博文连载 之 《最小作用量原理与物理之美》

03 / 07 / 2012

1——导言

爱因斯坦说过：“我想知道上帝是如何设计这个世界的。对这个或那个现象、这个或那个元素的谱我不感兴趣。我想知道的 是他的思想，其他的都只是细节问题。”近代物理隐隐约约的表明，我们人类似乎已经接近于上帝的终极设计了，最小作用量原理、对称与守恒可能就是上帝设计世 界的原则。最小作用量原理、对称与守恒不同于F=ma、F=GMm/r^2、F=kx、F=kQq/r^2这类的普通物理定律，他是物理定律的定律，是一 切其他普通物理定律的基础。
最小作用量原理是一个令人神往的课题，费恩曼上高中时听到他的老师巴德给他讲的时候就被深深震撼了，我也是一样。当我第一次从费恩曼的书中看到这个 原理时，真是有种无法言表的喜悦，好像是我窥见了上帝设计世界的图纸一般。后来我就如饥似渴的学习者有关引人入胜的最小作用量原理的知识，同时越来越被这 伟大的原理所吸引。
最小作用量原理这个伟大的思想应该被优秀的中国学生所充分了解，可是据我所知我们班以前除我之外没有人听说过它，在我的积极推广之后才有一些人知道 了这么个东西，而利用这个周六的一个交流机会我才把最小作用量原理讲给全班同学听了。从个人角度来说，我认为人活在世上不知道最小作用量原理是一大憾事； 从民族的角度来说，一个民族不具备先进的物理思想是很难在科学上引领全世界的，也就是生产力的巨大飞跃总是先发生在外国，我们跟着学而已。古中国文化昌 盛，可是却不具备完整科学的思想，看看古代的科技类的书才有多么点，而其中技术类和理论类的比值又是多么高。因此古中国的科技并没有什么突破，蒸汽机、发 电机等革命性的发明就不属于中国。而西方从欧几里得、毕达哥拉斯开始就试图建立科学的理论体系，后来牛顿又为科学界作出了一个建立理论体系的表率。西方的 科学重思想、重理论、重基础研究，等这些成熟了，技术的飞跃就指日可待了。因此物理思想是非常重要的，重要性远远超过知识本身，尤其是最小作用量原理这样 深刻、神奇的物理思想，更应该被我们优秀的中国中学生所掌握。因此，我就在这里担当一个传播者的角色，把这一思想传播给本博客的读者们。
作用量这个概念还是比较抽象的，我不想一上来就给作用量下定义，这样会很难理解，我会在之后的几篇文章中由浅入深的介绍。主要思路如下：
1自然中无处不在的极值
2费马原理
3力学中的最小作用量原理
4作用量渗透整个物理学
5对称守恒与作用量
我的数学水平有限，最小作用量原理的一部分内容因为过于复杂我没有研究明白，我在这里写的仅仅是自认为弄明白了的部分。如果想进一步研究这个问题可以看一下下面的主要参考资料。

2——自然中无处不在的极值

观察自然界的各种现象，会发现极值往往出现。知道这一点非常重要，在最小作用量被明确提出之前，人们已经研究了很多极值问题。我们先来看一些比较简单的极值问题，会对最小作用量原理有一个更深刻的认识，也能从中看出最小作用量原理的起源与历史。
物理定律都有两种表述形式：一种是普通的我们高中学的形式，用力、加速度、电场强度等概念描述的物理定律；另一种是极值的形式，在一个物理过程中某个量取得极值。这两种表述形式是等价的。
先看一个最简单的例子，如图，两个电阻R1、R2并联，输入的电流为I，求I1、I2是多少。
这个问题初中生都会做，用并联时电压相等加上欧姆定律就可以作了。可以容易的求得

