“原子性”或“整体性”：具有集中的能量和动量;“相干叠加”、干涉、衍射;;具有亚稳态的原子结构

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波函数
用指数形式表示：
微观粒子具有波动性，其运动状态应该用
x
t
y
n
π
(
)
2
,
=
cos
(
)
t
x
y
o

l

x
t
y
(
)
,
=
e
i
n
π
(
)
t
x
2
y

l

o
单色平面简谐波波动表式为： .
一、波函数及其统计意义 .
波函数来描写。

§7

应用欧拉公式:
取实部
e
i
f
cos
f
i
sin
f
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平
面波来描写，其波函数为：
其中波函数模的平方为：
*
Ψ
Ψ
Ψ
2
.
=
o
=
2
Ψ
o
Ψ
i
x
t
(
)
,
=
e
(
)
t
x
E
p
Ψ
h
i
( E t - p x )
( E t - p x )
i
o
e
.
o
e
+
=
Ψ
Ψ
h
h
x
t
y
(
)
,
=
e
i
n
π
(
)
t
x
2
y

l

o
统计解释：电子的衍射实验为例:
若入射较少时，底板上出现一些随意分布的亮点，
当到达底板上的电子数增多，出现了衍射条纹。
波函数在某点的强度和该点找到电子的几率成正比。
一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：
7万
2万
7个电子
100个电子
这就是玻恩对波函数的统计解释 。
Ψ
Ψ
(x,y,z,t)
(x,y,z,t)
.
*
dzdydz
=
Ψ
Ψ
(x,y,z,t)
dz dy dz
2
d
V
2
=
粒子在体积元
V
d
=
dxdydz
内出现的几率为：
的几率，即几率密度为：
粒子在 t 时刻，在
处单位体积出现
(x,y,z)
Ψ
Ψ
Ψ
2
*
=
.
波函数必须满足的条件（称为标准条件）
1. 单值 2. 有限 3. 连续
在整个空间出现粒子的几率应等于一
称上式为波函数的归一化条件。
dxdydz
=
1
Ψ
òòò
2
¥
¥
几率密度：
Ψ
Ψ
Ψ
2
*
=
.
波函数：
o
Ψ
i
x
t
(
)
,
=
e
(
)
t
x
E
p
Ψ
h
二、对波粒二象性的理解
粒子性

• “原子性”或“整体性”：

• 具有集中的能量和动量

• 不是经典粒子！抛弃了“轨道”概念！

波 动性

• “相干叠加”、干涉、衍射、

• 不是经典波！不代表实在物理量的波动。

• 具有波长 

只在空间和时间的很小区域内，作为一个整体产生效果。

两种图象不会同时出现在你的视觉中。

少女？
老妇？

微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出波动性，而两种性质虽寓于同一客体体中，却不能同时表现出来。

这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程。
因为
E =
k
2
代入上两式得到：
p /2m ,
1. 一维自由粒子（势能为零）的波函数为：
Ψ
Ψ
t
=
i
h
E
¶
¶
Ψ
(x,t)
=
i
h
o
e
E
t
p
x
(
)
x
Ψ
三、薛定谔方程 （情况不同方程也不同）
非相对论情况：
Ψ
Ψ
x
2
=
p
2
2
2
¶
¶
h
Ψ
Ψ
x
2
2
2m
=
i
t
2
¶
¶
¶
¶
h
h
在有势力场中粒子的总能量为：
p
E =
m
2
2
U
+
(x,t )
2. 粒子是在有势力场中
这是势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程
Ψ
Ψ
t
=
i
h
E
¶
¶
三维运动粒子的薛定谔方程：
Ψ
Ψ
x
2
=
p
2
2
2
¶
¶
h
2m
Ψ
2
U
t
x
2
2
+
i
Ψ
Ψ
=
¶
¶
¶
¶
(x,t )
∴
h
h
2m
Ψ
2
U
t
x
2
2
+
i
Ψ
Ψ
=
¶
¶
¶
¶
2
y
2
+
Ψ
¶
¶
2
z
2
+
Ψ
¶
¶
h
h
薛定谔方程可表示为：
Δ
=
2
2
x
2
+
¶
¶
2
y
2
+
¶
¶
2
z
2
¶
¶
Δ
2
引入拉普拉斯算符
2m
Ψ
2
U
t
x
2
2
+
i
Ψ
Ψ
=
¶
¶
¶
¶
2
y
2
+
Ψ
¶
¶
2
z
2
+
Ψ
¶
¶
h
h
Δ
2
2m
Ψ
U
t
2
i
Ψ
=
¶
¶
+
Ψ
(x,y,z,t )
h
h
3. 定态薛定谔方程
即： U =U (x,y,z)。
代入薛定谔方程并分离变量得：
在定态问题中势函数不是时间的函数
2m
(x,y,z )
f (t )
(x,y,z )
(x,y,z )
i
2
Δ
2
U
+
=
t
1
f (t )
¶
¶
Ψ
Ψ
h
h
方程的左边只是空间坐标的函数，右边
积分可得 ：
令左边也等
等式才能成立。
只是时间的函数，只有两边都等于一个常数
令这一
于E 得到：
常数为E
2m
(x,y,z )
f (t )
(x,y,z )
(x,y,z )
i
2
Δ
2
U
+
=
t
1
f (t )
¶
¶
Ψ
Ψ
h
h
E
=
f (t )
i
t
1
f (t )
¶
¶
h
2m
2
E
Δ
2
+
U
=
Ψ
Ψ
Ψ
h
i
E
f
(t )
=
e
t
h
这就是定态薛定谔方程。
2m
2
E
Δ
2
+
U
=
Ψ
Ψ
)
(
0

