随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为概率密度和基本测度的乘积

随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度;在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性。

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随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度

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路径积分的数学基础

chernzy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	1^#大中小发表于 2011-3-30 15:18 只看该作者路径积分的数学基础请问有人熟悉这方面的研究吗，
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henring 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	2^#大中小发表于 2011-3-30 17:28 只看该作者回复 1# 的帖子你指物理学中的路径积分吗？如果是，基础就是微积分。能算的情形只有高斯型的。
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chernzy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	3^#大中小发表于 2011-3-30 20:53 只看该作者回复 2# 的帖子不是计算的问题，一般听说路径积分还缺少严格的数学基础，所以问问。
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fnsy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	4^#大中小发表于 2011-3-31 09:03 只看该作者回复 3# 的帖子路径积分问题是否可以以微分几何为基础得以解决。
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henring 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	5^#大中小发表于 2011-3-31 10:24 只看该作者回复 3# 的帖子哦数学基础阿。这个问题以前这里略微讨论过。你可以翻老帖/。
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chernzy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	6^#大中小发表于 2011-3-31 12:20 只看该作者回复 5# 的帖子不知道是哪个贴，没找到。
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PENG_Bo 版主个人空间发短消息加为好友当前离线	7^#大中小发表于 2011-3-31 18:51 只看该作者你说的是测度问题吗 Essentially, all models are wrong, but some are useful. In the long run, we are all dead.
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chernzy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	8^#大中小发表于 2011-3-31 21:44 只看该作者回复 7# 的帖子是的，就是轨道空间给测度做积分，这应该就是随机积分，也不知道两者有什么不同，所以不知道为什么没有严格的数学基础
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PENG_Bo 版主个人空间发短消息加为好友当前离线	9^#大中小发表于 2011-3-31 23:52 只看该作者这不是随机积分。这个测度需要在非常无限维的路径空间上定义，所以很困难。 Essentially, all models are wrong, but some are useful. In the long run, we are all dead.
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chernzy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	10^#大中小发表于 2011-4-1 00:32 只看该作者回复 9# 的帖子 "非常无限维的"怎么理解？
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PENG_Bo 版主个人空间发短消息加为好友当前离线	11^#大中小发表于 2011-4-1 00:38 只看该作者特别高阶的无限。 Essentially, all models are wrong, but some are useful. In the long run, we are all dead.
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季候风

超级版主

12^#大中小发表于 2011-4-3 12:48 只看该作者

引用:

原帖由 chernzy 于 2011-3-31 21:44 发表
是的，就是轨道空间给测度做积分，这应该就是随机积分，也不知道两者有什么不同，所以不知道为什么没有严格的数学基础

非常不同。随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为概率密度和基本测度的乘积（好像连续型随机变量在实数轴的分布那样，分解为概率密度和 Lebesgue 测度的乘积）。而物理学家预期的，正是 $e^{iS}$ 配上一种 “无穷维 Lebesgue 测度”，满足平移不变性和更多有限维 Lebegue 测度所具有的良好性质。这样的测度不可能在任何无穷维 Banach 空间存在。

如果像随机积分一样把 $e^{iS}$ 和并不存在的无穷维 Lebesgue 积分绑定，也许可以构成某种数学上可定义的测度（至少 Witten 似乎在尝试从 cohomology 的角度来定义它），但现在还不确切地知道其可行性。

