曲面的凹凸是微分几何学中的经典问题之一，划分出曲面上不同的凹凸区域

第26卷第3期

2006年9月

安徽理工大学学报(自然科学版)

Journal of Anhui University of Science and Technology(Natural Science)

Vo1．26 No．3

Sep．2006

关于曲面上拐线的概念及其求法

李安东 ，殷志祥

(1．安徽理工大学计算机科学系，安徽淮南232001；2．安徽理工大学敬理系，安徽淮南232001)

摘 要：曲面的凹凸是微分几何学中的经典问题之一，划分出曲面上不同的凹凸区域，对于研

究曲面的凹凸以及其他性质是一件很有意义的工作。在三维欧氏空间中，根据不同情况曲面可

分为上凹和下凹、左凹和右凹，或者前凹和后凹。曲面的拐线就是曲面上不同凹凸区域之间的

公共边界。它为划分曲面上不同的凹凸区域提供了一种有效的工具和方法。利用传统微分学

和经典微分几何学的理论和方法，提出三维欧氏空间中曲面拐线的概念并加以定义，通过研究

曲面与其垂截线之间的关系和性质，得出拐线的求法和判定方法，可以用于对曲面不同上下凹

区域的划分。同时类似的理论和方法也完全可以用于对曲面不同左右凹或前后凹区域的划分。

对于曲面拐线本身所具有的性质还有待今后作更进一步的探索和证明。

关键词：上凹下凹；凹凸；拐点；拐线；垂截线；二阶方向导数

中图分类号：0186 文献标识码：A 文章编号：1672—1098(2006)03—0076—05

The Concept of Inflexion—curve on Surface and Its Solution

LI An—dong ，YIN Zhi—xiang

(1．Dept．of Computer Science，Anhui University of Science and Technology，Huainan Anhui 232001。China；2．Dept．of

Mathematics and Physics，Anhui University of Science and Technology，Huainan Anhui 232001。China)

Abstract：The concave-convex property of a surface is one of the important and classical issues in differ—

ential geometry． Dividing a surface into several different concave—convex areas is of great value when

studying the concave-convex property of the surface and its other properties．There are three different

cases in the research of concave—convex areas of a surface in 3一dimensional Euclidean space．such as up—

down concave，left—right concave and fore—and—aft concave．The inflexion—curve of a surface iS ust a

boundary shared by two contiguous(but not intersectant)areas on the surface the concave．．convex direc．．

tions of which are opposite to each other．It is a useful method to partition a surface into different con—

cave-convex areas．The new concept of inflexion—curve of a surface is defined by using theories of tradi—

tional differential calculus and classical differential geometry．Through studying the characteristics of

vertical section line and its relations with the surface，the ways discovered can be used to find out a in—

flexion-curve and to determine whether it is a inflexion—curve or not on a surface．It iS convenient to di—

vide a surface into different up—down concave areas． Similarly，it can also be used to distinguish the

parts of a surface，the left—right concave and fore—and—aft concave directions which differ from each oth—

er．Finally，it seems to be better to find out more about inflexion—curve itself in future．

Key words：concave—up concave—down；concave—convex；point of inflexion；inflexion—curve；vertical section line；direction

