Wednesday, March 2, 2016

黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面

黎曼曲面- 维基百科，自由的百科全书

https://zh.wikipedia.org/zh/黎曼曲面
Translate this page
数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑 ...
‎形式化定义  –  ‎例子  –  ‎属性和更多的定义  –  ‎历史

黎曼曲面（一维复流形）_百度百科

baike.baidu.com/view/786971.htm
Translate this page
在数学中，黎曼曲面是德国数学家黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形。黎曼曲面的 ...

[PDF]黎曼曲面讲义 - 南京大学数学系

math.nju.edu.cn/~meijq/RiemannSurface.pdf
前言 i. 前言. 本书是近若干年来作者在南京大学等地为数学系高年级本科生和研究生讲授.黎曼曲面理论所逐渐积累起来的一份讲义。黎曼曲面的理论可以回溯 ...

黎曼曲面_互动百科

www.baike.com/wiki/黎曼曲面
Translate this page
黎曼曲面-黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论 ...

繁星客栈- 有关于Riemann曲面中的问题 - 卢昌海个人主页

www.changhai.org › 繁星客栈 › 望月殿
Translate this page
Sep 29, 2007 - 3 posts - ‎2 authors
f:S_{1}-> S_{2},其中S_{1}， S_{2}是黎曼曲面，f为拟共形映射。 H_{i}是S_{i}的覆盖曲面，且是单连通的。那么H_{1},H_{2}共形吗？ Klein Fuchs ...

黎曼曲面和黎曼几何什么关系？ - 数学- 知乎

https://www.zhihu.com/question/26453725
Translate this page
Jan 12, 2015 - 黎曼面是可定向二维实流形+复结构，黎曼几何研究流形的曲率。 我想它们之间最直接的关系是如下事实：可定向二维实流形上的复结构与其上的黎 ...

[PDF]黎曼面的起源

www.global-sci.org/mc/issues/6/no1/freepdf/53s.pdf
Translate this page
黎曼面也称黎曼曲面，顾名思义，它是由数学家黎曼（G. F. B. Riemann）构想出. 来的一种抽象曲面。黎曼面这个看上去似乎比较简单的几何基本概念对于近现代数


黎曼曲面和黎曼几何什么关系？

按投票排序按时间排序

4 个回答

Posted by at No comments:

Tuesday, March 1, 2016

Quadratic Form, Unitary Group, Vector Space.

Orthogonal Group -- from Wolfram MathWorld

mathworld.wolfram.com › ... › Matrix Groups
MathWorld
Loading...
by EW Weisstein - ‎2002
... Projective Special Orthogonal Group, Riemannian Metric, Special Orthogonal Group, Submanifold, Symmetric Quadratic Form, Unitary Group, Vector Space.

A First Course in Functional Analysis: Theory and Applications

https://books.google.com/books?isbn=1783083247
Rabindranath Sen - 2014 - ‎Mathematics
... 9.6 9.7 9.8 Adjoint Operators Self-Adjoint Operators Quadratic Form Unitary Operators, Projection Operators 179–220 179 186 194 200 204 206 221–266 221 ...

Sheng-Kui Ye - Microsoft Academic Search

65.54.113.26 › Authors
... Cyclic Group Formal Power Series General Linear Group Group Ring Laplacian Matrix Orthogonal Group Quadratic Form Unitary Group symplectic group.
Posted by at No comments:

newton 设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t, 行星位于以下复数代表的点

设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t, 行星位于以下复数代表的点

音乐快递：牛顿在运动学中常采用复坐标系- 由 ... - 文学城

bbs.wenxuecity.com › 论坛 › 音乐快递 - Translate this page
Wenxuecity
Sep 20, 2011 - 文件格式: PDF/Adobe Acrobat - 快速查看 在运动学中常采用复坐标系 θi. )( re. tZ = ) d d i d d. ( d d i d d d d i i i t r t r e t re e t r t. Z θ θ θ θ θ. +. = +.

