输入信号和冲激响应的卷积就是输出 没有女朋友的生活用一个函数y( t )表示，女朋友对你某时刻有一个激励δ( t ) ，可以让你的生活轨迹变为h( t )，但是你女朋友对你的激励不是一个脉冲，而是连续激励x( t ) ，那么你的生活轨迹，将会是这无数单个激励共同作用的结果，x( t )*h( t )就描述了这无数激励共同作用过程，这就是卷积。

没有女朋友的生活用一个函数y( t )表示，女朋友对你某时刻有一个激励δ( t ) ，可以让你的生活轨迹变为h( t )，但是你女朋友对你的激励不是一个脉冲，而是连续激励x( t ) ，那么你的生活轨迹，将会是这无数单个激励共同作用的结果，x( t )*h( t )就描述了这无数激励共同作用过程，这就是卷积。

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理解复变函数一

(2012-11-02 19:46:47)

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标签： 杂谈

分类： 技术帖

      我萌生了写这篇文章的想法，大概是在半年之前。学习《复变函数与积分变换》的时候，就很迷糊，就跟网上一个段子一样——高数分为两部分，分别是“这他妈是啥”和“这他妈又是啥”。复变函数同样也成了这样。

       随后我认真端详我的这本吉林大学数学学院编的教材，上面赫然写着四个大字——工程数学。大概数学家们只要教会我们怎么用，而不需要深刻理解它们吧。复变函数与积分变换是理工科尤其是电气、自动化、计算机，还有一些比较牛的机械、力学专业需要学习的课程，应用非常广泛。“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）对于理科的物理专业，工科的空气动力学专业、化工流变学专业以及一切与研究电场有关的专业和研究流体流速场有关的专业，都是很基础的一门课程。

       但是熟练使用往往和深刻理解是分不开的。就比如说一个比较难懂的概念，卷积。我当初学到这里的时候，我不禁要问：这他妈是啥！后来认识慢慢加深，就编了个段子。

 

      没有女朋友的生活用一个函数y( t )表示，女朋友对你某时刻有一个激励δ( t ) ，可以让你的生活轨迹变为h( t )，但是你女朋友对你的激励不是一个脉冲，而是连续激励x( t ) ，那么你的生活轨迹，将会是这无数单个激励共同作用的结果，x( t )*h( t )就描述了这无数激励共同作用过程，这就是卷积。

 

       我会编这个段子是因为我喜欢用一种比较直观的方式来解释一些定理公式。比如定积分可以理解为曲边梯形的面积，i就是复平面上将复数旋转90度。提到这个的原因是，个人认为数学学习需要一种“直觉性”。这样的想法来源于一篇博客《理解矩阵》，正如这篇博客所说，

 

       自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。

 

       如果没有直觉性的帮助，你无法理解为什么输入信号和冲激响应的卷积就是输出。当然这个也可以用图像来解释，但是这个某种程度上也是直觉性的体现，因为图像把这层含义给直观展现出来。

       一方面我觉得，在我这个专业，在应用上，可能没有办法也没有必要再往下挖掘复变函数的深层意义了，同时也没有时间，数学专业的朋友一定有更深的认识。一方面，我又觉得知识需要交流，一旦理解加深，对这个知识的应用就更加得心应手。因为工程上的问题经常是没有参考的，这个时候如何利用数学这个工具来解决实际的工程问题，这个时候对知识的理解就变得尤为重要了。

       所以这篇文章就是想把自己的直觉性的思考分享出来，以供参考。同时，下面写的理解并不具有比较严密的体系，换句话说并不系统，各位可以指出问题，同时我会加以修改。有些东西会时不时脑子里冒出来，因为知识需要时刻回顾反思。况且东西也很多，要想写的比较容易懂，那么一次肯定写不完，所以会分几段写。还不知道能不能写完整，也有可能会中断，所以先尝试着写吧。

 