然而，现代物理并不依赖于这种积分的存在性。任何物理理论都定义于某个能标，从较高能标 $\Lambda$ 作用量导出较低能标 $\lambda$ 作用量可以完全由有限维积分描述
$e^{iS_\lambda(\phi_\lambda)} = \int_{F_{\Lambda,\lambda}} e^{iS_\Lambda(\phi_\lambda + \eta)} d\eta$
其中积分域 $F_{\Lambda,\lambda}$ 包含两个能标之间的所有（有限个）自由度。当然，这个积分虽然肯定有定义，其收敛性却是个问题。通常用“虚时间”方法解决，而 Witten 最近有些新的见解。即便如此，也并不能说物理学可以如此被数学简单描述，因为在不同的能标上，需要运用不同的自由度组合来方便地表述同一个理论，这似乎远在数学所能控制的范围之内。再有，我们必须有一个参考点，即，必须在某个能标处确切地知道理论的形式，这样才能得到更低能标的作用量。至今为止，我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处，所以需要用重整化这种非数学的手段来实现从无穷能标到有限能标的积分。真实的物理并非发生在无穷能标处，即使无穷维积分的数学理论存在，它也并不是在描述真实的物理。如果一定要让数学来完全地描述物理，我认为必须要有新的数学概念和数学工具，传统的 “测度” 或 “积分” 恐怕难以胜任。

[ 本帖最后由季候风于 2011-4-3 12:54 编辑 ]

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henring 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	13^#大中小发表于 2011-4-3 19:19 只看该作者回复 12# 的帖子经常从季老师这里获益，赞。
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一直想思考

新手上路

14^#大中小发表于 2011-4-3 20:09 只看该作者

回复 12# 的帖子

witten最近的那篇文章太数学了，看了一页看不下去了，数学能力还很差...按季兄这么简练说的话，我怎么感觉这观点不新了？比如我觉得物理学家分析重整化群轨道的角度，如要求紫外不动点，就能预言高能有新物理，比如超对称，这样我们可以简单的在重整化轨道.
因此我上次就和fantadox兄在车上胡说，随着能标一直加，不同的拉氏项将进来，路径积分就不是那么简单的了。只是我们在物理上如何判断所有能标的物理了，加速器也有极限吧?比如普朗克能标上面还有物理么.因此数学上看来也只能简单建toy model?
有大牛认为在普朗克能标上物理是“随机的"当然这和弦论或者大统一观点相悖.
witten文章的技术都在推导什么了?(论坛没有膜拜的表情

)谢谢

至今为止，我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处
-------------------------------------------------------------------------------
其实（E）RG一直把裸量所需要的截断选在一个有限的值，这个值可以变到无穷。当然无穷的好处是洛伦兹对称性显然保持，但群流结构给搞"简单"了.

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chernzy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	15^#大中小发表于 2011-4-9 18:23 只看该作者回复 12# 的帖子后面物理不太懂。照这样说，路径积分是要有新的积分理论，请问平移不变性的物理意义是什么呢。
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漫谈几何量子化（四，五，六）

漫谈几何量子化（四）表象

在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性。我们已经看到在 Stone-von Neumann 的处理中（即 Schrodinger 表示），平方可积函数空间 $L^2(\mathbb R)$ 可以作为态空间，而平方可积是对 Lebesgue 测度而言的。但是在无穷维，没有这么一个“典则”的测度。

再来看 Fock 表象。重新审视对有限维相空间的处理。在没有约束的情况下，只要固定了坐标系，有限维相空间可以看作向量空间。所有可能的位置组成向量空间 $V\cong \mathbb R^n$ ，所有可能的动量应该被视为对偶空间（线性泛函组成的空间） $V^*$ （这是因为动量由 Legendre 变换定义，数学上来说是一种对偶），使得经典相空间可以写成 $X=V\oplus V^*$ . 这是一个“辛向量空间”，就是说，上面配备了一个非退化的反对称双线性型 $\sigma: X\times X\to \mathbb R$ ,

$\sigma\Big( (v_1,\alpha_1),\quad (v_2,\alpha_2)\Big) = \alpha_2(v_1)-\alpha_1(v_2)$