[PDF]行星的轨道和位置 - 上海交通大学数学系

math.sjtu.edu.cn/.../行...

Translate this page
Shanghai Jiao Tong University
乐经良. 数学模型. 在运动学中常采用复坐标系 θi. )( re. tZ = ) d d i d d. ( d d i d d d d i i i t r t r e t re e t r t. Z θ θ θ θ θ. +. = +. = 速度为. │. ⌋. ⌉. │. ⌊. ⌈. +. +.

他以几乎神一般的思维力,最先说明了行星的和大海的潮汐运动 ...

www.sharedocument.info/297860478/

Translate this page
1.521×10 11 m,此时地球绕太阳运动(公转)的速 2) 地球绕太阳运转的周期 3) 在从远日点开始的第100天结束时, 地球的位置与速度在运动学中常采用复坐标系θ i

行星的轨道和位置_图文_百度文库

wenku.baidu.com/.../cabaf3235901020207409c7e.ht... - Translate this page
Mar 24, 2011 - ... 的周期3) 在从远日点开始的第100天结束时,地球的位置与速度 数学模型在运动学中常采用复坐标系设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t, ...

phymath999: 因为张量积概念和任何基的选择无关，在M上的 ...

phymath999.blogspot.com/2013/03/m.html - Translate this page
Mar 18, 2013 - 牛顿在运动学中常采用复坐标系 -marketreflections- ♂ 给marketreflections 发送悄悄话 · marketreflections 的博客首页 · marketreflections 的个人 ...

第4章微分方程与概率统计实验PDF - 道客巴巴

www.doc88.com/p-909532008739.html - Translate this page
Oct 31, 2012 - ... 地球距太阳最远处(远日点)距离为1.521×1011 m,此时地球绕太阳运动(公转)的速在运动学中常采用复坐标系设太阳中心所在位置为复平面之原点,

太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t, 行星位于以下复数代表的点

Orthogonal Group -- from Wolfram MathWorld

mathworld.wolfram.com › ... › Matrix Groups
MathWorld
Loading...
by EW Weisstein - ‎2002
... Projective Special Orthogonal Group, Riemannian Metric, Special Orthogonal Group, Submanifold, Symmetric Quadratic Form, Unitary Group, Vector Space.

A First Course in Functional Analysis: Theory and Applications

https://books.google.com/books?isbn=1783083247
Rabindranath Sen - 2014 - ‎Mathematics
... 9.6 9.7 9.8 Adjoint Operators Self-Adjoint Operators Quadratic Form Unitary Operators, Projection Operators 179–220 179 186 194 200 204 206 221–266 221 ...

Sheng-Kui Ye - Microsoft Academic Search

65.54.113.26 › Authors
... Cyclic Group Formal Power Series General Linear Group Group Ring Laplacian Matrix Orthogonal Group Quadratic Form Unitary Group symplectic group.
Posted by at No comments:

在每一点局部看来， 他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。 例如， 他们可以看起来像球或是环， 或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数。 黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择

