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第十五章 不变性光速的定义及其应用*
第十五章 不变性光速的定义及其应用
摘要 坐标系与参考系不同，坐标系中的坐标可以是没有物理意义的。在使用四维坐标变换之前，应当提出坐标变换下的“不变的纯量性质”的时、空间隔及光速定义；时间、空间应当是物理学中的“坐标变换下的基本不变量”。闵可夫斯基世界和洛伦兹变换的意义应当重新理解。被接受器接收的“光信号的行进方向”与接受器的运动速度有关，而不是无关。现行狭义相对论中所说的“钟慢效应、尺缩效应”，只是从洛伦兹（H.A.Lorentz）变换得出的一种坐标变换效应，而不是实测时使用的真正时钟慢了和“真正尺”缩短了。因此，“时钟佯谬”问题也就彻底不存在了。
关键词 标量性时间间隔 光速不变原理 光粒子固有坐标时 真正的时钟时 光行差 洛伦兹变换
中图分来号 O412.1 MR(2000)主体分类号 83 B05 文献标识码 A
§15.1 狭义相对论中的三个问题与解决问题思路的简述
①狭义相对论中的时钟佯谬问题：狭义相对论与广义相对论都是以“坐标变换中的协变理论”为主要方法的物理理论。具有“协变性质”的“四维间隔、四维速度、四维动量、四维力”是狭义相对论中的主要内容，也是广义相对论的基础。但在狭义相对论中存在着洛伦兹变换下的“长度收缩效应”与“时间延缓效应”。从一切物体的运动都需要用时间、空间去进行描述的情况来看，时间、空间应当是最基本的物理量。因此，这两个效应给相对论带来了神秘的色彩；使人们对相对论产生了怀疑思想。其中，“时钟佯谬或称双生子佯谬”问题就是这种怀疑中的一个主要问题。在《相对论导论》[[1]]和《相对论导引》[[2]]两本书中都对这个问题有很多讨论；但都没有彻底解决这个问题。②狭义相对论的基本观点是光速不变原理，但是光速的定义与时间、空间间隔的概念有关。③时空四维坐标离不开观测量理论。为此，本文将从时间、空间间隔和光速的不变性定义出发，谈谈对闵可夫斯基世界、光速不变原理、洛伦兹变换和对这两个效应的应有认识；同时也将给出时钟佯谬问题一个彻底解决方法。
§15.2 时间间隔、空间间隔的不变性标量定义
狭义和广义相对论都认为：“描述物质及其运动的基本性质的好物理量，其形式必然表现为好几何量，即标量、矢量、张量等等”[2]。其中，标量是指坐标变化下的“不变的纯量”，它“反映了这个量的客观实在性”[2]。黎曼空间的四维距离间隔
是一个标量；但黎曼空间中的坐标矢量可以是没有物理意义的。为了给出黎曼空间的物理意义，现行广义相对论中给出了观测量理论[[3]]。参照这个理论，可以给出下边的一般黎曼空间（包括闵可夫斯基空间）都适用的物体的固有时间、空间间隔的不变性标量性定义和定理。
定义1： 设为满足“归一条件”
的运动物体（也可以是观测者）的四维速度（这个速度是类时矢量）。我们称
为黎曼空间中这个物体的固有时间间隔微分；并称
为黎曼空间中同一物体的固有空间距离间隔微分。
根据这个定义，运动物体的固有时间间隔微分、固有空间距离间隔微分都是时空坐标变换下的好物理量（即坐标变换下的“不变量”）。
定理1：定义1中的固有时间间隔微分和固有空间距离间隔微分满足等式：
§15.3不变性光速的定义及其实测结果
3.1 物体的固有速度与光速的不变性标量性定义
从文献[3]中的“观测量理论”可以知道：物理的坐标系成立（即与观测者相对局域静止的坐标系成立）的前提是：度规张量的“各阶主子式”都小于零；而且，在这个条件下，上述，可以写作：
这时，我们称，分别为跟随坐标系运动的物体的固有时间微分和固有空间距离微分。
定义2: 设中的分别为满足（3-1）式的物体（可以是观察者）的固有时间微分和固有空间距离微分，取变换：
（式中为尚未确定任意常数），则称 为跟随坐标系运动的物体的固有速度。
定义3: 若坐标原点的微分，满足“类光间隔”的条件
则称：
