phymath999: brain01 phymath01 trading01 狄拉克δ函数Dirac delta function股票数学模型对冲基金方法

Sunday, November 3, 2013

brain01 phymath01 trading01 狄拉克δ函数Dirac delta function股票数学模型对冲基金方法

狄拉克δ函数Dirac delta function股票数学模型对冲基金方法

(2012-11-13 11:42:26)

转载▼

标签：

股票

分类：股票数学模型

狄拉克δ函数的顺序零为中心的正态分布的限制（在这个意义上的分布） $\ delta_a（X）= \压裂{1} {\开方{\ PI}} \ mathrm {E} ^ {-x ^ 2 / ^ 2}$ 作为 →0

线箭头之上，狄拉克δ函数的示意图。箭头的高度，通常是用于以指定的任何乘法常数的值，这将给予下的面积的函数。其他的惯例是写小区旁边的箭头。
概述

的δ函数的曲线图通常被认为是以下整个x轴方向和y轴正。尽管它的名字，δ函数是不是一个真正的功能，至少不是一个通常的实数域的。例如，对象的f（x）的=δ（x）和g（x）的= 0是处处相等，除了在 x = 0，但有不同的积分。根据勒贝格积分的理论，如果ƒ 和 g，f = 克几乎无处不在，则ƒ是可积的功能，当且仅当 g是积，和ƒ 和 g的积分是相同的。狄拉克δ要求严格的处理措施的理论或理论的分布。

狄拉克δ是用来模拟一个高大的窄脉冲函数（脉冲），以及其他类似的抽象，如一个点电荷，点质量或电子点。例如，为了计算由蝙蝠被击中的棒球的动力学，1可以近似的力的蝙蝠击中棒球由δ函数。在这样做时，不仅简化方程，但1也能够通过只考虑的蝙蝠打击球的总脉冲，而不是需要知识的详情蝙蝠如何转移的能量来计算运动的棒球球。

delta函数在应用数学中，往往是作为种限制（弱极限）的函数序列，其中每个构件有一个高大的尖峰在原点操纵：例如，以原点为中心的高斯分布的序列方差趋向于零。

[ 编辑 ]历史

约瑟夫·傅立叶提出了什么是现在所谓的傅立叶积分定理在他的论文Théorieanalytique德拉沙勒尔的形式： [8]

$F（X）= \压裂{1} {2 \ PI} \ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的\ \ \阿尔法（\α）\ \ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的DP \ \ COS（PX-P \α）\$

这等于是引入δ-函数的形式： [9]

$\三角洲（X-\阿尔法）= \压裂{1} {2 \ PI} \ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的DP \ \ COS（PX-P \α）\。$

后来，奥古斯丁柯西用指数函数表示定理： [10] [11]

$F（X）= \压裂{1} {2 \ PI} \ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的\ E ^ {IPX} \（\ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的E ^ {IP \阿尔法}（\α）\ D \阿尔法\）\ DP \。$

柯西指出，在某些情况下，一体化的顺序在这样的结果是显着的。 [12] [13]

合理使用的理论分布，柯西公式可以重新排列，类似于傅立叶的制定和公开δ-函数：

$F（X）= \压裂{1} {2 \ PI} \ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的\ E ^ {IPX} \（\ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的E ^ {IP \阿尔法}（\α）\ D \阿尔法\）\ DP$

$= \压裂{1} {2 \ PI} \ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的\ \（\ \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的E ^ {IPX} E ^ {-IP \阿尔法} \ DP \）（\α）\ D \阿尔法\ = \ \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的\ \三角洲（X-\α）F（\α）\ D \阿尔法\$

其中的δ-函数被表示为：

$\三角洲（X-\阿尔法）= \压裂{1} {2 \ PI} \ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的E ^ {IP（X-\α）} \ DP \。$

一个严格的解释，其应用时所需的函数f的指数形式和各种条件的限制，延续了几个世纪。一个经典的解释的问题，解释如下： [14]

“经典的傅立叶变换的最大的缺点是一个相当狭窄的类功能（原稿），它可以有效地计算，即，它是必要的，这些功能足够迅速下降至零（附近为无穷大），以便确保傅里叶积分的存在，例如，这样的简单的功能作为多项式的傅立叶变换，在传统意义上不存在。经典的傅立叶变换进行分布的扩展大大扩大的类可转化的功能，而这除去许多的障碍。“

进一步的发展，包括泛化的傅立叶积分，“开始Plancherel的开创性大号 2-理论“（1910），继续与维纳的和波切内尔的作品（1930年左右）和最终的合并到L.施瓦茨的理论的分布（1945年）... “ [15]和狄拉克δ函数的正式发展。

无穷小公式为无限高，单位冲激δ函数的柯西分布）（无穷明确奥古斯丁路易·柯西在1827年文本的出现。 [16]在波传播的研究与缅尼，泊松考虑的问题一样古斯塔夫基尔霍夫来得稍晚一些。基尔霍夫和赫尔曼·冯·亥姆霍兹还推出了单位脉冲，高斯，这也符合开尔文勋爵的概念的一个点热源的限制。在19世纪结束时，奥利弗赫维赛德使用“正式的傅立叶级数操纵的单位脉冲。 [17]为“方便的符号”由保罗·狄拉克狄拉克δ函数，因为这样是在他的影响1930年量子力学原理“一书。 [18]他把它称为“δ函数”，因为他使用了它作为一个连续的模拟的离散克罗内克δ 。

[ 编辑 ]定义

狄拉克δ可以松散地想作为一个功能上的实线，这是零无处不在原点，它是无限的除外，

$\三角洲（X）= \ {情况下，} + \ infty的，与X = 0 \ \ 0，X \ NE 0 \ {情况下}$

也约束满足身份

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\三角洲（X）\，DX = 1。$ [19]

这只不过是一个启发式的表征。狄拉克δ不是一个传统意义上的功能，是真实的数字，因为没有定义的函数具有这些特性。 [18]狄拉克δ函数可以被严格定义，也可以作为分配或作为一个衡量。

[ 编辑 ]作为衡量

严格地定义δ函数的方法之一是作为一个措施，它接受的参数是一个子集A中的实线 R，并返回δ（A）= 1，0∈A，δ（A）= 0，否则。 [ 20]如果delta函数被概念化为建模一个理想化的质点在0，则δ（A）表示集合 A中包含的质量。然后对δ定义积分作为对这种质量分布函数的积分。从形式上看， Lebesgue积分提供了必要的分析设备。勒贝格积分的措施δ满足

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的F（X）\，\三角\ {DX \} = F（0）$

所有连续的紧支撑函数ƒ。措施δ不是绝对连续的勒贝格测度 -事实上，这是一个奇异的措施。因此，三角洲措施的Radon-Nikodym导衍生物 -没有真正的功能，其属性