在每一点局部看来， 他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。 例如， 他们可以看起来像球或是环， 或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数。 黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择
内容提示： 复变函数泛谈 姓名 :xx 学号: xxxxxx 班级: xxxxx 学校: xxxxxx 摘要： 1. 复变函数的概况 2. 复变函数的应用 关键词: 1. 复变函数 2. 应用、 发展 正文: 复数的概念起源于求方程的根， 在二次、 三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。 在很长时间里， 人们对这类数不能理解。 但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。 复数的一般形式是： a+bi ， 其中 i 是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数， 而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数， 复变函数论主要就是研究...
文档格式：DOC| 浏览次数：42| 上传日期：2012-07-02 12:54:00| 文档星级：
复变函数泛谈 姓名 :xx 学号: xxxxxx 班级: xxxxx 学校: xxxxxx 摘要： 1. 复变函数的概况 2. 复变函数的应用 关键词: 1. 复变函数 2. 应用、 发展 正文: 复数的概念起源于求方程的根， 在二次、 三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。 在很长时间里， 人们对这类数不能理解。 但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。 复数的一般形式是： a+bi ， 其中 i 是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数， 而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数， 复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数， 因此通常也称复变函数论为解析函数论。 复变函数论的全面发展是在十九世纪， 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样， 复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支， 并且称为这个世纪的数学享受， 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 首先， 复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析， 而复数的独特之处在于它的虚部， 也就是虚数部分； 之前对虚数域的认识， 完全在于一个虚字。 而对于复变产生的意义， 书中是这样给出的： 由于解代数方程的需要， 人们引出了复数。 复数的出现， 使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况， n 此多项式也不再存在增根， 这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。 “虚数” 是人类在发展数学上的解题技术时， 以人为定义方式发明的一种虚拟的数， 在现实生活中不存在， 在实务的商用数学中也用不着。 “复数” 可以解决一些物理数学上的问题， 解题到最后经过转化所得到的实数解， 才有物理上的意义， 带有虚数的复数届时没有意义的。 虚数是的确不存在于三维世界中的， 但却被定义为第四维的时间。 虚数时间只是用数学呈现的方法， 是一种处理方式。 就像 RCL 电路我们也用虚数去处理相角关系， 但电感本身并不是虚的。 这是人为的定义， 但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。 物理学中有关快子的概念： 快子是理论上预言的粒子。 它具有超过光速的局部速度（瞬时速度） 。 它的质量是虚数， 但能量和动量是实数。 有人认为这种粒子无法检测， 但实际未必如此。 影子和光斑的例子就说明超过光速的东西也是可以观测到的。 目前尚无快子存在的实验证据， 绝大多数人怀疑它们的存在。 有人声称在测氚的贝塔衰变放出的中微子质量的实验中有证据表明这些中微子是快子。 这很让人怀疑， 但不能完全排除这种可能。 快子虽未被科学界认可， 但至少 已经人类已将虚数应用到物理学中。 其一旦被证明， 虚数不存在物理意义的观点即被打破。 数学上， 特别是在复分析中， 一个黎曼曲面是一个一维复流形。 黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本: 在每一点局部看来， 他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。 例如， 他们可以看起来像球或是环， 或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数。 黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择， 特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。 于是乎， 黎曼曲面理论成了复变函数域和几何间的一座桥梁， 能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容， 一般叫做几何函数论， 几何函数论将复变函数应用到了 GI S的空间数据中， 从而实现了对其定位， 定性和定量的描述。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充， 以满足实际研究工作的需要， 这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。 广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。 解析函数的一些基本性质， 只要稍加改变后， 同样适用于广义解析函数。 复数的集合——复平面是一个二维平面， 但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。 可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应， 是一个纯粹缔造出来的二维平面。 复变函数的理论和方法在数学、 自然科学和工程技术中有着广泛的应用， 是解决诸如流体力学、 电磁学、 热学、 弹性理论中的平面问题的有力工具。 而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展， 丰富了它的内容。 我们在学习的过程中， 要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法， 逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。 复变函数在很多领域都有重要的应用， 其涵盖面极广， 甚至可以用来解决一些复杂的计算问题。 作为最丰饶的数学学科的分支， 复变函数在数学领域的应用尤为可见。 特别是在解析函数的微分理论（Cauchy-Ri emann 方程）， 积分理论（Cauchy 积分定理雨积分公式）， Wei erstrass 的级数理论（Tayl or 级数和Laurent 级数） 等方面的应用。 除此之外， 在别的领域内的应用也是显而易见的，诸如流体力学、 电磁学、 热学等领域。 比如说， 物理学上有很多不同的稳定平面场， 所谓场就是每点对应有物理量的一个区域， 对它们的计算就是通过复变函数 来解决的。 俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候， 就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题， 他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复数可以应用的现实中的数学建模， 其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。 复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径， 打开了很多原本无法畅通的道路， 无论是神奇的留数， 还是保角映射， 都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。 参考文献： [1]复变函数与积分变换[M] 高等教育出版社， 2006 [2]多变函数理论基础[M] 高等教育出版社,1996 [3]复变函数及应用[M],机械工业出版社， 2006
Posted by at No comments:

黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面

黎曼曲面- 维基百科，自由的百科全书

https://zh.wikipedia.org/zh/黎曼曲面
Translate this page
数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑 ...
‎形式化定义  –  ‎例子  –  ‎属性和更多的定义  –  ‎历史


在每一点局部看来， 他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。 例如， 他们可以看起来像球或是环， 或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数。 黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择

黎曼1857年引入并发展了代数函数论,从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上,从而引入了所谓黎曼曲面的概念。用现代的语言,紧致的黎曼曲面就一一对应于抽象的射影代数曲线。运用这个概念,黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量:亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量(即不依赖于代数簇在空间中的嵌入的不变量)。黎曼还首次考虑了亏格g 相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题,并发现这个参量簇的维数应当是3g-3,虽然黎曼未能严格证明它的存在性。

黎曼曲面（一维复流形）_百度百科

baike.baidu.com/view/786971.htm
Translate this page
在数学中，黎曼曲面是德国数学家黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形。黎曼曲面的 ...

[PDF]黎曼曲面讲义 - 南京大学数学系

math.nju.edu.cn/~meijq/RiemannSurface.pdf
前言 i. 前言. 本书是近若干年来作者在南京大学等地为数学系高年级本科生和研究生讲授.黎曼曲面理论所逐渐积累起来的一份讲义。黎曼曲面的理论可以回溯 ...

[PDF]紧黎曼曲面引论 - 南京大学数学系

math.nju.edu.cn/~meijq/ebook/riemann.pdf
Translate this page
糙的书仓促付印,以免为了补细节而长期延迟了它的出肚. 本书所黯的预备知识不太多,最主要的是单靠变函数论,初步. 的拓扑、代款、泛函分析和基本的撤分流形的概念.

黎曼曲面_互动百科

www.baike.com/wiki/黎曼曲面
Translate this page
黎曼曲面-黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论 ...

黎曼曲面和黎曼几何什么关系？ - 数学- 知乎

https://www.zhihu.com/question/26453725
Translate this page
Jan 12, 2015 - 黎曼面是可定向二维实流形+复结构，黎曼几何研究流形的曲率。 我想它们之间最直接的关系是如下事实：可定向二维实流形上的复结构与其上的黎 ...

[PDF]黎曼面的起源

www.global-sci.org/mc/issues/6/no1/freepdf/53s.pdf
Translate this page
黎曼面也称黎曼曲面，顾名思义，它是由数学家黎曼（G. F. B. Riemann）构想出. 来的一种抽象曲面。黎曼面这个看上去似乎比较简单的几何基本概念对于近现代数学.

緊黎曼曲面引論: - Page 2 - Google Books Result

https://books.google.com.hk/books?isbn=9570802979 - Translate this page
伍鴻熙 - 1990
就稱之爲有虧格等於幫的閉曲面(n>0).從拓樸型的觀點來看,這些曲面就是所有的緊黎曼面了。現在我們簡略地討論一下研究黎曼面的三個主要看法。( 1 )複流形的觀點: ...

