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代数几何的过去五十年（by Quillen网名）
代数几何的过去五十年（by Quillen网名） M$k&{"u"C;b U这是网名叫Quillen网友在博士家园中发的经典帖子，我把它贴出来和大家分享！ ~ T k f B!d
我想談談過去五十年和我預測未來一百年的代數幾何,我將一次次分開討論,如果有興趣請支持: b7Tq0A)g-Q d%?&I P y
1940-1965
代數幾何在1900年以前,已經有了代數曲面的部分理論 和代數曲線上的Riemann-Roch定理,但是語言和概念處於一個混亂的狀態. 在1950到1965年間 出現了三個巨大的革命.奠定了代數幾何的秩序 描述了重要的問題,提供了未來發展的方向.:::F#B V r s F
她們是 Hodge(加一堆人) 開創複幾何, Kodaira 的三大工作 和 Grothendick 的抽象語言及新定義(問題): ~/~ T h,?#B a!d L v.c N
讓我先講第一項工作.
Hodge + Lefschetz + Kaehler 考慮了複流形的定義和一般的性質, Kaehler 引入了Kaehler 度量, Hodge 利用了分析中著名的"Elliptic regularity" 對Kaehler 流形的上同掉群作了至今仍然神秘的 Hodge 分解, 並且提出著名的 Hodge猜想, Lefschetz 證明了Hodge猜想的非常特殊情形,並且證明了他的截面定理, 用以連結一平滑代數促和其截面的同掉群.#p H Y f&|q
這是一連串故事的開始, 這個故事到現在,甚至以後一百年內 都不會結束.b b g!v A O)F
Kodaira 的三大工作:
(1)Kodaira 證明了 當複流形上的 Kaehler form 的 上同調 是 有理的時候, 該負流行就可以全純嵌入到 複射影空間之中. 而且也證明這是唯一的條件. 至今稱為 Kodaira embedding.
(2)Kodaira 把義大利學派對複曲面初步工作做了全面性地毯式的推廣, 對複取面 利用 他的 "Kodaira dimension" 作了一個本質上的分類, 對分類中的幾個大項都做了完全的討論,尤其是對曲面作為 一個 over 曲線 的 fibration , 對其 sigular fiber (橢圓情形)作了分類,至今稱之為 Kodaira Classification. L)R!M-p)n ~ W f
(3)Kodaira 研究了複流形的變形理論,對一階變形做了詳細的了解. 將一階變形表達為切叢的第一階上同調群, 證明了至今稱為 Kodaira Spencer 映射 的 存在性,
這三個工作,不論是哪一個 ..都是無比的巨大. 每一個工作都沒有做完,但都做了開創性的一步,也顯現了複曲面理論的三個主要觀點: 做為射影空間的子簇,作為over一個更低維度流形的 fibration, 作為其他更好瞭解的複流形的變形. G#\$M$| } e
配合 Chow 的工作, Kodaira 和 Chow 完全刻畫那些可以做為射影空間子簇的複流形,知道她們正是那些用多項式在射影空間切出的子簇. 複幾何從此成為袋鼠幾何的心腹(大患)
嵌入定里使用了 正曲率向量叢之上同調的消滅定理, 這個消滅定理隊高維流形的分類起了作用, 也引發了後續的研究 比如尋找更強的消末定理
對曲面的分類, 留下了 general surface 和她們的 moduli 問題, 其使用的 fibration 技術,成為人們研究曲面和更高維流形的主要工具
變形理論被 Kuranishi 更一步拓展. 證明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory (障礙理論), 描述複流形變形的障礙, 發現了 Kuranishi 映射, 成為理解曲面(或任何袋鼠幾何研究對象) 模空間局部圖形的刻畫方法.其數論面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z
的變形性質, 幫助了 Deligne 證明 Weil 猜想."f d h s y&L+D
Kodaira 是神..'J)E b;w3d
Grothendick
Grothendick, 是一個很難聽的名字.如果你學過德文,你會知道 Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起來就是 這個人的名字很 Diaoˇ
他是真的很 Diao ˇ, 他夥同了一票同事和弟子, 建立了他的 Program of Scheme, 寫下了 EGA SGA 和 FGA, 就是袋鼠幾何初步,研習,和基礎 的意思. 他又提出了 Etatle Theory, Topo 的概念, Weil 猜想的可能解法, 證明了他的 Grothendick Riemann Roch 公式
關於上述幾個工作,我來討論依下: Scheme (我想中國翻譯成概形) 是研究代數簇一定會要關心的對象,主要有兩個原因, 一是一個簇到另一個簇的映射,其fiber (一點 的原象)不一定是個簇, 但一定是一個 "概形",另一個理由是在研究算數幾何時, 要研究over 不是複數體的概形, 必須使用 scheme 的概念."nP$u&T2z B4\ B V
這只是一個簡單的概念,基本上概形就是 由幾個交換代數黏貼起來的圖形, 所有的性質都可以用交換代數描述的.但是在使用Cech 上同調來講sheaf的理論時,有特別得便利之處,另外在變形理論中,複流形的變形比scheme的變形難描述的多. b _"z){0o
Etale cohomology 是 scheme/K 在K 不是複數時 的類比於 singular cohomology 或 DeRam cohomology 的東西.而 Etale homotopy 則是此情形的 homotopy. 兩者都和 K 的算數性很有關係, 是類比於拓墣理論但是實際上把 Gal(K_1/K), 包進去的概念, 其中K_1 是K的代數閉包. 這 Etale cohomology 後來被 Deligne 拿來解決 Weil Conjecture 的伊部份, 其實很大程度是只是表面的技術問題, 但是想法是很突破性的: 把算術和幾何做了一個很恰當的合併.