为光粒子运动的不变性标量速度，简称为光速；同时称：满足（3-1）、（3-2）、（3-3）式的为光粒子的固有坐标时。光速是继四维间隔、固有时间、固有距离、之后的第四个重要的坐标变换下的“基本不变量”。
根据这个定义可以知道： 光速的大小是一个与其传播方向无关的常数。这个常数的大小，还与时间、空间间隔的实际度量单位有关；至于它究竟是多少的问题，将在下文中的球对称外部引力场中的光速测定讨论中给出一种具体结果。
3.2 引力场中的光速的测定
上述光速定义应当是普遍有效的；但在本文中，我们只讨论一下球对称外部引力场中的情况。球对称外部引力场的席瓦西尔（Schwarzschild）解的表达式为：
（式中在文献[3]中为，为了与本文中的相区别，我把它改写了）。根据这个表达式，可知：
于是，由前边的光速定义3得：
取，则由（3-6）、（3-8）式出发，可以得出：
这个式子说明：沿地球表面的任何方向上的光速都是。需要说明的问题是：前边的讨论都没有说明的度量单位和究竟是多少的问题。 对于这个问题，我们需要研究一下现有的光速的实际测量结果。众所周知：迈克耳逊（A.A.Michelson 1852~1931）在地球表面进行了光速测量。在这个测量的装置中，光源与观测者都是地球上的固定点，因此，可以认为：这个测量中使用的是地球上一个固定点的光粒子固有坐标时。这个测量结果是：。这个结果不仅直接回答了（3-9）式中的究竟是多少的问题，而且也说明了的度量单位。
§15.4 以光源为坐标原点的四轴正交系
按照（3-1）、（3-2）取后，“类光间隔”表达式中的是“正定二次型”；对于物理的坐标系条件（即度规张量的各阶主子式都小于零[3]）成立的情况下的黎曼空间的任意确定点，根据线性代数学中的理论，总可以得到正交表达式
于是得到光粒子的运动方程为：
（4-2）式中的坐标的坐标轴是一个以光源为坐标原点的四轴正交系。将记作后，这个坐标系就是度规张量为的闵可夫斯基世界；但在上述条件下，这个世界中的是时空坐标变换下的“不变量”。为区别起见，我们称这个世界为具有“时空不变的标量性与局域性”的闵可夫斯基世界。我们还认为：光粒子可以到达任何地方；因此，在任何地方都可以提出这种世界的坐标系。
在这里还应当着重指出：描述物理现象时不仅需要局域四轴系，而且这个四轴系应当是：具有上述四个基本不变量和闵可夫斯基度规的闵可夫斯基世界。
§15.5 光速与观测者运动速度的关系（光速不变原理中的一个问题）
现行狭义相对论中讲道：“光速不变原理的准确意义是：不论光源和观察者的运动状态如何，观察者所测的光速都等于。”[2] 但是，现行教科书中没有给出光速的“不变标量性”的定义；现在，从前边给出的光速定义可知：“在以光源为坐标原点的参考系中的各个方向上光的传播速度皆为常数”。因此，我同意“光速与光源运动状态无关的说法”。但我认为：光速与观测者的运动速度之间的关系是复杂的：需要根据不同的情况，采取不同的处理方法；不能简单的使用“无关”二字作结论。下边从“光行差”、火车、迈克耳逊-莫雷实验、双星观测等几个问题出发，说明一下光速与观测者的运动的关系。
5.1 光行差问题
在光行差问题中，被观测的光源为远离地球的发光恒星，现在取它为闵可夫斯基世界的坐标原点O（参看下图a），Z坐标轴上的点A代表地球上的观测者接受到光信号时的位置。地球在垂直于Z轴的平面上以线速度绕发光恒星旋转。现在考虑观测者接受的光线的行进方向问题。从收到光信号的地点来看，光源到观察者的方向是沿着Z坐标轴方向的，而且沿这个方向的光速为。但是，由于接受光信号的观察者的装置处于运动状态，所以
它不能接受到沿Z坐标轴方向的光信号，而必须有一个
偏角。偏角的大小与观察者的运动有关：设光在B点
进入观测仪器，且在观测仪器中光的行进路线为B A，
根据光的波动传播方式，B点是光在观测仪器中行进
的光源，其行进速度始终为常数c 。上述偏角是由沿
B A的光速或地球运动速度构成的，如右图b所示，这个
偏角的正弦应当满足关系：