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的F（X）\三角洲（X）\，DX = F（0）$

持有。 [21]因此，后者的符号是一个方便的滥用的符号，而不是一个标准的（黎曼或勒贝格）积分。

作为一个概率测度 R 上，delta量的特征在于由累积分布函数，它是单位阶跃函数 [22]

$H（X）= \ {件}＆\ {}×\ GE的0 \ \ 0＆\文本{} x <0时。 \ {情况下}$

这意味着，即H（x）是积分累积指标函数 1（ - ∞中，x]相对于的措施δ;机智，

$H（X）= \ int_ {\ mathbb {R}} \ mathbf {1} _ {（ - \ infty的，X]}（吨）\，\三角\ {DT \} = \三角洲（ - \ infty的，X 。$

因此，特别是对一个连续函数的δ函数的积分可以正确理解作为Stieltjes积分： [23]

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的F（X）\三角\ {DX \} = \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的F（X）：\，卫生署（X）。$

所有时刻的δ为零。特别是，特征函数和矩母函数都等于1。

[ 编辑 ]作为一个分布

不被认为是一个广义函数的理论分布的函数本身，但只有在它是如何影响其他功能时，对他们的“整合”。在这一理念，定义三角洲的正常，这是不够的说，“整体”的冲激函数对一个足够“好”的测试功能是什么。如果δ函数已经被理解为一项措施，然后对这一措施的测试功能提供了必要的勒贝格积分的积分。

一个典型的测试功能空间包括所有光滑函数在 R与紧凑的支持。作为一种分布，狄拉克δ是一个线性的功能的空间测试功能，被定义为[24]

$\三角\ varphi] = \ varphi（0）\$

（ 1 ）

每一个测试函数φ。

对于δ是正确的分布，它必须是在适当的意义上的“连续”。在一般情况下，对于一个线性的功能S对测试功能来定义的分布的空间，它是必要的和足够的，对于每一个正整数，N有一个整数 M N和常数 C N，使得对于每一个测试函数φ，一个人的不平等[25]

$| S [\披] | \乐C_N \ sum_ {k = 0} ^ {M_N} \ sup_ {X \ [-N，N]} | \披^ {（K）}（X）。$

随着δ分布，一个具有这样一个不等式（与C-N = 1），M N = 0，对于所有 N。因此，δ是一个零阶分布。是，此外，它具有紧凑支持（支持是{0}）的分布。

三角洲分布也可以被定义在一个数量等同的方式。例如，它是分配的衍生物的希维赛德阶跃函数。这意味着，对于每一个测试函数φ，一个具有

$\三角\ PHI] = - \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\披'（x）H（X）\，dx的。$

直观地说，如果集成的部件被允许，那么后者的积分简化为

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\φ（x）的H'（X）\，DX = \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\披（X）\三角洲（X）\，DX，$

而事实上，部分积分法的一种形式是允许为Stieltjes积分，并在这种情况下，一个确实有

$- \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\披'（x）H（X）\，DX = \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\披（X）\：DH（X）。$

Dirac测度测度论的背景下，产生了一个整合分布。相反的，方程（ 1 ）定义了一个丹尼尔所有紧支撑的连续函数φ，由Riesz表示定理，可以表示为φ相对于一些Radon测度Lebesgue积分空间一体。

[ 编辑 ]推广

delta函数可以被定义在n维Euclid空间 R n中，使得作为量度

$\ int_ {\ mathbf {R} ^ N}（\ mathbf {X}）\三角\ {\ mathbf {X} \} = F（\ mathbf {0}）$

每一个紧支撑的连续函数f。作为其对策，在n维delta函数是1维delta函数分别在每个变量的乘积测度。因此，正式地说，与 x =（×1，×2，...，×n）个，一个有[6]

$\三角洲（\ mathbf {X}）= \三角洲（X_1）\三角洲（X_2）\点\三角洲（x_n）。$

（ 2 ）

delta函数，也可以被定义在这个意义上完全按照上面在一维的情况下的分布。 [26]然而，尽管在工程上下文的广泛使用，（ 2 ）应小心操作，因为产物分布只能在很窄的情况下，被定义[27] 。

的Dirac测度的概念是有道理的，无论任何一组。 [20]因此，如果 X是一个集合，X 0∈X是一个显着的一点，和Σ是任何西格玛代数的 X的子集，然后上定义的测量集 A ∈Σ由

$\ delta_ X_0}（A）= \ {件} 1＆\ {\} X_0 \ A \ \ 0＆\ {\} X_0 \ notin A \ {情况下}$

是的delta量或单位质量集中在 x 0。

冲激函数的另一个共同推广是一个微分流形，大多数的微结构，也可以利用，因为其属性的分配。 ×0∈M被定义为如下的分布的点为中心，在歧管M的δ函数：

$\ delta_ {X_0} [\披] = \岛（X_0）$

（ 3 ）

紧支撑的光滑实值函数φ 在 M [28]这方面的建设是一个常见的特殊情况时，在欧氏空间R N， M是一个开集。

在一个局部紧Hausdorff空间 X，狄拉克δ措施，集中在一个点 x是与丹尼尔积分（ 3 ）紧支撑的连续函数φ的氡措施。一般性在这一水平上，这种演算作为不再是可能的，但是从抽象分析技术可用多种。例如，映射 $X_0 \ mapsto \ delta_ {X_0}$ 是一个连续的嵌入X到X 上的空间有限Radon措施，配备其模糊的拓扑。此外，根据本嵌入的凸包的图像的 X是致密的在X上的空间概率测度。 [29]

[ 编辑 ]属性
[ 编辑 ]缩放性和对称性

delta函数满足下面的缩放属性为一个非零的标量α： [30]

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\三角洲（\字母X）\，DX = \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\三角洲（U）\，\压裂{杜} {| \阿尔法|} = \压裂{1} {| \阿尔法|}$

等

$\三角洲（\阿尔法X）= \压裂{\三角洲（X）} {\阿尔法|}。$

（ 4 ）

特别是，delta函数是一个偶数的分布，在这个意义上

$\三角洲（-X）= \三角洲（X）$

这是均匀度-1。

[ 编辑 ]代数性质

分配产品的δ 与 x等于零：

$X \三角洲（X）= 0。$

相反，如果所述ƒ（x）的= xg离心（x），其中℃和g是分布，然后

$F（X）= G（X）+ C \三角洲（X）$

一些常数 c。 [31]

[ 编辑 ]翻译

的积分的时间延迟的狄拉克δ由下式给出：

$\ \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的F（T）\三角洲（TT）\，DT = F（T）。$