或

h
2m
2
E
Δ
2
+
U
=
Ψ
Ψ
Ψ
h

[例1]

基础训练题-p33-1-7
[ D ]
波函数整个空间各点的振幅增大
整个空间出现粒子的几率仍等于一，
粒子的几率分布不变

[例2]

ψ
(x )
x
0
n
a
ψ
2
(x )
x
0
a
5a/6
a/2
a/6
概率最大位置：a/6， a/2， 5a/6
已知：波函数 Y(x )
如图所示，
求概率最大位置：
解：
几率密度：
Ψ
Ψ
Ψ
2
*
=
.
一维势阱
设质量为m的粒子只能在 0<x<a 的区域
8
8
x = 0
x = a
U (x )
薛定谔方程为：
当 x ≤ 0 和 x ≥ a 时
ψ
(x) = 0
即：
{
U
(x)
=
0
x
a
<
<
0
(
)
ψ
(a) = 0
ψ
,
= 0
(0)
内自由运动，
8
或
x
x
0
a
(
)
势能函数为：

§8

2m
2
E
Δ
2
+
U
=
Ψ
Ψ
Ψ
h
（1）
{
U
(x)
=
0
x
a
<
<
0
(
)
8
或
x
x
0
a
(
)
2m
2
E
Δ
2
+
U
=
Ψ
Ψ
Ψ
h
（1）
当 x ≤ 0 和 x ≥ a 时
ψ
(x) = 0
即：
ψ
(a) = 0
ψ
,
= 0
(0)
当 0 < x < a 时
2m
2
Δ
2
=
E
Ψ
Ψ
h
（2）
令
代入 方程（2）得：
w
=
2mE
h
8
8
x = 0
x = a
U (x )
ψ
d
w
x
ψ
2
2
d
+
2
=
0
波函数为：
ψ
(x)
=
sin wx
A
(0)
(a)
ψ
ψ
=
=
0
由边值条件：
令
代入 方程（2）得：
w
=
2mE
h
2m
2
Δ
2
=
E
Ψ
Ψ
h
（2）
(
+
(x)
解为：
ψ
j
=

wx

cos
)
A
π
= ±
2
j
cosj =0,
由边值得
A
sin wa = 0 于是 .
wa = n
π,
(n =1,2,…)
因为 n 只能取正整数，所以势阱中的粒子
其能量是量子化的。
得到能量
w = n
π
/a
即:
2mE
= n
π
/
/a
h
E
n
(
)
2ma
π
2
2
2
2
=
n
h
波函数为：
ψ
(x)
=
sin wx
A
(0)
(a)
ψ
ψ
=
=
0
由边值条件：
(n =1,2,…)
与E 对应的函数，即解为：
由归一化条件求得: 。
n
ψ
sin
π
=
2
a
(
)
n
x
a
(x )
∴ 薛定谔方程的解为：
ψ
A sin
=
n
a
π
x
(x )
( 0 <x < a )
得到
=
2/a
A
π
=
(
)
1
2
a

A

x

n

2
0

d

sin

ò
2

x

A

2
a
=
a
一
维
无
限
深
势
阱
中
粒
子
的
波
函
数
=1
=2
=3
=4
ψ
(x )
x
0
n
n
n
n
a
ψ
2
(x )
x
0
a

[例1]

已知粒子在深势阱中，

其波函数为：

那么粒子出现的几率最大位置?
ψ
sin
=
3
a
π
x
(x )
( 0 <x <a )
2a
解：几率密度：
3
a
π
x
ψ(x )
2
x
sin
=
2a
2
最大即：
ψ(x )
2
x
3
a
π
x
sin
2
最大
x : a/6 , a/2; 5a/6
基础训练题-p38-2-3
ψ
(x )
x
0
n
a

[例2]

基础训练题-p38-3-1
一维无限深势阱中，某粒子的波函数：
求归一化条件形式。
n
ψ
sin
π
=
2
a
(
)
n
x
a
(x )
∴归一化的解为：
ψ
A sin
=
n
a
π
x
(x )
( 0 <x < a )
得到
=
2/a
A
π
=
(
)
1
2
a

