这种以广义相对论时空为背景的量子理论常常被称为半经典 (semi-classical) 理论， 以区别于完全意义下的量子引力理论。 在这种半经典理论中， 物质场的量子平均作为 “源” 进入引力场方程中， 非量子化的度规场则进入量子理论中。
除了自己的无知，
我什么都不懂。
－苏格拉底
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星期四
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二零一三年四月 |
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追寻引力的量子理论 (上)
- 卢昌海 -
本文完成于 2003 年， 是本站最早的物理类科普之一， 此次改版在文字上作了细微修改。 这些年人们在量子引力方面虽谈不上有重大突破， 但也有若干发展。 对量子引力感兴趣的读者请参阅新近文献， 以弥补本文作为旧作所不可避免的局限。 [2008-02-08]
一. 量子时代的流浪儿
二十世纪理论物理学家说得最多的话之一也许就是： “广义相对论和量子理论是现代物理学的两大支柱”。 两大支柱对于建一间屋子来说可能还太少， 但对于物理学却已嫌多。 二十世纪物理学家的一个很大的梦想， 就是把这两大支柱合而为一。
如今二十世纪已经走完， 回过头来重新审视这两大支柱， 我们看到， 在量子理论这根支柱上已经建起了十分宏伟的殿堂， 物理学的绝大多数分支都在这座殿堂中搭起了自己的舞台。 物理学中已知的四种基本相互作用有三种在这座殿堂内得到了一定程度的描述。 可以说， 物理学的万里河山量子理论已经十有其九， 今天的物理学正处在一个不折不扣的量子时代。 而这个辉煌量子时代最大的缺憾， 就在于物理学的另一根支柱 - 广义相对论 - 还孤零零地游离在量子理论的殿堂之外。
广义相对论成了量子时代的流浪儿。
二. 引力为什么要量子化？
广义相对论和量子理论在各自的领域内都经受了无数的实验检验。 迄今为止， 还没有任何确切的实验观测与这两者之一矛盾。 有段时候人们甚至认为， 生在这么一个理论超前于实验的时代对于理论物理学家来说是一种不幸。 Einstein 曾经很怀念 Newton 的时代， 因为那是物理学的幸福童年时代， 充满了生机； Einstein 之后也有一些理论物理学家怀念 Einstein 的时代， 因为那是物理学的伟大变革时代， 充满了挑战。
今天的理论物理学依然充满了挑战， 但与 Newton 和 Einstein 时代理论与实验的 “亲密接触” 相比， 今天理论物理的挑战和发展更多地是来自于理论自身的要求， 来自于物理学追求统一、 追求完美的不懈努力。
量子引力理论就是一个很好的例子。
虽然量子引力理论的主要进展大都是在最近这十几年取得的， 但引力量子化的想法早在 1930 年就已经由 L. Rosenfeld 提出了。 从某种意义上讲， 在今天大多数的研究中， 量子理论与其说是一种具体的理论， 不如说是一种理论框架， 一种对具体的理论 - 比如描述某种相互作用的场论 - 进行量子化的理论框架。 广义相对论作为一种描述引力相互作用的场论， 在量子理论发展的早期， 是除电磁场理论外唯一的基本相互作用场论。 把它纳入量子理论的框架因此就成为继量子电动力学之后的一种很自然的想法。
但是引力量子化的道路却远比电磁场量子化来得艰辛。 在经历了几代物理学家的努力， 却未获实质进展后， 人们有理由重新审视追寻量子引力的理由。
广义相对论是一个很特殊的相互作用理论， 它把引力归结为时空本身的几何性质。 从某种意义上讲， 广义相对论所描述的是一种 “没有引力的引力”。 既然 “没有引力”， 是否还有必要进行量子化呢？ 描述这个世界的物理理论， 是否有可能只是一个以广义相对论时空为背景的量子理论呢[注一]？ 或者说， 广义相对论与量子理论是否有可能真的同时作为物理学的基础理论呢？
这些问题之所以被提出， 除了量子引力理论本身遭遇的困难外， 没有任何量子引力存在的实验证据也是一个重要原因。 但种种迹象表明， 即便撇开由两个独立理论所带来的美学上的缺陷， 把广义相对论与量子理论的简单合并作为自然图景的完整描述， 仍存在许多难以克服的困难。