这有时被称为作为筛选性 [32]或采样属性。 δ函数被说成“筛选”的价值在 t = T。

它如下与时间延迟的狄拉克δ的函数f（t）的卷积的效果相同的量是f（t）的时间延迟：

$（F（T）* \三角洲（T-T））\，$	$\ \ stackrel {\ mathrm {高清}} {=} \ \ INT \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的F（\ tau蛋白）\ CDOT \三角洲（TT-\头）\ D \ tau蛋白$
	$= \ \ limits_ { - \ infty的} ^ \ infty的F（\ tau蛋白）\ CDOT \三角洲（\ tau蛋白（TT））\ D \头$ （使用（ 4 ）： $\三角洲（-X）= \三角洲（X）$ ）
	$= F（T-T）。\$

这持有ƒ是回火分布（见下面讨论的傅立叶变换）的精确条件下。作为一种特殊的情况下，举例来说，我们的身份（理解分布感）

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\三角洲（\ XI-X）\三角洲（X-\ ETA）\，DX = \三角洲（\十一\ ETA）。$

[ 编辑 ]组成与功能

更一般地，三角形分布可以由具有光滑的函数g（x），在这样一种方式，熟悉的变化的变量式持有，那

$\ int_ {\ mathbf {R}} \三角\ bigl（G（X）\ bigr）F \ bigl（G（X）\ bigr的）G'（x）| \，DX = \ int_ {G（\ mathbf {R}）} \三角洲（U）F（U）\，杜$

G 是连续可微函数相克“无处零。 [33]也就是说，有一种独特的方式来分配意义的分布 $\三角\中国保监会克$ 所以，这个身份持有的所有紧凑支持的测试功能ƒ。这种分布满足δ（G（X））= 0如果g是无处零，否则，如果G有一个真正的根，然后在 x 0

$\Δ（G（X））= \压裂{\三角洲（X-X_0）} {| G'（X_0）的|}。$

因此，这是很自然的定义的组合物的δ（G（X））为连续可微函数 g的

$\Δ（G（X））= \ sum_i \压裂{\三角洲（X-x_i的）} {| G'（的x_i）|}$

其中求和延伸过所有的g（x）的根，它被假定为简单。 [33]因此，例如

$\δ（x ^ 2 - \阿尔法^ 2）= \压裂{1} {2 | \阿尔法|} [\三角洲（X + \α）+ \三角洲（X-\α）]。$

在积分形式的广义标度特性可写为

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的F（X）\ \δ（G（X））\，DX = \ sum_ {i}的\压裂{F（x_i的）} {| G'（的x_i）|} 。$

[ 编辑 ]n维空间中的属性

三角洲分布在n维空间中满足下列公式的属性，而不是：

$\三角洲（\阿尔法\ mathbf {X}）= | \阿尔法| ^ {-N} \三角洲（\ mathbf {X}）$

因此，δ是一个均匀分布的程度-正。在任何反射或旋转 ρ，δ函数是不变的：

$\三角洲（\ RHO \ mathbf {X}）= \三角洲（\ mathbf {X}）。$

至于在一变量的情况下，也能够用双Lipschitz函数定义的组合物的δ [34] 克：R n上→R n中唯一的身份

$\ int_ {\ mathbf {R} ^ N} \三角洲（G（\ mathbf {X}））\，F（G（\ mathbf {X}））\ | \ DET G'（\ mathbf {X}） | \，\ mathbf {X} = \ int_ {G（\ mathbf {R} ^ N）} \三角洲（\ mathbf {U}）（\ mathbf {U}）\，\ mathbf {U}$

紧支撑函数ƒ。

使用coarea从几何测量理论公式，也可以定义与浸没的δ函数的组合物从一个欧氏空间中的另一个不同的维数;结果是一个类型的电流。在特殊情况下的连续可微函数g：RN→R， g的梯度的是无处为零，下列身份持有[35]

$\ int_ {\ mathbb {R} ^ N}（\ mathbf {X}）\，\δ（G（\ mathbf {X}））\，\ mathbf {X} = \ int_ {G ^ {-1 （0）} \压裂{F（\ mathbf {X}）} {| \ mathbf {\ nabla} G |} \，\Σ（\ mathbf {X}）$

在右边的积分超过克-1（0），n - 1维表面由 g（x）的= 0定义的相对于的闵可夫斯基内容措施。这是已知的作为一个简单的层积分。

[ 编辑 ]傅立叶变换

delta函数是一个回火的分布，因此，它具有良好定义的傅立叶变换。从形式上看，人们发现[36]

$\帽子{\δ}（\十一）= \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的E ^ {-2 \ PI九\ XI} \三角洲（X）\，DX = 1。$

正确地说，一个分布的傅里叶变换的定义通过施加自我adjointness的傅立叶变换的对偶性下配对 $\ langle \ CDOT中，\ CDOT \ rangle$ 脾气的与施瓦茨功能分布。从而 $\帽子\三角洲}$ 被定义为唯一的回火分布满足

$\ langle \帽子{\δ}，\岛\ rangle = \ langle \三角洲，\帽子{\披} \ rangle$

所有施瓦茨函数φ。事实上，这一点，从 $\帽子{\δ} = 1。$

作为一个结果，这个身份，卷积的δ函数与任何其他的回火分布 S仅仅是S：

$S * \δ= S \$

也就是说，δ是一个身份的元素的卷积脾气分布的，其实紧支撑的空间分布的卷积是一个关联代数与身份的增量功能。此属性是基本的信号处理，作为回火分布的卷积是一个线性时不变系统，并应用线性时不变系统测量的脉冲响应。的脉冲响应，可以计算到任何期望的程度的精度，通过选择一个合适的近似为δ，并且一旦它是已知的，该系统的特征完全。 LTI系统理论：脉冲响应和卷积。

傅立叶逆变换的回火分布ƒ（ξ）= 1的δ函数。从形式上看，这是表示

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的1 \ CDOT E ^ {2 \ PI九\ XI} \，\ XI = \三角洲（X）$

更严格的，它遵循自

$\ langle 1，F ^ \ V型\ rangle = F（0）= \ langle \三角洲，F \ rangle$

施瓦茨功能ƒ。

在这些方面，delta功能提供了一个R 上的傅立叶内核的正交性暗示的声明。从形式上看，

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的E ^ {2 \ PI \ xi_1 T} \ [E ^ {I 2 \ PI \ xi_2 T} \] ^ * \，DT = \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的E ^ {-2 \ PI（\ xi_2 - \ xi_1）T} \，DT = \三角洲（\ xi_1 - \ xi_2）。$

当然，这是速记的断言的傅立叶变换的回火分布

$F（T）= E ^ {I2 \ PI \ xi_1 T}$

是

$\帽子{F}（\ xi_2）= \三角洲（\ xi_1 \ xi_2）$

这再次通过施加自伴性傅里叶变换如下。

通过解析延拓的傅里叶变换，拉普拉斯变换的增量功能被发现[37]

