是，對於廣義測量（generalized measurement），馮諾伊曼熵可能會減少。[12][13]混合態的馮諾伊曼熵永遠不小於零。因此，純態可以通過投影測量改變為混合態，但是，非純態的混合態永遠無法通過投影測量改變為純態。投影測量這動作促成了一種基本不可逆性的對於密度算符的改變，如同波函數塌縮。實際而言，相當反直覺地，投影測量這動作抹除了複合系統的量子相干性。更詳盡內容，請參閱條目量子退相干。
一個量子系統的亞系統可以從混合態改變為純態，但是所附出的代價是其它部分的馮諾伊曼熵會增加，就好似將一個物體放進冰箱來降低其熵，冰箱熱交換器外的空氣會變暖，而所增加的熵會比物體所減少的熵更多。更詳盡內容，請參閱條目熱力學第二定律。
来自: Logogogo(Pig has Dreams) 2010-07-07 09:42:59
这两个概念在文字描述上好像是一样的：某CSCO的共同本征态。但主要问题是，怎么理解叠加态和混合态？它们似乎都是描述一个系统处在各个本征态的概率的，我的理解是：叠加态是描述单量子系统的，而混合态是描述多量子系统的。那为什么它们的密度矩阵的平方的差异又是怎么来的？看着数学结果摸不透物理意思，真是杯具…
- 纯态各组分之间是相干叠加，而混合态是非相干叠加。
[已注销] 2010-07-07 14:29:19
也就是说，纯态系统可以用一个波函数来描述，这个波函数各成分前的系数模方之和等于1，这是对概率幅的要求。
而混合态各成分之间没有相干性，是一个经典统计的结果，各成分前面系数之和为1，不加平方。这是经典概率的要求。因此混合态不能用一个波函数来描述。
这就是它们密度矩阵平方的迹的差异来源。纯态跟混合态与单量子多量子系统没关系。一个单量子系统也可以处于混合态，只要个成分之间的相干性被破坏。
纯态总可以用完备基矢展开（但纯态和本征态可不是一个概念哦，纯态可不一定是本征态。我们在初量里见到的波函数都是纯态），而混合态只能写成密度矩阵。
纯态各分量间的相对相位（不是整体相位）是意义的，但是在混态里没相对相位了，各分量间没有了干涉。
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对Lynne提出两点置疑：小沐他爸 (星际争霸，终于到了打GG的时候) 2010-07-10 09:35:59
1、“一个单量子系统也可以处于混合态，只要个成分之间的相干性被破坏。” 如何实验上实现，你的回答仍然是从理论上的。事实上，我不认为单个量子系统可以处在混合态，至少实验上是这样，理由下面解释。
2、部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的，这个可以证明。所以你说部分求迹后“一部分信息丢掉了”，那么丢掉的是什么信息？这个可以引出另一个问题，部分求迹后得到子系统的密度矩阵，那么我可以通过这个密度矩阵还原出原系统的密度矩阵吗？在某些情况中，答案是，可以，比如DMRG中。
态叠加原理是量子力学的，或者是数学的，而混合态则是热力学的。
绝对零度下显然不存在混合态。上面有人提到混合态是对应概率叠加，把混合态密度矩阵的对角元理解为概率，这是不准确的。用分布应该更好一些。
量子统计中讲到纠缠态的时候，往往会和部分求迹相联系，比如两个二能级系统，纠缠在一起，其中一半的自由度被求和求掉，得到的就是一个混合态。这会给人一个造成一个假象，那就是混态在一个二能级系统中就能出现。
而事实上，这种处理只是数学上的。在某些量子信息的文章中中，部分求迹被叫做adiabatic elimination technique（如：PRL 92，197901），重点在绝热一词，这充分说明了它与热力学相联系的本质。
从物理本源出发，混合态的形成是与热涨落有关的，是热涨落导致了退相干，而退相干则导致了混合态。
情况就是这样。
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- 部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的，这个可以证明
小沐他爸 (星际争霸，终于到了打GG的时候) 2010-07-11 14:14:50
这个我不太明白了，取包含相关态的完备正交基容易证明纯态熵为一定0，混态熵一定不为0。
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部分求迹不能把纯态变成混态啊
对某个纯态进行多次重复测量将制备出一个混合态——不同坍缩结果之间不存在任何相位关联，彼此是不相干的。
对于单量子系统能否处于混合态的看法，在概念上没必要划分得太死，量子力学本身就是一个唯象的统计理论嘛。
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这。。。如果量子力学都是唯象的，那我也没话说了
是不是可以这么认为，称之为混合态，只是因为我们所了解到的信息比较少，使得我们不能用一个波函数来描述这个系统，，当信息足够多的时候就可以认为是一个纯态了。