将地球的旋转线速度和光速代入上式，可以算出这个偏角的大小为：弧秒。
这个偏角的大小已被“光行差的实验”证实。这个事实说明：被“接受器”接收的“光的行进方向”与接收器的运动速度有关，而不是无关。还需要指出：在文献[1]的158~162页中，对这个问题已经进行了研究。他们的研究中虽然使用的是洛伦兹变换，但由于他们的这个研究中存在着忽略“阶的小项”的计算过程，而这种忽略就是把洛伦兹变换变成伽利略变换了，所以他们的这个研究并不能说明洛伦兹变换解决了光行差的问题。此外，光行差的问题也不能用伽利略变换去解决；光的行进方式是按照“波”的方式进行的；在这里，接受光信号的装置所能接收的只能是“传播速度仍为”的光信号；它不是互相垂直的光速与地球运行线速度的“矢量和”；虽然计算的结果一样，但按道理讲：不能使用文献[[4]]中的“相当于这个正切值的角度是20.5弧秒”的说法。
5.2 火车问题
为了说明相互运动着的参考系之间没有共同的“同时性”问题，很多教科书都以火车（或火箭）进行说明。下图是柏格曼《相对伦引伦》[4] 中说明这个问题的几个图。
（a） A* C* B*
A C B
(b) A* C* B*
A C B
（c） A* C* B*
A C B
（d） A* C* B*
A C B
图中A*、C*、B*表示火车上的点，A、C、B表示地面上的点；火车以一定的速度向左方行使，C为A、B的中点；有两个雷电同时打击在A*、A和B*、B处。图（a）表示雷击时A*和A， C*和C ，B*和 B分别是重合的；图（b）表示A处的雷击信号传达到火车上的C*处；图（c）表示A、B处的雷击信号都传达到了C处；图（d）表示B处的雷击信号传达到火车上的C*处。
文献[4]中讲道：“由于光讯号到达C和C*需要有限的时间，而C*向左方运动，所以从A、A*发出的讯号只有在通过C*之后才能到达C；而由B、B*发出的光讯号，在到达C*之前就到达了C。结果火车上的观察者将发现，从A、A*发出的讯号到达它的符合仪器要比从B、B*来的讯号来得早些。”这段叙述是有问题的，事实上，由于火车的运动，C和C*不在一起了，这是对的，但这时A和 A*、B和B*也不在一起了。所以这段叙述中的“从A、A*发出的讯号”的这种把A和A*不加区别做法是不正确的。只有把“从A、A*发出”改为“从A发出”才是恰当的。这样改动之后的这段叙述没有问题了，但根据“从A发出的讯号到达它的符合仪器要比B来的讯号来得早些”就断定“对一个参考系同时发生的两个事件对另一个参考系不是同时发生的”是错误的。因为：上述事实只是说明：C*处的观察者接到A的信号的时间比接到B的信号的时间要早一些，但不能说明两处遭到雷击的时刻不相同。事实上，我们还可以根据接到信号的时间判断出它们是同时发生的事件：设在C*处得到A、B的信号的时间分别为、，设，则由图（b）可以看出：
；
由图（d）可以看出：
。
是事实，但当我们根据事件发生的地点对事件发生时刻做判断时，就会从C*处的得到A处信号的时刻算出雷击发生的时刻为：
；
同理，根据在C*处的得到B处信号的时刻算出雷击发生的时刻为：
。
因此，只要考虑到光信号传播的时间因素，从 C*处的得到A、B处雷击信号时刻也能判断出雷击是同时发生的。此外，从与火车相连的火车上的运动光源A*和B*出发进行考虑，也可以得到雷击是同时发生的结论。所以我们认为：文献[4]中结论：“对一个参考系同时发生的两个事件，对另一个参考系就不是同时发生的”是错误的；因此现行狭义相对论中关于“同时性”的这一论断是不能成立的和有问题的。
还应当指出：在这个问题研究中，简单速度合成定律也是成立的。事实上，分别取B*、 B为参考系的坐标原点；的方向为X轴的正方向，则对于坐标系来讲，的坐标原点按照的速度进行运动，而B处发出的光在参考系中的速度为，因此按照简单的速度合成定律，在坐标系的坐标原点处发出的光在参考系中的速度为，故B处雷击光信号到达C*处的时间为。这个结果与上述计算相同。这个事实说明：就这个问题来讲，在计算运动着的接收器收到的光信号发出时刻时，简单的速度合成定律是可以应用的。
