Wednesday, April 10, 2013

卷积表明:系统结构对刺激的反应是有延迟效应的.我们曾经的所作所为不仅影响着我们的现在,还将继续影响我们的未来,这或许就是那句话背后的道理:出来混,迟早是要还的

卷积表明:系统结构对刺激的反应是有延迟效应的.我们曾经的所作所为不仅影响着我们的现在,还将继续影响我们的未来,这或许就是那句话背后的道理:出来混,迟早是要还的

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左右互搏---穿越与纠结的卷积精选

已有 2810 次阅读 2012-6-15 13:35 |个人分类:随想|系统分类:教学心得|关键词:穿越左右 office black style

左右互搏---穿越与纠结的卷积

鲍海飞 2012-6-15

偶然发现了一年前科网上有几篇文章在讨论卷积的问题，卷积里面似乎隐藏着不少的神秘。近日也研究了一段时间有关系统响应的问题，其中涉及到了卷积，而卷积就是处理系统响应的一种方式, 经研究发现，有一些体会,看看这里面都有哪些神秘之处？

先来看卷积的定义。卷积的定义就是两个函数乘积后的积分：

I(t)=∫ t 0 f(τ)g(t−τ)dτ 。一个函数的设为f(t)，一般为‘外力’；另一个函数为g(t),一般为系统响应的函数，有权重之意。现在我们仔细来看一下里面的秘密。

神秘之一，

τ 是什么？

τ 其实是个时间变量，更确切地说，叫做‘哑元变量’或‘虚设变量’，在英语里称为dummy varible。因此，卷积公式中的左端I(t)不含有该变量。

τ 是相互作用的时刻，可以不在‘0’点。

神秘之二，t-

τ 又是什么？t也是一个时间变量，是系统一直在动(shifting)的时间变量。t-

τ 则是隐含着一个系统的过去式，即系统有‘记忆效应’。函数g(t-

τ )中就表明了过去的味道。

神秘之三，数学处理上为什么要采用一个函数滑过另外一个函数？这是一种图解、理解和处理方式。相当于一静一动两个函数在相互作用。有些人将上表达式中的g(t-

τ )函数解释成，函数g(t)经过对y轴翻转(flip)（时间取反）变成了g(-t),然后加上平移量t(shift),最后变成了g(t-

τ )。或者说，由于时间的移动，一个函数滑过(slide)另一个函数。在这里，我们看到数学的神奇之处，它让我们看到一个函数是如何穿越另外一个函数，从过去走向未来（预测一个系统的响应）！

为了解决系统的响应问题，卷积实际上是解决这个问题的一种非常有效的方法和途径。

比如，在一个二阶微分方程中：

md 2 x dt 2 +cdx dt +kx=f(t)

该方程左边是一种质量-阻尼-弹簧二阶系统模型，其响应函数（其解）为g(t)；而方程右端是外界作用，比如外力函数f(t)。这样，当外力作用到这个系统上的时候，我们就可以通过卷积直接积分就得到了系统的响应，而不需要再去解复杂的微分方程了。

显然，在卷积的方程中

I(t)=∫ t 0 f(τ)g(t−τ))dτ ，是包含了系统的响应函数与外界相互作用的乘积后的积分,是一个时间的累积过程，两个函数‘穿越纠结在一起’，是左右两端函数共同作用的结果。这恰好像金庸小说中所描写的老顽童，两只手能够左右互博，左手代表了系统响应，右手代表了外力的作用，两只手相‘拍’才能发出声响。所谓的卷积乃是‘一拍即合（乘积后积分）’、‘左右互搏‘之术。而响应函数g(t)是通过求解二阶微分方程的单位脉冲作用后得到的。

上述过程也可以简单理解为，当系统响应函数或权重函数在经历

τ 时刻后，外力函数f(

τ )和系统函数响应函数g(t-

τ )开始相互作用。它实际上是描述了一个系统的过去和未来。

卷积最奇妙之处，是它和Laplace积分变换之间的关系。这是它的第四个神秘之处！Laplace积分变换是工程数学处理的一种最主要的运算方式，其包括了两个函数的相互作用（两个函数乘积后再积分）。对于两个函数及其拉氏积分变换后，设F(s)=L[f(t)],G(s)=L[g(t)],那么，L^-1[F(s)G(s)]=

