Monday, April 29, 2013
金融市场学：独立同分布、鞅过程、和白噪音
金融市场学：独立同分布、鞅过程、和白噪音
金融市场学：独立同分布、鞅过程、和白噪音<br />金融市场学：独立同分布、鞅过程、和白噪音<br />本文来自:慢点富返佣网：http://www.mandianfu.com详细出处参考：http://www.mandianfu.com/shownews.asp?id=4852
球面點的視圖被劃分為八個球面三角形;圖形給予電腦的意義只是一組座標資料而已
圖形給予電腦的意義只是一組座標資料而已
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圖2-11 一條曲線平移一個向量d
y - 國立中央大學
thesis.lib.ncu.edu.tw/ETD-db/ETD-search/getfile?URN...filename...
由 J Hou 著作 - 2008 - 相關文章
向量內積在圖學上的應用之一，就是求得光線的照射量，我們必須先知. 道，與平面垂直的向量為平面的法向量，如果有一平行光源照射至某平面，則. 我們可以藉由平面 ...
Hlavac 等人[11]使用一套圖像表示一個物體。他們的目標是獲得
11
IBR(Image based Rendering)由插值法回報。因此他們選擇一套參考圖像位置在
重建中間的投影圖於物體附近保證的間隔時間錯誤跳起在某個門檻之下，這個
方法不是欲測量一個單一視圖的品質，如果程度不同性質是高的足夠，各個圖
像與早先一個比較而且只選擇一個。
一套方法在電腦視覺理論要滿足“下個最好視圖＂的問題，依靠資訊的事
先收集為選擇下一個另人關注的視角。不幸地一個統一的品質標準是不存在，
例如Massions 和Fisher[12]。計算好的視角的問題也是與視覺伺服相關，參考
Marchand 和Courty[13]。
Plemenos [14][15] 提出了一個最佳視角的反覆的自動計算之方法，場景被
安置在球形的中心表示所有可能點的視圖。球形被劃分為八個球面三角形(參
考圖1-7)。最佳的球面三角形是選擇三角形頂點數的視角品質。然後，選擇的
球面三角形是遞歸的次級劃分和最佳的頂點被選擇作為最佳的視角(圖1-8)。
圖1-7 球面點的視圖被劃分為八個球面三角形
12
圖1-8 遞歸細分最佳球面三角形
個模型進行平移表示它的所有點都在一個規定的方向移動一段相等的
距離，它可以用一個向量說明，一個單位向量和一段距離，或者表示轉換模型
的最初與最後位置的兩個點，如圖2-11。
圖2-11 一條曲線平移一個向量d
“向量归一化",,应该就是把它各分量处理向量的模长，即按比例缩短到单位长度，方向不变 ,在线性代数中的向量是指,n个实数组成的有序数组称为n维向量.一般用α,β,γ等希腊字母表示
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应该就是把它各分量处理向量的模长，即按比例缩短到单位长度，方向不变
要學習電腦圖學，除了對各種座標系統的掌握之外，不可或缺的就是向量的應用，這邊介紹一些基本的向量觀念與其應用。
假設三維空間中有一點(a, b, c)，則我們定義向量如下：
A向量為由原點出發、具有大小與方向性的向量，大小即為原點至該點的長度，而方向即為圖中箭頭所表示的；當向量長度為1時，我們稱為「單位向量」，通常使用i, j, k來表示X軸、Y軸與Z軸的單位向量，而向量的表示法，可以使用上圖右式所示。
向量表示法的好處是可以同時指明某變量的大小與方向，例如在模擬物理運動或力的作用時，向量表示法就相當的有用，例如若某物體的前進方向與速度，可以用向量來同時表示其X分量與Y分量的速度，如(a, b)就表示其在X方向的速度為a，Y方向速度為b，如果物體彈性碰撞右牆，則只要改變X分量為負方向，也就是(-a, b)即可。
定義兩個向量A(x1, y1, z1)與B(x2, y2, z2)的內積運算為：
A * B = (x1, y1, z1) * (x2, y2, z2) = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
如上式所示，向量內積運算後是個純量，不帶有方向性，經過導證，向量內積運算也等同於下面這個式子：
A * B = | A | * | B | * cosθ
其中θ與向量內積在圖形上的意義如下所示：
也就是說，可以利用向量內積求得A向量在B向量上的投影（或反過來求B向量在A向量上的投影）。
向量內積在圖學上的應用之一，就是求得光線的照射量，我們必須先知道，與平面垂直的向量為平面的法向量，如果有一平行光源照射至某平面，則我們可以藉由平面法向量與光源的向量求內積，如果內積為零，則表示光源與平面平行，則平面受光量為0，內積求得值的絕對值越大，則平面受光量越大。
定義A(x1, y1, z1)與B(x2, y2, z2)兩向量的外積為
由上式可以得知，向量外積運算後會得到另一個向量，其關係如下：
向量外積運算後的方向判斷若使用右手來判斷，則右手食指為A向量，中指為B向量，姆指就為AXB，或單純右手四指由A繞至B，姆指即為AXB的方向，而 AXB的大小為：