问题首先就在于广义相对论与量子理论并不完全相容。 我们知道， 一个量子系统的波函数 Ψ 由该系统的 Schrödinger 方程
HΨ = i∂tΨ
所决定。 方程式左边的 H 被称为系统的 Hamiltonian (哈密顿量)， 它是一个算符， 包含了对系统有影响的各种外场的作用。 这个方程对于波函数 Ψ 是线性的， 也就是说如果 Ψ1 和 Ψ2 是方程的解， 那么它们的任何线性组合也同样是方程的解。 这被称为态迭加原理， 在量子理论的现代表述中以公理的面目出现， 是量子理论最基本的原理之一。 可是一旦引进体系内 (即不仅仅是外场) 的非量子化的引力相互作用， 情况就不同了。 因为由波函数所描述的系统本身就是引力相互作用的源， 而引力相互作用又会反过来影响波函数， 这就在系统的演化中引进了非线性耦合， 从而破坏了量子理论的态迭加原理。 不仅如此， 进一步的分析还表明， 量子理论和广义相对论耦合体系的解有可能是不稳定的。
其次， 广义相对论与量子理论在各自 “适用” 的领域中也都面临着一些尖锐的问题。 比如广义相对论所描述的时空在很多情况下 - 比如在黑洞的中心或宇宙的初始 - 存在所谓的 “奇点” (Singularity)。 在这些奇点上， 时空曲率和物质密度往往趋于无穷。 这些无穷大的出现， 是理论被推广到适用范围之外的强烈征兆。 无独有偶， 量子理论同样被无穷大所困扰， 虽然由于所谓重整化方法的使用而暂得偏安一隅。 但从理论结构的角度看， 这些无穷大的出现， 预示着今天的量子理论很可能只是某种更基础的理论在低能区的 “有效理论” (Effective Theory)。 因此广义相对论和量子理论不可能是物理理论的终结， 寻求一个包含广义相对论和量子理论基本特点的更普遍的理论， 是一种合乎逻辑和经验的努力。
三. 黑洞熵的启示
迄今为止， 对量子引力理论最具体、 最直接的 “理论证据” 来自于对黑洞热力学的研究。 一九七二年， Princeton 大学的研究生 J. D. Bekenstein 受黑洞动力学与经典热力学之间的相似性启发， 提出了黑洞熵的概念， 并估算出黑洞的熵正比于其视界 (Event Horizon) 面积。 稍后， S. W. Hawking 研究了黑洞视界附近的量子过程， 结果发现了著名的 Hawking 幅射， 即黑洞会向外幅射粒子 (也称为黑洞蒸发)， 从而表明黑洞是有温度的。 由此出发， Hawking 也推导出了 Bekenstein 的黑洞熵公式， 并确定了比例系数， 这就是所谓的 Bekenstein-Hawking 公式：
S = k (A/Lp2) / 4
式中 k 为 Boltzmann 常数， 它是熵的微观单位， A 为黑洞视界面积， Lp 为 Planck 长度， 它是由广义相对论与量子理论的基本常数组合而成的一个自然长度单位 (大约为 10-35 米)。
Hawking 对黑洞幅射的研究所采用的正是以广义相对论时空为背景的量子理论， 即所谓的半经典理论， 但黑洞熵的存在却预示着对这一理论框架的突破。 我们知道， 从统计物理学的角度讲， 熵是体系微观状态数的体现。 因而黑洞熵的存在表明黑洞并不象此前人们认为的那样简单， 它含有数量十分惊人的微观状态， 这在广义相对论的框架内是完全无法理解的。 因为广义相对论有一个著名的黑洞 “无毛发定理” (No-Hair Theorem)， 它表明稳定黑洞的内部性质被其质量、 电荷及角动量三个宏观参数所完全表示 (即使考虑到由 Yang-Mills 场等带来的额外参数， 其数量也十分有限)， 根本就不存在所谓的微观状态。 这表明， 黑洞熵的微观起源必须从别的理论中去寻找。 这 “别的理论” 必须兼有广义相对论和量子理论的特点 (因为黑洞熵的推导用到了量子理论)。 量子引力理论显然正是这样的理论。
在远离实验检验的情况下， 黑洞熵目前已成为量子引力理论研究中一个很重要的理论判据。 一个量子引力理论要想被物理学界接受， 首先要跨越的重要 “位垒”， 就是推导出与 Bekenstein-Hawking 熵公式相一致的微观状态数。