5.3 双星观测与迈克耳逊-莫雷实验问题
从我们对爱因斯坦火车问题的讨论来看，“简单的速度合成定律”对光速也是成立的；但使用这个定律时，不能违背由光速定义得来的“光速与光源运动状态无关”的结论。例如，对于双星问题，文献[2]第9页中利用简单速度合成定律得到的“”的说法是违背这个结论的，所以文献[2]中的这个分析与实测结果不符。根据“光速与光源运动状态无关”的结论，上述分析中的都应当是，这样更改之后，就消除了“两个半周期不对称”的分析结论，就能与实测一致了。
迈克耳逊-莫雷进行了测定光速各向相同的试验。这个实验是在地球表面进行的；在这个实验中，选择了两个相互垂直的方向。根据地球的自转，光源在一个方向上匀速的运动，但在另一个方向上没有运动，但是这两个方向上的参考系都是与光源牢固联结着的。实验没有得到“光干涉现象”的结果只能说明：在与光源相连的任何方向上，光速都是固定的常数，但不能说明与光源不连的参考系中也是如此。
§15.6 “时空不变标量性与局域性”的闵可夫斯基世界的坐标变换
广义相对论中的坐标常常是没有物理意义的：从爱因斯坦的场方程到“席瓦西尔球对称外部解”的过程中使用了许多次坐标变换；在黑洞理论中又对坐标进行了一些变换。这些问题都说明：各种坐标系、各种变换的使用场合并不相同；它们并不“总是一定正确和必须应用的”。下边讨论一下洛伦兹变换和伽利略变换的基本性质和应用条件问题。
6.1 “时空不变标量性与局域性”的闵可夫斯基世界中的洛伦兹变换的基本性质和应用条件
根据前边第四节的论述，在我们所说的“具有时空不变标量性与局域性”闵可夫斯基世界的坐标系中成立：
现在，假设这个坐标系可以“一分为二”，其中一个就是原来的坐标系，另一个是原来坐标系以速度沿轴运动而成的新坐标系。记新的坐标系为；我们可以新坐标系满足条件：
① 新坐标系系与原坐标系的坐标之间具有文献[4]35页中叙述的如下关系：
② 新坐标系系中的坐标也具有前述的“时空标量不变性和局域性的闵可夫斯基世界”性质。即成立关系式：
这个式子表明：新坐标系的坐标原点也可以被看作是一个光源。因此，从原坐标系系到新坐标系的工作就是一个光源分化为两个光源的工作。
在两个坐标系的坐标原点都是光源的条件下，根据光速的定义，（6-1）、（6-4）式中的微分应当是坐标原点的微分。因此，（6-1）、（6-4）式可以分别转化为：
于是，这些条件与文献[4]中导出洛伦兹变换时依据的表达式完全相同，因此完全可以由此得出相同的洛伦兹变换表达式：
但是，必须指出以下两点：第一，根据前边的讨论，和都是坐标变换下的“不变量”。因此，光速也是坐标变换下的“不变量”。从洛伦兹变换式（6-5）可以看出：新坐标表达的不变时间间隔在原坐标系中表达式为：
原坐标表达的不变时间间隔在新坐标系中的表达式为：
第二，新系中的与原系中的，虽然都叫做光粒子坐标时，但两者是不同的，它们所对应的两个坐标系之间有速度的相互运动。应用洛伦兹变换可以研究碰撞问题和电磁场理论，而且这种应用已经取得了重大效果；但要注意：根据上述闵可夫斯基世界和洛伦兹变换的提出来看，洛伦兹变换只能应用在坐标原点附近；当都足够大时，就不是坐标原点的附近，这时洛伦兹变换就不能使用。因此，作为物理学的一个部分，洛仑兹变换的作用在于它的近似意义：例如，在坐标原点附近，洛仑兹变换中的两个坐标系中的都可以近似地表达下文中所说的能为实测确定的真正的时钟时。
6.2 时空标量不变性和局域性的闵可夫斯基世界中的伽利略变换的基本性质与应用条件
设伽利略变换是：的变换。对上述闵可夫斯基世界实行这一变换后得到：
(6-8)
这说明：在新坐标系中的度规张量不是闵可夫斯基度规，所以新坐标系不是闵可夫斯基世界。但是，对这个坐标变换应当是“不变量”；它们在新坐标系下的表达式分别是：
在使用这种“不变量”的情况下，光速也是“不变量”。但若使用新系中的空间距离公式