| A X B | = | A | * | B | * sinθ
向量外積的使用在圖學中也是相當廣泛，例如凸面體的隱藏面判斷，可以利用向量外積求得一平面的法向量，假設位於Z軸的正方向往負方向看過去，則若平面法向量的Z分量為正，表示平面朝向您，為可視平面，若Z分量為負，表示平面朝另一面，您看不到這個平面。
關於向量、內積與外積的應用還有得多，總之將線代好好研讀一遍，瞭解向量並應用於圖學上是一個重要的課題。
向量外積與四元數 有一些外積的基本介紹
要學習電腦圖學，除了對各種座標系統的掌握之外，不可或缺的就是向量的應用，這邊介紹一些基本的向量觀念與其應用。
假設三維空間中有一點(a, b, c)，則我們定義向量如下：
A向量為由原點出發、具有大小與方向性的向量，大小即為原點至該點的長度，而方向即為圖中箭頭所表示的；當向量長度為1時，我們稱為「單位向量」，通常使用i, j, k來表示X軸、Y軸與Z軸的單位向量，而向量的表示法，可以使用上圖右式所示。
向量表示法的好處是可以同時指明某變量的大小與方向，例如在模擬物理運動或力的作用時，向量表示法就相當的有用，例如若某物體的前進方向與速度，可以用向量來同時表示其X分量與Y分量的速度，如(a, b)就表示其在X方向的速度為a，Y方向速度為b，如果物體彈性碰撞右牆，則只要改變X分量為負方向，也就是(-a, b)即可。
定義兩個向量A(x1, y1, z1)與B(x2, y2, z2)的內積運算為：
A * B = (x1, y1, z1) * (x2, y2, z2) = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
如上式所示，向量內積運算後是個純量，不帶有方向性，經過導證，向量內積運算也等同於下面這個式子：
A * B = | A | * | B | * cosθ
其中θ與向量內積在圖形上的意義如下所示：
也就是說，可以利用向量內積求得A向量在B向量上的投影（或反過來求B向量在A向量上的投影）。
向量內積在圖學上的應用之一，就是求得光線的照射量，我們必須先知道，與平面垂直的向量為平面的法向量，如果有一平行光源照射至某平面，則我們可以藉由平面法向量與光源的向量求內積，如果內積為零，則表示光源與平面平行，則平面受光量為0，內積求得值的絕對值越大，則平面受光量越大。
定義A(x1, y1, z1)與B(x2, y2, z2)兩向量的外積為
由上式可以得知，向量外積運算後會得到另一個向量，其關係如下：
向量外積運算後的方向判斷若使用右手來判斷，則右手食指為A向量，中指為B向量，姆指就為AXB，或單純右手四指由A繞至B，姆指即為AXB的方向，而 AXB的大小為：
| A X B | = | A | * | B | * sinθ
向量外積的使用在圖學中也是相當廣泛，例如凸面體的隱藏面判斷，可以利用向量外積求得一平面的法向量，假設位於Z軸的正方向往負方向看過去，則若平面法向量的Z分量為正，表示平面朝向您，為可視平面，若Z分量為負，表示平面朝另一面，您看不到這個平面。
關於向量、內積與外積的應用還有得多，總之將線代好好研讀一遍，瞭解向量並應用於圖學上是一個重要的課題。
向量外積與四元數 有一些外積的基本介紹
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名称定义 我们知道，位移是既有大小又有方向的量．事实上，现实世界中，这种量是很多的，如力、速度、加速度等．我们把既有大小又有方向的量叫做向量．亦称矢量. 在线性代数中的向量是指,n个实数组成的有序数组称为n维向量.一般用α,β,γ等希腊字母表示.有时也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示. α=(a1,a2,…,an)称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量. ("a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推)
应该就是把它各分量处理向量的模长，即按比例缩短到单位长度，方向不变
应该就是把它各分量处理向量的模长，即按比例缩短到单位长度，方向不变
向量內積在圖學上的應用之一，就是求得光線的照射量，我們必須先知道，與平面垂直的向量為平面的法向量，如果有一平行光源照射至某平面，則我們可以藉由平 面法向量與光源的向量求內積，如果內積為零，則表示光源與平面平行，則平面受光量為0，內積求得值的絕對值越大，則平面受光量越大
向量內積在圖學上的應用之一，就是求得光線的照射量，我們必須先知道，與平面垂直的向量為平面的法向量，如果有一平行光源照射至某平面，則我們可以藉由平 面法向量與光源的向量求內積，如果內積為零，則表示光源與平面平行，則平面受光量為0，內積求得值的絕對值越大，則平面受光量越大
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向量運算
- 向量內積在圖學上的應用之一，就是求得光線的照射量，我們必須先知道，與平面垂直的向量為平面的法向量，如果有一平行光源照射至某平面，則我們可以藉由平面法 ...