Topo 是很新的概念, 當時沒有人注意, 但現在 對 (moduli) Stack (中文可能翻譯為 堆積 ) 很有影響 當時是被拿來推廣原來的"拓墣中的開集合", 用於定義 Etale cohomology 和 homotopy.6o V A K T
Grothendick 雖然做了很多重要的工作,對後人有很大的影響, 但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立, 除了很多技術性的部分之外 , 他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 "抽象化可以解決一切問題" 的數學家, 據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質, 抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.
畢竟 數學真正的對象, 除了物理問題以外, 是 幾何(拓墣) 與 數...
而方法..只因為研究的對象而重要....
1965-1975 n _ Rx i @ v3i L ?
這個時期得袋鼠幾何工作比較分散,很多結果都變成了啟發後面1980-2000 年工作的具體例子.主要是模空間理論的出現喊逐漸成熟: 這個時期的紅人是 David Mumford ,單個較大的工作團來自 Griffith 的領導, 另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐漸揭示其重要性的工作:
(1) 特殊曲面模空間: Kulikov 和 Robert Friedman 完全刻畫了K3曲面的 semistable 退化, Lefshetz 等人證明了K3 的 Torelli 定理, 其中也用到了這個時期 Kuranishi 發展的障礙理論, 非常具有其特殊意義, 人們開始關心 模空間, +^7C Y w } O B)` @ @ e
(2) 曲線模空間: Deligne 和 Mumford 製造了虧格數為g的曲線的模空間及其緊化, 在其上計算了一些重要的幾何上同調的相交數. 引入了 Moduli Stack 的觀念, 其中用了 Grothendick Topo 的語言, Artin 研究了抽象 Stack 的局部-全域 性質, Grothedick 的學生 Illusie 研究了 重要的 Cotangent Complex, 成為 stack 上一個酷斃的變形理論.
(3) 向量叢的模空間: 人們開始研究向量叢的模空間, Narasimhan 和 Seshadri 一系列的工作研究了曲線上向量叢模空間的製造和緊化, 研究他們的拓墣和幾何性質. Atiyah - Bott 從微分幾何的方向來考慮相同的問題, 對黎曼面上的向量叢模空間計算其betti 數.是 Gauge (規範) 理論 在曲線上的經典之作,
接下來我要講這個時期中, David Mumford, Phillip Griffith, Daniel Quillen ,的工作 A(p$|)J U.[ \ | }*W(\ N
(1)
Daniel Quillen: 因為和Thom 共同證明了有名的 Cobordism Theorem, 以及他開創了 Homotopic Algebra, 定義了 Higher K theorem 和發現其和 Chow group of Scheme 的關係, 得到Fields medal. 不同於 Grothedick, Quillen 的工作更具有數學上的價值, 他的homotopical algebra 至今仍是一個謎, 但是越來越多的數學問題都指向了解這個謎是終極的方法, Higer K sheaf 的上同調等於 Chow group, 這個定理也是充滿了神祕的面紗, 從 1980 到 2005 沒有人開清楚其中的真正的現象.
1965-1975 Part Two b } H)I A;T h A
既 上次的帖, 這次我想介紹一下 David Mumford 和 Phillip Griffith 的貢獻和我對他們的個人意見. p;y4s$c w v
David Mumford 是一個奇才. 他有兩個主要的工作:
(1) 發展了 Geometric Invariant Theorem, 也就是著名的幾何不變量理論, 這個理論研究,當有一個群 G 作用在一個簇 X 的時候, 怎麼樣正確的找出 X/G (稱之為 Quotient by G) 上的 scheme 的結構. S v h%e g%~
這個問題聽起來很簡單, 如果只想做 X/G 上的拓墣或微分結構, 幾句話就可以說完, 但是想有一個簇 或是 解析結構, 就變的複雜, 這是代數幾何研究 模空間的重要工具
幾乎所有的模空間的製造都是這種 X/G 的形式. 比如說曲線的模空間, 一個簇裡面的曲線的模空間, 向量叢的模空間, 霍奇結構的模空間, 等等等等等等等 模空間..
1975-1992 這個時期, 是代數幾何的一個黃金時期, 這個時期有三個大猜想被解決, 幾個分支先後出現, 能人輩出, 真說的上風起雲湧:
解決的猜想:
(1) Weil 猜想: Weil 在50年代提出了一個猜想, 認為over Z 的一個簇的整數點的個數隱藏了該簇的拓墣性質, 這是一個令人震驚的猜想, 藉由幾何物件連結了拓墣和算數, 這個猜想由 Pierre Deligne 解決, 他用了 etale cohomology 的各種性質, 比如 Lefshetz 固定點公式, 另外Weil 將整數點合在一起寫成一個生成函數, Deligne 證明了這個函數的黎曼猜想, 這些工作是 Grothendick 的 Etale theory, 甚至是代數幾何, 開始受到數論學家重視的原因.
