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§6.5 相对论力学 Relativistic Mechanics 相对论原理要求任何物理规律在不同的惯性系中形式相 同。而牛顿运动方程不满足洛仑兹变换下不变的要求。因 此，我们要对牛顿力学规律加以修改，使它满足相对论的 协变性要求。 1、物理量按空间变换性质分类 、 一个表达物理规律的方程，当坐标系经过变换而方程的 形式不变时，称这方程对于这个变换为协变的。 狭义相对论要求所有表达物理规律的方程对 Lorentz变换 是协变的，或称之具有Lorentz协变性。 a) 标量 若一物理量在空间中没有取向关系，当坐标系转动时，这 些物理量保持不变，则称此量为标量。如质量、电荷、标 量势等。 标量与坐标变换无关，设在∑系中某标量用 f 表示，在∑’系 中用 f ’ 表示，由标量不变性得到： f’=f b) 矢量 若一物理量在空间中有一定的取向性，它由三个分量表示， x i′ = a ij x j 当空间坐标按 式作变换时，该量的三个分量按同 一方式变换，则称此量为一矢量。如电场强度、速度、力 等。 以 v 代表矢量，它在坐标系∑中的分量为vi，在∑’系中的分 量为 vi′ ，故矢量变换关系为 vi′ = aij v j i, j = 1,2,3 还有微分算符? 也具有矢量性质，其变换关系为 这里使用了 由此可见 ail xi′ = ail aij x j = δ lj x j = xl ?xl = a il ? x i′ ?x j ? ? ? = = a ij ? x i′ ? x i′ ? x j ?x j c) 二阶张量 若物理量在空间的取向比较复杂，由两个矢量指标表示，有九 个分量，从∑系变换到∑’系中，其分量Tij按下列方式变换 Tij′ = aik a jlTkl , i, j , k , l = 1,2,3 具有这种变换关系的物理量称为二阶张量，如电磁场张力张 量、电四极矩等。 2、闵可夫斯基空间物理量的变换关系 、 闵可夫斯基空间是一个四维空间，其坐标轴分别为x1=x , x2=y , x3=z , x4=ict，由间隔不变性和光速不变原理，我们 得到四维空间的Lorentz变换式： ′ xu = auv xv , ? γ ? ? 0 auv = ? 0 ? ? ? iβγ ? u.v = 1,2,3,4 其中：∑’系相对于∑系沿 x 轴正方向以速度 v 运动 的特殊变换系数auv的矩阵形式为 0 0 iβγ ? ? 1 0 0 ? 0 1 0 ? ? 0 0 γ ? ? a) 四维标量 在四维空间中如果一个物理量只需一个数表示，而在坐标轴 “转动”时数值不变，则称此物理量为四维标量， 如间隔 ds 2 = ds′2 b) 四维矢量 如果一个物理量需四个数表达，而在坐标轴转动时，这些数 ′ 的变换关系和坐标的变换关系相同，即 Au = auv Av ，则称些 物理量为四维矢量，矩阵表明为 ? A1′ ? ? γ ? ? ? ′ ? A2 ? ? 0 ? A′ ? = ? 0 ? 3? ? ? A′ ? ? ? iβγ ? 4? ? 0 0 iβγ ? ? A1 ? ?? ? 1 0 0 ? ? A2 ? 0 1 0 ? ? A3 ? ?? ? 0 0 γ ? ? A4 ? ?? ? 凡满足这个变换式的四个数都构成一个四维矢量，四维矢量 的前三个分量是空间分量，第四个分量是时间分量。 在四维空间中，四维矢量微分算符 矢量微分算符为 矢量微分算符 c) 四维张量 如果一个物理量变换满足关系 ? ? = a uv ′ ?xv ?xu ′ Tuv = auλ aγτ Tλτ 一共有16个数构成一个四维张量，其中T4j和Ti4是虚数。 3、质点力学 、 由于四维矢量在坐标变换时是按Lorentz变换改变的，因此 一个物理定律若能用四维空间的量表达，则此定律具有 Lorentz协变性，即满足相对论要求。 a）四维速度 四维速度 ′ 由于 dxu = auvdxv 表示四维位移矢量，速度的定义是坐标对 dx u 时间的微商，但dt不是标量，故 不是矢量，不能表示四 dt 维速度，然而能够找到一种与坐标系无关的时间间隔，它 对一切惯性系都不变，即是四维标量。 设一质点在∑系内运动，t 时刻的速度为 内位移为 dxi v，此后dt 时间 dτ，而在 dτ时 随质点一起运动的∑’系观察到这段时间为 间内位移为 dxi′ = 0 因为质点相对于∑’系静止 2 2 2 2 2 ′ 2 + dy ′ 2 + dz ′ 2 ? c 2 dt ′ 2 dx + dy + dz ? c dt = dx = ? c 2 dτ 2 = 不变量 故 dτ 是标量。 又因为 dτ 是固有时，不随惯性系的变换而改变，即 dτ = dt 1 ? β 2 于是，定义四维速度为： 空间分量为 时间分量为 u? = dx ? dτ i = 1,2,3. dxi dt vi ui = = , dt dτ 1? β 2 dx4 dt ic u4 = = dt dτ 1? β 2 可见将四维速度写成如下形式 u? = ( vi 1? β 2 , ic 1? β 2 ) 说明一点：vi 是质点相对于∑系的运动速度，能观察或测定 说明一点 的速度，按照定义总是 vi，而不是四维速度 u?，但满足 Lorentz变换的却不是 vi 而是u? 。 b) 四维动量 引入四维标量mo，可定义四维动量为 空间分量为 p? = mo u ? pi = moui = p4 = mou4 = m0ui 1? β 2 im0 c 1? β 2 ? ? ? ? 时间分量为 四维动量的形式可表示为 ? mu im0 c 0 i ? p? = , ? 1? β 2 1? β 2 ? 当v<<c时， p4的展开式为 i? 1 ? 2 2 p4 = ?mo c + mo v + ?? c? 2 ? 括号内第二项是物体的动能，由此可见 p4与物体的能量有关。 c) 四维力（闵可夫斯基力） 四维力（闵可夫斯基力） 取p?对τ的微商，定义为四维力 d K? = = (mo u ? ) dτ dτ 空间分量为 dp? 即 d d Ki = (mo ui ) = pi dτ dτ mo vi d d 2 K i 1 ? β = pi = ( ) dt dt 1 ? β 2 2 令 Fi = K i 1 ? β 当v<<0时 d movi 得到 Fi = ( ) dt 1? β 2 d Fi = (mo vi ) dt d (mo v ) 这与牛顿运动方程 F = dt mo v d 因此可得 F = ( ) dt 1 ? β 2 按照力等于动量的改变率的定义， 则有 一致 就是三维形式的相 对论运动方程。 1? β 由此可见，相对论中的质量是速度的函数。 这里的 p 是质点 即m=m(v)，当质点静止时(v=0)，则质 2 d F= p dt p = mv , 式中 m= mo m=mo，所以称mo 为静止质量。另外，当 质点的速率趋近于光速c时，其质量将趋 近于无穷大，所以任何项大的力都不可能 使具有静止质量的质点加速到光速 c，因 而光速是物体运动速度的极
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