$\ int_ {0} ^ {\ infty的} \三角洲（TA）E ^ {ST} \，DT = E ^ {-SA}。$

[ 编辑 ]分布衍生工具

狄拉克δ分布的分布衍生的是的分布δ'紧支平滑的函数φ定义[38]。

$\三角洲“[\ varphi] = - \三角\ varphi'] = - \ varphi（0）。$

这里的第一个平等是一种整合的部分，如果δ是一个真正的函数，然后

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\三角洲'（X）\ varphi（x）\，DX = - \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\三角洲（X）\ varphi'（x）\，DX 。$

的第k个衍生物的δ的定义类似分布上给出测试功能

$\δ^ {（十一）} [\ varphi] =（-1）^ K \ varphi ^ {（k）}的（0）。$

特别是δ是一个无限可微的分布。

的δ函数的一阶导数的分配限制的差商： [39]

$\δ'（x）的= \ lim_ {H \ 0} \压裂{\三角洲（X + H） - \三角洲（X）} {H}。$

更适当地，一个具有

$\δ'= \ lim_ \ 0 {H} \压裂{1} {H}（\ tau_h \三角洲 - \三角洲）$

其中τh是平移算符，由τHφ（x）的=φ（+ h）的功能上定义，并且在分布 S

$（\ tau_h S）[\ varphi] = S [\ tau_ {小时} \ varphi]。$

以电磁理论，delta函数的一阶导数的表示一个点位于原点的磁偶极子。因此，它被称为作为偶极子或双重功能。 [40]

的衍生物的delta函数满足一些基本性质，包括：

$\压裂{} {dx的} \δ（-x）的= - \压裂{} {dx的} \δ（x）的$

$X \三角洲'（X）= - \三角洲（X）。$

此外，卷积是一个紧支撑的光滑函数fδ'

$\三角洲“* F = \三角洲* F'= F'，$

如下从属性的分配衍生物的卷积。

[ 编辑]尺寸

更一般地，在n维的欧氏空间 R n中的一个开集中的U ，狄拉克δ分布集中在一个点一个∈U的定义由[41]

$\ delta_a [] = \ \披披岛（一）$

所有的φ∈S（U），一切顺利紧凑支持的功能在 U的空间。如果α=（α1，...，αn中）是指任何多指数和∂α表示相关联的混合偏导数算子，然后第 α衍生物∂αδa的δ 一个由下式给出[41]

$\左\ langle \部分下^ {\阿尔法} \ delta_ {}，\ varphi \ \ rangle =（-1）^ {| \阿尔法|} \离开\ langle \ delta_中{A}，\部分^ {\阿尔法} \ varphi \ \ rangle = \离开。（-1）^ {| \阿尔法|} \部分^ {\阿尔法} \ varphi（X）\ | _ {X =} \的mbox {全部} \ varphi \的S（U）。$

即，α 阶导数的δ是其值的分布任何测试函数φ上是αφ 阶导数在（与适当的正的或负的符号）。

delta函数的第一部分的衍生物被认为是沿着坐标平面的双层。更一般地，正常的派生的一个简单的层的表面上的支持是双电荷层，该表面上的支持，并表示层状磁单极。 δ函数的高阶导数是已知的物理学的多极。

高阶导数进入数学，自然分布点支撑的完整结构的积木。如果 S是集合{a}组成的一个单点支承在U 上的任何分布，然后有一个整数 m和系数Cα，使得[42]

$S = \ sum_ {| \阿尔法| \乐M} C_ \阿尔法\部分^ \阿尔法\ delta_a。$

[ 编辑]δ函数的表示

delta函数序列的功能的限制，可以被看作是

$\Δ（X）= \ lim_ {\ varepsilon \ 0 ^ +} \ eta_ \ varepsilon（X），\$

其中ηε（X）有时也被称为一个新兴的增量功能。此限制是指在意识淡薄，要么

$\ lim_ {\ varepsilon \ 0 ^ +} \ int_ { - \ infty的} ^ {\ infty的} \ eta_ \ varepsilon（X）F（X）\，DX = F（0）\$

（ 5 ）

所有连续函数ƒ具有紧凑的支持，或此限制适用于所有具有紧支撑的光滑函数ƒ。这两个稍微不同的方式弱收敛之间的差异往往是潜移默化的：前者是收敛的模糊拓扑结构的措施，在这个意义上的分布，而后者则是收敛的。

[ 编辑 ]逼近的身份

通常一个新生delta函数ηε可以以下面的方式构造。设η是绝对可积函数在 R总积分1，定义

$\ eta_ \ varepsilon（X）= \ ETA（X / \ varepsilon）/ \ varepsilon。 \$

在n维空间中，而使用缩放

$\ eta_ \ varepsilon（X）= \ ETA（X / \ varepsilon）/ \ varepsilon ^ N。 \$

一个简单的变量的变化表明，ηε也有积分1。 [43]一个显示很容易（ 5 ）适用于所有连续的紧支撑函数ƒ，ηεδ在弱收敛意义上的措施。

以这种方式构造的ηε是已知的作为一个近似的身份。 [44]这个术语是下是封闭的，因为绝对积函数空间 L 1（R）的函数的卷积的操作：▪* 克∈L 1 （R）每当℃和克 1（R）在 L。然而，没有身份，在L 1（R）的卷积：没有元素 h，这样ƒ* H =ƒ所有ƒ。然而，该序列ηε中的近似在这个意义上，这样的身份

$F * \ eta_ \ varepsilon \到f \四\ RM {\} \ varepsilon \ 0。$

在这个意义上的平均收敛（收敛L 1）持有此限制。 ηε的进一步条件，例如，它是一个紧支撑函数相关联的磨光， [45]是必要的，以确保逐点收敛，几乎无处不在。

如果初始η=η1本身是光滑和紧支撑，则该序列被称为一个磨光。选择η是一个合适的归一凸块的功能，例如通过以下方式获得的是标准的磨光

$\ ETA（X）= \ {情况下} E ^ {-1 /（1 - | X | ^ 2）}＆\ {} | X | <1 \ \ 0＆\文本{} | X | \ GEQ 1。 \ {情况下}$

数值分析，分段线性近似的身份，如在某些情况下是理想的。这可以通过以下方式获得以η1是一个帽函数。有了这个选择的η1，一个具有

$\ eta_ \ varepsilon（x）的= \ varepsilon ^ {-1} \最大（1 - | X / \ varepsilon |，0）$

这是所有的连续和紧凑的支持，虽然并不顺利，因此不是一个磨光。

[ 编辑 ]概率考虑

在概率论的上下文中，这是很自然的，施加的附加条件是初始η1在一个近似的身份应该是正面的，然后，这样的函数表示的概率分布。卷积一个概率分布有时是有利的，因为它不产生过冲或下冲，作为输出的是一个凸组合的输入值，从而介于输入函数的最大值和最小值之。以η1是任何在所有的概率分布，并让ηε（x）的=η1（）/（ε）/ε为上述会给上升到一个近似的身份。在这个收敛更迅速地δ函数，此外，η的平均值为0，有小的高阶矩。例如，如果η1是均匀分布 [-1 / 2，1/2]，也被称为矩形函数，则： [46]