derivative of second order

收稿日期：z005—1O—z7

作者简介：李安东(1958一)，男，山东商河人，在读硕士，高级程序员，专业方向为计算机网络和软件设计。

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第3期 李安东，等：关于曲面上拐线的概念及其求法

引言

在一元函数微分学中，详细研究了平面曲线的

凹凸问题，以及曲线上拐点的求法。显然，对于曲面

同样也具有类似的凹凸问题，本文的目的就是通过

研究三维欧氏空间中曲面的凹凸问题，引入了曲面

的拐线概念，用于表示曲面上不同的凹凸区域之间

的分界。以此作为研究曲面性质的一个工具，可以

方便地划分出曲面上不同的凹凸区域，并由此可以

对曲面更加有针对性地分块在其每个确定的凹凸

区域中研究其所具有的性质。下面就对曲面拐线的

概念、某些性质，以及其求法进行初步的探讨。

1 曲面的凹凸问题

1．1 曲面凹凸的定义

为了便于使用一元函数微分中的方法和结论，

本文不采用空间向量的方法研究曲面和曲线，而

是从另外一个角度，即用研究二元函数的方法来研

究曲面。为了直观和方便，这里不引入“、 等其他

参数，而直接以X和Y作为参数，通过研究函数2=

f(x，3，)的性质来研究曲面的上凹和下凹。

必要时也可以类似地以y和 (或2和z)作为

参数，通过研究函数 ： ( ，2)(或Y一5f，(2， )函

数)来研究曲面的左凹右凹(或前凹后凹)问题。例

如，对于旋转抛物面X— Y。+2。，显然研究其左右

凹比较方便。

具体地说，上述方法就是用一个正交于XY平

面的平面a去截曲面 ，所得的截线z是一条平面曲

线，通过研究截线z的性质来研究曲面 ，因此不妨

把截线z称为曲面 的垂截线。特别地，如果a与

XY平面上的向量e平行，则称截线z是沿方向e的

垂截线。

因为，对于空间曲线研究其凹凸问题没有多少

实际意义，所以这里通过曲面的垂截线(平面曲线)

的上下凹来研究曲面的上下凹。类似地，对于左右

凹或前后凹的情形，可以相应地采用正交于YZ平

面或ZX平面的一个平面来截曲面 。以下仅就上

下凹问题进行详细探讨，其余两种情形与此类似，

故不再讨论。

这里假设所研究的曲面 是光滑曲面，并且

上的任意两个不同的点一定垂直投影到XY平面

上的两个不同的点，即是一一映射的。否则可以对

其分块处理，或者用左右凹或前后凹方法来分析。

由一元微分学知道，平面曲线上下凹的定义为：

平面曲线z上某一点P附近的所有点都在以P

点为切点的切线的上(下)方，则称曲线z在P点是

上(下)凹的。

命题1 设P为光滑曲面 上的一点，则S上

的任一点P 均在．S的某一条过点P的垂截线上。

证明：显然，只需证P ≠P的情形。过点P和P

作正交于XY平面的平面a。因为P ≠P，所以a不

是 的切平面。又因为 是光滑的，所以a与 相交

于曲线z，则z即是 的垂截线且经过点P，而P 在z

上，证毕。

由命题1可知， 由经过 上的一个点P的所

有的垂截线所构成。又由经典微分几何理论知道，

曲面 上任一条过点P的曲线a，在该点处其切线

必定在 的切平面卢之内。因而，过点P的 的垂

截线z在P处的切线也在卢内。故将曲面上(下)凹

定义如下。

定义1 曲面 在点P处称为上凹(下凹)的，

当且仅当经过点P的所有．s的垂截线都在该点是

上凹(下凹)的。如果曲面在某一区域内的各个点均

上(下)凹，则称曲面在该区域内上(下)凹。

在多元函数微分学中，定义了多元函数的一阶

方向导数，类似地，这里进一步定义多元函数 =

f(x， )沿方向e一(是 ，kz)(P为一单位向量)的

阶方向导数为

曼 !兰1 2一旦r曼：二 (兰1 2、

、 一1

特别地，2一厂(z， )沿方向P的二阶方向导数为

一

》 +2 3 zf ,k+》；

由于沿e方向正交于XY平面的平面a的方程

是X—z+志1t，y—Y+志2t，Z=Z(z任意)，所以曲

面z=f(x， )沿P方向且过点P(x， )的垂截线的

方程是

X — + k at

Y ：= Y —L—kzt

Z： f(x+ k at，Y+ kzf)

这里t是参数，而z，Y均看作常量，写为向量函

数的形式就是

(z+ k at，Y+ kzt，f(x+ k at，Y+ kzf))