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密度矩阵描述的就不是波函数吗？
简单点应该是 纯态把位相的信息丢掉就变成混合态了...但是可以还原成纯态吗？
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纠缠的纯化的确是很复杂的一件事情 目前应该没有绝对的结论吧 只是具体的情况具体分析
- 部分求迹前后该子系统的熵一定是不变的，这个可以证明。
[已注销] 2010-07-11 22:02:20
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不知道你这里说的熵是什么熵。von-Neumann熵对约化前和约化后的密度矩阵显然是不一样的。而von-Neumann熵正好是信息的量度。
我不认为单个量子系统可以处在混合态，至少实验上是这样
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比如对于光晶格或射频阱中的单个原子或离子。把基态和第一激发态作为我们考虑的自旋自由度的两个态。在离子自发辐射之前，我们说上下两个能态是相干的，这时候离子处于纯态。但一旦它发生了自发辐射，原子就处于了混合态。这就是为什么量子操作必须在离子的第一激发态能级寿命之内完成。另外，外界环境与离子的相互作用都能使离子发生退相干，导致量子计算无法进行。这些东西在量子光学里可以用主方程描述。
- 不知道你这里说的熵是什么熵。von-Neumann熵对约化前和约化后的密度矩阵显然是不一样的。而von-Neumann熵正好是信息的量度。
小沐他爸 (星际争霸，终于到了打GG的时候) 2010-07-12 09:38:24
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这个显然是从何而来的？
比如对于光晶格或射频阱中的单个原子或离子。把基态和第一激发态作为我们考虑的自旋自由度的两个态。在离子自发辐射之前，我们说上下两个能态是相干的，这时候离子处于纯态。但一旦它发生了自发辐射，原子就处于了混合态。这就是为什么量子操作必须在离子的第一激发态能级寿命之内完成。另外，外界环境与离子的相互作用都能使离子发生退相干，导致量子计算无法进行。这些东西在量子光学里可以用主方程描述。
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第一，你说的仍然是理论 而非实验
据我所知 光晶格的实验技术还没有精确到操控“单个”原子的程度 同样的 量子阱中的一个纳米颗粒 少说也得上百个原子吧
这是实验上真实的情形 至于为什么那些人要声称他们能操控单个二能级系统呢 比如自旋阻塞实验中 他们号称可以一个一个自旋的操控 这实际上本身就隐含了统计的思想 他们利用了一系列复杂的技术手段 比如门电压的精确调控 使得大家处在简并度极高的能级上 再加上强的磁场 使得再上面的能级难以发挥作用等等
总之 实验真实的情况只可能是统计之后的 所以你所说的上能级下能级什么的 都只是理论上理想的模型而已
第二，你觉得概念建立以后 就没必要局限在热力学中 我的观点恰恰相反
比如退相干的问题 这一直是量子信息研究中的关键问题之一 事实上 量子力学中是不可能有退相干的 退相干一定是多体的效应 或者说热的作用
再比如你提到的自发辐射 量子力学中的自发辐射 是爱因斯坦提出的一套唯象的办法来解决的 虽然这套理论非常漂亮 但有很多问题如果不放在统计的框架下 是很难被真正理解的
其实量子力学本来就有概率统计思想在里面。人们对微观粒子所知并不完全。
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量子力学的概率你认为是“所知不完全”导致的？或者说，你仍然认为存在隐变量？那好吧 这是另外一个论题了 不在这里讨论
- 如我之前所说，纯态熵一定是1，混态一定小于1.这是很好证明的。
留空 2010-07-13 01:28:41
另外，与其说描述混态必须用引入量子系综，不如说量子系综只是对混态的一种描述工具。就像描述我桌上的一杯水的状态，那我考虑的就是只有一杯水。学过统计力学都知道，联系微观量和宏观量的基本假设是：宏观量等于微观量的时间平均。为了让平均的含义确切，系综理论是一个有效的工具——但真正与实验相联系的、有确切物理意义的是水的体积、温度等物理量的时间平均值，不是那一堆假想的各种“一杯水”。因面前这杯水各物理量的时间平均值等于假想中系综的平均值，系综理论才有效。（不管是因为各态历经理论还是什么原因）从原理上说，我桌上这杯水的状态是给定的，但我还是认为有一个系综分布。
以上的讨论完全适用于量子体系，譬如我面前不是一杯水，是由复杂方式束缚住的费米气体。可见混态之所以“混”，不是因为突然在原先考虑的系统上多出了一整个系综，而不过就是因为对系统的信息不完全而已——换句话说：我们不知道系统确切处于哪个态。否则（不考虑黑洞可能的影响）按照量子力学的基本原理，任何一个孤立系统（包括宇宙）都是处于纯态。至于系综，只是引入并描述这种信息不确定性，并没有什么理论上的根本性。