$\ eta_ \ varepsilon（X）= \压裂{1} {\ varepsilon} \ \ textrm {RECT} \ \压裂左（{X} {\ varepsilon} \）\ {情况下，} \压裂{1} { \ varepsilon}＆ - \压裂{\ varepsilon} {2} <X <\压裂{\ varepsilon} {2} \ \ 0＆\ {否则}。 \ {情况下}$

另一个例子是的Wigner半圆分布

$\ eta_ \ varepsilon（X）= \ {情况下，} \压裂{2} {\ PI \ varepsilon ^ 2} \开方{\ varepsilon ^ 2 - x ^ 2}＆ - \ varepsilon <X <\ varepsilon \ \ 0 \ {否则} \ {情况下}$

这是连续的，紧支撑，但不是一个磨光的，因为它是不光滑。

[ 编辑 ]半群

经常出现新生的冲激函数的卷积半群。 ηδηε与卷积必须满足的进一步约束，这相当于

$\ eta_ \ varepsilon \ eta_ \δ= \ eta_ {\ varepsilon + \三角洲}$

对于所有的ε，δ> 0。，形成一个新兴的δ函数的卷积半群的L 1是在上述意义上的身份始终是一个近似值，但半群的条件是相当强的限制。

在实践中，接近δ函数的半群的出现，从根本上解决或物理动机的椭圆或抛物线型偏微分方程的格林函数。在应用数学的背景下，半群产生一个线性时不变系统的输出。理论上，如果 A是一个线性算子作用于x 的函数，则产生的卷积半群解决初始值问题

$\ {情况下，} \压裂{\部分} {\局部吨} \ ETA（T，X）= A \ ETA（T，X），\四T> 0 \ \ \ \ lim_ {T \ 0 ^ +} \埃塔（T，X）= \三角洲（X）\ {情况下}$

在这种限制是通常理解意识的淡薄。设定ηε（x）的=η（ε，x）的给出了相关的初生的delta函数。

物理上重要的卷积半群所产生的这样的根本的解决方案的一些例子包括以下内容。

热内核

所定义的热内核，

$\ eta_ \ varepsilon（X）= \压裂{1} {\开方{2 \ PI \ varepsilon}} \ mathrm {E} ^ {-X ^ 2/2 \ varepsilon}$

代表无限导线中的温度在时间t> 0时，如果一个单元的热能量被存储在时间 t = 0，在原点的导线。这半群的发展，根据一维热传导方程：

$\压裂{\部分ü} {\部分T} = \压裂{1} {2} \压裂{\部分^ 2 U} {\局部X ^ 2}。$

以概率论，ηε（x）的是一个正常的分布的方差 ε和平均0。它代表了在时间的概率密度吨 =ε在原点开始按照一个标准的布朗运动的颗粒的位置。在这种情况下，半群的条件是表达的马尔可夫性质的布朗运动。

在高维欧氏空间R n中，热核

$\ eta_ \ varepsilon = \压裂{1} {（2 \ PI \ varepsilon）^ {N / 2}} \ mathrm {E} ^ {-X \ CDOT X / 2 \ varepsilon}$

并具有相同的物理解释，比照适用。它也代表了在这个意义上的新生的delta函数ηε→δ当ε→0的分布感测。

Poisson核

Poisson核

$\ eta_ \ varepsilon（X）= \压裂{1} {\ PI} \压裂{\ varepsilon} {\ varepsilon ^ 2 + x ^ 2} = \ int_ { - \ infty的} ^ {\ infty的} \ mathrm {E } ^ {2 \ PI \ mathrm {} \ XI X-| \ varepsilon \十一|} \; \ XI$

是在上半平面的拉普拉斯方程的基本解。 [47]在半无限沿着边缘板的电位被保持在固定在delta函数，它代表了静电势。 Poisson核也是密切相关的柯西分布。此半群演进根据方程

$\压裂{\部分ü} {\部分T} = - （ - \部分^ 2 / \局部X ^ 2）^ {1/2} U（T，X）$

运营商的严格定义为Fourier乘

$\ mathcal {F} \ [（ - \部分^ 2 / \局部X ^ 2）^ {1/2} F \右]（\ XI）= | 2 \ PI \十一\ mathcal {F}（ \十一）。$

[ 编辑 ]振荡积分

在波的传播和波动力学等物理领域，涉及的双曲方程，因此可能有更奇异的解决方案。其结果是，新生的增量产生的相关联的Cauchy问题的根本解决方案的功能，通常是振荡积分。一个例子，它来自的的欧拉-特里科米的跨音速气体动力学方程的解决方案，是重新调整的Airy函数 [48]

$\ operatorname {艾}（/ \ varepsilon ^ {3分之1}）/ \ varepsilon ^ {3分之1}。 \$

虽然使用傅立叶变换，可以很容易地看到，这会产生一个半群在某种意义上，它是绝对可积的，所以不能定义一个半群在上述强烈的责任感。许多新兴的冲激函数构造振荡积分收敛的分布（一个例子是的狄利克雷内核），在这个意义上，而不是在这个意义上，措施。

另一个例子是在R 1 +1的波动方程的Cauchy问题： [49]

$\ {对齐} C ^ {-2} \压裂{\部分^ 2U} {\部分T ^ 2} - \三角洲ü= 0 \ \ U = 0，＆\四\压裂{\部分ü} { \局部吨} = \三角\四\ {\} t = 0时刻。 \ {对齐}$

一个无限大的弹性绳平衡的解决方案，u表示位移，与初始扰动的起源。

其他的身份，这种近似的正弦函数

$\ eta_ \ varepsilon（X）= \压裂{1} {\圆周率X} \罪\（\压裂{X} {\ varepsilon} \右）= \压裂{1} {2 \ PI} \ int_ { - 1 / \ varepsilon} ^ {1 / \ varepsilon} \ COS（KX）\; DK$

和贝塞尔函数

$\ eta_ \ varepsilon（X）= \压裂{1} {\ varepsilon J_ {1 / \ varepsilon} \（\压裂{1} {\ varepsilon} \右）。$

[ 编辑 ]平面波分解

一个线性偏微分方程的研究方法之一

$L [U] = F，\，$

其中L是R n 上的微分算子，是寻求第一个根本的解决方案，这是一个方程的解

$L [U] = \三角\$

当 L是特别简单的，往往可以得到解决此问题，使用傅立叶变换的直接（如已经提到泊松内核和热内核中的箱子）。对于更复杂的运算符，它有时是更容易，首先要考虑的方程的形式