现在我们换一种方法：I1、I2的取值使得热功率最小。根据焦耳定律有

为了取得P的最小值我们对上式两边求导（以I1为自变量）。

可得

再利用I=I1+I2亦可得

求P的二阶导数发现>0，果然是极小值。
静电平衡也可以用两种方式来解释。为了得到电荷总是分布在导体的表面这个结论，我们一方面可以利用电荷之间互相排斥来说明；另一方面，我们可以利用导体的静电能最低来求出电荷的分布。
看一个小题：半径分别为r和R的同心金属球面以细导线相连，已知整个系统带有电荷Q，求静电平衡时，内求所带的电荷q。
我们现在用静电能最低来证明q=0。设静电能为W，则

为了求得W的最小值两边求导（以q为自变量）

因为r<>R所以q=0。
求W的二阶导数发现>0，果然是极小值。
再来看一个例子。如图那样把一个铁链子的两端系在水平的棒上，铁链子会形成一个美妙的曲线（悬链线）。为了计算这条曲线的方程，我们可以用受力分析来做，但还有另一种方法，即铁链子的真实形状使得其重力势能最低。你无论怎么改变铁链子的形状，得到的重心总会比真实情况高。
水珠也很有代表性。如果在太空中忽略重力，那么水珠会成为球形——相同体积的所有立体图形中表面积最小的，在物理中我们说表面势能最小（表面张力会 使液体有一个表面势能，其大小正比于液体表面积）。如果考虑重力，液体的形状会是怎样的呢？是哪一个量取最小值呢，重力势能还是表面势能？聪明的造物主选 择了这么一个量：重力势能加上表面势能最低。重力尽可能的把重心往下拽，表面张力又尽可能的使液体保持球形，最后就形成了一个扁扁的类似椭球的形状（不考 虑液体与地面之间的分子力）。
以上种种现象表明，造物主似乎是个精明的经济学家，他总是尽心设计物理定律使得“成本”最小。很久以前，人们认为这些极值问题仅仅是一些物理定律的 偶然结果，可是随着理论的发展，人们似乎慢慢认识到极值才是宇宙中最本质的定律。在今天，物理学家们已经找到了一种以统一的形式和精确的数学去描述这些极 值问题的原理——最小作用量原理。

3——费马原理

对于几何光学中的许许多多的定律，费马找到了一种统一的描述，现在被称为费马原理，被认为是最小作用量原理在几何光学 中的特例，是最小作用量原理最早的成功例子。上一篇文章并没有真正写最小作用量原理，写的仅仅是一些简单的极值问题（千万不要认为那就是最小作用量原 理），而本文与下一篇文章则将写最小作用量原理在几何光学与动力学的特例，并给出比较精确的数学公式（这是为了后面的横向比较和更深刻地理解最小作用量原 理），对微积分头痛的人可以跳过公式只看文字。
费马原理是这么说的：过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。
其中光程定义为该介质的折射率乘以路程。写成数学的形式就是：

其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。为了理解上式的含义，我们需要和导数做一个类比。我们对一个函数求 导数，如果导数值等于零，那么可以判断出原函数在该点处会取得极小值、极大值或恒定值。上面的式子和导数有一个显著的不同，导数研究的是以字母为自变量的 函数的极值，而上式想求的则是以一个函数（位置随时间变化的函数）为自变量的泛函的极值。我们把每一条路径看作是位置随时间变化的函数，把这个函数看作自 变量，我们要求的则是各条路径中光程取极值的那条路径；就像我们求导求的是各个x中使得y取极值的那个点。函数求极值可以用导数，泛函求极值则可以用变分 法，即δS=0（其中S是一个泛函）。大家就把δ理解成和导数相类似的东西就可以了。
大家可能还见过费马原理的另一种表述：过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。就是把光程换成时间t了，即：