(2) Mordell 猜想: Mordell 在 20 年代提出了他的著名猜想: 說一個虧格大於等於2又定義over Q 的代數曲線, 只能有有限個有理數點. 這個猜想非常的簡短漂亮, 人們知道虧格零的曲線有有理數那麼多有理數點, 知道虧格一的曲線的有理數點形成一個有限生成交換群(這是Mordell 的定理), 如果證明了 Mordell 猜想, 那就說明了曲線的有理數點結構決定其 Kodaira 維數.這又是一個聯結算數和幾何的特別猜想. k \(q _ L K{
(Kodaira 維數是 Canonical bundle 的 section 的個數增長次數, 曲線有三個 Kodaira dimension, 虧格0 -> K.D=複無限大, 虧格1-> K.D.=0, 虧格大於董於二->K.D.=1) v x"e K j s5_-n z7q
這個猜想被 Gerd Faltings 解決, Faltings 據說是一個天生下來學習 Grothendick
語言的數學家, 他高中就把 Bourbaki的代數唸完,大學把 EGA SGA 唸完, 他證明 Mordell猜想的方法也是利用 Abelian Variety 的理論, 這個人和 Pierre Deligne 是算數幾何的宗師. W$k+C#k T C k Y
(3) Calabi 猜想: Calabi 提出他的著名猜想: 一個 Kaehler 形式可以調整為其Ricci曲率為給定的形式, 邱成桐證明了這個猜想, 也證明了 Kaehler Eisten 曲率的存在性, 在 K trivial 的時候就是著名的 Calabi Yau 流形, 一維時是橢圓曲線, 二維是 K3 曲面或 Abelian 曲面,都只有一種拓墣結構, 三維以上就不依樣 , 至少有數萬種 Calabi Yau 流形有不同的拓墣, 隨著物理的鏡對稱理論和弦論, Calabi Yau 流形變成了和 Eistein 四維時空流形(with Eistein 測度) 一樣重要的物理概念, 成為了到現在20年內代數幾何得重要研究對象. 這個代數幾何和物理的連結, 某種意義上比前兩個猜想的解決還要有意義. U n X [1y
(Yau 的結果雖然是微分幾何的, 但對代數幾何的應用非常多,也可能持續發現其應用, 比如說 P^2 上只有一個 Kaehler 結構也可用此證明)
下次我將說到 Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov 的工作, 雖然第一個和第三個不能算是代數幾何學家, 但是在21世紀的今天, 他們的工作隊代數幾何起了深重的影響, 就如 邱成桐的一樣. n C j'd V v
這次要介紹的是1980-1990中, 承先啟後的數學家, Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov :
先介紹 Gromov: Gromov 的主要工作是辛流形中仿全純曲線的構造, 以及其模空間的緊化, 這個工作和代數曲線模空間的緊化有點類似, 但不同的是仿全純曲線只需要給定辛流形上一個可行的近複結構 ( an compatible almost complex structure on the fixed symplectic manifold), 不需要該近複結構是可積的, Gromove 了解了這種曲線的"specialization", 也就是一連串這種曲線的極限曲線, 有名的 Gromov Compactness (緊化) 和 Uhlenbeck 的緊化 (見 Donaldson) 並稱齊驅, 後來 Ruan Youn Bin 和 Tian Gang 等人以此構造了數學上的 Gromov Witten 不變量 和所謂的量子上同調, 現在是辛幾何的主要研究方法. 這一工作對代數幾何的重要性是很大的, 至少Kaehler 流形是 辛幾何和代數幾何的交會點, 這上面的 Gromov Witten 不變量(也就是 數數看流行中有幾條訪全純曲線) 是代數幾何的一些古老問題解決的終極手段( 所謂的 Enumerative Algebraic Geometry 早有一百多年歷史, 只是一直沒有系統的理論來統合, Gromov Witten 理論是其中依個選擇)
其次介紹 Maruyama, David Gieseker: 他們的工作是層的模空間的構造, 他們?#092;用了 David Mumford 的幾何不變量理論(Geometric Invariant Theory) 考慮了一固定簇 X, 上面給定其陳類(陳類是簇的完全拓璞資訊)的所有 的 半穩定 的 層. 這一個(半)穩定性 (semi-stability) 被稱為 Gieseker (semi)stability. 這些層的搜集上面有一個天然的複結構,也就是(半)穩定層的模空間的複結構, 這個空間和所有穩定的映射 C->X 的模空間有相似之處,在 X唯一個點時就是曲線的模空間(十年前由Deligne + Mumford 構造)
Gieseker 還考慮了這種模空間的退化: 隨著簇的退化,模空間當然也跟著退化(degeneration), 這個退化的手段這五年來慢慢成為代數幾何的重要研究對象 (當然簇的退化已經有一些例子 ,比如說 K3曲面,或是代數曲線的退化).q4L9w E-U;^ g l M
最後講 Simon Donaldson: @ ` c ] k \8f O L p
Donaldson 考慮四維流行上面某依個向量叢上面辦自對偶的連絡的模空間,再這個空間上做一些天然同調類的相交,得到了一串量並證明這是該四維流形的微分結構不變量. 在他之前 smale 證明了大於四維的流形的 Poincare 猜想(和求同倫必和求同胚), Freedman證明了四微的猜想, 當時最大的拓墣問題還是 三維Poincare猜想,一直到最近才被 牛怕了悶 先生解決, 但是人們對微分拓墣的 Poincare 猜想毫無了解 ,也就是問如果流形是和球同胚是不是一定和球微分同胚. Donaldson 用上述的模空間的方法構造了四微微分流形的微分結構不變量,找出了一些拓墣流形上面不可能有任何微分結構, 找出一個拓樸流形其上有兩個以上甚至無線多個 微分結構..這些微分結構的判定就是靠上述構造的相交數..稱為 Donalson 不變量,z ^ L },R ~ Z;H D9D$T
當四維流形世袋鼠曲面時, 這個模空間和該向量從上所有穩定的複結構的模空間是差不多的,John Morgan & 李駿證明可用向亮叢的模空間上的相交數算出一樣的量, 這個情形就完全是袋鼠幾何的範疇, 一直到現在都還是一個很不清晰的狀態
後來有利用 Spin 結構造的 Seiberg Witten 不變量,比 Donaldson 的容易瞭解很多, 人們也開始比較重視 Donaldson 不變量的代數幾何面 ,因為其微分面很大部分已被 Seiberg Witten 取代,但是 這個故事還沒有完. Donaldson 的幾位弟子和他本人在下一個世紀中繼續的對數學做出創造性的貢獻,..他的弟子是 Richard Thomas, Paul Sedal 等人.E6C9` y g m
下次我們將討論1990到2006...也就是到今天,接下來的介紹因為將會強烈受到作者個人的研究和興趣影響,可能會很不很客觀,請大家提出任何可能的意見來討論,我將介紹%A%v5L"c4z O0`
Maxim Kontsevich, Mori, David Morrison, Kenji Fukaya,Raoul Pandharipande&Okounkov, Marc Levine, Mark Gross, Kai Behrend, Li Jun, Richard Thomas(Donaldson 學派), 等人... 主要的頭頭是 Kontsevich 和 Mori. 但是其他幾個人現在都很活躍, 所以我也部會有立場做任何負面批評...:) 代數幾何,過去五十年 和未來一百年(2)
博士数学论坛 Quillen
X8b O s+r,f4W1\ ?