-
向量內積在圖學上的應用之一，就是求得光線的照射量，我們必須先知道，與平面垂直的向量為平面的法向量，如果有一平行光源照射至某平面，則我們可以藉由平面法 ...
y - 國立中央大學
thesis.lib.ncu.edu.tw/ETD-db/ETD-search/getfile?URN...filename...
由 J Hou 著作 - 2008 - 相關文章
向量內積在圖學上的應用之一，就是求得光線的照射量，我們必須先知. 道，與平面垂直的向量為平面的法向量，如果有一平行光源照射至某平面，則. 我們可以藉由平面 ...phymath01 "静力学几何矢量" ,力在轴上的投影是代数量,力在平面上的投影为矢量。 这是因为力在平面上投. 影的方向必须用矢量来表示。
第3 章空间力系
hve.hep.com.cn/hep/plugin/.../28881-00_chapter03.pdf
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3．1．2 二次投影法
如图３．３ 所示，若已知力F的大小、F的作用线与坐标轴z 的夹角γ、力F与z 轴决定的平面与
x 轴的夹角为φ，则可先将力F分别投影至z 轴和坐标平面Oxy 上，得到z 轴上的投影Fz和平面上
的投影Fxy ；然后，再将Fxy 分别投影至x 轴和y 轴，得到轴上投影Fx ，Fy 。此过程需要经过两次投
影才能得到结果，因此称为二次投影法。二次投影法的过程可列式如下：
F痴
Fz ＝Fｃｏｓ γ
Fxy ＝Fｓｉｎ γ痴
Fx ＝Fxy ｃｏｓ φ＝Fｓｉｎ γｃｏｓ φ
Fy ＝Fxy ｓｉｎ φ＝Fｓｉｎ γｓｉｎ φ
（３．２）
应当指出：力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影为矢量。这是因为力在平面上投
影的方向必须用矢量来表示。
若i，j，k 分别为坐标轴x，
单胞的特征尺寸一般说来要比宏观结构的尺寸小得多,材料力学的微观(小尺度)与宏观两级均匀化方法
第13章虚位移原理及拉格朗日方程_百度文库
wenku.baidu.com/view/efd961fa770bf78a652954fb.html
轉為繁體網頁
。
单胞的特征尺寸一般说来要
单胞的特征尺寸一般说来要
比宏观结构的尺寸小得多
复合材料学报
ACTA M ATERIAE C()M POSITAE SINICA
第l8卷第4期 n 月 2001年
Vol 18 No．4 November 2001
文童编号：1000—3851(2001)04 0093 05
弹性接触颗粒状周期性结构材料
力学分析的均匀化方法(I)
— — 局部RVE分析
张洪武
(大连理工大学工业装备结构分析国束重点实验室、工程力学系．大连116024)
摘 要 研究工作目的是建立弹性接触颗粒状组成周期性结构材料力学分析的均匀化模型 首先对具有周期性
构造的弹性接触颗粒材料力学的微观(小尺度)与宏观两级均匀化方法的研究现状进行了简要回顾．进而发展了问
题局部RVE分析的有限元求解技术．该方法考虑了弹性接触体的牯着界面特性．并基于参变量变分原理提出了问
题求解的参数二次规划算法．为宏观均匀化分析工作打下基础。
关t词： 周期性复合材料；弹性接触；颗粒材料；均匀化方法
中田分类号： TB330．1 文献标识码：A
HoM oGENIZATIoN M ETHoD FoR THE ANALYSIS OF
ASSEM BLAGE oF ELASTIC coNTACT GRAINS
PART 0NE ：LoCAL RVE ANALYSIS
ZHANG Hong—wu
(State Key Laboratory of Structura[Analysis for Industdal Equipment，
Department of Engineering Mechanics，Datian University of Technology，IMlian 116024，China)
Abstract： This work attempts to find a new homogenization method for the analysis of assemblage
of elastic contact bodies． A brief revieW of existing works for both micro or locaI analysis leveI and