黎曼曲面(豆瓣) - 豆瓣读书



黎曼面的起源 陈 跃 黎曼原始论文中的黎曼面图形 World of Mathematics 数学烟云 数学文化/第6卷第1期 54 它的极坐标方程为 r2 =2a2 cos2θ，再由曲线弧长公式 L = r 2 + dr dθ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 0 a ∫ dθ, 可得 L = 2a dθ 0 cos2θ a ∫ = 2a dθ 1− 2sin2 θ 0 a ∫ , 现在作换 u 元 ＝ tanθ，则有 sin2 θ = u2 1+ u2 和 dθ = du 1+ u2 , 从而得到 L = 2a du 1− u 0 4 x ∫ , (2) 这里的 x ＝ tanα。这个积分也是积不出来的。 以上的两个积分 (1) 与 (2) 都属于如下形式的所谓的椭圆积分 r(t) p(t) β α ∫ dt, (3) 其中的 r(t) 是有理函数，而分母中的 p(t) 是 3 次或 4 次的多项式函数。在历史上，“椭 圆积分”这个名称就是从上述求椭圆曲线的弧长问题而来的。可以证明，椭圆积分中 的 3 次多项式可以经过换元变成 4 次多项式的形式，反过来，4 次多项式也可以变成 3 次多项式的形式。 从 18 世纪初开始，以法尼亚诺（G. F. Fagnano）、欧拉（L. Euler）和勒让德（A. M. Legendre）为代表，一批数学家对椭圆积分的性质进行了初步的研究，发现了椭圆 积分的“加法公式”。 下面我们对比较简单的椭圆积分 (2) 来逐步推导出这个加法公式。先对这个积分进 行换元变换 v2 ＝ 2u2 /(1 － u4 )，对这个换元式子的两边关于变量 u 进行求导，可得 v dv du = 2u(1+ u4 ) (1− u4 ) 2 . 由于 v = 2u / 1− u4 ，所以有 dv = 2(1+ u4 ) (1− u4 ) 3/2 du, 再由 1+ v4 = (1+ u4 )/(1− u4 ) ，得到 World of Mathematics 数学烟云 数学文化/第6卷第1期 55 dv 1+ v4 = 2du 1− u4 , 从而得 2du 1− u4 = dv 1+ v4 . 0 2x 1−x4 ∫ 0 x ∫ (4) 再对上式右边的积分继续作另一换元变换 t 2 ＝ 2v2 /(1 ＋ v4 ) ，经过同样的计算过程可以 得到 dv 1+ v4 = 1 0 2 2x 1−x4 ∫ dt 1− t 0 4 2 x 1−x4 1+x4 ∫ . (5) 现在合并 (4) 与 (5) 式，就得到了曾经由意大利数学家法尼亚诺在 1718 年发现的双纽 线的弧长加倍公式 2 dt 1− t 4 = dt 1− t 4 . 0 2 x 1−x4 1+x4 ∫ 0 x ∫ (6) 这个不寻常的等式不久就引起了欧拉的注意，他在 1753 年证明了以下的加法公式 ： dt 1− t 4 + dt 1− t 0 4 y ∫ 0 x ∫ = dt 1− t 4 . 0 x 1−y4 +y 1−x4 1+x2 y2 ∫ (7) 这个重要的公式之所以这样称呼，是因为它类似于三角函数中关于反正弦函数的加法 公式 dt 1− t 2 + dt 1− t 0 2 y ∫ 0 x ∫ = dt 1− t 2 . 0 x 1−y2 +y 1−x2 ∫ 上式即是我们所熟悉的三角公式 arcsin x + arcsin y = arcsin(x 1− y2 + y 1− x2 ) 的积分表达形式。我们看到，双纽线的弧长加倍公式 (6) 正是加法公式 (7) 当 x ＝ y 时 的特殊情形。 欧拉的加法公式 (7) 的证明其实也是运用了换元法，只是此时的换元变换比较复杂 而已。