∫ t 0 f(τ)g(t−τ)dτ 。原来拉氏变换在这里和卷积是殊途同归！这真是数学的魅力！

英语里面converlution的含义中就有‘皱褶’之含义，就好像衣服上产生好多‘褶’，叠压在一起。在卷积的定义中，隐含着一个问题是，

τ +(t-

τ )=t,即在这个t的时间内两个函数之间的全部相互作用。也许‘卷积’叫‘叠积’可能更好。

卷积有许多重要的应用，除了进行分析系统的响应之外，比如在股票趋势分析判断上的光滑曲线处理，在图像处理中，对图像进行均匀处理；在数字信号处理中，卷积的一个作用是对数据进行平滑处理，和相关处理方法类似。

附录：

曹广福：大话卷积，http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-425602.html

吴中详：卷积卷不卷，http://blog.sciencenet.cn/blog-226-428153.html

本文引用地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-278905-582429.html

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[16]dongwenna 2012-6-19 20:11: 看了相关的几篇，觉得鲍海飞博主的比较深刻，余昕老师的图示好，收获颇多，对初学者，可能还是唐常杰老师去年那篇，有趣、易懂、且联系应用http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=287179&do=blog&id=425373

[15]杨文祥 2012-6-19 10:28: 尽管对卷积我没有深入地了解，但根据所阅读到的材料，我的理论直觉告诉我，如果我目前的理解不错的话，卷积应该能够用来描述从一个旧系统的解构到一个相应新系统的建构和形成的发展过程。在这个过程中，信号与系统结构关系的变迁应该是数学描述的关键所在。

[14]王春艳 2012-6-18 10:43: 定积分的上下限表示法。呵呵; 博主回复(2012-6-18 11:45)：编辑器里面有！

[13]王春艳 2012-6-18 10:06: ∫∮∑∏∪¤∽≌≈≠≤﹛﹜[]∫½¾¼¹
不定积分是没问题，定积分没找到。; 博主回复(2012-6-18 10:32)：哪个没找到？

[12]郭超 2012-6-17 17:23: 鲍老师要是把几个typo改改就更好了，卷积真复杂，我学了很多遍都没懂; 博主回复(2012-6-18 08:39)：这些都不是国人的东西，都是我们学来的，理解就不一样！问好。

[11]王春艳 2012-6-17 10:58: 卷积就是尺蠖的舞步，有时间我也和一篇。哈哈。
单独打这些ζηθιιστυφχψω没那么难，选输入法的特殊字符，连字符画都有，我用的是搜狗。; 博主回复(2012-6-18 08:38)：我在word里写好，到这里一上传，发现全变样了，又现打，有的就打错了。但是特殊符号里面有积分吗？

[10]余昕 2012-6-16 09:20: 哈，卷积让你这么一说挺浪漫的！我每年秋天教卷积，若有工夫当和一篇。; 博主回复(2012-6-18 08:36)：一时之想，以前很少接触，现在在看一些！问好余老师！

[9]吴国胜 2012-6-15 23:14: 好像总容易把【1】楼和博主搞混; 博主回复(2012-6-18 08:35)：哈哈，我是飞呀。

[8]杨海涛 2012-6-15 22:54: 学习，好文章！; 博主回复(2012-6-18 08:34)：问好！

[7]邹谋炎 2012-6-15 22:05: 将数学概念讲得活泼、诙谐是很好的事，但离开了严谨就不可取。“它让我们看到一个函数是如何穿越另外一个函数，从过去走向未来（预测一个系统的响应）！”，‘穿越纠结在一起’，‘一拍即合（乘积后积分）’、‘左右互搏‘之术，这些说法不知道能让学生更容易懂，还是让人更觉“玄乎”，不妨找几个学生听一听你的解说。“τ 其实是个时间变量，更确切地说，叫做‘哑元变量’或‘虚设变量’”，后两个名称用得非常不可理解。事实上，它不“哑”也不“虚”，而是相对于 t 的时间偏移量（τ和t反过来说也对）。
关于卷积的准确理解应该回归到它描述的物理事实上，即叠加原理；然后才有数学上的卷积解释。把物理概念和数学解释都搞清楚，才能有真实、完整的理解。; 博主回复(2012-6-18 08:34)：您说得很对，其实它们真的不哑也不虚，但是总要给它们起个名字！谢谢您的理解，这是我的一些体会，我想这样即使对我自己来说也是好记忆和理解的。谢谢邹老师！