$L [U] = H \$

其中 h是平面波的功能，也就是说，它的形式是

$H = H（X \ CDOT \十一）$

一些向量ξ。这样一个公式就可以解决的柯西-科瓦列夫斯卡亚定理（如有的 L系数为常数）正交（如有的 L系数解析函数）。所以，如果δ函数可以分解为平面波，那么我们可以在原则上解决了非线性偏微分方程。

这样的分解成平面波δ函数是一个通用的技术，基本上是由约翰氡的一部分，由弗里茨·约翰（ 1955年），然后以这种形式。 [50] 选择 k 使得 n + k是一个偶数，并为实数s，放

$G（S）= \ operatorname {RE} \左\压裂{-S ^ K \ LOG（是）} {（2 \ PI I）^ N} \] = \ {情况下，} \压裂K！ {| S | ^ K表} {4K！（2 \ PI我）^ {N-1}}＆ñ\文本{奇} \ \＆\ \ - \压裂{|小号| ^ K表\日志| S |} { K！（2 \ PI I）^ {n}}＆N \ {偶数。} \完{情况下}$

则δ相对于单位球体措施 dω的克（·ξ）中ξ的单位球面 S n -1个施加电源的拉普拉斯算子的积分是通过以下方式获得：

$\Δ（X）= \三角洲^ {（N + K）/ 2} _x \ int_ {S ^ {N-1}} G（X \ CDOT \十一）\ D \ omega_ \十一。$

作为一种弱的衍生物，这样，这个方程被表示为任何测试函数φ，这里被解释的拉普拉斯

$\ varphi（x）= \ int_ {\ mathbf {R} ^ N} \ varphi（ŷ），\，DY \ \δ^ {（N + K）/ 2} _x \ int_ {S ^ {N-1} } G（（XY）\ CDOT \十一）\ D \ omega_ \十一。$

结果如下从牛顿潜在的公式（从根本上解决泊松方程）。这本质上是一种形式的Radon变换的反演公式，因为它从它的积分超过超平面φ的值（x）的恢复。例如，如果n是奇数且 k = 1，然后在右手侧上的积分是

$\开始{对齐}＆{} \四C_N \德尔塔^ {第（n +1）/ 2} _x \诠释\ int_ {S ^ {n-1的}} \ varphi（y）的|（YX）\ CDOT \十一| \ D \ omega_ \十一\ DY \ \＆= C_N \三角洲^ {（N +1）/ 2} _x \ int_ {S ^ {N-1}} \，\ omega_ \十一\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的| P | R \ varphi（\十一，P + X \ CDOT \ XI）\ DP \ {对齐}$

其中Rφ（ξ，p）的Radon变换的φ：

$R \ varphi（\十一，P）= \ int_ {X \ CDOT \ XI =} F（X）\，D ^ {N-1}×。$

另一种等价表达式的平面波分解，，从Gel'fand Shilov（1966年至1968年，我第3.10节），

$\Δ（X）= \压裂{（N-1）} {（2 \ PI I）^ N} \ int_ {S ^ {N-1}（\ CDOT \十一）^ {-N} \ D \ omega_ \ XI$

N 为偶数，和

$\δ（x）的= \压裂{1} {2（2 \丕ⅰ）^ {n-1的}} \ int_ {S ^ {n-1的}} \δ^ {第（n-1）}（\ CDOT \十一）\ D \ omega_ \ XI$

N 为奇数。

[ 编辑 ]傅立叶内核
另请参阅：傅立叶级数的收敛性

傅立叶级数的研究中，一个重要的问题，包括确定是否以及在何种意义上的傅立叶级数与一个周期函数收敛的功能。的第n个部分和一个函数ƒ周期为2π的傅里叶级数定义的卷积（在区间[-π，π]）中的与狄利克雷内核：

$D_N（X）= \ sum_ {N =-N} ^ N E ^ {INX} = \压裂{\罪\左（（N + \ tfrac12）X \）} {\罪（X / 2）}。$

因此，

$S_N（F）（X）= D_N * F（X）= \ sum_ {n =-N} ^ N A_N E ^ {INX}$

哪里

$A_N = \压裂{1} {2 \ PI} \ int_ { - \ PI} ^ \ PI F（Y）Ë^ {-INY的} \，DY。$

初等傅立叶系列状态的一个基本结果的Dirichlet内核的倾向的倍数的δ函数为 N→∞。这被解释的分布意义上，那

$S_N（F）（0）= \ int_ {\ mathbf {R}} D_N（X）F（X）\ DX \ 2 \ PI F（0）$

每一个紧支撑的光滑函数f。因此，正式有

$\Δ（X）= \ frac1 {2 \ PI} \ sum_ {n = - \ infty的} ^ \ infty的E ^ {INX}$

在区间[-π，π]。

虽然如此，结果不紧支撑的连续函数：D N弱的措施，在这个意义上不衔接。傅里叶级数的收敛，导致缺乏引进各种求和的方法，以产生收敛。塞萨罗求和的方法，导致费耶尔内核 [51]

$“F_N（X）= \ sum_ {n = 0} ^ N D_N（X）= \压裂{1} {N} \（\压裂{\罪\压裂{NX} {2}} {\罪\压裂{ X} {2}} \）^ 2。$

费耶尔州的内核往往δ函数在感更强， [52]

$\ int_ {\ mathbf {R}} F_N（X）F（X）\ DX \ 2 \ PI f（0）$

每一个紧支撑的连续函数f。其含义是，任何连续函数的傅立叶级数是03期Cesaro可和在每一个点的值的功能。

[ 编辑 ]希尔伯特空间理论

狄拉克δ分布是一个密集的定义无限的Hilbert空间 L 2的平方可积函数的线性泛函。事实上，流畅紧凑的L 2，支持功能密集，三角洲分布等功能的作用是定义良好的。在许多应用中，它是能够识别的 L 2的子空间，并提供一个更强的拓扑结构，其上delta函数定义了一个有界的线性泛函。

Sobolev空间

Sobolev嵌入定理 Sobolev空间上的实线R意味着任何平方可积函数f，

$\ | F \ | _ {H ^ 1} ^ 2 = \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的| \帽子{F}（\ XI）| ^ 2（1 + | \西安| ^ 2）\，D \ XI <\ infty的$

自动连续的，且满足特别

$\三角洲[F] = F（0）| <C \ | F \ | _ {H ^ 1}。$

因此，δ是有界的线性泛函的Sobolev空间H 1。等效地，δ是连续的偶空间的 H 1 H -1的元素。更一般地，在n维空间中，一个具有δ∈H - （R n上）提供S> n / 2个。