       让我们先理解虚数单位i。

       记得高中数学书上，是这样引入i的。有一些高次方程，在实数域无法求出所有的根，这时候就引入了i（i^2=-1）这个奇怪的东西。奇怪就在于这个数的平方不是非负的。其实这里要理解i就要颠覆一个观点。实数其实就是点，这些点聚集起来就是一个数轴，也就是实数轴，在这个一维的空间里我们定义了加减乘除这些初等运算。当你把这个数轴扩展到二维平面的时候，虚数轴就出现了。

       引用《理解矩阵》中的一段话，

 

       你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。

       事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

        因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

 

       而在我们这样的一个有虚数轴和实数轴的空间里，我们必须要定义一个运算，来描述这样的空间。那么怎么把实数和复数通过运算联系起来呢？

      没错！i 出现了！为什么说i的出现联系了实数和虚数呢？不仅仅因为是 i^2=-1这么简单。事实上与i相乘，就是把一个点绕着原点逆时针旋转90度。这就是为什么说数不仅仅是数，还是一个点了。这样一来，i^2=-1就很好理解了，1乘以一个 i ，也就是旋转90度变成了 i，再乘以一个 i，再旋转90度，自然就是-1了。

       由此，我们表示一个复数，就可以用复平面上的一个点来表示，这个点可以和复平面上任意一个点进行变换。

多扯一点，复数是一个二维平面上的点，扩充一下，我们可以搞出四维空间上的点，这个数就是传说中的......四元数。四元数中的基本公式就是， i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1，你同样可以理解为，1这个点从空间上不同的方向旋转180度变成了-1这个点。

       这里的维度和x轴上加个y轴变成的二维并不是一个概念。平面直角坐标系只是两个一维的叠加。同样再加一个z轴就是三维，你会发现没有办法再加一个维度。而四元数已经是四维了，我们可以再引入更多的维数。再往远的扯一点，这表明了平行宇宙的存在。。。。（数学物理就是这样，相互交错）

       有兴趣的朋友可以再去了解。

 

       理解了 i 之后就开始理解复数。

       前面说到，复数可以用复平面上的一个点来表示。这些点与i的运算同样满足前面的理解，即旋转90度。你可以随便取几个点，看乘以i之后是不是旋转了90度。

       那么经过线性组合的复数，运算是什么概念呢？

        这里首先明确几个概念。一个复数 z=x+iy 乘以一个实数 m，含义是这个复数 z 表示的向量(x,y)的模在它原来的方向上，大小变为原来的 m 倍。这个概念也就是电气中的幅值变大的概念。一个复数乘以一个虚数 i，表示(x,y)绕着原点逆时针旋转90度。下面就要引入牛逼哄哄的欧拉公式了！

       传说中碉堡的欧拉公式，e^iy=cosy+isiny。

      这个公式的证明要简单了解一下，很简单，先把sinx和cosx在0这一点分解为幂级数，然后把e^x分解为幂级数，同时把x换为ix。见证奇迹的时刻到了！你会发现，e^ix=cosx+isinx。

      欧拉发现欧拉公式也没有什么神秘的，就是拿幂级数在那里玩，玩着玩着就发现patterns了。那个时代的数学家的工作很多就是玩幂级数。

      这个公式还有一种形式是e^(x+iy)=(e^x)(cosy+isiny)。其实本质上是一样的。

      这个式子可以理解为一个实数e^x，绕着原点，转了y度角。用电路分析的语言来说，e^(x+iy)这个相量，幅值是e^x，相位是 y。

      所以，两个复数，z1=a+ib，z2=c+id，利用欧拉公式就能写成这样的形式k∠θ，k是幅值，k=根号(x^2+y^2)，θ是辐角，arctanθ=y/x。这样一来z1×z2=(k1×k2)∠(θ1+θ2)。这对于学电路的同学来说是最基本不过的运算。我们不应当只把这个式子看作一个数学方法，更应该从这个式子理解复数运算的本质。

     写到这里已经晚上12点了。。。宿舍也断电了，电脑撑不了多久。留点电撸一管，就写到这里吧