可见，垂截线在点P(z， )处(即z(f)在t=0

时)的二阶导数就是曲面2一厂(z， )沿方向P的二

阶方向导数，即

z”c(0)= 3 zf

。

,z + 2

妇

a z f

v

k 志。+ 躬

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安徽理工大学学报(自然科学版) 第26卷

类似地，z(f)在t=O处的 阶导数就是2一

f(x， )在点P( ， )处沿方向e的 阶方向导数。

1．2 曲面凹凸的判定

由定义1可知，通过垂截线的凹凸性就可以方便

地判定曲面的凹凸性质，因此下面的结论显然成立。

命题2 如果曲面z=f(x， )在点P( ， )沿所

有方向的二阶方向导数恒为正(负)，则曲面在该点

上(下)凹。 r『f(o)一 }+ 2 klkz+ i

恒为正(负)。(其中g一( ，k z)是一个任意的单位

向量。)

因为zf，f(O)是关于k ，k。的二次型，所以也就是

说该二次型正定(负定)时，曲面上(下)凹。

证明：由微分学的结论知道，当z (O)>O时，

过点P且沿方向g的S的垂截线 上凹。故由已知条

件可得所有过P点的S的垂截线均上凹，由定义1知

结论成立，证毕。

2 曲面的拐线

2．1 曲面的拐线的定义

平面曲线的不同凹凸部分的分界点称为该曲线

的拐点。而曲面上不同凹凸区域的分界则可能是一

条(或多条)空间曲线，这里把它称为曲面的拐线。

定义2 如果曲面S上的两个不相交的相邻连

通区域 和 。以一条连续的曲线 为公共边界，并

且曲面S在 内的凹凸性与在 。内的凹凸性相反，

则称 为曲面S的拐线。(这里凹凸性相反是指其中

一

个是上凹，而另外一个是下凹)