[ 编辑 ]全纯函数空间

在复杂的分析，delta功能进入通过柯西积分公式，它声称，如果 D是一个具有光滑边界，然后在复平面域

$函数f（z）= \压裂{1} {2 \ PI I} \ oint_ {\部分D} \压裂{F（\泽塔）\ D \泽塔} {\泽塔-Z}，\四Z \在D$

为所有全纯函数 ƒ 在 D D 的闭包是连续的。因此，冲激函数δz是这一类的全纯函数的柯西积分：

$\ delta_z [F] = F（Z）= \压裂{1} {2 \ PI I} \ oint_ {\部分D} \压裂{F（\泽塔）\ D \泽塔} {\泽塔-Z}。$

更一般地，让H 2（∂D）是在L 2（∂D）关闭所有的全纯函数D连续的边界的 D Hardy空间。功能在H 2（∂D）独特的扩展全纯函数在 D，柯西积分公式继续保持。特别是用于z∈D，δ函数δz是一个连续线性泛函H 2（∂D）。这是一个特殊的情况下，光滑区域D， Szegő内核所扮演的角色的柯西积分在多复变数的情况。

[ 编辑 ]第的身份

给出了一个完整的标准正交基函数{φn}的一个可分离的希尔伯特空间设置，例如，归一化的特征向量的紧凑的自共轭算子，任何矢量ƒ可以被表示为：

$F = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty的\ \ alpha_n \ varphi_n \。$

系数{αn}的发现：

$\ alpha_n = \ langle \ varphi_n，\ F \ rangle \$

这也可以由符号表示：

$\ alpha_n = \ varphi_n ^ \匕首\ F \$

胸罩市场的Dirac 符号的一种形式。 [53]采用这种表示方法，扩大ƒ 二元形式： [54]

$F = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty的\ \ varphi_n \左（\ varphi_n ^ \匕首\ F \）。$

让我代表的的身份运营商的希尔伯特空间，表达

$我= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty的\ \ varphi_n \ varphi_n ^ \匕首，$

被称为分辨率的身份。当Hilbert空间是在域D，数量的平方可积函数空间L 2（D）：

$\ varphi_n \ varphi_n ^ \匕首，$

是积分算子，和ƒ的表达式可以重写为：

$函数f（x）= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty的\ int_D \，\（\ varphi_n（X）\ varphi_n ^ *（\十一）\）（\十一）\ D \十一。$

右手侧收敛到ƒ 在 L 2感。它不需要保持在逐点意义上说，即使当ƒ是一个连续函数。然而，它是常见的滥用符号和写

$函数f（x）= \ INT \，\三角洲（X-\十一）F（\十一）\ D \十一，$

导致δ函数表示： [55]

$\Δ（X-\ XI）= \ sum_ {n = 1} ^ \ infty的\ \ varphi_n（X）\ varphi_n ^ *（：\ XI）。$

与合适的操纵希尔伯特空间（Φ，L 2（D）中，Φ*）其中Φ⊂L 2（D）中包含的所有紧支撑的光滑函数，该求和可能收敛Φ*，取决于根据φ的属性Ň 。在大多数情况下的实际利益，标准正交基来自积分或微分算子，在这种情况下，该系列在分布感收敛。 [56]

[ 编辑 ]无穷小的冲激函数

柯西用一个无限小的α写下一个单位的冲动，无限又高又窄的的狄拉克类型δ函数δα满足 $\诠释F（X）\ delta_ \α（X）= F（0）$ [57]在1827年的文章。柯西定义的无穷小在康斯D'分析，（1827）在序列趋于零。也就是说，这样的零序成为一个无限小的柯西和圣拉扎尔卡诺的术语。

现代集合论方法允许我们定义无穷小，通过的的神州泰岳建设，一个空序列将变成一个无限小的在这个意义上的等价类的关系定义在一个合适的超滤模。者山下（2007年）的文章中包含的参考书目现代狄拉克δ函数的上下文中的一个无穷小富氧连续设置由hyperreals 。这里狄拉克δ可以由一个实际的函数给出，具有的属性，为每一个真正的函数 F 1具有 $\诠释F（X）\ delta_ \α（X）= F（0）$ 傅立叶和柯西预期的。

[ 编辑 ]狄拉克梳
主要文章：狄拉克梳

狄拉克的梳子是狄拉克δ函数的无穷级数的间隔周期 T

一个所谓的统一的“脉冲串”狄拉克δ措施，这是被称为一个狄拉克梳子，或的沙阿分布，创建一个采样功能，通常用在数字信号处理（DSP）和离散时间信号分析。狄拉克梳无限的总和，其极限的分布意义上理解，

$\三角洲（X）= \ sum_ {n = - \ infty的} ^ \ infty的\三角洲（X-N），$

这是一个在每个整数点群众序列。

整体标准化常数，狄拉克梳等于自身的傅里叶变换。这是重要的，因为如果ƒ是任何施瓦茨功能，然后分期 ƒ的卷积

$（F * \三角洲）（X）= \ sum_ {n = - \ infty的} ^ \ infty的F（X-N）。$

特别地，

$（F * \三角洲）^ \楔形= \帽子{F} \ widehat {\三角洲} = \帽子{F} \三角洲$

恰恰是Poisson求和公式。 [58]

[ 编辑 ]Sokhotski的Plemelj定理

的Sokhotski的Plemelj定理，量子力学中的重要，涉及δ函数的分布PV1 / X，柯西主值的1 / X的功能，定义

$\左\ langle \ operatorname {PV} \压裂{1}的{x}，\披\ \ rangle = \ lim_ {\小量\ 0 ^ +} \ int_ {| X |> \小量} \压裂{\ φ（x）}的{X} \，dx的。$

Sokhatsky的公式[59]

$\ lim_ {\小量\ 0 ^ +} \压裂{1} {\分\小量} = \ operatorname {PV} \压裂{1} {x}的\ MP \ PI \δ（x）的，$

据了解，在这里的极限分布感，紧支撑光滑函数ƒ，

$\ lim_ {\小量\ 0 ^ +} \ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的\压裂{F（X）} {X \分\小量} \，DX = \ MP I \ PI F（0） + \ lim_ {\小量\ 0 ^ +} \ int_ {| X |> \ \压裂小量} {F（X）} {x}的\ DX。$

[ 编辑 ]关系克罗内克δ

克罗内克δ $\ delta_ {IJ}$ 定义的数量

$\ delta_ {IJ} = \ {件}＆I = J \ \ 0＆I \ J \ {情况下}$

对所有整数I，J。此功能即可满足以下模拟筛选属性： $（A_I）_ {\中\ mathbf {Z}}$ 是任何双无限的序列，然后

$\ sum_ {i = - \ infty的} ^ \ infty的A_I \ delta_ {IK} = A_K。$

同样，对于任何真正的或复杂的价值R 上的连续函数f，狄拉克δ满足筛选财产，

$\ int_ { - \ infty的} ^ \ infty的F（X）\三角洲（X-X_0）\，DX = F（X_0）。$

这表现为克罗内克δ函数的Diracδ函数作为一个独立的模拟[60] 。

[ 编辑]，以概率论中的应用

在概率论和统计，Dirac delta函数往往用于表示离散分布，或的局部离散的，部分连续分布的，使用一个概率密度函数（这是通常用来表示完全连续分布）。例如，一个离散分布的概率密度函数f（x）组成的点 $\ mathbf {X} = \ {X_1，\点，x_n \}$ ，与相应的概率 $P_1，\点，P_N \$ ，可以写为