这两种表述是等价的，因为

上面推导中v表示光在某介质中的传播速度（v=c/n），c表示真空中光速（是个常数），其余字母的解释和前面一样。
在几何光学中，我们把作用量S定义为

也就是说作用量在几何光学中的形式就是等号右边的那部分。
有了费马原理，就有了全部几何光学，我们可以从费马原理出发退出所有的几何光学定理。这是费马原理的强大威力之一。
首先看最简单的，光在同种均匀介质中沿直线传播，从费马原理当然一眼就能推出来。光走其他的路径肯定比直线所花的时间要长（暂不讨论广义相对论中的时空弯曲）。
再来证明平面镜反射中反射角等于入射角。我们把S点对称到平面镜的另一边，用直线联结S’与P，得到的就是时间最短的路径，联结SO，通过简单的平面几何知识就可以得到反射角等于入射角的结论。
折射定律亦可以从费马原理推出来，但是稍显麻烦，在这里就不定量讨论了。我想说的是光之所以发生折射确实是因为光走那条关了一道弯的路径是时间最短的。记 得很小的时候我就知道光可以发生折射，可是我就一直弄不明白好端端的直线光为什么不走，非要走一条怪异的拐弯的路线。我曾经问过很多老师光为什么会发生折 射，他们都没有给我满意的答复，直到我看见了费马原理才彻底弄明白了这个问题。
下面我要重点说一下费马原理如何简洁的证明圆锥曲线的光学性质。这里的圆锥曲线都被镀上了一层银，可以当镜子用。
(1)从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆的反射，会汇集到另一个焦点上。证明：根据椭圆的定义，F1P+PF2=定值，根据费马原理，光的实际路径是光程 极小、极大或定值的路径，所以F1到圆锥曲线上任意一点再到F2是光走的实际路径，所以从F1发出的光经过圆锥曲线反射会汇集到F2。
(2)从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射会形成平行光束。证明：做出抛物线的准线，F1P等于P到准线的距离，即这两段光程相等。光的实际路径至于 光程的取值有关，所以从F1发出的经过抛物线反射的光和直接从准线向右发出的光完全等效，因此从F1发出的光，经过抛物线反射会形成平行光束。
(3)从双曲线的一个焦点发出的经过双曲线反射形成的光，好像是从双曲线的另一个焦点直接发出的。证明：因为F1P-F2P=定值，所以对极值的取得没有 影响，即从F2发出的经过P反射的光与从F1直接发出的经过P的光取极值的路径相同，即路径是一样的。故证明了双曲线的光学性质。
要知道，从数学上证明上述性质是相当麻烦的，而有了费马原理则可以几句话就把问题解决，一点高深的数学也没用。这是费马原理的另一个强大威力。
至于费马原理为什么是对的，《费恩曼物理学讲义 第二卷》第19章给出了一个精彩阐述。他是这么说的：“要是他遵循一条需要不同时间的路径，则当它到达时就有不同相位。而在某一点上的总振幅等于光能到达 的所有不同路径振幅贡献的总和。所有那些提供相位差异很大的路径将不会合成任何东西。但如果你能找出一整序列路径，他们都具有几乎相同的相位，则小小的贡 献便将加在一起而在到达之处得到一个可观测的总振幅。因此，重要路径就成为许多能给出相同相位彼此靠近的路径。”而只有时间取极值的那条路径，才能保证路 径有微小变化时时间保持不变（再次与导数类比，函数取极值的那个点，当x有微小变化Δx时，Δy=Δx*y’=0，其余的点Δy都是一个不为0的数）。因 此，时间取极值的路径被叠加了，成为了实际路径，而其余的任何可能路径都被不同的相位给抵消没了。
这个甚至可以解释光的衍射现象。当我们用一个很细的狭缝来挡住一部分光时，时间不取极值的某些路径也因为有一部分光被挡住而不能很好的叠加为零，因此这种情况下光并不是总衍直线传播，而是产生了光可以绕到障碍物后面的的现象，即衍射现象。
我们已经看到了最小作用量原理在光学中的应用，它可以代替所有其他几何光学定律。下篇文章我将写最小作用量原理在力学中的特例，以及如何代替整个牛顿力学。

4——力学

就像最小作用量原理可以推导出所有几何光学定律一样，力学中也存在一个最小作用量原理的特例可以推导出整个牛顿力学。今天我们就来研究研究这个。
有这样一个事实：假定有一个质点在引力场中通过自由运动从某处移动至另一处——你把它抛出去，他就会上升又落下。如果画出x-t图（为了简化，只考 虑一维的运动，设x轴是竖直的轴），那么运动图像是一条抛物线。你可以尝试着通过起点和终点画一些别的曲线，如果计算出经历整条路径期间动能减重力势能对 时间的积分，你会发现所获得的数值比实际运动所获得的要大。如果我们设作用量S为