实向量空间上的“复结构”是指一个线性变换，其平方是负恒等， $J^2=-I$ . 辛向量空间上的“相容复结构”是指这个复结构要保持辛形式，即，

$\sigma(Jx, Jy)= \sigma(x,y)\qquad \forall x,y$

容易看到复结构的本征值是 $\pm\mathrm{i}$ . 要谈论它的本征向量，必须把原来的实向量空间“复化”，即考虑复向量空间 $X_{\mathbb C} = X\otimes \mathbb C = X\oplus \mathrm{i}\,X$ ，把 J 扩张到这个复向量空间上成为复线性变换。这个复向量空间可以分解成 J 的本征子空间的直和， $X_{\mathbb C}=W\oplus \overline{W}$ . 不同的复结构对应不同的这种直和分解。如果复结构还是跟辛结构相容的，那么以上直和分解必须满足“正性条件”

$\mathrm{i}\, \sigma(\bar{w}, w)>0 \qquad \forall w\in W$

和 Lagrange 条件，即 $W$ 是极大的迷向子空间，所谓迷向是指

$\sigma|_W =0.$

之前讨论谐振子的时候采用的复结构是（省略系数）

$W=\langle\ e_q+\mathrm{i}\, e_p\ \rangle,\qquad J(e_q)=-e_p,\quad J(e_p)=e_q$

那么容易看到，Fock 表象中的态矢量一一对应到反全纯部分的多项式，用多重线性代数的语言，即 $\overline{W}$ 上的对称张量。Fock space $=S(\overline{W})$ .

这个程序可以用于无穷维辛向量空间，即，固定一个正性直和分解（复结构），态空间就可以用反全纯部分的对称张量来组成。不过注意这只适用于玻色理论，其中正则关系是交换子。对费米理论，有类似的程序，以后再谈。

真空态的构造问题涉及复结构的第三种形式，下节继续。

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-3 15:07 编辑 ]

本帖最近评分记录

shanqin威望 +5 2008-2-3 11:16

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星空浩淼

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2^#大中小发表于 2008-1-27 22:34 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

所有可能的位置组成向量空间 $V\cong \mathbb R^n$ ，所有可能的动量应该被视为对偶空间（线性泛函组成的空间） $V^*$ （这是因为动量由 Legendre 变换定义，数学上来说是一种对偶），使得经典相空间可以写成 $X=V\oplus V^*$ . 这是一个“辛向量空间”，就是说，上面配备了一个非退化的反对称双线性型 $\sigma: X\times X\to \mathbb R$

这个地方可否这样“翻译”：如果由广义坐标构成的位形空间M={q1,q2,q3,...qn}={q}作为底空间，则其上的切丛TM={q,δq/δt} （δq/δt是广义速度）即是状态空间，余切丛T*M={q,p}是相空间（其中p是广义动量）。利用Legendre 变换，可以让切丛TM过渡到余切丛T*M，相应地，把Lagrange力学变换到Hamilton力学。

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3^#大中小发表于 2008-1-27 22:38 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

上面配备了一个非退化的反对称双线性型 $\sigma: X\times X\to \mathbb R$ ,
$\sigma\Big( (v_1,\alpha_1),\quad (v_2,\alpha_2)\Big) = \alpha_2(v_1)-\alpha_1(v_2)$

这个地方看得不太明白，不知道上面这个公式的具体含义，如果举个例子就好了。这个“非退化的反对称双线性型”是M上的辛形式吗？还是类似Poisson括号的东西？

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星空浩淼

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4^#大中小发表于 2008-1-27 22:55 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

之前讨论谐振子的时候采用的复结构是（省略系数）
$W=\langle\ e_q+\mathrm{i}\, e_p\ \rangle,\qquad J(e_q)=-e_p,\quad J(e_p)=e_q$

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季候风

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5^#大中小发表于 2008-1-27 23:59 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

上面配备了一个非退化的反对称双线性型 $\sigma: X\times X\to \mathbb R$ ,
$\sigma\Big( (v_1,\alpha_1),\quad (v_2,\alpha_2)\Big) = \alpha_2(v_1)-\alpha_1(v_2)$

这个地方看得不太明白，不知道上面这个公式的具体含义，如果举个例子就好了。这个“非退化的反对称双线性型”是M上的辛形式吗？还是类似Poisson括号的东西？[/quote]