macro analysis level 0f the problem is given．The finite element method for the local RVE analysis is
presented．An important feature of this work is the quasi—static cohesive frictiona1 contact analysis of
RVE，i．e．the local composed of deformable elastic bodies，by means of the parametric quadratic pr0_
gramming principle and its corresponding algorithmi c implementation．The work presented in this pa—
per is a fundamental study ior the homogeniza*ion ana lysis of the prob~m．
Key word~： period ic composite materials；elastic contact；qranular material；homogenization method
如果材料体在空间由重复且具有周期性的标准
单元(单胞)所组成，则可称之为周期性材料。一般说
来，周期性结构单胞的特征尺寸要比由很多单胞组
成的宏观结构体的尺寸小得多。
基于弹性假设的问题均匀化分析方法的研究工
作已有相当丰富的研究成果 由于材料的破坏过程
往往与材料的非线性特征相联系，对非线性问题分
析均匀化方法的研究意义就显得更重要。然而，由于
非线性分析问题自身的难度，该方面的研究显得较
线性问题要复杂得多，很难找到一种对一般非线性
问题均较为适用的方法。迄今为止，发展起来的各种
方法一般说来都有自己的局限性。许多方法都限定
于特定加(卸)载情况下问题的研究，如何构造适用
于各种受力状态的材料的非线性均匀化分析方法仍
是人们所致力研究的课题。本领域目前较有代表性
的是Dvorak争 (及其后的文献)的工作，但数值经
验表明，Dv orak等的TFA (Transformation Fidd
Analysis)方法在许多情况下表现出的是其过于刚
收稿日期：2060 01—07；收修改稿日期：2000 08t60
基盒项目：国家自然科学基金资助项目(50178016)
作者介颦 张擞武(1964)，男，教授，从事计算非线性力学相关领域研究工作
复合材料学报
性，使均匀化计算结果与精细的有限元计算结果相
比误差过大。而对于本文中所研究的周期性弹性颗
粒接触体构成的复合材料的分析来说．利用TFA
方法是相当困难的。
对于线弹性分析的均匀化分析方法，较早的研
究可以追述到Hill 等的工作，其研究方法的核心
是所谓的自治理论。而对于弹塑性分析的均匀化理
论，较早的工作由文献[3～7]给出。较新的工作则可
以从文献 1]、[8～l 3]中看到。对于考虑弹性接触颗
粒构成的周期性材料结构的非线性分析，文献[14]、
：l 5]建立了适用于弹性圆盘组合体的数值分析模
型，所建议的方法考虑了弹性体间的接触行为，并利
用接触圆盘的形心之间的增量相对位移进行接触力
与接触位移的计算；文献[16]进一步发展了一种适
合粒状材料分析的特殊有限元方法(Distinct Finite
Elemem Method)，由于该方法具有较好的计算效
率，后来由一些研究工作者进行了发展一” ，该方
法的特点是通过Newton第二定律的显式积分算法
进行颗粒的运动计算；Chang等 进一步采用自治
算法进行分析，该方法计及了颗粒体的各种接触状
态的计算；Wren和Borja2zt]则推导了拟静态条件下
非均匀局部不连续颗粒体运动的宏观本构方程。
与以上研究工作不同，本文作者在建立周期性
弹性颗粒组成的材料的宏观本构模型上将考虑颗粒
体的弹性行为以及颗粒体之间的粘着脱离滑动等
相互作用关系。与纯接触问题不同，这种粘着效应考
虑了颗粒体之间的原始粘着强度，当这种粘着强度
被破坏后材料将发生破坏。在以下的论述过程中将
首先给出均匀化分析的基本方程，进一步对基于单
胞的非线性分析方法进行了阐述，其原理基于钟万