A

x

n

2
0

d

sin

ò
2

x

A

2
a
=
a
解：
隧道效应
设某区域势能函数为：
这种势能分布为一维势垒。
{
U
(x)
=
U₀
x
a
<
<
0
(
)
或
x
x
0
a
0 (
)

§9

0

a x
U₀
U
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
1. 若粒子的能量 E > U₀ ，
经典和量子结论相同：
则它可以穿越区域 Ⅱ 进入区域 Ⅲ 内运动; ，
设一粒子在区域 Ⅰ 内运动，
量子还认为：分介面有反射波。
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
ψ
(Ⅱ) ≠ 0
ψ
(Ⅲ) ≠ 0
2. 若 E < U₀ ，
经典结论：
则它不能穿越区域 Ⅱ
进入区域 Ⅲ 内运动;
量子结论：
则它有可能穿越区域 Ⅱ
进入区域 Ⅲ 内运动，
即：
粒子能穿透比其动能更高的势垒的现象 称为隧道效应 。

0

a x
U₀
U
ψ
(Ⅰ) ≠ 0
ψ
(Ⅱ) ≠ 0
ψ
(Ⅲ) ≠ 0

[例1]

基础训练题-p37-1-3
[ C ]

0

a x
U₀
U
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
r_Ⅰ ≠ 0
r_Ⅱ ≠ 0
r_Ⅲ ≠ 0
E
若粒子的能量 E < U₀ ，
则在各个区域 发现粒子的概率：，
基态 E₁
1、吸收过程：

激发态 E₂

E₃
E₄
2、自发辐射过程：
激光原理
一、自发辐射和受激辐射

§10

3、受激辐射过程：
E₁
E₂
受激辐射的特点：受激辐射产生的光子与原来的光子具有完全相同的状态。

结论： 受激辐射而得到的光是 相干光。

即：频率、偏振态、相位和传播方向完全相同。
受激辐射得到放大的光 , 称之为激光.
1、粒子数反转
E₁
E₂
粒子数反转
产生激光的必要条件：实现粒子数反转。
二、激光原理
2
1
N
N
<
受激辐射得到放大的光 , 称之为激光.
2. 具有亚稳态的原子结构，
红宝石激光器（三能级系统）
E₂
E₃
E₁
E₂
E₃
E₁
(10^-8s)
E₂
E₃
E₁
(10^-3s)
才能实现粒子数反转。
受激辐射得到放大的光 , 称之为激光.
氦氖激光器（四能级系统）
E₁
E₂
E₃
E₄
(10^-8s)
E₁
E₂
E₃
E₄
(10^-3s)

3. 激励能源（泵浦）：

将基态粒子输送到高能态。

以实现粒子数反转的过程。
4、光学谐振腔

工作物质

全反射镜
部分反射镜
谐振腔长度：
谐振腔的作用：
（1）维持光振荡、光放大作用。
（2）使激光产生极好的方向性。
（3）使激光的单色性好。
2、光学谐振腔

工作物质

1 、工作物质
三、激光器的基本结构
3、激励能源
氦氖激光： 6328 Å
红宝石激光： 6943 Å
1、方向性好。
2、单色性好。
3、相干性好。
4、能量集中。
四、激光的特点
全息照相就是利用激光相干性好的特点。

[例1]

基础训练题-p37-1-4
[ C ]
谐振腔的作用：
（1）维持光振荡、光放大作用。
（2）使激光产生极好的方向性。
（3）使激光的单色性好。

[例2]

基础训练题-p38-2-5
产生激光的必要条件：
受激辐射
粒子数反转
三能级系统
光学谐振腔
四、激光的特点 自测题-p66-15 .
1、方向性好。
2、单色性好。
3、相干性好。
4、能量集中。

[例3]

基础训练题-p38-3-2

已知：氢原子的 1s 态波函数：

求：最大概率的位置。
解：波函数为球对称：
ψ = e^-r/a
pa³
1
在 r → r+dr 区间内的概率为：
ψ
2
4pr²dr

dP =

概率径向密度函数: w ∝ r²e^-2r/a
w ∝ r²e^-2r/a
概率最大位置:
dw
dr
d
dr
= (r²e^-2r/a )=0
2r e^-2r/a + r² e^-2r/a (-2/a ) =0
r = a

基础训练题-p40-3-1

一维无限深势阱中，某粒子的波函数：

[例4]

求波的归一化函数 。
ψ
A sin
=
npx

a

( x )
解：波函数的归一化条件：
òψ
2
dx = 1
a
0
设：
j =
npx

a

dx = dj
a
np
2
dj
a
np
òψ
2
dx =
a
0
ò A (sinj )
np
0
2
A = 2/a
2
A =
2/a
2
dj
a
np
òψ
2
dx =
a
0
ò A (sinj )
np
0
2
= np A
2np
a
2
= 1
sin
npx

a

ψ(x )

=

2/a
2
dj
a

2np

=
ò A (1- cos2j )
np
0