这里的确省略了说明，为了不至于满篇都是公式 . 这里 $(v_i, \alpha_i)\in V\oplus V^*$ , 这是一个典型的数学家的记号，又回到以前讨论的直和有关问题。线性空间的直和，其底层集合是直和因子底层集合的笛卡儿积，所以用有序对来标记。因为 $\alpha_i$ 是线性函数，等式右边的括号就是取值。

在谐振子的情况， $e_q,\ e_p$ 分别是 $V,\ V^*$ 的基，而且互为对偶。用基展开， $v_i =a_i e_q,\quad \alpha_i=b_i e_p$ , 那么

$\sigma\Big((a_1 e_q, b_1 e_p),\quad (a_2 e_q, b_2e_p)\Big)= (b_2a_1-b_1a_2)\ e_p(e_q) =\ b_2a_1-b_1a_2$

现在只考虑了辛向量空间，而不是辛流形，所以不必要涉及 Poisson 结构，一切都是线性的。

[ 本帖最后由季候风于 2008-2-6 01:15 编辑 ]

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季候风

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6^#大中小发表于 2008-1-28 00:16 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

之前讨论谐振子的时候采用的复结构是（省略系数）
$W=\langle\ e_q+\mathrm{i}\, e_p\ \rangle,\qquad J(e_q)=-e_p,\quad J(e_p)=e_q$

实形式下，J对应一个斜对角矩阵，由正负两个单位矩阵作为斜对角元；不知道在复结构下，它的表达形式如何？它本身相当于复向量空间中旋转90度的变换，即把坐标与动量互换（可能相差一个负号）。我只知道，实形式下，如果一个变换满足MJM'=J（M'是M的转置），则M对应一个辛变换（正则变换，其全体构成辛群），它保持Hamilton方程形式不变，保持Poisson括号不变，保持辛形式不变。

为了对季兄表示支持，我勉为其难地凑一下热闹，可惜本人水平实在有限。希望其他更为内行的人向我学习，踊跃参与讨论，这不象下棋，用不着观棋不语 [/quote]

星空兄谦虚了，你的问题和意见都很好。多谢星空兄捧场。

实向量空间复化以后，原来的基还保持为基， $\mathrm{dim}_{\mathbb C}X_{\mathbb C} = \mathrm{dim}_{\mathbb R} X$ . 所以线性变换扩张以后的矩阵还跟以前的矩阵一样。我在谐振子情况用的复结构矩阵是很特殊的一个，它的矩阵正好同辛形式 $\sigma$ 的矩阵一样。这是一个巧合，但复结构和辛形式是完全不同的概念，分别属于 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ . 在谐振子相空间上还有很多别的相容复结构。矩阵形式的方程往往引起很多歧义，内在的不依赖于基底选取的表述才更加准确，更利于理解。辛变换的内在定义是

$\sigma(Mx, My)=\sigma(x,y), \qquad \forall x,y$

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星空浩淼

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7^#大中小发表于 2008-1-28 01:09 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

但复结构和辛形式是完全不同的概念，分别属于 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ . 在谐振子相空间上还有很多别的相容复结构。矩阵形式的方程往往引起很多歧义，内在的不依赖于基底选取的表述才更加准确，更利于理解。辛变换的内在定义是
$\sigma(Mx, My)=\sigma(x,y), \qquad \forall x,y$

谢谢季兄的解释！上面的 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ 是否应该是 $X\otimes X^*,\quad X\wedge X^*$ ？有的书上把辛形式记做 $dq\wedge dp$

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季候风

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8^#大中小发表于 2008-1-28 01:52 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

引用:

但复结构和辛形式是完全不同的概念，分别属于 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ . 在谐振子相空间上还有很多别的相容复结构。矩阵形式的方程往往引起很多歧义，内在的不依赖于基底选取的表述才更加准确，更利于理解。辛变换的内在定义是
$\sigma(Mx, My)=\sigma(x,y), \qquad \forall x,y$

谢谢季兄的解释！上面的 $X\otimes X^*,\quad X^*\wedge X^*$ 是否应该是 $X\otimes X^*,\quad X\wedge X^*$ ？有的书上把辛形式记做 $dq\wedge dp$ [/quote]

非也非也。用物理词汇，线性变换是一阶反变，一阶协变的混合张量，而双线性函数是二阶协变张量，反对称双线性函数就是“2-形式”.