四. 引力量子化的早期尝试
引力的量子化几乎可以说是量子化方法的练兵场， 在早期的尝试中， 人们几乎用遍了所有已知的场量子化方法。 最主要的方案有两大类： 协变量子化和正则量子化。 它们共同发源于一九六七年 B. DeWitt 的题为 "Quantum Theory of Gravity" 的系列论文。
协变量子化方法的特点是试图保持广义相对论的协变性。 基本的做法， 是把度规张量 gμν 分解为背景部分 gμν 与涨落部份 hμν:
gμν = gμν + hμν
不同的文献对背景部份的选择不尽相同， 有的取 Minkowski 背景度规 ημν， 有的取量子有效作用量 (quantum effective action) 的解。 这种方法与广义相对论领域中传统的弱场展开方法一脉相承， 思路是把引力相互作用理解为某个背景时空中引力子的相互作用。 在低级近似下， 协变量子引力可以很自然地包含自旋为 2 的无质量粒子， 即引力子。
由于协变量子化计算所采用的主要是微扰方法， 随着七十年代一些涉及理论重整化性质的重要定理被相继证明， 人们对这一方向开始有了较系统的了解。 只可惜这些结果基本上都是负面的。 一九七四年， G. 't Hooft 和 M. Veltman 首先证明了， 在没有物质场的情况下量子引力在单圈图 (1-loop) 层次上是可重整的， 但只要加上一个标量物质场， 理论立刻就会变得不可重整。 十二年后， M. H. Goroff 和 A. Sagnotti 证明了量子引力在两圈图 (2-loop) 层次上是不可重整的。 这一结果基本结束了早期协变量子引力的生命。 又过了十二年， Z. Bern 等人往这一已经冷落的方向又泼了一桶凉水， 他们证明了 - 除 N = 8 的极端情形尚待确定外 - 量子超引力也是不可重整的， 从而连超对称这根最后的救命稻草也被铲除了[注二]。
与协变量子化方法不同， 正则量子化方法在一开始就引进了时间轴， 把四维时空流形分割为三维空间和一维时间 (这是所谓的 ADM 分解)， 从而破坏了明显的广义协变性[注三]。 时间轴一旦选定， 就可以定义系统的 Hamilton 量， 并运用有约束场论中普遍使用的 Dirac 正则量子化方法。 正则量子引力的一个很重要的结果， 是所谓的 Wheeler-DeWitt 方程， 它是对量子引力波函数的约束条件。 由于量子引力波函数描述的是三维空间度规场的分布， 也就是空间几何的分布， 因此有时被称为宇宙波函数。 Wheeler-DeWitt 方程也因而被一些物理学家视为量子宇宙学的基本方程。
与协变量子化方法一样， 早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难。 这些困难既有数学上的， 比如 Wheeler-DeWitt 方程别说求解， 连给出一个数学上比较严格的定义都很困难； 也有物理上的， 比如无法找到合适的可观测量和物理态[注四]。
引力量子化的这些早期尝试所遭遇的困难， 特别是不同的量子化方法给出的结果大相径庭这一现象， 是具有一定启示性的。 这些问题的存在反映了一个很基本的事实， 那就是许多不同的量子理论可以具有同样的经典极限， 因此对一个经典理论量子化的结果是不唯一的。 或者说， 原则上就不存在对应于某个特定经典理论的所谓唯一 “正确” 的量子理论。 其实不仅量子理论， 经典理论本身也一样， 比如经典 Newton 引力就有许多推广， 以 Newton 引力为共同的弱场极限， 广义相对论只是其中之一。 在一个本质上是量子化的物理世界中， 理想的做法应该是从量子理论出发， 在量子效应可以忽略的情形下对理论作 “经典化”， 而不是相反。 从这个意义上讲， 量子引力所遇到的困难， 其中一部份正是来源于我们不得不从经典理论出发， 对其进行 “量子化” 这样一个无奈的事实。
二零零三年二月八日写于纽约
二零零三年二月八日发表于本站
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