Kodaira 的三大工作:
(1)Kodaira 證明了 當複流形上的 Kaehler form 的 上同調 是 有理的時候, 該負流行就可以全純嵌入到 複射影空間之中. 而且也證明這是唯一的條件. 至今稱為 Kodaira embedding.
(2)Kodaira 把義大利學派對複曲面初步工作做了全面性地毯式的推廣, 對複取面 利用 他的 "Kodaira dimension" 作了一個本質上的分類, 對分類中的幾個大項都做了完全的討論,尤其是對曲面作為 一個 over 曲線 的 fibration , 對其 sigular fiber (橢圓情形)作了分類,至今稱之為 Kodaira Classification.
(3)Kodaira 研究了複流形的變形理論,對一階變形做了詳細的了解. 將一階變形表達為切叢的第一階上同調群, 證明了至今稱為 Kodaira Spencer 映射 的 存在性,
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這三個工作,不論是哪一個 ..都是無比的巨大. 每一個工作都沒有做完,但都做了開創性的一步,也顯現了複曲面理論的三個主要觀點: 做為射影空間的子簇,作為over一個更低維度流形的 fibration, 作為其他更好瞭解的複流形的變形. {;](v z$I
[ F'P c ? b e T Z
配合 Chow 的工作, Kodaira 和 Chow 完全刻畫那些可以做為射影空間子簇的複流形,知道她們正是那些用多項式在射影空間切出的子簇. 複幾何從此成為袋鼠幾何的心腹(大患)
嵌入定里使用了 正曲率向量叢之上同調的消滅定理, 這個消滅定理隊高維流形的分類起了作用, 也引發了後續的研究 比如尋找更強的消末定理 l!Y m$c F ?
對曲面的分類, 留下了 general surface 和她們的 moduli 問題, 其使用的 fibration 技術,成為人們研究曲面和更高維流形的主要工具
j }.Y B/T"j
變形理論被 Kuranishi 更一步拓展. 證明了有名的 Kuranishi Obstruction Theory (障礙理論), 描述複流形變形的障礙, 發現了 Kuranishi 映射, 成為理解曲面(或任何袋鼠幾何研究對象) 模空間局部圖形的刻畫方法.其數論面被Nicolas Katz研究其 over Spec Z \ @/w g/W M u%e G v e
的變形性質, 幫助了 Deligne 證明 Weil 猜想. Z L.@#[ In
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Kodaira 是神..
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1965-1980._&j3K C:W%Z
這個時期得袋鼠幾何工作比較分散,很多結果都變成了啟發後面1980-2000 年工作的具體例子.主要是模空間理論的出現喊逐漸成熟: 這個時期的紅人是 David Mumford ,單個較大的工作團來自 Griffith 的領導, 另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐漸揭示其重要性的工作:
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(1) 特殊曲面模空間: Kulikov 和 Robert Friedman 完全刻畫了K3曲面的 semistable 退化, Lefshetz 等人證明了K3 的 Torelli 定理, 其中也用到了這個時期 Kuranishi 發展的障礙理論, 非常具有其特殊意義, 人們開始關心 模空間,
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(2) 曲線模空間: Deligne 和 Mumford 製造了虧格數為g的曲線的模空間及其緊化, 在其上計算了一些重要的幾何上同調的相交數. 引入了 Moduli Stack 的觀念, 其中用了 Grothendick Topo 的語言, Artin 研究了抽象 Stack 的局部-全域 性質, Grothedick 的學生 Illusie 研究了 重要的 Cotangent Complex, 成為 stack 上一個酷斃的變形理論.