勰教授等提出并发展的非线性问题分析的参变量变
分原理~z,233并针对本文的问题进行了适当的改进，
提出了用于粘连性弹性接触问题分析的参数二次规
划算法，于是表征单元的分析归结为多种荷载路径
条件下的弹性接触问题分析。
本文是宏观均匀化问题分析的第一步研究工
作，在此基础上建立的弹性接触颗粒状组成周期性
结构材料力学分析的均匀化方法将在另文口 中给
出。
1 表征单元与微观、宏观变量
考虑周期性结构体n，其力学或几何特性参量
(如本构张量)n可以表示为
ifX ∈n and(X十y)∈ D 有 ( + y)一dIX) (1j
其中， 是结构的周期。单胞的特征尺寸一般说来要
比宏观结构的尺寸小得多．通常的处理方式是将单
胞作为RVE处理(RvE—— 表征体单元)。
在以下的描述中，微观(RVE尺度)量的描述用
小写字符表示，而宏观变量则用大写字符表示。如用
d ． 表示微观应力、应变张量，三 表示宏观应
力、应变张量。宏观应力与应变可定义为
1 r 、
三u一 d I
1 r
E一，一 。 I( +“ 一)ds > (2)
1 r J‘[ +[ h)dS J
S L2
其中： 为RVE 中介质所占空间的体积，S vE是
RVE外表面面积，S 是RVE内出现的间断面(如
接触破坏面)面积，[“1]表示越过s 间断位移场的
突变量，％是与S 垂直的法矢量
2 局部RYE分析基本理论
鉴于RVE分析的实质是进行具有粘连特性的
弹性接触分析，不失一般性，问题归结为如图l所示
两个弹性接触体n．与n 的分析问题。令接触体的
边界S“ 分别由力边界S 、位移边界S 和接触边
界S 组成，其中 —l，2表示两个接触体
图1 RVE内的接触体
Fig 1 A unit eetl or RVE
令P 一{P ．P ， 表示接触面上的压力，接触面
的局部坐标系用。一t一 表示，则接触状态的三类特征
可表示为
(1)自由状态(两体分离)
d“ ” 一d“ + > 0，P 一P 一0 (3)
难洪武：弹性接触颗粒状周期性结构材料力学分析的均匀化方法( )—— 局部RVE分析
(2)粘连状态
d + 一0．
1du)”一duf 一0，lp
(3)滑动状态
移场 应当注意的是，式(11)应受控于接触约束条件
<。l(4) ‘
+ p 。J
d d“ + = 0． < 0 ]
I clu 一du l>0，lA一一 Af
其中：d 、du] 、A及 是接触(面)点切向增量位
移、法向增量位移、切向与法向力；p 与P 。是接触
(面)点的初始切向与法向粘着力．自然这种粘着力
在粘连状态被破坏后不再存在； 与 是滑动摩擦
系数与接触面可能存在的间隙值。通过罚函数手段，
接触摩擦本构关系可进一步表示为
一0．自由状态；
一 (d“ 一d ” )，粘着与滑动状态
A=0，自由状态 (6)
P 一一e (d -duf”)，粘着状态
P 一一 iP sign(du~ d“ ”)，滑动状态
其中 与‘是惩罚因子。
作为算法建立，进一步引人塑性屈服与流动势
函数定义
= A p 一 o≤ 0 1
一一p + 一 ≤ 0 (7)
一A — rip．。≤ 0 J
以及
gl— A ；gz一一P ；g3= P (8)
其中，rt是依赖于状态的参数，当为粘着状态时为1，
否则为0。由此可将增量相对位移表示成
du 一 等卜 ㈣
其中：g=Eg ，g ，g。] ， 一 ，^， ] 。进一步可
导得问题的互补本构方程
+ W^d + 。= 0]
一o，^， ≥ 0，矗一1，2f ∞
其中： 是松弛变量， 是屈服函数的初始值，而
W 与M 的定义见文献E2z，23]。
基于弹塑性分析的参变量变分原理“ 。 问题
的变分泛函(虚位移原理)可以表示为
一』 誓dv一』 d1，一』 dS+
l poSr~dS l椰 S (11)
J c J S
自然8r．为满足位移边界与协调方程的可能的虚位
3 局部RVE分析的有限元列式
对于接触面的描述，采取点面描述方法，即3节
点接触单元。将接触面分为主接触面与从接触面两
种，将主接触面上的点按1到 排列，对于从接触
面上的点i来说，其在主接触面上的对应位置i 的
位移可表示为
“ = “ (12)
I 1
其中， 是权函数(或插值函数)。可行的选择办法
是假设 位于( ，J+1)之间，即
J ≠ 0， H ≠ 0， ．一0
( 一1，2，⋯， 一1． + 2，⋯，m) (13)
则 可通过简单的插值获得。由此可将接触相对