由于受到双纽线弧长加倍公式 (6) 的右边积分上限 2x 1− x4 /(1+ x4 ) 的启发，对 于积分 (2)，考虑 u 和 v 之间的换元变换式 u 1− v4 + v 1− u4 1+ u2 v2 = r, (8) 其中的 r 是常数。为了寻找出微元 du 与 dv 之间的关系，引入中间变量U = 1− u4 和 V = 1− v4 ，(8) 式就变成了 (uU ＋ vV)/(1 ＋ u2 v2 ) ＝ r，将 v 看成是 u 的函数，对这个 式子的两边关于 u 求导，经过仔细的运算后可以推导出以下的等式 ： ( du U + dv V ) UV(1− u2 v2 )− 2uv(u2 + v2 ⎡ ) ⎣ ⎤ ⎦ = 0. (9) 从 (8) 知道，当 u ＝ 0 时 v ＝ r，此时上式方括号里的式子变成 World of Mathematics 数学烟云 数学文化/第6卷第1期 56 UV(1− u2 v2 )− 2uv(u2 + v2 ) = 1− r 4 , 所以当 r 与 u 充分靠近 0 时，UV(1 － u2 v2 ) － 2uv(u2 ＋ v2 ) 不为 0 。因此从 (9) 式可知 du 1− u4 + dv 1− v4 = 0. 设在此换元变换中，积分 (2) 的上限 x 对应于 y，而 0 又对应了 r，所以由上式可得 du 1− u4 = − dv 1− v r 4 y ∫ 0 x ∫ = − dv 1− v4 − dv 1− v4 . 0 y ∫ r 0 ∫ 最后再由 (8) 式中的等量关系知道，此时有 r = x 1− y4 + y 1− x4 1+ x2 y2 , 从而就得到了加法公式 (7)。 欧拉不仅像这样证明了加法公式 (7)，还进一步对更一般的椭圆积分推导出了加法 公式 dt 1+ at 2 − t 4 + dt 1+ at 2 − t 0 4 y ∫ 0 x ∫ = dt 1+ at 2 − t 4 . 0 x 1+ay2−y4 +y 1+ax2−x4 1+x2 y2 ∫ (10) 他甚至还想把上式中根号内的多项式次数提高到 5 和 6 次的情形，但他发现此时这样 的等式不会成立。 18 世纪末的数学家勒让得在欧拉研究的基础上，比较系统地研究了椭圆积分。他 在这方面的最大功绩是得到了椭圆积分的三种标准形式，使得其他所有的各种椭圆积 分都可以通过积分的某些变换化成这三种标准的形式，这样，就像其他的一些常见的 特殊函数一样，人们能够制作出专门的椭圆积分用表，供需要实际计算椭圆积分的人 们查阅。 然而，真正的数学家是不会满足于仅仅求出椭圆积分值的，他们希望能够找出隐 藏在这种不寻常的积分性质——加法公式背后的东西。 2 阿贝尔积分、阿贝尔定理和椭圆函数 椭圆积分理论的进一步深入研究，还有赖于复变函数的积分理论的出现。复变函 数论被数学史家 M. 克莱因（M. Kline）称为是 19 世纪最独特的创造，他说 ：“这一最 丰饶的数学分支，曾被称为这个世纪的数学享受，它也曾被欢呼为抽象科学中最和谐 的理论之一。”复变函数的微分与积分理论其实是 18 世纪发展起来的微积分理论的自 然延伸。在 19 世纪初，柯西在研究计算二重积分的累次积分方法时，无意中发现了复 变函数论中最著名的柯西积分定理——全纯（解析）函数在单连通区域边界上的复积 分为零，由此得到了关于留数计算等一系列的基本结果。人们发现，只有将实积分变 成复积分，椭圆积分以及更一般的阿贝尔积分的性质才有可能得到比较完整的描述， 所以从 19 世纪起，这些积分基本上都是作为复积分来进行研究的。 阿贝尔（N. H. Abel）是一位生活于 19 世纪初期的挪威数学家。他在欧拉研究椭 圆积分成果的基础上，朝着现代黎曼面理论的方向，向前跨出了一大步。阿贝尔的第 一个思想是所谓的“阿贝尔和”的概念，也就是将前述的椭圆积分加法公式中积分和 的现象提炼出来，考虑能否用到若干个同类阿贝尔积分的和上。所谓阿贝尔积分，是
Posted by at No comments:
Subscribe to: Posts (Atom)