(3) 向量叢的模空間: 人們開始研究向量叢的模空間, Narasimhan 和 Seshadri 一系列的工作研究了曲線上向量叢模空間的製造和緊化, 研究他們的拓墣和幾何性質. Atiyah - Bott 從微分幾何的方向來考慮相同的問題, 對黎曼面上的向量叢模空間計算其betti 數.是 Gauge (規範) 理論 在曲線上的經典之作,
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接下來我要講這個時期中, David Mumford, Phillip Griffith, Daniel Quillen ,的工作#i$~ H d&K o N
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Daniel Quillen: 因為和Thom 共同證明了有名的 Cobordism Theorem, 以及他開創了 Homotopic Algebra, 定義了 Higher K theorem 和發現其和 Chow group of Scheme 的關係, 得到Fields medal. 不同於 Grothedick, Quillen 的工作更具有數學上的價值, 他的homotopical algebra 至今仍是一個謎, 但是越來越多的數學問題都指向了解這個謎是終極的方法, Higer K sheaf 的上同調等於 Chow group, 這個定理也是充滿了神祕的面紗, 從 1980 到 2005 沒有人開清楚其中的真正的現象. D v"X K Z P Q
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Grothendick ~.x(V n0] n N p1N
Grothendick, 是一個很難聽的名字.如果你學過德文,你會知道 Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起來就是 這個人的名字很 Diaoˇ
他是真的很 Diao ˇ, 他夥同了一票同事和弟子, 建立了他的 Program of Scheme, 寫下了 EGA SGA 和 FGA, 就是袋鼠幾何初步,研習,和基礎 的意思. 他又提出了 Etatle Theory, Topo 的概念, Weil 猜想的可能解法, 證明了他的 Grothendick Riemann Roch 公式
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關於上述幾個工作,我來討論依下: Scheme (我想中國翻譯成概形) 是研究代數簇一定會要關心的對象,主要有兩個原因, 一是一個簇到另一個簇的映射,其fiber (一點 的原象)不一定是個簇, 但一定是一個 "概形",另一個理由是在研究算數幾何時, 要研究over 不是複數體的概形, 必須使用 scheme 的概念.
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這只是一個簡單的概念,基本上概形就是 由幾個交換代數黏貼起來的圖形, 所有的性質都可以用交換代數描述的.但是在使用Cech 上同調來講sheaf的理論時,有特別得便利之處,另外在變形理論中,複流形的變形比scheme的變形難描述的多."l+f1t _ Q9X Q
Etale cohomology 是 scheme/K 在K 不是複數時 的類比於 singular cohomology 或 DeRam cohomology 的東西.而 Etale homotopy 則是此情形的 homotopy. 兩者都和 K 的算數性很有關係, 是類比於拓墣理論但是實際上把 Gal(K_1/K), 包進去的概念, 其中K_1 是K的代數閉包. 這 Etale cohomology 後來被 Deligne 拿來解決 Weil Conjecture 的伊部份, 其實很大程度是只是表面的技術問題, 但是想法是很突破性的: 把算術和幾何做了一個很恰當的合併. H K h'\ J+z F6|0[ {1z T
(a @;b W*[%z&d t*u0v
Topo 是很新的概念, 當時沒有人注意, 但現在 對 (moduli) Stack (中文可能翻譯為 堆積 ) 很有影響 當時是被拿來推廣原來的"拓墣中的開集合", 用於定義 Etale cohomology 和 homotopy.
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Grothendick 雖然做了很多重要的工作,對後人有很大的影響, 但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立, 除了很多技術性的部分之外 , 他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 "抽象化可以解決一切問題" 的數學家, 據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質, 抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題. f&}#{1f5P c5r f
畢竟 數學真正的對象, 除了物理問題以外, 是 幾何(拓墣) 與 數...
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而方法..只因為研究的對象而重要....
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今天才知道原来＂Grothendick＂是这个意思啊．有趣．
既然现在他这个学派已经没有前途了，那现在最有活力的是哪个学派？
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还有他的标准猜想，至今是不可接近的。stacks现在有很多新的工具了，象源于代数拓扑里的operads，A无穷代数，D模这些。5G G I;Y U r)t
我觉得抽象化肯定是很核心的数学技术，不然同伦代数不可能会诞生，同伦代数几何就更不必说了。数学的对象有些一直没有变，有些却是全新的。
现代物理学家有不少已经倾向时间和空间都是想象的产物，不是实在仅仅只是心理学概念，那么如果想看一眼最原初的“没有时间和空间的世界”，所需要的数学肯定是抽象的可怕的。 F-[ y S*P
好像是哈代说得，除了自然数一切都是人创造的，不过就现在来看，我个人认为可能自然数也是人创造而不是自然本质具有的，因为集合和数数的概念很可能是人的特征而非自然的本质特征，所以以有理数为对象的数论也许也会慢慢改变它的对象。 M y r y \'y { U
不过我非常赞同你对复几何的重视。我也觉得现在代数几何的核心内容是与解析几何的内在联系。
这些只是我的个人感觉，我水平较低，各位请勿见怪。
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回答2楼，grothendieck没有自己的学派。他在自传中称此为“葬礼”，认为他离开后的数学界又再次把精力投向技术性的问题而不是开创一个新的几何纲领。他所想象的“新几何”“新数学”被埋葬，因为他之前太过乐观，EGA写到第四本的时候，大家已经开始觉得沮丧，离他的“新几何”的目标似乎遥不可及，尽管他自己坚持认为“只差没几步”了。
o [)c [ V1l8@
就现在来看，做stacks的人还是不少，但是需要巨大的数学基础，而且所有的目标都遥不可及。个人还是认为应该做“炉中烧着的铁”，除非你觉得自己一人之力能够战胜以前在这个目标前失败所有的数学家。 j$c E f Q#h4N Y
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[grothendieck] harvesting and sowing
没有出版的 可以去数学所资料室借复印版的 里面还有pursuing stacks的手稿 7H,BU6| c(d
不过standard conjecture比hodge猜想推广多了 里面还有他的一篇关于一般意义下hodge猜想推广不成立的简单理由