位移d 表示为
du．= ETR~U 一 】一 ⋯一
其中：ErR3表示坐标转换矩阵，d“‘”是从节点的增
量位移。
作为算法实现，从节点位移 “ 可以由接触相
对位移d 表示，这样就可以在总位移向量中消去
从节点位移，也就是
d lj= [ R— — ⋯一 n { }c s
假设RVE区域被分为 个常规单元， 个接触单
元，常规单元的体积与表面由 与 表示。如果
被用于表示接触单元中的接触屈服面数，则总体
RVE系统的屈服面数为
一厶
又令Ⅳ 表示插值形函数，则问题的求解离散方程可
以归纳为
min÷d j蹦 一d (G +dr) (16)
S．t． Cdu — U 一d + 一0
一0， ， ≥ o (1 7)
其中
4
【
(
● ● ●
，
● ●
“若 荨． _詈 一 擘
● K ● ●
复合材料学报
K一ΣK +Σ砖
K 一I BTDBdV
砖=f NyD~Las
dt= dt 一t。，
= 蓦f N a +蓦 N a
N
c
t。一Σ毽
G j 5 一J 。
c 一耋 Ⅳ ，u=耋 "a5
d 一Σl WdS3
一(篆 D：．Mk f篆 皿(垫Opt
R =
D 11= E ，D 22= E ，I I2= D 一0
式(16)与(17)构成一个数学规划问题，利用
Kuhn—Tucker条件，可以推导获得
一(U — CK G)^ 一CK dt + 一(U — CK G) ’
一0， ．^≥ 0 (18)
对于接触分析，式(18)中存在惩罚因子，故需考
虑惩罚因子的消除问题 假设有限元方程中的位移
向量被分为接触相对位移与常规位移两部分，容易
验证，只有接触相对位移相关的部分存在惩罚因子。
叉设ND表示总位移矢量的自由度数，Nd．表示非
接触相对位移自由度数，Nd。为接触相对位移自由
度数，则有ND=Nd +Nd。 不失一般性，Nd 个自
由度排在总位移向量之前，Nd。相对接触位移排在
后面．则经过组装的结构刚度矩阵可以表示为
K = K K 2+￡K玉J] ㈣
其中，￡为惩罚因子 注意到接触单元只与接触相对
位移有关，因而在总刚度阵中只有贡献EK 相应
地，矩阵C．G．U进一步依次表示为
c—c。eC" ．G一[ ．]， =： I
一[ 一[
(20)
为消除由于惩罚因子存在造成的矩阵病态，首
先进行矩阵K 当E一+。。时的求逆演算
= [ V L
其中
= Kfi 一(-~-')Kfi t 。。 nKfi 十0( (22)
y： 一 1 Knt tz 一 —o(古]， s=V (23)
= { K ～ 1．]K；2_l·
(K zK；2一K2 LKn K )K 。。+。 古f(24)
由于采用的是相对位移，因而刚度矩阵K玉为
单位矩阵。可以证明，对接触分析下式成立 ：
U 一C。K矗 G。 (25)
将式(2O)、(21)代入(18)，经过演算推导，可以
将e从表达式中消除，由此获得
F一(c K G )^一C df,+ d C K，d
^一0， 口，^≥ 0 (26)
其中
K = K ，2一K，1K K l。
d，r： 一K~IK (27)
显然，表达式(27)与子结构分析中的表达式是
完全一致的，因而对RVE分析的算法采用子结构
分析程序JIFEX进行实现
4 结 论
本文中回顾了具有周期性构造的弹性接触颗粒
材料力学的微观(小尺度)与宏观两级均匀化方法的
研究现状 研究工作集中在局部RVE的非线性分
析方法方面，目的是为进一步的宏观均匀化研究打
下基础。
由于考虑界面的粘着特性，本文作者依据参变
量变分原理建立了问题分析的有限元参数二次规划
算法，引入点面接触单元使方法对不同问题具有较
好的适应性，通过特定的技术对所引入的惩罚因子
进行了消除，使求解算法具有较好的数值稳定性与
计算精度。
张洪武：弹性接触颗粒状周期性结构材料力学舟析的均匀化方法(：卜一局部RVE分析
致 谢：对Schrefler教授在本文工作中的有益帮
助表示谢意，
参考文献
：l— Dvorak G J，IMhei Y A．w a A M．Implementation of the
transforraation field a~lysis for inelastic composite materials[J：
C硎 n ∞ M echa*dcs，1994，14：201— 228．
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