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星空浩淼超级版主个人空间发短消息加为好友当前离线	9^#大中小发表于 2008-1-28 12:30 只看该作者 Re: 漫谈几何量子化（四）引用: 非也非也。用物理词汇，线性变换是一阶反变，一阶协变的混合张量，而双线性函数是二阶协变张量，反对称双线性函数就是“2-形式”. [/quote] 呵呵，原来如此
UID 16 帖子 3870 精华 15 积分 323 阅读权限 150 在线时间 1418 小时注册时间 2008-1-13 最后登录 2011-12-19 查看详细资料	TOP

那一剑的寂寞新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	10^#大中小发表于 2008-1-29 15:16 只看该作者 Re: 漫谈几何量子化（四）给季候风提个小建议：能不能在帖子中多加一点数学公式？你的这篇“漫谈几何量子化”对我帮助很大，谢谢你的工作！ 12 hours a day, 7 days a week, and 12 months a year for 20 years！
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季候风超级版主个人空间发短消息加为好友当前离线	11^#大中小发表于 2008-1-30 01:08 只看该作者 Re: 漫谈几何量子化（四）呵呵，客气客气。数学公式多了会不会太占空间？
UID 12 帖子 1277 精华 9 积分 241 阅读权限 150 在线时间 917 小时注册时间 2008-1-12 最后登录 2011-12-19 查看详细资料	TOP

shanqin

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12^#大中小发表于 2008-1-30 23:36 只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（四）

虽然会，但是影响不大，所以有公式尽管用。

假如不曾一起逆着风
破着浪
我还不明了倔强
原来是一种力量

chernzy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	1^#大中小发表于 2011-3-30 15:18 只看该作者路径积分的数学基础请问有人熟悉这方面的研究吗，
UID 2909 帖子 59 精华 0 积分 0 阅读权限 10 在线时间 184 小时注册时间 2010-5-6 最后登录 2011-10-24 查看详细资料	TOP

henring 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	2^#大中小发表于 2011-3-30 17:28 只看该作者回复 1# 的帖子你指物理学中的路径积分吗？如果是，基础就是微积分。能算的情形只有高斯型的。
UID 204 帖子 574 精华 2 积分 25 阅读权限 10 在线时间 290 小时注册时间 2008-1-16 最后登录 2011-12-18 查看详细资料	TOP

chernzy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	3^#大中小发表于 2011-3-30 20:53 只看该作者回复 2# 的帖子不是计算的问题，一般听说路径积分还缺少严格的数学基础，所以问问。
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fnsy 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	4^#大中小发表于 2011-3-31 09:03 只看该作者回复 3# 的帖子路径积分问题是否可以以微分几何为基础得以解决。
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henring 新手上路个人空间发短消息加为好友当前离线	5^#大中小发表于 2011-3-31 10:24 只看该作者回复 3# 的帖子哦数学基础阿。这个问题以前这里略微讨论过。你可以翻老帖/。
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phymath999

Friday, April 26, 2013

qm01 随机积分（严格来说Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度，并不能分解为概率密度和基本测度的乘积

随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上的概率测度;在场论中，经典相空间一般都是无穷维空间。无穷维缺少有限维的一个重要性质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性。

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随机积分（严格来说， Wiener 测度）是无穷维空间上​的概率测度;在场论中​，经典相空间一般都是​无穷维空间。无穷维缺​少有限维的一个重要性​质，即平移旋转不变的 Lebesgue 测度的存在性。 Inbox x

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