那么上面的事实换句话说就是作用量S 在实际运动中取得最小值。对上面字母的解释：t1、t2表示运动的起点和终点时刻，1/2*m*v^2是研究物体的动能，V(x)是其势能（这里把它写成 是随x变化的函数）。当物体只受重力的时候，V(x)=mgx。我们在上一篇文章中说过，一个泛函取得极值可以令其变分等于0，所以在力学中，最小作用量 原理的特例就写作：



我们可以先定性的理解实际情况确实作用量最小。X增大时势能是增大的，作用量中势能前有个负号，所以应该在x比较大的时候多呆一段时间，而x比较小的地方尽可能快地往上爬，以保证动能减势能之差对时间累积之后尽可能小。
下面我想用基本的微积分变一个惊人的魔术：从最小作用量原理推导出牛顿第二定律F=ma！
我没完整学过变分法，因此我将主要根据《费恩曼物理学讲义 第二卷》第19章的内容，不直接用变分法而用高中生就能接受的初等的微积分来推导。
我们现在想要求的是一个泛函S的极值[之所以说S是泛函是因为，S的自变量是x随时间变化这个函数x(t)]，可以类比当初学导数的过程。先回忆一下我们 还没学求导公式的时候是怎么求导的：要求一个函数的极值，我们可以令x有一个无穷小的变化Δx，代入函数的表达之后运算并舍掉高阶无穷小量最后算出Δy， 令导数等于Δy/Δx等于0即可求得y在何时取得极值。我们将模仿上述过程求泛函S的极值。
先进行一些前期工作。首先把v换掉，根据v是x对t的导数得到

在下面的推导中，为了方便有时把x(t)简写作x。我们称真实路径为x0(t)，而x(t)则表示某条假想的尝试路径。我们设真实路径与实际路径有一微小 差别（当作小量）记作η(t)。同样为了方便有时把η(t)简写作η。因为我们的数学模型规定了p1、p2是空间中两个固定点，因此有 η(t1)=0，η(t2)=0（这个规定是必须的，否则得不到任何有价值的东西）。
有了上面这些东西，我们开始对S进行运算。

忽略掉高阶无穷小，即含有η^2或更高次幂的项，得到

下面对V(x0+η)变形，如果知道泰勒级数的人可以容易的理解V(x0+η)如何展开，如果不知道的话也不要紧，类比导数（类比导数是多么重要 啊！！！）。我们知道y可以写作y=y0+Δy=y0+y’*Δx，其中y表示y对x的导数。那个η和Δx地位是相当的，V(x)和y地位是相当的，类比 着我们可以写出

其中V’表示V的导数。所以

还记得δS的定义吧，它就是我们的尝试路径得到的S减去实际路径得到的S0。所以

现在的问题是，这里是某个积分，虽然我们还不知道x0是什么，但是我确实知道不管η是什么，这一积分必须恒为零。我们需要做的是把积分号里面那部分写成η乘以某个东西，如果这个东西恒为零了，那么整个积分式就恒为零。
所以我们想用所谓的分部积分对S进行变形。分部积分可以从导数的乘法公式得来，假设我们有某个函数f（以t为自变量），我们想求f*η对t的导数，则有