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- 呵呵，纯态熵为1是打错了，你可以看我前面说的。记得我当时花了很多篇幅写非线性和量子力学中不确定性的区别，但你好像只记得我对他们共性的叙述：他们都是在一定信息量情形下无法确定某物理量的最终数值。——而这本来就是一个与物理实质无关的数学性命题。我想其它方面我也没有什么复述的必要，毕竟一个人倾向于选择性健忘，那就没什么能记住的。我很好奇，如果有人说“Wick rotation可以让场论同时用于粒子物理和统计力学”时，你会不会也激动地高呼：粒子物理和场论不是一回事。。。当然，没人说它们是一回事，只是Wick rotation听不到你的抗议。
留空 2010-07-13 15:30:32
不过我还是最后总结一下逻辑：1.热力学系统的定义与系综理论无关。2.宏观物理量的定义不需系综理论帮助。
由上可见，宏观量的涨落实际上也不用系综理论就可以理解。
- 本来想回去把那个老贴翻出来的 想想还是算了 我记得当时无欲说过 这已经变成一个心理学问题了 就是说有的人本来是清楚对方想表达的意思 可总喜欢很作的标新立意
小沐他爸 (星际争霸，终于到了打GG的时候) 2010-07-14 09:54:57
如果你所要表达关于对不确定性、或系综的描述与这句“Wick rotation可以让场论同时用于粒子物理和统计力学”类似 那我也不相信会有人跳出来反驳了
不过很遗憾的是 这里很多时候讨论的都是物理 而非数学 傅立叶变换可以用到的领域更多 但不意味着它所能用到的地方的物理内涵都是相同的 这也正是需要被讨论的部分
与系综理论类似的是量子力学的哥本哈根诠释 没有这些诠释 统计力学和量子力学的数学形式一样运行不悖 所以你的结论我并不认为是错的
关键的问题出在哲学层面 或者科学界的common sense上 没有这些诠释 很多理论都是空中花园 没有牢固的根基 与民科并无本质区别
其实你完全可以坚持传统的热力学定义 统计平均也完全可以不理解为系综平均 当然前提是有人有兴趣陪一个个概念去Argue 如果他有那个闲心的话
纯态熵那个问题 我并不是想抓你的笔误 只是我认为你的理解不对 熵是定义出来的 不同的定义的熵有不同的形式 纯态的熵是不是0 混态的熵是不是一定小于1 这不是可以“证明”的问题 能证明的只是两个系统的熵在同一个定义下进行大小的比较
比如冯诺伊曼熵 如果我把对数的底改一下 那么混态的熵就完全有可能大于1了 这在实际运用时是很常见的 比如有人喜欢用2作底 有人喜欢用自然对数等等 只要你讨论的问题是在同一个定义下就可以了
- 把书上的东西照写一遍本来就没什么意义，既然人家发到网上来问，问的还就是概念，当然就是要你写出你对这个概念的总结。要不直接给他们指出哪本书上有不就行了。
留空 2010-07-14 12:25:25
数学在物理学中本来就有统一概念的意义，比如傅里叶变换虽然可以用到完全不同的领域，但实际上我们可以统一地把它们看做频谱分解。当然这个频谱分解在光学上分解的不同频率，在场论中分解的是不同动量本征态。这时候当人问你：什么是傅里叶分解？的时候。给出一个统一的理解，比起分析不同情况下的细节有价值得多——实际上，后者不可能在网上讨论的时候让人明白清楚，只有足够的训练、实践才能真正帮助提问者。
第一，系综理论是一个数学工具，系综是假想出来的而不是真实存在的。定义一个有物理意义的物理量，不应该用假想的某种结构，而应该用物理世界中实际存在的、可操作性的物理过程。你不是一直在强调物理意义么，可以肯定地说：统计平均的物理意义就是物理量的时间平均，系综平均反而是一种数学意义的平均。这也正符合你说的common sense，因为这一观点在任何一本统计力学教科书上都能查到。
第二，哥本哈根诠释早就风烛残年了，我想退相干历史比它有希望得多。
第三，民科的特点实际上正好和你说得相反——民科大都重诠释，轻理论；重论理，轻实验。它们可以把一个概念翻来覆去说得很麻烦，却提不出任何一个可操作性的实验验证。这与科学界认可（又一个common sense）的“有物理意义的物理量应该以可操作性的物理过程定义”相悖。
当然，熵的定义可以多种多样，von neuman熵只是其中一种。但至少你也没说出哪一个定义符合你所说的“部分求迹熵不变”。（其实你用这个莫须有的定理反驳Lynne的时候，实际上也没有指出用的哪种熵的概念，我只能认为你的意思是所有熵都有这个性质）不管是给von neuman的S加上一个常量，还是乘以一个常数（改变底）都不影响“部分求迹改变熵”这一事实
1. 相似变换不改变矩阵的本征值，也不改变迹Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2010-07-15 10:55:17
2. 部分求迹改变矩阵的本征值，也改变von neuman entropy
别混淆了。
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