在以下讨论中，首先假设曲面S的拐线 不是

S的边界，即拐线 两侧的区域 和 。均非空。因

此， 上的点都是．s的内点。对于}是．s的边界的简

单情形，这里不作讨论。

2．2 拐线的求法

为了求出曲面S上的拐线 ，对于拐线上的每

一

点P首先应该找到以该点为拐点的曲面S的垂

截线c。通过垂截线c求出拐线 。

适当选取拐线 上某一点P的邻域B(P，￡)的

半径￡，一定能保证曲面S在邻域B(P，￡)内的部分

。

是简单曲面，在该邻域内的拐线段b是简单曲

线。b一定把S。分为两个不相交的部分S 和S。(假

设P不是 的端点)，并且S 和S。均是曲面上非空

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的开区域(因为b上的点都是S。的内点)。

由拐线的定义知，．S 和．S。的凹凸性相反，不妨

设 上凹，S。下凹。由定义1和拐线的定义容易得

出如下结论，即命题3。

命题3 在曲面S。上任何与拐线b相交的垂截

线c，如果c是一条连续的曲线，且C与区域S 和S。

的交集均非空，c与b有唯一的交点P ，则点P 一

定是c的拐点。

证明：因为b是S 和S。的公共边界，P 是c与

b唯一的交点，c连续，c与S 、S。的交集均非空，所

以f必然被P 分割为两部分，并分别处于S 和S。

的内部。由定义1知c在S 内的部分一定是处处上

凹的，而在S。内的部分一定是处处下凹的。因此，

P 必定是c的拐点。

由命题3可见，对于拐线上的每一点，这样的

垂截线实际上可能有无数条，但这里只需找到一条

就足够了。

将上述P点的邻域B(P，￡)垂直投影到XY平

面上，得到的开圆盘B (P ，￡)就是P的投影P 在

XY平面上的一个邻域。其中，S。，5 ，S。和b的投影

分别记为S ，S：，5 和b 。

显然，从曲面5。到XY平面的垂直投影是两个

度量空间之间的一个连续映射，前面并已假设其是

一一

映射，所以根据度量空间连续映射的性质可

知，b 不会是一个孤立点，S 和S 必分别处于b 的

两侧，且S：，S 均非空。P 点必在b 上，在邻域

B (P ，￡)内过点P 作曲线b 的法线段c ，贝 被 P

分割为两部分c：和c2，且它们—定分别处于Si和S 中。

现在过法线c 作一个与XY平面正交的平面a，

则a与曲面S。的交线c就是S。的垂截线。c与拐线b

的交点一定是P，且c被点P分割为两个部分c 和c。，

显然c 和c。在XY平面上的垂直投影就是c；和c ，

因此c 和c。必然分别处在S。和S。中。故根据命题

3可以断定点P一定是垂截线c的拐点。至此，即找

到了这样的一条特殊的垂截线c。求出该垂截线的

拐点，即可求出曲面S的拐线。

根据以上讨论，即可总结出求曲面拐线的步骤

如下：

(1)已知曲面S的方程为

= = z=f(x， )

由于所求拐线在曲面S上，所以设所求拐线

的方程为

X= X Y— Y( ) 2一f( ，Y( ))

(2) 在点P(z， )处的切向量为(1， ，2 )，

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第3期 李安东，等：关于曲面上拐线的概念及其求法

其在XY平面中的投影为二维向量(1， )，求出与

其正交的单位向量

P一 i1 ’ 一———-=。’ —’ ‘ =。一)， 一

+

( =些==，一 = )

j广 } j广 |

(3)求出曲面过点P( ， )且沿e方向的垂截线

在点P处的二阶导数，即z一厂( ， )在点P(x， )且

沿e方向的二阶方向导数并令其等于0，即

ZIt(0 一器 一2嵩 +

a 1

砂。1+ 一

得到一个Y关于 的一阶微分方程。

(4)解上述微分方程得

( )= Y1(z)+C

(5)将 ( )= 1( )+C代入 — ， — (z)，

z~--f(x， (z))即得到所求拐线的方程。

2．3 拐线的判定

要判断所求曲线是不是曲面S的拐线，实际上

只需判断所求曲线 —z， — ( )，z=f(x， (z))

上的任意一点P(z， )是不是上述垂截线C的拐点

即可，步骤如下：

(1)由 ( )一 (z)+c求出 ，得单位向量

e一(— 兰= ，一— =1

== )一(是1( )，是2( ))

^、／1+ ^、／1+

(2)由垂截线c的方程X=x+k1t，y： +惫2t，

z—f(x+k1t， + 2￡)得二阶导函数

Z =尸 ( + 1(z)， +歧2(z))志i( )+

2f" (z+坎1( )， +￡五2( ))志1(z)志2(z)+

(z+￡愚1(z)， +￡ 2(z)) ；( )

(3)验证对于任意的X，当t在0附近由负变

化到正时，Z 是否变号。若都变号，则 — ， —

(z)， 一厂(z， ( ))是曲面S的拐线。若有个别的

孤立点使z” 不变号，则这样的点就是所求拐线的

间断点。

3 应用

例1：求曲面 — 。+ 。的拐线

解：(1)设所求拐线的方程为

= z — ( ) — ( )

一

(—生，一— ==

七 、j广

则由z--f(x， )一 。+ 。得曲面沿方向e的二

阶方向导数

尸'xxY' 一2J ’xyY + f” y一6xy + 6y一0

解此微分方程得

( )=一(±√ +C)。

故 (z)一厂( ， ( ))一 。一(±√ +C) (其

中C为常数)。

(2)现在判断所求曲线是否是曲面Z-X。+ 。

的拐线。

由 (z)=一(±√ +C)。得

y 一一(1± )

-x／

一‘南，一

则

，

一_ = =

一—■=======鱼== ==一====== )

√2 ± 2c +c。

故得垂截线方程

X—z一_= 圭 =一￡

√2 ±2C +c

y=— Y一—=== =兰V兰=====￡

^、』2z士2C√ +C2

z 一(z 一 = 一 +

2z±2C√ +c2

( 一— === == ￡)s

√2 ±2c√ +c。

z )=6(x一 √ 圭 一

2z± 2c√i + Cz

(√ ± C)。 ．

2x± 2C√ z + C。

6(y 一_ = = = = = ￡)

√2 士2C√i +Cz

兰 一

2z± 2C√i +C。

一

6 些