Thursday, January 16, 2014

sciencenet01 相位,4=1+3-1+1,实际上,在GA里头理解很好,用刚体来理解,运动的信息全部包含在刚体旋转的rotor里,rotor就是标准化了的spinor

相位,4=1+3-1+1,实际上,在GA里头理解很好,用刚体来理解,运动的信息全部包含在刚体旋转的rotor里,rotor就是标准化了的spinor

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量子力学里相位因子的来源

已有 468 次阅读 2013-5-7 16:55 |系统分类:科研笔记|关键词:因子 的
接上面的思路,从数学的群,发现一种叫做万有覆盖的东西,进而发现spin,spin的很多特性就可以体现在SO3与Spin3的差别上。
而时空的群就应该不是
SO+(1,3)而是Spin+(1,3)=SL(2,C) 再加上平移
但这些都是很数学的东西,物理上的引入又是如何呢?更加曲折,
最早的是薛定谔方程,与之配套的hilbert公理体系,显然是过度解读了薛定谔方程。但这个带来的颠覆却实在不小,描述物体状态的东西,是一个莫名其妙的波函数,是一个复数函数;可观察的量,是一种算符,作用在波函数上,得到相应 观察结果。
两个问题,其实传统教科书是不清晰的,波函数的复数来源,薛定谔方程是否跟spin有关? 这些到GA才清晰  反正在薛定谔的时候,那种过度解读,似乎把波函数解读成描述一切状态的本质的基础的量
薛定谔方程的推广,pauli方程,开始描述spin-1/2 的粒子,是Dirac方程的非相对论极限,开始引入一个叫旋量的东西,就是一列复数,但不是按照向量一样变化。到dirac方程,出现dirac spinor 完整描述了 spin 正反物质,对应四个复数,但其变化不是按照四向量,而是类似一种一半的变换,所以通俗地说,旋转了一圈后,变成了反方向,两圈后,才回到本身。

这一路下来,有一个很有趣的现象,就是状态和可观察量之间的关系, 描述物体状态的,变成了复数,或几个复数,薛定谔的时候,一个复数,对应一个观察结果概率密度,还有一个冗余,就是相位,2=1+1;pauli的时候,两个复数,四个自由度,可观察的东西,变成一个密度,一个spin vector三个维度,这似乎是四个自由度了,但spin vector 的长度和密度有关,去掉了一个自由度,那么也还剩下一个冗余自由度,描述的是相位,4=1+3-1+1,实际上,在GA里头理解很好,用刚体来理解,运动的信息全部包含在刚体旋转的rotor里,rotor就是标准化了的spinor,就是把三个空间矢量,旋转到可观察的量上,首先把z轴旋转到spin vector的方向,这个需要两个量,就是两个旋转角度,还有一个拉伸就是密度,最后剩余一个量可以看做是另外两个轴的旋转,这是一个冗余,这个量不影响spin vector,这就是相位的几何来源,这个太厉害了,4=1+2+1。  到了dirac spinor 就更清晰了,四个复数,八个自由度,首先从可观察量的角度看,一个密度,一个混合角,一个自旋矢量4,一个速度矢量4,貌似共需2+4+4,但有3个冗余,分别是两个矢量的长度,两个矢量正交,于是剩下2+4+4-3=7,刚好最后剩下一个自由度,不影响所有的可观察量,就是一个规范自由度,从旋转的角度看,就是把dirac spinor分解为一个复数尺度因子加上一个rotor 这个rotor对应lorenz旋转共6个自由度,刚刚好 8=2+6,6个旋转里头,其中第一个把唯一的一个时间矢量gamaa0旋转到速度矢量,由于是在四维时空中旋转,需要三个自由度,另外接着旋转一个空间矢量到spin vector方向,需要2个自由度,刚刚好剩下一个自由度,看做是固定了两个方向后剩下两个方向的一个自由旋转角度,不影响所有的可观察量,6=3+2+1就是相位旋转的几何解释。

这一切太perfect,解释了这些东西里头,复数自由度的来源!!!



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