两边同时积分得到

上面的式子就叫做分部积分。令上式的f=m*dx0/dt可以得到

来看上式的第一项，因为前面说过的，η(t1)=0，η(t2)=0，所以第一项等于零！所以

我们终于得到了想要的结果——某个东西乘以η(t)总等于0！那就令这个东西恒等于零好了！看看这是什么？

第一项中x0对t的二阶导数正是加速度a，第二项中势能V(x0)的导数，不正是-F么！！！上面那个式子其实就是F=ma!!!
好了，花了这么大的力气终于从最小作用量原理推导出了牛顿第二定律，从而基本上可以解决任何经典力学问题了。在《最小作用量原理与物理之美2——自 然中无处不在的极值》中我举了重力势能最低、表面势能最低的例子，这其实就是作用量中动能那一项恒等于零的结果。需要注意的是，尽管我们总是叫最小作用量 原理，实际上作用量不一定最小，它可以是极小值、极大值或者恒定值，重力势能最低实际上是作用量取极大值的情况（作用量中势能前有个负号）。
有了这个力学的最小作用量原理，我们只要把合适的V(x)带进去就可以得到各种各样的结果，很多东西就能被理解了。有人会说牛顿力学不是错的么，相 对论更准确，从最小作用量原理推出的是不准确的结果，那么它本身也不会正确。我想说的是，原理本身没有错，主要是我们的推导没有考虑任何相对论效应，作用 量本身也没有经过相对论的修正，但是严谨的表述是可以实现的。

5——构建整个世界

有人曾经问过我有没有一个公式可以描述整个世界，我的回答就是，可能会有，这个定律很可能就是最小作用量原理。《可怕 的对称》生动地说道：整个宇宙的终极设计可以写到一张餐巾纸上，那一行紧凑的公式可以推导出所有物理定律。而那张餐巾纸上写的，其实就是作用量S的表达 式。我们前面看到了S在几何光学中的特例，也看到了他在经典力学中的特例。终极设计的S中一些量为常数，就可以退化成各种各样的特例。在电磁学、热学、相 对论、量子力学中，S也有各自的退化形式。而一旦终极设计的S中的所有项我们都弄清楚了，我们也就可以自豪地宣称我们理解宇宙了。可惜我们离这个梦想还差 得很多。
当年20世纪初的时候，物理学大厦貌似被全部推翻了，似乎一切旧的理论都被新的理论所取代了。但是，“在如此多的废墟中间，还有什么东西屹立长存 呢？最小作用量原理迄今未经触动，人们似乎相信他会比其他原理更久长。事实上，它是更加模糊，更加抽象。”庞加莱（Poincaré）（又被翻译成彭加 勒）如是说。他还说道：“作为普遍的原理，最小作用量原理和守恒原理具有极高的价值，他们是在许多物理定律的陈述中寻求共同点时得到的，因此，他们仿佛代 表着无数观察的精髓。”确实，很难想象最小作用量原理会被推翻，因为在最小作用量原理之外我们想不到还有什么更普遍而真实的原理了。现代物理已经全部构建 在最小作用量原理之上，如果发现最小作用量原理不成立了，那可以说整个物理就没有什么对的东西了。
据说广义相对论就是建立在最小作用量的基础上的。定性的来说，光在弯曲的时空中走的仍是光程最短的路径，虽然在我们的眼中他并没有走直线，但是就像 在篮球上划一条长度最短的线不是直线一样，光在弯曲时空中光程最短的路径并不是直线。因为我对广义相对论不熟悉，这里就不多说了。
费恩曼从高中起就对最小作用量原理非常痴迷，这也正奠定了他后来那么牛的基础。我们现在知道量子力学有三种等价表述：第一种是海森堡建立矩阵力学； 第二种是薛定谔建立的波动力学；第三种则是费恩曼建立的基于作用量的量子力学——路径积分。费恩曼的这种表述发明的最晚，但是却是最简捷、最容易理解的一 种表述（费恩曼自己是这么说的，到底是不是容易理解我不清楚）。
据说有一次开物理大会的时候，一个叫斯罗特尼克的物理学家做了一个报告，用旧的量子力学方法给出了描述电子从中子上反弹的方式的一些新结果，他在算的时候 用了几个月的时间。费恩曼当时刚刚发明他的新理论，急迫的想验证理论的正确性，于是他那天晚上就回去算了同样的东西，想看看能否给出同样的结果。第二天费 恩曼找到了斯罗特尼克并对比了结果。斯罗特尼克都快疯了：“你说你昨天晚上算了出来是什么意思，它可花了我6个月的时间！！！”核对结果时，费恩曼还发现 斯罗特尼克算的是个零动量转换情况下的特解，而他算得却是这个问题的一种普遍形式的通解！可见费恩曼的理论有多么大的优越性，可见最小作用量原理在复杂问 题上的优越性！
不仅仅是相对论、量子力学需要最小作用量原理，甚至同一场理论、弦论都直接把最小作用量原理作为其理论根基。可见，最小作用量原理已经是物理的灵魂了。