去计算，光速就不是“不变量”了。此外，在足够小的情况下，（6-10）与（6-9）的差别可以忽略不计；因此，在这种情况下，伽利略变换也是可以应用的。
§15.7 时空间隔的实测、时钟校对、时钟快慢、时钟佯谬问题
7.1 时间间隔、空间间隔的实测 从前文对光速大小问题的讨论中，就可以想到：坐标值最终依赖于实测。我们称：坐标值与实测值相同的时间、空间坐标为原本时空坐标，或真正的时空坐标。真正时空坐标系的坐标是具有物理意义的坐标，而经过坐标变换之后的坐标不一定有物理意义，或者说只有通过原来的真正坐标系中的坐标才有物理意义。对洛伦兹变换的上述两个坐标系来讲，若原系的时空坐标与实测一致，则称原来的时空坐标系为原本时空坐标系，而称新系为经过变换得来的派生坐标系。派生坐标系的坐标值不是直接经过实测得来的， 而是经过变换得来的；它的时间坐标值只能叫做坐标时，而不是真正的具有实测性质的时钟时。坐标时与真正时钟时是不一样的。通过洛伦兹坐标变换联系起来的不同坐标系中“有且只有一个”是原本时空坐标系。
7.2 时钟校对问题 现行教科书中讲：“不同的惯性系之间没有统一的‘同时性’，即两个事件（时空点）A和B，在K系中是同时的，在系中就可能不同时。”[2] 我们认为：这种叙述只能是对坐标时成立的叙述；当K系是原本坐标系时，对于真正的时钟时，在系中也是完全同时的。事实上，当K系的坐标时与真正时钟时一致时，系中的坐标完全可以用逆变换变成K系中的坐标去判断它们的同时性。因此，我们完全可以讲；有坐标变换关系的两个不同惯性系之间存在着对于真正时钟时的同时性。此外， 在两个不同惯性系之间，是可以“对时”的；对时的办法与原本坐标系中不同地点的“对时办法”完全相同。具体办法是：找出被校时钟的所在地点与“已校时钟”所在地点之间的距离，然后根据“已校时钟”的报时加上“距离被光速除的商”去校正时钟。
7.3 时钟快慢与“尺缩”问题 根据洛伦兹变换，和它的逆变换可知：在同一处，可以得到表达式：
类似地，在同一处，可以得到表达式：
从这两个表达式出发，有很多值得研究的问题。其中第一个问题是：新坐标系与原坐标系的时钟“究竟哪一个慢了”的问题。这个问题需要用“运动是相对的”的观点去解释。详细的讨论在文献[2]中已经有了，本文不再赘述。第二个问题是：“时钟快慢”与“尺缩”的问题。关于这个问题，我与文献[2]中的阐述不同。根据前边的讨论，我们认为（7-1）或（7-2）式表示的时钟快慢的问题，是由于洛伦兹变换引起的，它实际上是两个“坐标时”之间的快慢问题；它不是“真正的时钟时”的快慢问题。两个坐标系之间的真正时钟时是完全可以校准的；它们的快慢是完全一样的，不存在所谓的快慢问题。对这个问题还可以给出一个比喻：事实上，洛伦兹变换可以用平面坐标系的旋转变换得到（参看文献[2]第20、21页），对于平面坐标系的旋转变换，我们决不能因为新坐标系下的横坐标多了就说度量长度的尺缩短了。
7.4时钟佯谬问题
时钟佯谬或称“双生子佯谬”问题在文献[1]、[2]中都有很多论述，但他们都没有使问题得到彻底解决。彻底的解决办法是：首先必须认识到坐标系与参考系的区别，然后提出上述“坐标时”与“真正时钟时”两个不同的概念，从这两个概念上讲：两个不同的惯性系之间存在着对于“真正时钟时”的同时性；因此，“地球孩”与“火箭孩”的真正的年龄是完全相同的。于是，这个佯谬问题就彻底解决了。
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思考题 ：
1 没有观测，有四维时空坐标吗？
2没有物理性的时间与空间距离能有光速的数字表示吗？
3光速是如何定义的？光速是如何测定的？
4 时空四轴正交系是怎样得到的？光速与观测者的运动无关吗？
5 什么是坐标时？什么是真正的时钟时？
6 时钟佯谬问题成立吗？
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