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＜＜仿佛来自空虚＞＞－－－－数学译林（记不得是０６年还是０５） U y @ @'l
4R6R e3?#d O @'k y
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to Quillen: l*k e d:j
"Grothendick" 应该是“Grothendieck”吧。你的“Topo”指的是“Grothendieck Topology”还是“Topos”？$Q9P4Z9c#V"]
“但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立,”我不同意你的这种说法，你的意思可能是：Grothendieck只是给数学建立了一种新的形式语言，使得很多问题的阐述更加方便和直观（一种抽象的简洁）。但是，我觉得这种新的语言本身就包含了许多革命的思想，例如，以前，Riemann-Rohn只是纯粹关于簇的一个定理，而他却把它看作是一个关于簇间映射的定理，这样的话，就等于开创了一片新的天地，而不仅仅是一种阐述上的语言的不同，还有很多这样的例子。
“他的直覺並不是一種往常意義下的直覺, 而他是顯然崇尚於 "抽象化可以解決一切問題" 的數學家” ，你指的“直觉”是一种抽象的直觉吗？以前我也不相信有这个东西，直到最近突破了一些东西后，才稍有体会，确有此存在。关于Grothendieck崇尚抽象，有一些是Mumford，Hartshorne等人的歪曲，他们当时根本不理解Grothendieck的思想。Grothendieck的道路还没有走完，现Deligne他们正在努力把凡是适合于Scheme的性质改造成适合于Champs，这是一件艰难的工作。Grothendieck带来了整个数学思考方式的革命化。9d i5p i M%s
“據我所知 有很多人學 EGA SGA 學到死胡同裡, 其實是他學派大部分的後人都是如此,只有少數幾個例外, 其實原因很簡單,數學不應該是以抽象的語言為本質,”，学代数几何要不要学EGA，SGA以及FGA，这个问题我以前请教过一个在IHES游荡的朋友，他的意见是，若你想成为Faltings这样级别的人，你就得念这几千页手稿。至于对其中的精髓的领悟，就全靠个人造化了，当然，前辈高人的指点也是一个重要的条件。其实，世界上真正念这3G的人，可能比学非交换几何的都还要少（Connes曾估计全世界有300多人干NCG），所以，代数几何领域很久没有出Faltings这样的同党了。
“抽象化是數學的一大部分 ,但做為工具的成分多餘作為研究的對象的成分, 就像 算子論, 純代數, 等等工具, 很快整個科目就會枯竭,留下的價值是,所有人都要學習之, 但並沒有後續的問題.”3I3y ~ ~ l h3e4Y R T D
只要不是人为的Vain Abstract，那么抽象永远是数学发展的动力。关键是要从抽象里领略大自然的构造，在数学观上我承认数学概念或者思想不是我们的发明，而是存在一个先验的绝对的数学世界，或许是柏拉?#####降氖Ю砟睿ㄒ嗷蚴堤澹浚┌伞Ｋ阕哟丫怀橄罅耍珻onnes能够看出隐藏其中的非交换结构居然能够改造我们传统的测度，谁又能想到事情会来个神龙摆尾呢？其实非交换几何现象早就存在了，光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理，早年Gelfand 研究 Banach 代数的时候也发现， 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 "谱" (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种： 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至，而现在的形式表明，Grothendieck的这种发展是极为重要的。 一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何。Connes 就是从某一类 Banach 代数 --- von Neumann 代数的研究出发来发展非交换几何的。/\ E-|"A V G X j#_
代数几何研究的主要对象，簇，是相当刚性的东西，怎样使它稍微软化到能够充分或者肆无忌惮的使用分析的工具，这是一个比较深的领域。有人开始改造经典的代数几何，什么同伦代数几何，非交换代数几何通通出炉了，可是，在思想上仍然没有突破，代数几何仍然笼罩在Grothendieck的阴影下。)o!_5e m _0c2u,_ O"e
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“但在本人的看法中,他的工作主要是語言的建立,”我不同意你的这种说法，我觉得这种新的语言本身就包含了许多革命的思想，例如，以前，Riemann-Rohn只是纯粹关于簇的一个定理，而他却把它看作是一个关于簇间映射的定理， C*| ^ k d)R | a S
现Deligne他们正在努力把凡是适合于Scheme的性质改造成适合于Champs，Grothendieck带来了整个数学思考方式的革命化。&C'G*A3p V ^ \ e c$D-V
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-----Riemann-Rohn的推廣到relative 的情況, 我並不那樣以為是重要的工作,這是一個自然的推廣.就像一個定理是 over field 推廣到 over a ring 依樣/// 把scheme都換成 stack, 也許有其重要性, 但我也看不出來, 重要的 stack 一般是模空間,研究模空間的技術並不在於了解 stack 的 general properties.;k M V l%C X8B%W
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所以，代数几何领域很久没有出Faltings这样的同党了。
-----更正確的觀點,算數幾何很久沒有像 Mordell 猜想一樣有趣又重要的猜想提出來了.
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代数几何研究的主要对象，簇，是相当刚性的东西，怎样使它稍微软化到能够充分或者肆无忌惮的使用分析的工具，这是一个比较深的领域。有人开始改造经典的代数几何，什么同伦代数几何，非交换代数几何通通出炉了，可是，在思想上仍然没有突破，代数几何仍然笼罩在Grothendieck的阴影下。
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-----使代數幾何軟化..這句話非常有趣,但是事實上 辛幾何 已經是這樣的工作了, 非交換和同倫代數幾何, 並沒有使簇軟化, 也沒能像辛幾何那樣需要大量的分析,我現在關注的焦點是同倫代數幾何,但不是 Voevosky & Levine 的那樣想定義 scheme 的 homotopy group, 而是著重在變形理論中的同倫技術和所謂 Virtual Fundamental Class 的構造, 我以為這個方向早已遠遠超過了 Grothendick 可以想像的範圍,遑論其陰影, 事實上變形理論 Grothedick 並無任何貢獻,真正的貢獻者是 Kuranishi 而Grothendick 只是把東西寫簡單一點罷了. 可用的對象也跟著減少. [ f X"S m
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作算數幾何的話,再過30年也部會離開 Grothendick 的"陰影", 但是從物理和微分幾何來的刺激,早在 1980 年以後就遠遠離開Grothendick 作夢能想的到的數學. 比如說 叢模空間, 曲線模空間, Gromov-Witten & Donaldson 理論, Degeneration 技術, 甚至現在的 Derived Category & (Homological) Mirror Symmetry, 如果 Grothedick 再回來幹數學,他會很後悔當初這麼早離開的, 代數幾何並沒有在他的?#092;罩下死去, 反而是更多的人們用他的語言開創更有趣的方向,而不只是單純的研究 scheme.