6——对称守恒与作用量

作用量的形式变幻多端，有人曾问过我我们是怎么知道作用量的表达式的。我想说的是，人类还没有一套完整的直接写出不同领域的作用量的方法，但是利用物理定律的对称性人们可以更容易得找到正确的作用量。物理定律的对称性和平常所说的几何对称还稍有不同，我来简单介绍一下吧。
对称的定义要点是这样的：如果有一样东西，我们可以对它做某种事情，在做完之后，这个东西看起来依旧和先前一样，那它就是对称的（见《费恩曼物理学讲义 第一卷》第52章）。比如我们熟悉的轴对称图形，我们把它经过镜面反射，它看起来和原来一样，因此它就是对称的。
作用量的对称性就是物理定律的对称性。对于物理定律来说，他们应该满足一些对称性。例如，F=ma这样的定律，我们在实验室做实验、在海底做实验、 在外太空作实验都可以得到，不会在哪里发现F=2ma或者F=m^2*a。我们称这些物理定律满足空间平移对称。物理定律还满足时间平移对称，我们一百年 以前做的实验发现的定律，现在再做还会发现同样的定律，一百年以后依然如此，物理定律的形式不随时间的流逝而改变，就称这些定律满足时间平移对称。还有一 个比较普遍的对称称为空间旋转对称，即我们无论脸朝着哪个方向看到的物理定律都应该都是相同的。以上三个对称性，是适用于所有物理定律的，至今没有发现任 何物理定律例外。
还有一些对称性只是被部分满足。比如镜像对称，把整个世界的左和右颠倒过来，在弱互相作用发生的时候世界就会改变，但在其他过程中世界还是原来的模 样。还有电荷共轭对称，除了在弱互相作用发生时，我们把世界上所有的正物质与反物质对换，物理定律不变。（可见弱互相作用很特殊）。
对称与守恒有着一种深刻而神秘的联系。这一联系是19世纪的一位女数学家——艾米•诺特尔（Emmy Noether）发现的，后人将其命名为诺特尔定理：作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量与之对应。在诺特尔定理发现之前，物理学家们在寻找守恒量的 时候需要经过不知多少次尝试，甚至连所研究的物理过程究竟有多少守恒量都不知道。如果物理学家们只能用不停的试探来寻找守恒量的话，事情将十分令人讨厌。 在需要考虑更抽象的作用量的今天就更是如此了。
下面我们列出几种常见的作用量对称与守恒之间的对应关系：
时间平移对称——能量守恒
空间平移对称——动量守恒
空间旋转对称——角动量守恒
镜像对称——宇称守恒
从上面的对应可以看出，时间平移对称应该是显然成立的，所以能量守恒牢不可破，所有物理定律没有例外；而宇称除了在弱互相作用下都守恒，正对应着除 了在弱互相作用发生时把世界的左右颠倒之后作用量不变（至于宇称是什么，我也没有清楚的了解，反正是量子力学中的一个量，当年是杨振宁和李政道发现的宇称 在弱互相作用下不守恒）。
最小作用量原理、对称、守恒，就这样联系在一起了：世界的运行满足最小作用量原理，作用量的形式受对称性的约束，对称性又与某个守恒定律等价。看来 上帝的设计充满了美与和谐，一点也不像曾经想象的那样仅仅是一堆一堆唯象物理定律的堆砌。确实，造物主设计宇宙的时候写下的不可能是f=μN、F=kx这 样的东西，直接写出作用量的表达式，再给出几个对称性，宇宙就变得稳定而有趣了。很多人抱怨物理很乱，可是我看到的只有物理之美！
主要参考资料：
《最小作用量原理与物理学的发展》（许良 著）
《费恩曼物理学讲义 第二卷》（R•P•费恩曼 著）
《可怕的对称》（阿•热 著）
来自————






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