$函数f（x）= \ sum_ {i = 1} ^ N p_i \三角洲（X-x_i的）。$

作为另一个例子，考虑一个6/10的时间返回标准正态分布，4/10的时间正好返回值3.5（即部分连续，部分离散混合分布）分布。这个分布的密度函数可写为

$F（X）= 0.6 \ \压裂{1} {\开方{2 \ PI}} E ^ { - \压裂{x ^ 2} {2}} + 0.4 \ \三角洲（X-3.5）。$

delta函数也可以用来在一个完全不同的方式来表示的本地时间一个扩散过程（如布朗运动）的。一个随机过程B的本地时间（t）的由下式给出

$\埃尔（X，T）= \ INT_0 ^ T \三角洲（X-B（S））\ DS$

并代表该进程在点 x的范围内的过程中花费的时间量。更确切地说，在一维可以被写入该积分

$\埃尔（所述吨）= \ lim_ {\小量\为0 ^ +} \压裂{1} {2 \小量} \ INT_0 ^吨\ mathbf {1} _ {[所述的\小量，所述+ \ EPSILON] （S）}（B）\，DS$

哪里 $\ mathbf {1} _ {[X-\小量，X + \ EPSILON]}$ 该间隔是指示函数 [ - ε中，x +ε]。

[ 编辑 ]量子力学中的应用

我们举个例子δ函数是如何在量子力学权宜。一个粒子的波函数，给出了在一个给定的空间区域内找到一个粒子的概率振幅。波函数的假定是元素的平方可积函数的希尔伯特空间L 2 ，和一个给定的时间间隔内寻找一个粒子的总概率的大小的时间间隔内的波函数的平方的积分。一组{φn}的波函数是正交的，如果他们归

$\ langle \ phi_n | \ phi_m \ rangle = \ delta_ {纳米}$

δ这里指的是克罗内克δ。的正交波函数的一组完整的平方可积函数的空间中，如果没有可以表示为φn的组合的波函数ψ：

$\ PSI = \和金额C_N \ phi_n$

同 $C_N = \ langle \ phi_n | \ psi的\ rangle$ 。完整的标准正交系统的波函数出现自然的束缚系统的哈密顿量的本征函数（）在量子力学中测量的能量水平，这是所谓的特征值。组的特征值，在这种情况下，被称为频谱的哈密顿。市场胸罩符号，作为以上，这的平等意味着该决议的身份：

$I = \总和\ phi_n \ rangle \ langle \ phi_n |。$

这里的特征值被假定为离散的，但一个观察到的特征值的组，可以是连续的，而不是离散。位置观察到的一个例子是，Qψ（）= x的函数ψ（x）。的频谱的位置（在一个维度）是整个的实线，以及被称为连续光谱。然而，不同的是哈密顿的位置经营者缺乏适当的本征函数。传统的方法来克服这个缺点是可用的功能，允许分布以及扩大类：那就是，更换的希尔伯特空间的量子力学。 [61]在这种情况下，位置经营者有适当的造Hilbert空间标记的实线的点y的一组完整的特征分布，由下式给出

$\ phi_y（X）= \三角洲（X-Y）\;$

本征函数的位置表示 $\ phi_y = | Y \ rangle$ 狄拉克符号，被称为位置的本征态。

类似的考虑也适用于本征态的动量算符，或任何其他自伴无界算子 P上的希尔伯特空间，P是连续的频谱，有没有退化的特征值。在这种情况下，是实数的集合Ω（频谱），和的集合Ω的元素索引的分布φy的，使得

$P \ phi_y = Y \ phi_y。\;$

即，φy是向量的 P。如果本征值的标准化，使得

$\ langle \ phi_y，\ phi_ {Y'} \ rangle = \三角（Y-Y'）$

在分布意义上说，那么对于任何测试函数ψ，

$\ PSI（X）= \ int_ \欧米茄Ç（Y）\ phi_y（X）\，DY$

哪里

$C（Y）= \ langle \防扩散安全倡议下，\ phi_y \ rangle。$

即，作为在离散的情况下，有一个分辨率的身份

$I = \ int_ \欧米茄| \ phi_y \ rangle \ \ langle \ phi_y | \，DY$

算子值的积分再次理解意识的淡薄。如果P的频谱具有连续和离散的部件，那么分辨率的身份涉及的离散频谱和在连续谱的一个不可分割的求和。

δ函数在量子力学中，如三角洲潜在的单，双势阱模型，也有很多更专业的应用。

[ 编辑 ]结构力学中的应用

δ函数可以用在结构力学的瞬态负载或点荷载对结构的描述。一个简单的质量-弹簧系统的控制方程兴奋的突然发力的冲动，我可以写在时间T = 0 </ math>的

$M \压裂{\ mathrm {D} ^ 2 \ XI} {\ mathrm {D} T ^ 2} + K \ XI = I \三角洲（T），$

其中，m是质量，ξ的偏转和 k 的弹簧常数。

作为另一个例子，方程的静态细长的光束偏转，根据Euler-Bernoulli梁理论，

$EI \压裂{\ mathrm {D} ^ 4 W} {\ mathrm {D} X ^ 4} = Q（X），\$

其中EI是梁的弯曲刚度，瓦特的偏转中，x的空间坐标和q（x）的载荷分布。如果加载的光束通过一个点力f在 x = x 0表示，负载分布被写入

$Q（X）= F \三角洲（X-X_0）。\$

作为整合的δ函数的查询结果在希维赛德阶跃函数，如下所描述的一组的分段多项式，细长的光束受多点负载的静态偏转。

此外，作用于电子束的点的时刻可以通过delta函数描述。考虑两个相对点的力 F，除了在一个距离 d。然后，他们在横梁上产生的力矩 M = FD作用。现在，让我们距离 d接近零的极限，而 M是保持恒定。的载荷分布，假设一个顺时针方向的力矩作用在 x = 0时，被写入

$\ {对齐} Q（X）＆= \ lim_ {D \ 0 \大（F \Δ（X） - F \三角洲（XD）\大）\ \＆= \ lim_ {D \ 0} \（\压裂{M} {D} \三角洲（X） - \压裂{M} {D} \三角洲（XD）\）\ \＆= M \ lim_ {D \ 0 \压裂{\三角洲（X） - \三角洲（X - D）} {D} \ \＆= M \三角洲'（x）。 \ {对齐}$