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1965-1980 Part Two
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既 上次的帖, 這次我想介紹一下 David Mumford 和 Phillip Griffith 的貢獻和我對他們的個人意見. B U K(i h3o S z \
David Mumford 是一個奇才. 他有兩個主要的工作:(? [1^ u3K B
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(1) 發展了 Geometric Invariant Theorem, 也就是著名的幾何不變量理論, 這個理論研究,當有一個群 G 作用在一個簇 X 的時候, 怎麼樣正確的找出 X/G (稱之為 Quotient by G) 上的 scheme 的結構.
這個問題聽起來很簡單, 如果只想做 X/G 上的拓墣或微分結構, 幾句話就可以說完, 但是想有一個簇 或是 解析結構, 就變的複雜, 這是代數幾何研究 模空間的重要工具1` f&s-P$i9M
幾乎所有的模空間的製造都是這種 X/G 的形式. 比如說曲線的模空間, 一個簇裡面的曲線的模空間, 向量叢的模空間, 霍奇結構的模空間, 等等等等等等等 模空間..
(2) 曲線和 Abelian Variety 的模空間的緊化問題: 模空間的緊化一直是備受關注的問題, 人們想知道幾何物件的退化會變成什麼樣子, Mumford 研究了上述兩種物件模空間的緊化, 並証明了對任意幾何物件退化的 " Semistable Degeneration" 定李, Mumford 也對 Abelien Group Scheme 作了一些貢獻 , 對算數幾何起了重大的影響.
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Phillip Griffith 相較之下 ,並沒有這麼傑出, 他也就只做了一系列有關霍奇猜想的工作, 他帶領了一堆學生和工作夥伴, 對霍奇結構的變形理論,和霍奇結構退化時的理論,作了相當的貢獻, 他主要的動機是想要研究 霍奇猜想和 Torelli 問題. 但是他 失敗了 (ps: 霍奇猜想可看成是 torelli 的特例) 他也因此離開了數學界, 留下了他的兩個著名著作: (a) 和 Joe Harris 合寫的 Principles in Algebraic Geometry (b) 和他的團隊合寫的 Topic in Transcendal Geometry
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在1965-1980這個時期中 Pierre Deligne 還提出了他的 Mixed Hodege Structure, 也就是混霍奇結構, 是不平滑的簇的霍奇結構. 另外Hironaka 也證明了 Resolution of Singularity 的大定理 得到非爾茲獎.
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作為此文的作者, 我想說依下我的個人觀點, 雖然 Mumford 的工作比 Griffith 傑出, 但是我以為這只是短暫的歷史現象,Mumford 對他的學生非常惡劣.甚至盜取他的一偽超強女學生,的工作, 相較之下 Griffith 就帶領出一批學生和合作者,他雖然失敗於一個不可能的任務:解決霍奇猜想, 但他的學生在下一個時期中, 持續的在這個綱領上工作, 也取得重要的結果,一直到1996鏡對稱猜想出現,袋鼠幾何界對霍奇結構的重視突然飆高, 隨著這些故事,Griffith 的精神永存.
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具体问问Quillen兄，(u _ S z0}
mumford如何赋予X/G簇结构，通过哪些手段得到所需的性质， y.~*c d c;g7\ o m X
怎么理解KE度量和stablity的等价性，几何的想法是怎样的。 !F#C"h9g#f#O W
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这个帖子已被 vvgarfieldvv 于 2007年05月27日 21时00分 编辑 a.R$b"^ u M0O
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vvgarfieldvv 您好:
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您提的問題都很大 我並不是這方面的專家 第二個問題我更是一無所知 只是聽說過這個結果但不曉得其證明 至於第一個問題有很多 幾何不變量的書描述之 基本上要做X/G必須只能挑出 X 中的 semistable open subvariety,X1, 在其上 X1/G 可以被定義其結構 而且
X1->X1/G 是一個所謂的 Good Quotient, 有些時候 X1=X 那就沒問題 另外還有所謂的#q&x!Q8|:O \ P r([0p
categorical quotient 和 geometric quotient. 至於細節我想如果你有興趣可以去搞一本GIT 來翻一翻 其實在 Daniel Huybrecht 的 The geometry of mouli space of sheaves 有介紹 另外在 Gauge theory and four manifold (by Robert Friedman and John Morgan) 中第一章有David Gieseker 的不長不短的介紹 寫的很好 不過最詳細當然是 David Mumford 的 Geometric Invariant Theory, 不過看完可能要多一堆白頭髮霸了. c1E V ]5{!a#r3~:~ Z y
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歡迎多多討論.. 8Z7V-[ t E0m
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呵呵，就是因为当初粗粗翻了翻GIT，弄半天都不理不清重点，徒添几多白发。*^/p,o H.X ?/X ~%R
我想，要去细细看是不可能的，即便去做暂时也不一定能学到什么。
Quillen兄推荐的两本书我就准备去翻翻。(\'K x v ? H*? P
另外昨日我找到kobayashi的 Differential geometry of complex vector bundles， y h y4?%U&t6b U/T
上面讲KE与稳定性的等价比较清晰。 B*\ z3t1E7T
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這次要介紹的是1980-1990中, 承先啟後的數學家, Simon Donaldson, Maruyama+ David Gieseker, 和 Gromov :.I(t X o&^ n$f ~
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先介紹 Gromov: Gromov 的主要工作是辛流形中仿全純曲線的構造, 以及其模空間的緊化, 這個工作和代數曲線模空間的緊化有點類似, 但不同的是仿全純曲線只需要給定辛流形上一個可行的近複結構 ( an compatible almost complex structure on the fixed symplectic manifold), 不需要該近複結構是可積的, Gromove 了解了這種曲線的"specialization", 也就是一連串這種曲線的極限曲線, 有名的 Gromov Compactness (緊化) 和 Uhlenbeck 的緊化 (見 Donaldson) 並稱齊驅, 後來 Ruan Youn Bin 和 Tian Gang 等人以此構造了數學上的 Gromov Witten 不變量 和所謂的量子上同調, 現在是辛幾何的主要研究方法. 這一工作對代數幾何的重要性是很大的, 至少Kaehler 流形是 辛幾何和代數幾何的交會點, 這上面的 Gromov Witten 不變量(也就是 數數看流行中有幾條訪全純曲線) 是代數幾何的一些古老問題解決的終極手段( 所謂的 Enumerative Algebraic Geometry 早有一百多年歷史, 只是一直沒有系統的理論來統合, Gromov Witten 理論是其中依個選擇)9i x _ A {
其次介紹 Maruyama, David Gieseker: 他們的工作是層的模空間的構造, 他們?#092;用了 David Mumford 的幾何不變量理論(Geometric Invariant Theory) 考慮了一固定簇 X, 上面給定其陳類(陳類是簇的完全拓璞資訊)的所有 的 半穩定 的 層. 這一個(半)穩定性 (semi-stability) 被稱為 Gieseker (semi)stability. 這些層的搜集上面有一個天然的複結構,也就是(半)穩定層的模空間的複結構, 這個空間和所有穩定的映射 C->X 的模空間有相似之處,在 X唯一個點時就是曲線的模空間(十年前由Deligne + Mumford 構造)
Gieseker 還考慮了這種模空間的退化: 隨著簇的退化,模空間當然也跟著退化(degeneration), 這個退化的手段這五年來慢慢成為代數幾何的重要研究對象 (當然簇的退化已經有很多例子 ,比如說 K3曲面,或是代數曲線的退化)"\ v$A"N _ B4W W
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最後講 Simon Donaldson: (o0E A/h2r j
Donaldson 考慮四維流行上面某依個向量叢上面辦自對偶的連絡的模空間,再這個空間上做一些天然同調類的相交,得到了一串量並證明這是該四維流形的微分結構不變量. 在他之前 smale 證明了大於四維的流形的 Poincare 猜想(和求同倫必和求同胚), Freedman證明了四微的猜想, 當時最大的拓墣問題還是 三維Poincare猜想,一直到最近才被 牛怕了悶 先生解決, 但是人們對微分拓墣的 Poincare 猜想毫無了解 ,也就是問如果流形是和球同胚是不是一定和球微分同胚. Donaldson 用上述的模空間的方法構造了四微微分流形的微分結構不變量,找出了一些拓墣流形上面不可能有任何微分結構, 找出一個拓樸流形其上有兩個以上甚至無線多個 微分結構..這些微分結構的判定就是靠上述構造的相交數..稱為 Donalson 不變量,
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當四維流形世袋鼠曲面時, 這個模空間和該向量從上所有穩定的複結構的模空間是差不多的,John Morgan & 李駿證明可用向亮叢的模空間上的相交數算出一樣的量, 這個情形就完全是袋鼠幾何的範疇, 一直到現在都還是一個很不清晰的狀態l @1h o d;N S
後來有利用 Spin 結構造的 Seiberg Witten 不變量,比 Donaldson 的容易瞭解很多, 人們也開始比較重視 Donaldson 不變量的代數幾何面 ,因為其微分面很大部分已被 Seiberg Witten 取代,但是 這個故事還沒有完. Donaldson 的幾位弟子和他本人在下一個世紀中繼續的對數學做出創造性的貢獻,..他的弟子是 Richard Thomas, Paul Sedal 等人.
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下次我們將討論1990到2006...也就是到今天,接下來的介紹因為將會強烈受到作者個人的研究和興趣影響,可能會很不很客觀,請大家提出任何可能的意見來討論,我將介紹/F O0X _2V;h8x
Maxim Kontsevich, Mori, David Morrison, Kenji Fukaya,Raoul Pandharipande&Okounkov, Marc Levine, Mark Gross, Kai Behrend, Li Jun, Richard Thomas(Donaldson 學派), 等人... 主要的頭頭是 Kontsevich 和 Mori. 但是其他幾個人現在都很活躍, 所以我也部會有立場做任何負面批評...:)
(V u0q&g s L I H
这个帖子已被 Quillen 于 2007年02月20日 11时49分 编辑 此人Stanford math phd Berkeley,Stanford 这两个地方里的有多远？ 。。。。 LS的Banzhu 你是繁星上的青松么 繁星是哪里?.....
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都在加州san francisco很近 [quote]原帖由 [i]yzxjy[/i] 于 2008-4-29 06:00 发表 [url=http://bbs.taisha.org/redirect.php?goto=findpost&pid=11398486&ptid=1035897][img]http://bbs.taisha.org/images/common/back.gif[/img][/url]
都在加州san francisco1Y&? z(~ ?
很近 [/quote]
在网页上看到他们的讨论办事一起开的，故有此问。。
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最近你比较空闲么？ 刚看到第一句：預測未來一百年 w E c B(s5c生猛::14 :funk:
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